Графік функції за допомогою похідної онлайн. Дослідженні функції онлайн

Для повного дослідженняфункції та побудови її графіка рекомендується використовувати таку схему:

1) визначити область визначення функції;

2) знайти точки розриву функції та вертикальні асимптоти (якщо вони існують);

3) дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні та похилі асимптоти;

4) дослідити функцію на парність (непарність) та на періодичність (для тригонометричних функцій);

5) знайти екстремуми та інтервали монотонності функції;

6) визначити інтервали опуклості та точки перегину;

7) знайти точки перетину з осями координат, якщо можливо, і деякі додаткові точки, що уточнюють графік.

Дослідження функції проводиться одночасно із побудовою її графіка.

Приклад 9Дослідити функцію та побудувати графік.

1. Область визначення: ;

2. Функція терпить розрив у точках
,
;

Досліджуємо функцію наявність вертикальних асимптот.

;
,
─ вертикальна асимптота.

3. Досліджуємо функцію на наявність похилих та горизонтальних асимптот.

Пряма
─ похила асимптота, якщо
,
.

,
.

Пряма
─ горизонтальна асимптота.

4. Функція є парною т.к.
. парність функції свідчить про симетричність графіка щодо осі ординат.

5. Знайдемо інтервали монотонності та екстремуми функції.

Знайдемо критичні точки, тобто. точки в яких похідна дорівнює 0 або немає:
;
. Маємо три крапки
;

. Ці точки розбивають усю дійсну вісь на чотири проміжки. Визначимо знаки кожному з них.

На інтервалах (-∞; -1) та (-1; 0) функція зростає, на інтервалах (0; 1) та (1 ; +∞) ─ зменшується. При переході через точку
похідна змінює знак з плюсу на мінус, отже, у цій точці функція має максимум
.

6. Знайдемо інтервали опуклості, точки перегину.

Знайдемо точки, в яких дорівнює 0, чи немає.

не має дійсних коренів.
,
,

Крапки
і
розбивають дійсну вісь на три інтервали. Визначимо знак на кожному проміжку.

Таким чином, крива на інтервалах
і
опукла вниз, на інтервалі (-1; 1) опукла вгору; точок перегину немає, тому що функція в точках
і
не визначена.

7. Знайдемо точки перетину з осями.

З віссю
графік функції перетинається у точці (0; -1), і з віссю
графік не перетинається, т.к. чисельник цієї функції немає дійсних коренів.

Графік заданої функції зображено малюнку 1.

Малюнок 1 ─ Графік функції

Застосування поняття похідної економіки. Еластичність функції

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних завданьНайчастіше використовується поняття еластичності функції.

Визначення.Еластичність функції
називається межа відношення відносного збільшення функції до відносного збільшення змінної при
, . (VII)

Еластичність функції показує приблизно, на скільки відсотків зміниться функція
при зміні незалежної змінної на 1%.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та споживання. Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною)
, то попит вважають еластичним, якщо
─ нейтральним, якщо
─ нееластичним щодо ціни (або доходу).

Приклад 10Розрахувати еластичність функції
і знайти значення показника еластичності для = 3.

Рішення: за формулою (VII) еластичність функції:

Нехай х = 3, тоді
.Це означає, що й незалежна змінна зросте на 1%, то значення залежної змінної збільшиться на 1,42 %.

Приклад 11Нехай функція попиту щодо ціни має вигляд
, де ─ постійний коефіцієнт. Знайти значення показника еластичності функції попиту за ціни х = 3 грош. од.

Рішення: розрахуємо еластичність функції попиту за формулою (VII)

Вважаючи
ден.од., отримаємо
. Це означає, що за ціною
ден. підвищення ціни на 1% викликає зниження попиту 6%, тобто. попит еластичний.