Метод гауса визначення. Метод гауса для чайників: вирішуємо слау легко

Продовжуємо розглядати системи лінійних рівнянь. Цей урок є третім на тему. Якщо ви невиразно уявляєте, що таке система лінійних рівнянь взагалі, почуваєтеся чайником, то рекомендую почати з азів на сторінці Далі корисно вивчити урок.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математикавсіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення. 2) Мати безліч рішень. 3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! на даному уроціми знову розглянемо метод Гаусса на випадок №1 (єдине рішення системи), під ситуації пунктів №№2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішою системіз уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи: . За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка : рекомендую запам'ятати терміни лінійної алгебри. Матриця системи - Це матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, в даному прикладі матриця системи: . Розширена матриця системи – це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна, можливо переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо у матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок– однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його також слідує видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця діядуже корисно, оскільки полегшує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного прикладу: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше: Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна! Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до східчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вигляд» не цілком теоретичний, у науковій та навчальної літературивін часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення: І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число: Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому куткуорганізовано. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:
А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:
Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь: Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як вже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так: (1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткоюймовірності можна стверджувати, що припущено помилку під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса. Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад: Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі: До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і потрібно виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші цифри? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу - там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 десять систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих складніший приклад для самостійного рішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему 4-х лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (неспільна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці. Несумісні системи та системи із загальним рішенням. Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.
Виконані елементарні перетворення: (1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага! Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо! (2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу , Що на «сходинках» нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше. (3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5. (4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

Відповідь : .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці (3) До третього рядка додали другий, помножений на –1. (4) До другого рядка додали третій, помножений на –3. Потрібна річ на другій сходинці отримана . (5) До третього рядка додали другий, помножений на 6. (6) Другий рядок помножили на -1, третій рядок поділили на -83.

Зворотній хід:

Відповідь :

Приклад 5: Рішення : Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) Перший і другий рядки поміняли місцями. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додали перший рядок, помножений на -3. (3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1. (4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка. (5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотній хід:

Відповідь :

Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп'ютерна технікабез цих знань просто не було б. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь та функцій були створені різні концепції, теореми та методики вирішення. Одним з таких універсальних та раціональних способівта методик розв'язання лінійних рівнянь та їх систем став і метод Гауса. Матриці, їхній ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.

Що являє собою СЛАУ

В математиці існує поняття СЛАУ – система лінійних алгебраїчних рівнянь. Що ж вона є? Це набір m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, які зазвичай позначаються як x, y, z, або x 1 , x 2 … x n, або іншими символами. Вирішити методом Гауса цю систему- означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакове числоневідомих та рівнянь, тоді вона називається системою n-го порядку.

Найбільш популярні методи вирішення СЛАУ

У навчальних закладахсередньої освіти вивчають різноманітні методики вирішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються з двох невідомих, тому будь-який існуючий методдля пошуку відповіді на них не триватиме багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше та підставляється у початкове. Або метод почленного віднімання та додавання. Але найлегшим та універсальним вважається метод Гауса. Він дозволяє вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосібхороший тим, що тут не потрібно кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, достатньо зробити арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.

Де використовуються СЛАУ на практиці

Рішенням СЛАУ є точки перетину прямих графіків функцій. У наш високотехнологічний комп'ютерний вік людям, які тісно пов'язані з розробкою ігор та інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність результату. Найчастіше програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь Метод Гауса дозволяє вирахувати все існуючі рішення. Також використовуються й інші спрощені формули та методики.

Критерій сумісності СЛАУ

Таку систему можна вирішити лише у тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАУ як Ax=b. Вона має рішення, якщо rang(A) дорівнює rang(A,b). І тут (A,b) - це матриця розширеного виду, яку можна одержати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що розв'язати лінійні рівняння методом Гауса досить легко.

Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому треба розглянути все на прикладі. Допустимо, є система: x + y = 1; 2x-3y = 6. Вона складається з двох рівнянь, у яких 2 невідомі. Система матиме рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці дорівнюватиме рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А складатиметься з коефіцієнтів, що знаходяться біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що перебувають за знаком «=».

Чому СЛАУ можна уявити в матричному вигляді

Виходячи з критерію сумісності по доведеній теоремі Кронекера-Капеллі, систему лінійних рівнянь алгебри можна представити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гауса, можна вирішити матрицю та отримати єдину достовірну відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше кількостіневідомих, тоді система має безліч відповідей.

Перетворення матриць

Перш ніж переходити до рішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує кілька елементарних перетворень:

• Переписуючи систему в матричний вигляді здійснюючи її рішення, можна множити всі елементи ряду на той самий коефіцієнт.
• Для того щоб перетворити матрицю на канонічний вигляд, можна міняти місцями два паралельні ряди. Канонічний вигляд має на увазі, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
• Відповідні елементи паралельних рядівматриці можна додавати один до одного.

Метод Жордана-Гаусса

Суть вирішення систем лінійних однорідних та неоднорідних рівняньметодом Гауса у тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система із двох рівнянь, у яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гауса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого у матричний вигляд. Для вирішення системи потрібно виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді місце пропущеного елемента необхідно поставити «0». До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, розподіл на число, додавання відповідних елементів рядів один до одного та інші. Виходить, що у кожному ряду потрібно залишити одну змінну зі значенням «1», інші призвести до нульового вигляду. Для більш точного розуміння слід розглянути метод Гаусса на прикладах.

Простий приклад вирішення системи 2х2

Для початку візьмемо просту систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.

Перепишемо її у розширену матрицю.

Щоб вирішити цю систему лінійних рівнянь, потрібно зробити лише дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічному виглядущоб по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного виду назад у систему, ми отримаємо рівняння: 1x+0y=b1 і 0x+1y=b2, де b1 і b2 - відповіді, що вийшли в процесі рішення.

1. Перша дія при вирішенні розширеної матриці буде такою: перший ряд необхідно помножити на -7 і додати відповідно відповідні елементи до другого рядка, щоб позбавитися одного невідомого в другому рівнянні.
2. Оскільки рішення рівнянь методом Гауса передбачає приведення матриці до канонічного виду, тоді необхідно і з першим рівнянням зробити ті ж операції і прибрати другу змінну. Для цього другий рядок віднімаємо від першого та отримуємо необхідну відповідь – рішення СЛАУ. Або, як показано на малюнку, другий рядок множимо на коефіцієнт -1 і додаємо до першого рядка елементи другого ряду. Це одне і теж.

Як бачимо, нашу систему вирішено методом Жордана-Гаусса. Переписуємо її у необхідну форму: x=-5, y=7.

Приклад рішення СЛАУ 3х3

Припустимо, що у нас є складніша система лінійних рівнянь. Метод Гауса дає можливість вирахувати відповідь навіть для самої, здавалося б, заплутаної системи. Тому, щоб глибше вникнути в методику розрахунку, можна переходити до більш складним прикладоміз трьома невідомими.

Як і в колишньому прикладі, переписуємо систему у вигляді розширеної матриці і починаємо приводити її до канонічного вигляду.

Для вирішення цієї системи знадобиться зробити набагато більше дій, ніж у попередньому прикладі.

1. Спочатку потрібно створити в першому стовпці один одиничний елемент та інші нулі. Для цього множимо перше рівняння на -1 і додаємо до нього друге рівняння. Важливо запам'ятати, що перший рядок ми переписуємо у первісному вигляді, а другий - вже зміненому.
2. Далі прибираємо цю саму першу невідому з третього рівняння. Для цього елементи першого рядка множимо на -2 і додаємо їх до третього ряду. Тепер перший і другий рядки переписуються у первісному вигляді, а третій - вже із змінами. Як бачимо за результатом, ми отримали першу одиницю на початку головної діагоналі матриці та інші нулі. Ще кілька дій і система рівнянь методом Гауса буде достовірно вирішена.
3. Тепер необхідно виконати операції над іншими елементами рядів. Третя і четверта дія можна об'єднати в одну. Потрібно розділити другий і третій рядок на -1, щоб позбавитися від мінусових одиниць по діагоналі. Третій рядок ми вже привели до необхідного вигляду.
4. Далі наведемо до канонічного вигляду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другого рядка матриці. З результату видно, що другий рядок теж наведено до необхідної форми. Залишилося зробити ще кілька операцій та прибрати коефіцієнти невідомих із першого рядка.
5. Щоб з другого елемента рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок -3 і додати його до першого ряду.
6. Наступним вирішальним етапомбуде додаток до першого рядка необхідні елементидругого ряду. Так ми отримуємо канонічний вид матриці, а відповідно і відповідь.

Як видно, розв'язання рівнянь методом Гауса досить просте.

Приклад розв'язання системи рівнянь 4х4

Деякі складніші системи рівнянь можна вирішити методом Гауса за допомогою комп'ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні комірки коефіцієнти за невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, детально описуючи кожну дію.

Нижче описано покрокова інструкціярішення такого прикладу.

У першій дії в порожні комірки вписуються вільні коефіцієнти та числа при невідомих. Таким чином, виходить така сама розширена матриця, яку ми пишемо вручну.

І виконуються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь – це цілі числа. Іноді рішення може бути із дробових чисел.

Перевірка правильності рішення

Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього лише підставити результат у початкову систему рівнянь. Ліва сторонарівняння має відповідати правій стороні, яка перебуває за знаком "рівно". Якщо відповіді не збігаються, тоді необхідно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод рішення СЛАУ, такий як підстановка або почленное віднімання та додавання. Адже математика – це наука, яка має велика кількість різних методикрішення. Але пам'ятайте: результат повинен бути завжди той самий, незалежно від того, який метод рішення ви використовували.

Метод Гауса: найпоширеніші помилки при вирішенні СЛАУ

Під час вирішення лінійних системрівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильне перенесення коефіцієнтів у матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. У результаті під час вирішення цієї системи результат може відповідати дійсному.

Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт відповідатиме першому невідомому із системи, другий - другому і так далі.

Метод Гаусса докладно визначає рішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко зробити необхідні операції та знайти правильний результат. Крім того, це універсальний засібдля пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Можливо, тому його часто використовують при вирішенні СЛАУ.

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниціміж вихідним елементомта твором його «проекції» на перший стовпець та перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Таким чином, на першому етапі ми отримаємо трикутну систему(3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Призначення методу Гаусса

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Реалізація методу Гауса

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

1. Система лінійних рівнянь алгебри

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, яка полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

Добуток матриць А*Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системи називається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи перетворюється на правильну рівність.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У останньому випадкукожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх окремих рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, спільна вона чи несовместна. Якщо система спільна, знайти її загальне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, Еквівалентну вихідної, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему приводять до ступінчастої або трикутної форми, або встановлюють, що система несовместна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що вийшов після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношеннюпершого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, тим самим обнуляючи стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

У першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастому (зокрема, трикутному) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

Таким чином, на першому кроці знищуються всі коефіцієнти, що лежать під провідним першим елементом a 11

Якщо процесі приведення системи до ступінчастому виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

У цьому прямий хід методу Гаусса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати. фундаментальну системурішень, чи, якщо всі змінні є базисними, то висловити чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базова змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У даному розділіна трьох різних прикладахПокажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулили коефіцієнти при

Розділ 3. Чисельні методирозв'язання рівнянь

Види математичних моделей(Рівнянь) в теорії електричних ланцюгів

1. - системи лінійних рівнянь алгебри –

лінійні ланцюги постійного та синусоїдального змінного (комплексний метод) струму.

2 . - системи нелінійних алгебраїчних або

трансцендентних рівнянь – нелінійні ланцюги постійного чи синусоїдального струму.

3. . – системи нелінійних диференціальних

рівнянь першого порядку у звичайних похідних – перехідні в нелінійних ланцюгах.

Тут Fі ψ - Вектор-функції, тобто. еквівалентного запису:

f 1 (X, b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

f n (X, b n) = 0

а - запису:

ψ 1 (dX/dt,X,b 1 ,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b 2 ,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,b n ,t) = 0

Розглянемо найбільш ефективні методирозв'язання цих рівнянь.

Численні методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (ЛАУ)

Метод Гауса (виключення невідомих)

Методи вирішення ЛАУ мають важливе значення, оскільки вони застосовуються (ітераційно) на вирішення складніших рівнянь.

Нехай система ЛАУ задана у вигляді:

,

де - квадратна матриця n- го порядку з ненульовими діагональними елементами; - Вектор невідомих; - Вектор правих частин.

Алгоритм методу Гауса складається з прямогоі зворотногоходу. Під час прямого ходу здійснюється послідовний винятокневідомих. Система набуває вигляду:

Перерахунок коефіцієнтів провадиться за формулою:

, де i, j = k+1, …nза винятком k-го невідомого.

При цьому стовпець правих частин зручно розглядати як n + 1стовпець матриці коефіцієнтів, тобто. j = k+1, …n+1.

Зворотний хід полягає у визначенні невідомих, починаючи з останнього рівняння, де залишилася одна невідома x n. Отримане значення x nпідставляється в попереднє рівняння та визначається x n -1і т.д.

Для довільного x kвиходить така формула:

де k = n, n -1, ... 1.

Трудомісткість методу Гаусса оцінюється кількістю арифметичних операцій, що виконуються:

.

Кубічна залежність від розмірності завдання суттєво обмежує складність аналізованих ланцюгів. Однак якщо частина коефіцієнтів a ikу матриці дорівнює нулю, тобто. вона є розрідженою, З'являється можливість скорочення трудомісткості.

Основна ідея методу розріджених матриць полягає в обліку при обчисленнях та зберіганні тільки ненульових елементів матриці. Ступінь розрідженості матриці характеризується коефіцієнтом заповнення:

де n не-Кількість ненульових елементів.

Існують матриці коефіцієнтів спеціального виду: стрічкові, коли ненульові елементи розташовуються вздовж головної діагоналі; і блочно-діагональні, коли вздовж головної діагоналі розташовуються ненульові блоки. Ще зустрічаються блочно-діагональні з облямівкою.

Приклад стрічкової матриці Приклад блочно-діагональної матриці

Приклад блочно-діагональної матриці з облямуванням

Їх розроблені спеціальні ефективні методи рішення. Для діагональної – метод прогонки. Блокова розпадається окремі групи рівнянь по блокам, які вирішуються методом Гаусса. Для блочно-діагональних з облямівкою існують діакоптичні методи розв'язання.

Діакоптика- Підхід до дослідження складних систем, що полягає у розчленування системи на частини та її аналізі вроздріб при обліку всіх зв'язків між виділеними частинами.