Неоднорідні лінійні системи рівнянь із постійними коефіцієнтами. Як розв'язати систему диференціальних рівнянь? Системи звичайних диференціальних рівнянь

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння n-ого порядку з постійними коефіцієнтами. Загальне рішення, приватне рішення для правої частини виду eat * (f (t) * cos (bt) + g (t) * sin (bt)), де f (t), g (t) - багаточлени

Вирішити рівняння

Шукаємо загальне рішення відповідного вихідного однорідного рівняння.

Характеристичне рівняння має вигляд:

Його рішення:

є пара простих комплексно-сполучених коренів. Тоді загальне рішення однорідного рівняння:

Приватне рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:

Для знаходження невідомих функцій вирішуємо систему:

У нашому випадку система набуває вигляду:

Вирішуємо цю систему:

Знаходимо невідомі функції:

Тоді окреме рішення неоднорідного рівняння має вигляд:

Загальне рішення неоднорідного рівняння:

Системи звичайних диференціальних рівнянь. Автономна системазвичайних диференціальних рівнянь. Положення рівноваги, точки спокою

Якщо стан динамічного процесу описується більш ніж одним числом, то в цьому випадку фазовий простір стає багатовимірним, а динамічний процесописується системою звичайних диференціальних рівнянь.

Нехай -точка фазового n-мірного простору. Тоді, для великої кількості динамічних системПравильно, що швидкість зміни стану залежить від стану та часу t. Звідси отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку.

де - Вектор швидкості зміни стану;

Деякі функції стану та часу t.

Перша частина системи диференціальних рівнянь визначає швидкість зміни стану.

Система рівнянь (1) може бути записана в матричному вигляді. Нехай x - вектор-стовпець невідомих і f(x,t) - вектор-стовпець функція.

Тоді система (1) записується у вигляді:

Введемо поняття розв'язання систем диференційованих рівнянь (1) або (2)

Безліч з n функцій називається рішенням диференціального рівняння (1), якщо при підстановці в диференціальне рівняння воно перетворюється на тотожність.

Загальним рішенням системи (1) називається таке рішення, яке охоплює все можливі рішенняСистеми (1).

Загальне рішення системи (1) залежатиме від n похідних постійних

За деяких умов аналогічних умов рівняння першого порядку може бути сформульована теорема існування та єдиності рішення.

Якщо система знаходиться в стані

то існує єдине рішення

що проходить момент через точку тобто.

Визначення.

Система диференціальних рівнянь (1) чи (2) називається автономної, якщо праві частини системи залежать від часу t тобто. швидкість зміни стану визначається лише станом x.

У матричному вигляді система має вигляд

де f(x) - n-вимірна вектор-функція стану x.

У розгорнутому вигляді автономна система має вигляд:

Прирівняємо перші частини системи (8) до нуля. Знайдемо значення змінних, що задовольняють системі з рівнянь:

Система (9) із n рівнянь для n невідомих може мати одне або кілька рішень або не мати рішень (бути нерозв'язною).

Нехай існує рішення системи і нехай одне з цих рішень. Це набір з n чисел для яких вірно (9). З механічної точкизору це, що у цій точці швидкість зміни стану дорівнює нулю, тобто. якщо система знаходиться в цій точці, то вона перебуватиме в цій точці вічно.

З іншого боку, якщо підставити систему диференціальне рівняння (8) (10), то вийде тотожність. Це означає, що (10) є розв'язком системи диференціальних рівнянь (8).

Тоді називаються положенням рівноваги або точкою спокою системи диференціальних рівнянь (8).

Системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь 1-го порядку з постійними коефіцієнтами відрізняються від однорідних рівнянь присутністю у правій частині хоча б одного рівняння функції незалежної змінної . Як і у разі однорідних рівнянь, застосування до неоднорідних рівнянь загальної теореми про існування та єдиність рішень не становить великої праці.

§ 1. Загальні відомості.

Нехай маємо систему лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь 1-го порядку, що містить рівнянь:

(1)

де коефіцієнти – дійсні постійні числа; функції
,
,…,
, задані та хоча б одна їх не дорівнює нулю; функції
,
,…,
– шукані функції змінної .

Якщо всі функції
,
,…,
– складаються із сум та творів функцій:


-багаточлен ступеня
;


- Число - дійсне число; (2)


,
- Число - дійсне число.

то пошук приватного рішення проводиться, як і у разі одного рівняння - го порядку з постійними коефіцієнтами, методом невизначених коефіцієнтів , але з деякими змінами. Якщо праві частини рівнянь системи довільні функції
,
,…,
, то застосовують метод варіації довільних постійних .

1.1. Теорема про існування та єдиність розв'язання системи рівнянь.

У розділі 11 представлена загальна теоремапро існування та єдиність рішення для системи, що має нормальну форму запису. Неважко помітити, що для системи однорідних лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами (1) вимоги теореми виконуються!

1.2. Запис загального розв'язання системи лінійних неоднорідних рівнянь.

Якщо відомо загальне рішення однорідної системирівнянь, що відповідає системі (1) і деяке окреме рішення неоднорідної системи (1), то загальне рішення неоднорідної системи записують у вигляді:

==+=+=∙+∙+...+∙+, (3)

де зазначено: − загальне рішення заданої системи рівнянь (1); − загальне рішення відповідної однорідної системи та − приватне розв'язання заданої системи рівнянь (1), відповідно. Вираз =+нагадує теорему про форму запису загального рішення лінійного неоднорідного рівняння - го порядку із постійними коефіцієнтами. Її доказ так само простий.

§ 2. Вирішення системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі спеціальною правою частиною.

Для моделювання загального алгоритму розв'язання системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами розглянемо систему, що містить лише три рівняння для функцій x,y,z:

(4)

де функції
,
,
– безперервні функціїзмінної , задані відповідно до правила (4) та хоча б одна їх не дорівнює нулю. Функції
,
,
- Шукані рішення.

Загальний алгоритм розв'язання неоднорідного рівняння:

1 * . Записуємо відповідну неоднорідну систему рівнянь (4) однорідну систему (без функцій
,
,
):
(5)

і знаходимо її рішення (відповідно до поданих у Главі 12 методів).

2 * . Знаходимо окреме рішення системи (4) однорідну систему, враховуючи конкретний набір функцій
,
,
.

3 * . Записуємо загальне рішення системи (4) у вигляді: = +. (6)

4 * . Знаходимо рішення системи (4), що задовольняє заданим початковим умовам.

Записаний алгоритм містить величини: ,,, обчислення яких залежить від набору функций:
,
,
, та від особливостей заданої системи (4). Не записуватимемо загальних формул, які охопили б найзагальніший набір функцій
,
,
і виражень для обчислення функцій: ,,. Правила вирішення системи (4) цілком зрозумілі з розгляду конкретних прикладів!

Приклад 13–01

Рішення:

1). Знайдемо характеристичне коріння відповідної однорідної системи (тобто без функції
= ):
=
= 0, звідки отримуємо: = – 3;= 2. =+, (1.1)

де =∙
=
∙
,=∙
=
∙
, (2.1)

2). Для визначення векторів
,
складемо систему рівнянь:

(3.1)

Для характеристичного кореня
=– 3 система (3.1) має рішення:
=. Для кореня
= 2 система (3.1) має рішення:
=.

Зауваження: Рішення системи (3.1) проводиться за відомими правилами з курсу Лінійна алгебра.

3). З урахуванням отриманих векторів
,
запишемо загальне рішення однорідної системи диференціальних рівнянь: =∙∙
+∙∙
. (4.1)

4). Оскільки функція:
= – багаточлен 1-го ступеня та утворююче число =
не збігається з характеристичними корінням: і =
, її похідні: =(5.1)

Підставляючи вирази (5.1) в задану системурівнянь, отримуємо систему тотожностей:

(6.1)

Прирівнюючи коефіцієнти при t 0 та t 1 отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

при :
при :
, (7.1)

звідки: a=– ,b=– ,c=– , d=– .

5). Запишемо загальне рішення заданої неоднорідної системи:

=+=∙∙
+∙∙
+
. (8.1)

Відповідь: загальне рішення системи: =∙∙
+∙∙
+
.

Приклад 13–02 : Розв'язати систему нелінійних рівнянь:

Рішення:

1). Знайдемо характеристичне коріння відповідної однорідної системи (тобто без функції
= ). Запишемо характеристичне рівняння:
=
=0, звідки отримуємо: =
, =
. У цьому випадку загальне рішення однорідної системи шукатимемо у вигляді: =+, (1.2)

де =∙
=
∙
, =∙
=
∙
. (2.2)

2). Для визначення векторів
,
складемо систему рівнянь:

(3.2)

3). Для кореня
система (3.2) має рішення:
=. Тоді можна записати:

=∙e (1– i) t =
=
. (4.2)

4). Для кореня
система (3.2) має рішення:
=. Аналогічно отримуємо:

=∙e (1+ i) t =
=
. (5.2)

тобто рішення і (згідно з виразами (4.2) і (5.2)) комплексно-сполучені.

=,=(6.2)

6). З урахуванням виразів (6.2) запишемо загальне рішення однорідної системи диференціальних рівнянь: =
∙+
∙. (7.2)

7). Оскільки функція:
= - має спеціальний вигляд, її утворює число
не збігається з характеристичними корінням і , то приватне рішення заданої системи шукатимемо у вигляді: =, її похідні: =. (8.2)

8). Підставляючи (8.2) у задану систему, отримуємо систему тотожностей:

звідки слідує: =–1, =0. (9.2)

=+=
∙+∙
∙+∙=
∙. (10.2)

Відповідь:Загальне рішення: =
∙.

Приклад 13–03 : Розв'язати систему нелінійних рівнянь:

Рішення:

При вирішенні цього Прикладу скористаємося теоремою про суперпозицію застосування функцій правої частини та запишемо дві системи, еквівалентні даній, тобто дозволяють отримати загальне рішення вихідної системи:

утворююче число: =
, (1a)

утворююче число: =
, (1b)

1). Знайдемо характеристичне коріння відповідної однорідної системи рівнянь (тобто без функції
і
):
=0, звідки отримуємо: ==2 – корінь кратності =2. У цьому випадку загальне рішення однорідної системи шукатимемо у вигляді:

, та похідні:
(2.3)

2). Підставляємо (2.3) в однорідну систему рівнянь для заданої системи та отримуємо тотожності:
(3.3)

3). Прирівнюючи в (3) коефіцієнти при t 0 і t 1 , Отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

при :
при :
, (4.3)

звідки: =, =–,==.

Зауваження : рішення системи (4.3) проводиться за відомими правилами з курсу Лінійна алгебра.

4). Отже, загальне рішення однорідної системи рівнянь отримано:

(5.3)

5). Приватне вирішення заданої системи рівнянь, враховуючи системи (1 a) та (1b), запишемо у вигляді:
, (6.3)

6). Знайдемо окреме рішення неоднорідної системи рівнянь (1 a), враховуючи збіг числа =
з кратним характерним коренем:

, (7.3)

7). Підставимо в (1 a) вираз (7) та його похідну: отримаємо систему тотожностей:

З тотожності знайдемо невизначені коефіцієнти, прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів :

при :
при :
(8.3)

при :
при :

звідки отримуємо:
,
==,==
. Враховуючи вираз (7), отримаємо приватне рішення для системи (1) a):
. (9.3)

8). Знайдемо окреме рішення неоднорідної системи рівнянь (1 b), враховуючи, що число =
не збігається з характерним коренем:
. (10.3)

9). Підставимо в (1 b) вираз (10.3) та його похідну: отримаємо систему тотожностей:

звідки: a=–3, b=–2. (11.3)

10). Враховуючи вираз (10.3), отримаємо приватне рішення для системи (1 b):

. (12.3)

11). Враховуючи (9.3) та (12.3), приватне рішення заданої системи рівнянь набуває вигляду:

, (13.3)

12). Запишемо загальне рішення заданої неоднорідної системи:

. (14.3)

Зауваження : вираз (14) отримано з «поглинанням» числа mконстантою .

Відповідь:Загальне рішення: =
∙
.

Приклад 13–04 : Розв'язати систему нелінійних рівнянь:

Рішення:

1). Знайдемо характеристичне коріння відповідної однорідної системи рівнянь (тобто без функцій
=
і
=
):
=
=0, звідки отримуємо: = – i; =i. У цьому випадку загальне рішення однорідної системи шукатимемо у вигляді:

де =∙
=
∙
, =∙=
∙. (2.4)

2). Для визначення векторів
,
складемо систему рівнянь:

(3.4)

3). Для
= – iсистема (3.4) має рішення:
=. Тоді можна записати:

=∙
=
=
. (4.4)

4). Для
=iсистема (3.4) має рішення:
=. Аналогічно отримуємо:

=∙=
=
, (5.4)

тобто рішення і (згідно з виразами (4.4) і (5.4)) комплексно-сполучені.

5). Як приватні рішення системи рівнянь беремо окремо уявну і дійсну частини. Отримуємо: =,=. (6.4)

6). З урахуванням виразів (6.4) запишемо загальне рішення однорідної системи диференціальних рівнянь: =
+
. (7.4)

7). Оскільки функція:
=
і
=
– мають спеціальний вигляд та загальне утворююче число
, причому збігається з характеристичними корінням і , то приватне рішення заданої системи шукатимемо у вигляді:

=
. (8.4)

8). Підставляючи (8.4) у задану систему, отримуємо систему тотожностей:

Прирівнюючи коефіцієнти при подібних членах тотожностей (9.4), отримаємо систему рівнянь алгебри, рішенням якої є: = –1,
= 0,
= 1. Тоді вираз (8.4) можна записати у вигляді: =
(10.4)

9). Запишемо загальне рішення заданої неоднорідної системи:

=+=. (11.4)

Відповідь:Загальне рішення: =.

Загальне рішення неоднорідної системи є сумою загального рішенняоднорідної системи та деякого приватного вирішення неоднорідної системи.

Для знаходження загального рішення неоднорідної системи можна застосувати метод Лагранжа варіації довільних постійних.

Розглянемо лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь виду

яка в векторної формизаписується у вигляді

Матриця Φ , стовпцями якої є n лінійно незалежних рішень Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однорідної лінійної системи Y" = A(x)Y називається фундаментальною матрицею рішень системи:

Фундаментальна матриця рішень однорідної лінійної системи Y" = A(x)Y задовольняє матричного рівнянняΦ" = A(x)Φ.

Нагадаємо, що визначник Вронського лінійно незалежних рішень Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) відмінний від нуля на .

Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь n-го порядку:

Лінійна система стійка за Ляпуновим при t ≥ t0, якщо кожне її рішення x = φ(t) стійке за Ляпуновим при t ≥ t0.

Лінійна система асимптотично стійка за Ляпуновим при t → ∞ , якщо кожне її рішення x = φ(t) стійке за Ляпуновим при t → ∞ .

Рішення лінійної системи або всі стійкі, або всі нестійкі. Справедливі такі твердження.

Теорема про стійкість розв'язків лінійної системи диференціальних рівнянь. Нехай у неоднорідній лінійній системі x" = A(t)x + b(t) матриця A(t) та вектор-функція b(t) безперервні на проміжку)