Лекции по алгебре. Формы контроля знаний студентов

196 Глава 9. Линейные пространства

где не все k i , 1i r + 1, равны нулю. Если быk r +1 = 0, то нетривиальная линейная комбинацияk 1 α 1 +. . . +k r α r = 0, равная

нулю, означала бы, что система α 1 , . . . , α r линейно зависима, что противоречит предположению.

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства K V в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов).Пусть {α 1 , . . . , α r } - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и

β = k1 α1 + . . .+ kr αr = k1 α1 + . . .+ kr αr , ki , ki K.

Тогда k1 = k1 ,. . . , kr = kr .

Доказательство. Действительно,

(k1 − k1 ) α1 + . . .+ (kr − kr ) αr = 0 ,

и поэтому k 1 − k 1 = 0,. . . ,k r − k r = 0.

9.3. Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейного пространства

Пусть S K V . Наиболее важные для нас случаи: а)S - конечное подмножество элементов вK V ;

б) S =K V .

Подсистема v1 , . . . , vr SK Vназывается максимальной линейно независимой подсистемойв S, если:

1) v 1 , . . . , v r - линейно независимая система;

2) v 1 , . . . , v r , v - линейно зависимая система для всякогоv S , или, что эквивалентно,

2) любой элемент v S является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r .

Максимальная линейно независимая подсистема v 1 , . . . , v r вS =K V (если вK V существует такаяконечная система) называетсябазисом линейного пространстваK V . Линейное пространствоK V с конечным базисомv 1 , . . . , v r называетсяконечномерным линейным пространством (при этом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самое число элементов).

Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) , ε2 = (0 ,1 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1)

является базисом линейного пространства строк K n .

Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v1 , . . . , vr в S Kn можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в S Kn .

Доказательство. Если v1 , . . . , vr - максимальная линейно независимая подсистема в S Kn , то все доказано. Если нет, то най-

дётся элемент v S такой, чтоv 1 , v 2 , . . . , v r , v =v r +1 - линейно независимая подсистема вS . После конечного числа шагов процесс

остановится, так как любые системы из n + 1 элементов в линейном пространствеK n оказываются линейно зависимыми.

Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент0 = v S Kn дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.

Следствие 9.3.4. В S= R n (или S= Kn для бесконечного поля K) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|= q(например, K= Z 2 ) , то число элементов в Kn равно qn , и поэтому число базисов в Kn конечно. Найдите их число.

Замечание 9.3.5. Пусть строкиa 1 , . . . , a s K n линейно независимы,s < n . Тогда существуют такие строкиa s +1 , . . . , a n K n ,

что {a 1 , . . . , a n } - базис линейного пространстваK n . Практическое нахождение строкa s +1 , . . . , a n можно осуществить следующим образом. Запишем строкиa 1 , . . . , a s по столбцам и приведём полученную матрицу к ступенчатому виду:ϕ (a 1 , . . . , a s ) =A ступ , где

(a 1 , . . . , a s ), A ступ Mn,s (K ),ϕ - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строкиa 1 , . . . , a s линейно независи-

мы, то в A ступ имеется ровноs ненулевых строк (первыеs строк).

а остальные элементы равны 0, i =s + 1, . . . , n . Припишем эти столбцы справа к матрицеA ступ . ПустьB Mn (K ) - полученная матрица. Применяя к матрицеB последовательность элементарных преобразо-

ваний строк, обратную к, приходим к матрице ˜ . При этом˜ -

ϕ B (B)

матрица, в которой первые s строк - этоa 1 , . . . , a s , а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространстваK n .

9.4. Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Пусть K V - линейное пространство,S 1 K V ,S 2 K V . Будем говорить, что системаS 2 элементовu 1 , . . . , u s линейно выражается через системуS 1 элементовv 1 , . . . , v r , если каждый элементu i S 2 , 1i s , является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r системыS 1 ,

u i= m ijv j, m ijK.

Если к тому же система S 3 элементовw 1 , . . . , w t линейно выражается через системуS 2 ,

т. е. система S 3 линейно выражается через системуS 1 .

Системы S 1 иS 2 называютсяэквивалентными , если они линейно выражаются друг через друга (обозначение:S 1 S 2 ).

Следствие 9.4.1. Отношение «быть эквивалентными системами», S1 S2 , является отношением эквивалентности.

Следствие 9.4.2. Если элемент vK V является линейной комбинацией элементов v1 , . . . , vr системы S1 , S1 S2 , где S2 - система элементов u1 , . . . , us , то элемент v является линейной комбинацией элементов u1 , . . . , us системы S2 .

Следствие 9.4.3. Любая(конечная) система элементов SK V эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.

Следствие 9.4.4. Любые две(конечные) максимально независимые подсистемы любой системы SK V эквивалентны.

Замечание 9.4.5. ЕслиA, B Mm,n (K ) и матрицаB получена из матрицыA конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыB является линейной комбинацией строк матрицыA (поскольку от матрицыB мы можем вернуться к матрицеA с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыA является линейной комбинацией строк матрицыB ). Таким образом, в линейном пространстве строкK n системы строкA 1 , . . . , A m матрицыA иB 1 , . . . , B m матрицыB линейно выражаются друг через друга.

Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть в линейном пространстве K V линейно независимая система элементов v1 , . . . , vr линейно выражается через другую систему элементов u1 , . . . , us . Тогда r s.

Доказательство. Допустим противное: пустьr > s . В силу нашего предположения

v1 = a11 u1 + . . .+ a1 s us ,

vr = ar 1 u1 + . . .+ ars us , aij K.

200 Глава 9. Линейные пространства

Так как r > s , тоr строк

(a11 , . . . , a1 s ) ,

(ar 1 , . . . , ars )

в линейном пространстве строк K s линейно зависимы: найдётся их линейная комбинация с коэффициентамиk 1 , . . . , k r , гдеk i = 0 для некоторогоi , равная нулевой строке (0, . . . , 0)K s . Но тогда и линейная комбинация элементовv 1 , . . . , v r с этими же коэффициентами

k 1 , . . . , k r , равна нулю,k 1 v 1 +. . . +k r v r = 0. Таким образом, система элементовv 1 , . . . , v r линейно зависима, что приводит нас к противо-

Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространствеK V содержат равное число элементов.

Следствие 9.4.8. Для системы SK V , гдеK V - конечномерное линейное пространство, любые две(конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементовr(S) , называемоерангом системы S.

Следствие 9.4.9. Если S= K V иK V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса вK V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространстваK V , обозначение: dim K V= n.

Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк K K n является система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1) ,

и поэтому dim K K n =n .

Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространствеK V одна система элементов S1 линейно выражается через другую систему S2 , тоr(S1 ) r(S2 ) .

Следствие 9.4.11. Если в линейном пространствеK V система M из m элементов имеет ранг r, то любая её подсистема S из s элементов(s m) имеет ранг не меньше чем r+ s − m.

Доказательство. Действительно, еслиR - максимальная линейно независимая подсистема вM ,|R| =r , тоR \ (R ∩S )M \S , и поэтому|R \ (R ∩ S )| m − s . Следовательно,|R ∩ S| r − (m − s ) =

R+ s − m.

Следствие 9.4.12. Для системы строк v1 , . . . , vr Kn следующие условия эквивалентны:

1) система строк v 1 , . . . , vr является базисом линейного пространства строк Kn (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в Kn ; и тогда r= n);

2) каждая строка v K n единственным образом представляется в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λ1 , . . . , λr K

(и тогда r= n);

3) r = n и система строк v1 , . . . , vn линейно независима;

4) r = n и каждая строка v Kn представима в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λn vn , λ1 , . . . , λn K.

Доказательство. Мы уже показали, что 1) = 2). Покажем, что 2) = 1). Еслиv 1 , . . . , v r - линейно зависимая система строк,λ 1 v 1 +. . . +λ r v r = 0 с некоторымλ i = 0, то нулевая строка имеет два различных представления

0 = 0 · v1 + . . .+ 0 · vr = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λi = 0 .

При этом r =n , так как любые базисы вK n содержатn элементов. Ясно, что 1) = 3). Покажем, что 3) = 1). Для любой строкиv K n система строкv 1 , . . . , v n , v линейно зависима (n + 1> n ). Так

202 Глава 9. Линейные пространства

как v 1 , . . . , v n - линейно независимая система, тоv =λ 1 v 1 +. . . +λ n v n для некоторыхλ 1 , . . . , λ n K .

Ясно, что 1) = 4). Покажем, что 4) = 1). Допустим, что v 1 , . . . , v n - линейно зависимая система. Тогда её максимально линейно независимая подсистемаv i 1 , . . . , v ir ,r < n , является максимальной линейно независимой подсистемой вK n , что противоречит

r = n.

9.5. Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Теорема 9.5.1. Пусть A, B, CM m,n (K) , B и C - ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

1) системы строк {B 1 , . . . , Bm } матрицы B и {C1 , . . . , Cm } матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга(другими словами, линейные оболоч-

ки строк матриц A, B и C в Kn совпадают: A1 , . . . , Am = = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm , см. с.107);

2) числа r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают(при этом r= r1 = r2 = = dim K A1 , . . . , Am ; другие интерпретации числа r= r(A) будут даны в теореме9.16.1 о ранге матрицы);

3) лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах ;

4) если B и C - главные ступенчатые виды ненулевой матрицы

A M m,n (K) , то B= C.

Доказательство.

1) В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк K n

системы строк {A1 , . . . , Am }матрицы Aи {B1 , . . . , Bm }матрицы Bлинейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк

{A1 , . . . , Am }матрицы Aи {C1 , . . . , Cm }матрицы Cтакже линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитив-

ность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), по-

лучаем, что системы строк {B 1 , . . . , B m } матрицыB и{C 1 , . . . , C m } матрицыC линейно выражаются друг через друга. Следовательно,

A1 , . . . , Am = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm .

2) Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r 1 =r 2 (см. следствие 9.4.10), при этом

r = r1 = r2 = dim B1 , . . . , Bm =

Dim C1 , . . . , Cm = dim A1 , . . . , Am .

3) Пусть лидеры r ненулевых строкB 1 , B 2 , . . . , B r ступенчатой матрицыB расположены в столбцах с номерамиk 1 , k 2 , . . . , k r ,

k1 < k2 < . . . < kr , а лидеры rненулевых строк C1 , C2 , . . . , Cr ступенчатой матрицы Cрасположены в столбцах с номерами l1 , l2 , . . . , lr ,

l1 < l2 < . . . < lr . Так как системы строк {B1 , B2 , . . . , Br }, {C1 , C2 , . . . , Cr }линейно выражаются друг через друга, то, в си-

{B 2 , . . . , B r } и{C 2 , . . . , C r } , которые линейно выражаются друг через друга, получаем, чтоk 2 =l 2 .

Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что k 3 =l 3 , . . . ,

k r= l r.

4) В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера

столбцов l 1 , . . . , l r , 1l 1 < l 2 < . . . < l r n , в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видовB иC , определе-

ны однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B иC , совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицамиB иC ), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9), тоB =C .

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для A M m,n (K )

существуют такие обратимые матрицы F, G Mm (K ) (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

A = F · B= G · C.

Следовательно,

Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B иC , имеем:

где Q Mn (K ) (матрицаQ - обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числаr и столбцыj 1 , . . . , j r , в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матрицB иC , соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (еслиk =r =m )). Следовательно, матрицаD имеет следующий блочный вид:

где матрица ˜ Mm,m−r (K ) (еслиr < m ) состоит из произвольных элементов поляK . Поэтому, умножаяD на

и приравнивая к

получаем, что = Mm−r,n−r (K ). Умножая (9.1) справа наQ − 1 , получаемB =C .

9.6. Изоморфизм линейных пространств

Пусть K U ,K V - линейные пространства над полемK . Биективное отображение

f : K U →K V,

для которого

f (u 1 +u 2 ) =f (u 1 ) +f (u 2 ),

f ( ku) = kf( u)

для всех u 1 , u 2 , u K U ,k K , называетсяизоморфизмом линейных пространствK U иK V (в этом случае будем говорить, что линейные

пространства K U иK V изоморфны , обозначение:K U K V ).

Упражнение 9.6.1. ОтношениеU V является отношением

K = K

{f ( e1 ) , . . . , f( en ) } - базис вK V , и поэтомуdim K V= n= dim K U .

Доказательство.

1) Если v K V , тоf (u ) =v для некоторогоu K U . Пустьu =k 1 e 1 +. . . +k n e n , гдеk 1 , . . . , k n K . Тогда

v = f( u) = k1 f( e1 ) + . . .+ kn f( en ) .

2) Пусть k 1 f (e 1 ) +. . . +k n f (e n ) = 0 дляk 1 , . . . , k n K . Тогда

0 = k1 f( e1 ) + . . .+ kn f( en ) = f( k1 e1 + . . .+ kn en ) ,

и поэтому

k1 e1 + . . .+ kn en = 0 ,

следовательно, k 1 =k 2 =. . . =k n = 0.

Итак, в силу 1) и 2), {f (e 1 ), . . . , f (e n )} - базис линейного пространстваK V .

Лекции

по алгебре

ФПМ, 1 курс

Осенний семестр 2011/2012 учебного года

Группа ЗИ-11

Лектор – доцент, к. ф.-м. н.

Вопросы к экзамену

I часть. Вопросы по матрицам и определителям

1. Определить сумму матриц и произведение матрицы на число. Вывести свойства этих операций. Записать матрицув виде линейной комбинации базисных матриц.

2. Определить произведение двух квадратных матриц. Вывести свойства произведе­ния. Найти все матрицы, перестановочные с A =. Определить произведение прямо-уголь­ных матриц (когда это возможно).

3. Дать определение элементарных преобразований над строками матрицы и элемен­тарных матриц. Записать элементарные матрицы второго порядка.

4. Сформулировать теорему об умножении матрицы на элементарные. Привести пример для матриц третьего порядка.

5. Дать определение ступенчатой матрицы, матрицы главного ступенчатого вида. Привести пример. Сформулировать теорему Гаусса.

6. Дать определение определителя матрицы порядка n . Сформулировать его свойства.

7. Сформулировать теоремы об антисимметрии и о линейности определителя, вы­вести следствия.

8. Показать, как меняется определитель матрицы при элементарных преобразованиях над строками матрицы.

9. Доказать теорему об определителе треугольной матрицы.

10. Изложить метод Гаусса вычисления определителя матрицы приведением к тре­угольному виду. Привести пример.

11. Дать определение невырожденной матрицы. Показать, каков главный ступенчатый вид невырожденной матрицы. Доказать, что она раскладывается в произведение элементар­ных матриц.

12. Дать определение вырожденной матрицы. Показать, каков главный ступенчатый вид вырожденной матрицы. Доказать, что она раскладывается в произведение элементарных матриц и ступенчатой матрицы с последней нулевой строкой.

13. Дать определение алгебраического дополнения элемента матрицы. Записать раз­ложение определителя по i -й строке и j -му столбцу.

14. Доказать теорему о разложении определителя по элементам строки.

15. Доказать, что сумма произведений элементов строки на алгебраические дополне­ния элементов другой строки равна нулю. Верно ли это для столбцов?

16. Доказать теорему об определителе произведения двух матриц.

17. Дать определение матрицы, обратной к данной. Доказать её единственность. Вы­вести необходимое условие обратимости матрицы.

18. Доказать, что элементарные матрицы обратимы, и найти к ним обратные.

19. Изложить и обосновать метод Гаусса нахождения обратной матрицы. Привести примеры.

20. Вывести формулу для нахождения обратной матрицы. Достаточное условие суще­ствования обратной матрицы.

II часть. Вопросы по системам линейных уравнений

21. Дать определение системы линейных уравнений, совместной и несовместной сис­темы. Привести примеры.

22. Дать определение матрицы системы, расширенной матрицы. Записать в матрич­ном виде систему:

23. Дать определение решения системы, множества, определённой и неопределён­ной системы. Привести примеры.

24. Дать определение равносильных систем. Показать, что при элементарных преоб­разованиях над строками расширенной матрицы система переходит в равносильную.

25. Изложить метод решения систем главного ступенчатого вида. В каком случае та­кая система несовместна?

26. Изложить метод Гаусса решения систем линейных уравнений на примере

27. Дать определение однородной и неоднородной систем. Показать, что однородная система всегда совместна.

28. Доказать, что однородная система m уравнений с n неизвестными при m < n имеет нетривиальное решение. (Сколько таких решений?)

29. Дать определение линейного пространства R n , линейно зависимой и линейно неза­висимой системы векторов. Привести примеры таких систем в R n .

30. Доказать, что k векторов в пространстве R n линейно зависимы при k > n . Показать, что в пространстве R n существует система из n линейно независимых векторов. (Единст­венна ли такая система?)

31. Дать определение линейного подпространства. Привести примеры. Дать опреде­ление линейной оболочки векторов. Доказать, что она является линейным подпространст­вом. Почему этот пример является универсальным?

32. Доказать, что множество решений однородной системы является линейным под­пространством.

33. Дать два определения базиса множества M и показать их равносильность.

34. Дать определение размерности множества. Объяснить, как найти размерность ли­нейной оболочки векторов.

35. Вывести формулу размерности подпространства решенийдля однородной сис­темы линейных уравнений.

36. Дать определение ранга матрицы. Найти по определению ранг матриц

37. Изложить и обосновать метод нахождения ранга матрицы.

38. Изложить метод нахождения базиса конечной системы векторов.

39. Теорема Кронекера – Капелли.

40. Дать определение фундаментальной системы решений. Записать формулу общего решения однородной и неоднородной систем.

III часть. Вопросы по евклидовым пространствам

41. Дать определение евклидова пространства. Привести примеры.

42. Дать определение матрицы Грама системы векторов G (a 1, …, a k ). Найти матрицу Грама ортонормированного базиса.

43. Дать определение длины вектора, угла между векторами. Доказать неравенство Коши – Буняковского.

44. Дать определение скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения через матрицу Грама.

45. Дать определение ортогонального и ортонормированного базиса. Описать процесс ортогонализации.

46. Дать определение ортогонального дополнения L ^ к линейному подпространству L . Доказать, что L ^ является линейным подпространством.

47. Дать определение прямой суммы подпространств. Доказать, что E = L Å L ^.

48. Доказать неравенство треугольника и теорему Пифагора.

49. Дать определение вектора, ортогонального подпространству. Доказать, что вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда он ортогонален базису этого под­пространства.

50. Дать определение проекции вектора на подпространство. Доказать её существова­ние и единственность.

51. Дать определение проекции вектора на подпространство. Вывести основные свой­ства проекции вектора на подпространство (линейность, минимальность).

52. Изложить метод нахождения проекции вектора на подпространство, используя ор­тонормированный базис.

53. Дать определение ортогональной составляющей вектора при проектировании на подпространство. Доказать её существование и единственность.

54. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи, метод решения.

55. Дать определение решения системы по методу наименьших квадратов. Доказать его существование.

56. Изложить метод нахождения проекции вектора на подпространство, используя матрицу Грама.

57. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи. Всегда ли существует реше­ние? Единственно ли оно?

58. Доказать, что ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

• Определители и их свойства.
• Вычисление определителей.
• В данной лекции рассматриваются основные положения...

Подробнее о программе

• Определители и их свойства. В данной лекции рассматривается понятие определителя матрицы и связанные с этим понятием определения. Вводится понятие линейной комбинации строк и транспонированной матрицы. Приведены примеры решения задач, а также упражнения для самостоятельного решения
• Вычисление определителей. В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения
• Линейные преобразования линейных пространств столбцов. Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения
• Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn. В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения
• Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица. В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
• Свойства линейного пространства. В данной лекции рассматриваются линейные пространства. Рассмотрены основные свойства линейных пространств, основные зависимости и возможные действия в них. Приведено также очень важное понятие базиса, доказаны основные теоремы и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Единственность главного ступенчатого вида матрицы. В данной лекции речь идет о единственности главного ступенчатого вида матрицы. Приведены примеры ступенчатых матриц, рассмотрено понятие изоморфизма линейных пространств, доказана обратимость матрицы перехода. Также приведены доказательства основных теорем и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Линейные подпространства линейных пространств. В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения
• Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы. В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Собственные числа и собственные векторы матрицы. В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Экзамен

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.

Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных матриц с нулевыми элементами.

Пример. Приведем к ступенчатому виду следующую матрицу: .

На первом шаге выполним следующие элементарные преобразования над матрицей : к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и результат запишем во вторую строку; из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, а результат запишем в третью строку. В итоге матрица преобразуется к виду . На последнем шаге из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, и запишем в третью строку, в результате чего получим ступенчатую матрицу:

.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейное пространство
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Множество всех полиномов степени не выше
Элементами множества являются полиномы вида

Теорема (о существовании и единственности разности элементов)
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор)
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

Определители матриц и их свойства
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу)
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство
Напишем формулу разложения определителя по первой строке. Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц)
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей. Теоре

Системы линейных уравнений
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы)
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле, тогда и только тогда, ког

Доказательство
Докажем, что условие, является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Доказательство
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица

Базис множества векторов и всего линейного пространства
Система векторов называется ба

Теорема (о единственности разложения по данному базису)
Разложение любого вектора по базису

Теорема (о линейных свойствах координат векторов)
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы)
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах)
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений)
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

Векторная алгебра
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Теорема (неравенство Коши – Буняковского)
Для любых двух векторов и е

Доказательство
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса)
Во всяком -мерном евкли

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса)
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и

Теорема (условие равенства векторного произведения нулевому вектору)
Векторное произведение двух геометрических векторов и

Теорема (о модуле векторного произведения)
Модуль векторного произведения двух векторов и

Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор

Линейные геометрические объекты
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а