Латинские квадраты и их использование. Научный форум dxdy

Если внимательно присмотреться к числам от 1 до 16, расположенным в клетках квадрата на рис. 1, то можно заметить следующую закономерность: сумма чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же. Такой квадрат и все квадраты, обладающие аналогичным свойством, получили название магических.

Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов не существует. На рис. 2 изображен единственный магический квадрат . Единственный в том смысле, что все остальные магические квадраты получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов уже 880, а для размера их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате на рис. 3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям, связанным на рисунке цветными линиями.

Латинским квадратом называется квадрат клеток, в которых написаны числа , притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис. 4 изображены два таких латинских квадрата . Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причем в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений и для таких четных значений , которые делятся на 4. Решение задачи Эйлера для 25 офицеров изображено на рис. 5. Чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток. Здесь особенно хорошо видна связь между, задачей Эйлера и латинскими квадратами: рода войск соответствуют числам одного латинского квадрата, а чины (цветные точки) – числам ортогонального ему латинского квадрата. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений , т.е. если число при делении на 4 дает в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов размером не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. с помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты , потом . А затем было показано, что для любого , кроме 6, существуют ортогональные квадраты размером .

Гравюра А. Дюрера «Меланхолия»

«Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре А. Дюрера «Меланхолия».

Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра». Д. Оре

Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных латинских квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число , где – число в такой клетке первого квадрата, а – число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис. 6). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая – количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах из рис. 4. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта, и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

Дизайн с включением рандомизированных блоков позволяет изолировать один искажающий фактор. Латинский квадрат дает возможность изолировать уже как минимум две переменные, угрожающие внутренней валидности исследования .

Латинский квадрат - это древняя математическая головоломка; его составление является частным случаем решения магических квадратов. В общем виде фигура представляет собой равностороннюю матрицу, заполненную латинскими буквами таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы буква алфавита встречается в точности один раз (рис. 9.8).

Рис. 9.8.

С помощью латинского квадрата можно блокировать не только строки, но и столбцы. В исследовании это может выглядеть следующим образом: допустим, у нас есть искомое условие (X) и две переменные (В и С), воздействие которых нужно поставить под контроль. Это можно сделать, задав как горизонтальные, так и вертикальные блоки. Решение выглядит так, как показано на рис. 9.9. Задача заключается в составлении общей таблицы независимых переменных таким образом, чтобы комбинации в строках и столбцах не повторялись. Для трех переменных будет уже девять комбинаций.

Разумеется, вместо трех уровней независимой переменной можно использовать три разных переменных: решение от этого не изменится. Для эксперимента с латинским квадратом формулируются три нулевые гипотезы:

• - равенство средних значений групп с разными уровнями условия (X);
• - равенство средних значений групп с разными уровнями фактора В (строки);
• - равенство средних значений групп с разными уровнями фактора С (столбцы).

Следует отметить некоторые недостатки латинского квадрата. Во-первых, теоретически исследователь может включить любое число уровней независимой переменной. Тем не менее на практике редко используются квадраты, включающие более десяти градаций условия . В то же время при уровне в 4 и меньше присутствует слишком мало степеней свободы, что увеличивает ошибку. Кроме того, если между условием, строками и столбцами существуют эффекты взаимодействия, результат окажется искаженным. Однако проверка модели на взаимодействие возможна только при достаточной величине стороны квадрата. Во-вторых, количество число уровней независимой переменной, строк и столбцов должно быть одинаковым, что не всегда бывает возможным. Наконец, провести рандомизацию для данного плана довольно-таки сложно.

Рис. 9.9.

Латинский квадрат - это базовая фигура для исследований с многомерным блокированием. На его основе можно построить и более сложные планы, например, греко-латинский квадрат и гипер-греко-латинский квадрат.

Несмотря на кажущуюся сложность, анализ эффекта воздействия результатов эксперимента с использованием латинского квадрата выполняется примерно по такому же алгоритму, как и анализ в исследовании с применением рандомизированных блоков.

Выше представлена небольшая часть разработанных в теории экспериментов планов. Используя их как основу и комбинируя друг с другом, можно создать практически неограниченное число самых разных исследований, которые, однако, потребуют более сложных процедур оценки эффекта воздействия и контроля фоновых факторов.

Может возникнуть вопрос: зачем уделять такое количество времени строгому эксперименту, если возможности его применения в социологии ограничены? С одной стороны, социальное взаимодействие во всех своих проявлениях действительно является сложно контролируемым феноменом, и во многих случаях социолог не может проводить рандомизацию, а также оказывать влияние на независимую переменную. С другой стороны, трудности экспериментирования связаны не только с характером объекта, но и со слабой заинтересованностью социологического сообщества. Эксперимент является довольно сложным методом, использование которого сопряжено с кропотливой работой по контролю, изоляции искомых переменных, а также с применением сложных процедур измерения эффекта тестирования. Учитывая общий дескриптивный характер современной социологии и зачастую относительно невысокий уровень рефлексии касательно валидности каузальных аргументов, экспериментальные исследования составляют не слишком большую долю в общей совокупности выпускаемых работ.

Данный факт не означает, что ниша эксперимента в общественных науках всегда будет ограниченной. Оглядываясь вокруг, мы можем заметить, что в других областях социального знания теория экспериментирования развивается куда более быстрыми темпами. Не секрет, что социальная психология уже долгое время работает как экспериментальная наука и не мыслит себя вне данного метода. Вместе с тем, можно наблюдать такое динамично развивающееся направление, как экспериментальная экономика. Словарная статья Вернона Смита «Экспериментальные методы в экономике» начинается словами: «Исторически предмет и метод экономики предполагал неэкспериментальный характер науки (подобно астрономии и метеорологии)» . Раскрывая современное состояние науки, автор показывает, что начиная с 1980-х годов экономика все более становится экспериментальной наукой.

Присмотримся к сравнительной политологии. Сто лет назад в послании к Американской ассоциации политической науки ее тогдашний руководитель Лоуренс Новелл заявлял: «Мы ограничены отсутствием возможности экспериментирования... Политические исследования являются обсервационной, а не экспериментальной наукой». Вышедшая в 2007 г. книга “The Oxford Handbook of Experimental Political Science” указывает, что ситуация меняется стремительным образом по мере того, как исследователи политики уделяют все большее влияние каузальным аргументам и эмпирическому изучению своего предмета . Достаточно перечислить многочисленные работы по таким темам, как мобилизация, голосование, парламентаризм, бюрократия, международные отношения, переговоры, внешняя политика, создание коалиций, политическая культура, «экспорт демократии», электоральные системы, право. Практически все эти области, казалось бы, оставляют ученому возможность лишь пассивного наблюдения и регистрации фактов, но рандомизированные эксперименты здесь проводятся и весьма успешно.

Не отрицая объективных трудностей использования строгого эксперимента в социологии, можно предположить, что повышение интереса к сравнительным исследованиям будет способствовать и росту числа экспериментов. Кроме того, развитие перспективных областей микросоциологии (например, изучения повседневности) также может способствовать развитию теории и практики полевого экспериментирования.

Наиболее очевидным полем внедрения экспериментальных исследований представляется область виртуальных технологий.

Социологический эксперимент обычно проводится в лаборатории или «реальных» условиях, при этом изучаются небольшие группы. Однако социология не интересуется индивидом, а в качестве объяснительных конструкций оперирует аргументами макроуровня, подтверждение которых требует множества наблюдений. Сети дают такую возможность. Например, группа молодых ученых из Колумбийского университета изучала влияние социальных факторов на функционирование музыкального рынка . Для этого они создали веб-сайт, на который выложили аудиозаписи 48 неизвестных инди-музыкантов для свободного скачивания. Все посетители страницы случайным образом назначались в группы, которые отличались способом представления информации на сайте (случайный порядок песен против ранжированного по количеству скачиваний и т. д.). Выяснилось, что выбор пользователей, испытывавших социальное влияние, оказывался куда менее предсказуемым, чем тех, кто не видел рейтингов, рекомендаций, количества «лайков» ит.д., причем эта зависимость обратна пропорциональна уровню социального влияния.

В книге «Основания социальной теории» Дж. Коулман писал, что даже если ученый строит каузальные аргументы на макроуровне (например, как модели социального взаимодействия влияют на силу норм), надлежащее объяснение требует определения микрооснований этих процессов . Как подчеркивал Коулман, переход от микро- к макроуровню является основным препятствием на пути интеллектуального развития социологической теории, поскольку требует изучения динамических процессов формирования и развития социальных процессов, которые сложно получить с помощью традиционных социологических методик (опросов и наблюдений). Однако использование экспериментального метода (в частности, в интернет-исследованиях) позволяет не только увидеть результат, но и воспроизвести схему переходов «макро-микро», «микро-микро» и «макро-микро». Фактически в распоряжении исследователя имеется мощный инструмент, который, с одной стороны, позволяет работать с большими массивами данных, а с другой - фиксировать взаимодействие индивидов per se.

Еще одна причина, по которой эксперимент достоин внимания, более прагматична. Как уже неоднократно отмечалось, в тех случаях, когда экспериментальный дизайн невозможен (а это применительно, например, ко всей исторической социологии), социальный ученый пытается создать нечто похожее на экспериментальную ситуацию. Вместе с тем сложный характер причинно-следственных отношений и необходимость контроля факторов требуют использования методов, симулирующих эксперимент. В таком случае эксперимент представляется идеально-типическим исследованием, по канонам которого ученый работает и к строгости которого стремится приблизиться. Собственно, количественная и качественная стратегия, по мысли Ч. Рагина, являются разными вариантами ответа на вопрос о том, возможно ли в социальном исследовании воспроизведение логики эксперимента .

Представленные выше планы являются своеобразными шаблонами, по лекалам которых социологи работают и с объектами, в отношении которых эксперимент принципиально невозможен. В сущности, такое каузальное исследование будет моделироваться и анализироваться с использованием похожих, но, разумеется, более сложных методик и техник. Поэтому в процессе изучения гл. 10, посвященной квазиэксперименталь- ному дизайну, рекомендуется соотносить описываемые планы с тем, что уже известно, искать различия и возможные угрозы внутренней и внешней валидности. Это облегчит понимание «механики» сравнительного квазиэкспериментального исследования.

• У. Кохран и Г. Кокс приводят примеры латинских квадратов вплоть до 12x12.

Полное уравнивание

Для того чтобы избежать систематического смешения, возникающего при неоднородном переносе в схеме реверсивного уравнивания, можно использовать все возможные 296последовательности уровней, вместо двух. Такая схема с полным уравниванием для трехуровневого эксперимента выглядит следующим образом:

Так, если бы в исследовании Готтсданкера и Уэй было использовано только три уровня независимой переменной (например 50, 100 и 200 мс), различным испытуемым - или группам испытуемых - были бы предъявлены следующие шесть последовательностей: 50, 100, 200 мс; 50, 200 и 100 мс; 100, 50 и 200 мс; 100, 200 и 50 мс; 200, 50 и 100 мс; 200, 100 и 50 мс. Мы не иллюстрируем полное уравнивание для большего числа уровней независимой переменной (обычно встречающегося в многоуровневых экспериментах) по той причине, что таблица оказалась бы слишком громоздкой. Например, для всех пяти уровней в исследовании Готтсданкера и Уэй потребовалось 120 последовательностей. Так что если бы даже только один испытуемый проводился через одну последовательность, то число испытуемых оказалось бы равным 120. Число последовательностей, необходимых для полного уравнивания, вычисляется как n-факториал, где n - число уровней. Для шести уровней n-факториал находится следующей серией умножений:

6Х5Х4ХЗХ2Х1=720.

Поскольку кросс-индивидуальное уравнивание было введено для сокращения числа испытуемых по сравнению с их числом в межгрупповой схеме, полное позиционное уравнивание используется крайне редко. Нижеследующая схема позволяет сократить число испытуемых, избегая допущения об однородном переносе, необходимом для схемы реверсивного уравнивания.

Если мы не хотим использовать все возможные последовательности, то естественно прийти к идее о случайном выборе из всего их множества. Иногда это и делается. Однако в случайно выбранном наборе последовательностей мало вероятно, что каждый уровень окажется в каждой позиции равное число раз. Поэтому нежелательные последствия неоднородного переноса будут по-прежнему существовать.

Выходом будет случайный выбор среди «квадратов», в которых каждый уровень появляется один раз в каждой позиции. Каждый такой квадрат представляет собой полную экспериментальную схему. Он называется латинским квадратом. Приведем пример одного из 8640 таких квадратов для шести уровней независимой переменной:

Поскольку в латинском квадрате каждый уровень оказывается в каждой позиции последовательности, естественно, требуется столько групп испытуемых, сколько уровней независимой переменной. Если бы Готтсданкер и Уэй использовали (как это им и следовало сделать) латинский квадрат вместо реверсивного уравнивания, их испытуемые должны были разбиться на пять групп соответственно пяти уровням независимой переменной. Значит, в их опыте должны были бы принять участие пять или десять испытуемых вместо восьми, как это было на самом деле (ведь восемь на пять не делится).

Исследователи обычно вводят ограничение на латинский квадрат. Оно состоит в требовании, чтобы каждому уровню один раз непосредственно предшествовал каждый другой уровень. Такой квадрат называют сбалансированным квадратом . В приведенном выше латинском квадрате это условие не соблюдалось. Например, уровню Б только один раз предшествовали уровни А и Д, но три раза Е и ни разу В и Г. Метод получения сбалансированных квадратов приводится в работе Уагенаара (1969). Вот пример:

Если бы все эффекты переноса были связаны с непосредственно предшествующим уровнем, сбалансированный квадрат был бы очень эффективен. К сожалению, нет способа проверить, в действительности ли это так. Рассмотрим теперь систематические смешения (влияния последовательности), которые могут возникать даже при полном уравнивании.

Лати́нский квадра́т n -го порядка - таблица L=(l ij) размеров n × n , заполненная n элементами множества M таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из M встречается в точности один раз. Пример латинского квадрата 3-го порядка:

Впервые латинские квадраты (4-го порядка) были опубликованы в книге «Шамс аль Маариф» («Книга о Солнце Гнозиса»), написанной Ахмадом аль-Буни в Египте приблизительно в 1200 году.

Пары ортогональных латинских квадратов впервые были упомянуты Жаком Озанамом в 1725 году . В книге, представляющей собой сборник задач по физике и математике, приведена следующая задача:

Эта задача имеет 6912 решений (если дополнительно потребовать, чтобы и диагонали квадрата удовлетворяли тому же условию, то число решений уменьшится в 6 раз и станет равным 1152).

Важной вехой в истории исследований латинских квадратов стала работа Эйлера . Он занимался в ней методами построения магических квадратов и предложил метод, основанный на паре ортогональных латинских квадратов. Исследуя такие пары, Эйлер выяснил, что проблема их построения подразделяется на три случая в зависимости от остатка от деления числа n на 4. Он предложил способы построения пар ортогональных квадратов для n , делящихся на 4 и для нечётных n . Очевидно, что при n = 2 таких пар не существует. Ему не удалось построить пары ортогональных латинских квадратов для n = 6, 10 и он высказал гипотезу о том, что не существует пар ортогональных квадратов для n = 4t +2. Для n = 6 он сформулировал «задачу о 36 офицерах»:

В 1920-1930 годы стали интенсивно изучаться неассоциативные алгебраические структуры, что привело, в частности, к созданию теории квазигрупп , тесно связанной с изучением латинских квадратов, так как между латинскими квадратами и таблицами Кэли квазигрупп существует взаимно-однозначное соответствие.

Точная формула для числа L (n ) латинских квадратов n -го порядка неизвестна. Наилучшие оценки для L (n ) дает формула

Каждому латинскому квадрату можно поставить в соответствие нормализованный (или редуцированный) латинский квадрат, у которого первая строка и первый столбец заполнены в соответствии с порядком, заданном на множестве M . Пример нормализованного латинского квадрата:

Число R(n) нормализованных латинских квадратов n -го порядка (последовательность A000315 в OEIS) в n!(n-1)! раз меньше, чем L(n) (последовательность A002860 в OEIS).

Два латинских квадрата называют изотопными, если один из них может быть получен из другого в результате изотопии - композиции из перестановки строк, перестановки столбцов и замены элементов множества M по подстановке из симметрической группы S(M) .

Латинский квадрат можно рассматривать как ортогональный массив . Меняя порядок элементов в каждой упорядоченной тройке этого массива, можно получить 6 латинских квадратов, которые называются парастрофами. В частности, парастрофом является латинский квадрат, полученный в результате транспонирования.

Композиция изотопии и парастрофии называется изострофией. Это ещё одно отношение эквивалентности, его классы называются главными классами. Каждый главный класс содержит 1, 2, 3 или 6 изотопических классов. В случае совпадения исходного латинского квадрата и изострофного ему, говорят об автострофии. С ростом n почти все латинские квадраты имеют тривиальную группу автострофий.

Два латинских квадрата L=(l ij) и K=(k ij) n -го порядка называются ортогональными, если все упорядоченные пары (l ij ,k ij) различны. Пример двух ортогональных латинских квадратов и соответствующие им упорядоченные пары:

Эйлер называл такие квадраты «полными». В его честь в научной литературе их раньше называли «эйлеровыми» или «греко-латинскими» (так как Эйлер использовал буквы греческого алфавита для квадрата, ортогонального латинскому).

Ортогональные латинские квадраты существуют для любого n , не равного 2 и 6.

Латинский квадрат L n -го порядка имеет ортогональный ему квадрат тогда и только тогда, когда в L существует n непересекающихся трансверсалей .

Особый интерес в связи с многочисленными приложениями вызывают множества из нескольких попарно ортогональных латинских квадратов n -го порядка. Максимально возможная мощность N(n) такого множества равна n -1, в этом случае множество называется полным.

Если n ≡ 1 (mod 4) или n ≡ 2 (mod 4) и свободная от квадрата часть числа n содержит хотя бы один простой множитель p ≡ 3 (mod 4), то для таких n полного множества попарно ортогональных латинских квадратов не существует.

Известные нижние оценки числа N(n) при n < 33 приведены в следующей таблице (выделены оценки, которые могут быть улучшены):

Построение ортогональных квадратов - сложная комбинаторная задача. Для её решения применяются как алгебраические конструкции, так и комбинаторные (трансверсали, ортогональные массивы, дизайны, блок-схемы, тройки Штейнера и др.) Существует несколько подходов к решению этой задачи, их можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, основанные на выборе базового латинского квадрата, к которому отыскиваются изотопные ортогональные латинские квадраты. Например, пять попарно ортогональных латинских квадратов 12-го порядка были найдены в результате построения четырех ортоморфизмов абелевой группы , являющейся прямым произведением циклических групп порядков 6 и 2.

Ко второй группе относятся методы, использующие для построения ортогональных латинских квадратов комбинаторные объекты (включая сами латинские квадраты) меньших порядков. Например, два латинских квадрата 22-го порядка были построены Bose и Shrikhande на основе двух дизайнов 15-го и 7-го порядка.

Латинский квадрат называется диагональным, если в дополнение к требованиям уникальности элементов в строках и столбцах, свойственным для латинского квадрата, добавляются требования уникальности элементов на главной и побочной диагоналях . Аналитическая оценка числа диагональных латинских квадратов неизвестна, их число для размерностей N<10 было определено в 2016 г. в проекте добровольных распределенных вычислений Gerasim@Home (последовательность A274171 в OEIS и последовательность A274806 в OEIS). Для диагональных латинских квадратов, как и для просто латинских, возможно построение ортогональных пар, часть из которых (порядка 9 и 10) была найдена в проекте добровольных распределенных вычислений A287695 в OEIS). Открытой математической проблемой является существование тройки попарно ортогональных диагональных латинских квадратов порядка 10 (на текущий момент наилучшим приближением к ее решению является тройка квадратов, в которой две пары квадратов ортогональны, а третья частично ортогональна в 74 ячейках ).

Квадрат, в котором каждый элемент множества M в каждой строке и в каждом столбце встречается не более одного раза, называется частичным.

Задача распознавания того, может ли частичный квадрат быть дополнен до латинского, является NP-полной .

Введено понятие критического множества, соответствующего частичному квадрату, который однозначно может быть дополнен до латинского, причем никакое его подмножество условию однозначности не удовлетворяет. Мощность C(n) критического множества для квадратов размеров n × n известна для n < 7:

Помимо задачи нахождения формулы для величины L (n ), имеется большое количество нерешенных задач относительно латинских квадратов. Ряд таких задач был сформулирован на конференции Loops’03:

Латинские квадраты находят широкое применение в алгебре, комбинаторике, статистике, криптографии, теории кодов и многих других областях.

Существует ряд игр, в которых используются латинские квадраты. Наиболее известна из них судоку . В ней требуется частичный квадрат дополнить до латинского квадрата 9-го порядка, обладающего дополнительным свойством: все девять его подквадратов содержат по одному разу все натуральные числа от 1 до 9.

Пользуются популярностью также задачи построения латинских квадратов и на их основе магических квадратов, обладающих дополнительными свойствами (например, диагональные квадраты).

Начала писать обзорную статью о методах построения магических квадратов. Штудирую материалы по этой теме во всех источниках. Вот в книге Чебракова нахожу "Метод латинских квадратов" (Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Терия чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - С.-Петербург, 1995; стр.96-97).
Цитата из книги: "Первый латинский квадрат строят следующим образом: а) произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы n*n целыми числами от 0 до n-1, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом k="; б) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой - первое число переносится в конец строки. Второй латинский квадрат получается из первого путём его поворота на девяносто градусов".
Ну, как строится первый латинский квадрат, понятно. В книге дана иллюстрация построения. Вот первый латинский квадрат, изображённый на иллюстрации:

2 1 4 0 3
3 2 1 4 0
0 3 2 1 4
4 0 3 2 1
1 4 0 3 2

0 3 4 1 2
3 4 1 2 0
4 1 2 0 3
1 2 0 3 4
2 0 3 4 1

11 9 25 2 18
19 15 7 23 1
5 17 13 6 24
22 3 16 14 10
8 21 4 20 12

12 10 21 4 18
20 11 9 23 2
1 19 13 7 25
24 3 17 15 6
8 22 5 16 14

3 2 5 0 1 4 6
6 3 2 5 0 1 4
4 6 3 2 5 0 1
1 4 6 3 2 5 0
0 1 4 6 3 2 5
5 0 1 4 6 3 2
2 5 0 1 4 6 3