y = y 0 + R sin a ,

D i+1 [при y i+1 = y i-1] = 2x 2 i+1 +2y 2 i+1 +4x i+1 -2y i+1 +3-2R 2 = 2(x i+1) 2 +2(y i-1) 2 +4(x i+1)-2(y i-1)+3-2R 2 = D i +4(x i-y i)+10.

Тепер, коли отримано рекурентний вираз для D i+1 через D i, Залишається отримати D 1 (контрольну величину в початковій точці.) Вона не може бути отримана рекурентно, бо не визначено попереднє значення, зате легко може бути знайдена безпосередньо

x 1 = 0, y 1 = RЮ D 1 1 = (0+1) 2 +( R-1) 2 -R 2 = 2-2R,

D 1 2 = (0+1) 2 + R 2 -R 2 = 1

D 1 = D 1 1 +D 1 2 = 3-2 R.

Таким чином, алгоритм побудови кола, реалізований у bres_circle, ґрунтується на послідовному виборі точок; залежно від знака контрольної величини D iвибирається наступна точка і належним чином змінюється сама контрольна величина. Процес починається в точці (0, r), а перша точка, яку ставить процедура sim, має координати ( xc, yc+r). При x = yпроцес закінчується.

Алгоритм Брезенхема - це алгоритм, що визначає, які точки двовимірного растру потрібно зафарбувати, щоб отримати близьке наближення прямої лінії між двома заданими точками.

Відрізок проводиться між двома точками - (x0, y0) та (x1, y1), де в цих парах зазначені колонка і рядок, відповідно, номери яких зростають праворуч і вниз. Спочатку ми будемо припускати, що лінія йде вниз і вправо, причому горизонтальне відстань x1 − x0 перевершує вертикальне y1 − y0, тобто. нахил лінії від горизонталі – менше 45°. Наша мета полягає в тому, щоб для кожної колонки x між x0 і x1 визначити, який рядок y найближче до лінії, і намалювати точку (x, y).

Загальна формула лінії між двома точками:

Оскільки знаємо колонку x, то рядок y виходить округленням до цілого наступного значения:

Однак, обчислювати точне значення цього виразу немає потреби. Досить помітити, що y росте від y0 і за кожний крок ми додаємо до x одиницю та додаємо до y значення нахилу

яку можна обчислити заздалегідь. Більше того, на кожному кроці ми робимо одне з двох: або зберігаємо той же y або збільшуємо його на 1.

Що з цих двох вибрати - можна вирішити, відстежуючи значення помилки, що означає - вертикальну відстань між поточним значенням y і точним значенням для поточного x. Щоразу, коли ми збільшуємо x, ми збільшуємо значення помилки на величину нахилу s, наведену вище. Якщо помилка перевищила 0.5, лінія стала ближчою до наступного y, тому ми збільшуємо y на одиницю, одночасно зменшуючи значення помилки на 1. У реалізації алгоритму, наведеному нижче, plot(x,y) малює точку, а abs повертає абсолютну величину числа:

function line(x0, x1, y0, y1)

int deltax: = abs (x1 - x0)

int deltay:= abs(y1 - y0)

real error:= 0

real deltaerr: = deltay / deltax

int y:= y0

for x from x0 to x1

error:= error + deltaerr

if error >= 0.5

error:= error - 1.0

Нехай початок відрізка має координати (X 1 Y 1), а кінець (X 1 X 2) . Позначимо

Dx=(X 2 -X 1),dy=(Y 2 -Y 1) . Не порушуючи спільності, вважатимемо, що початок відрізка збігається з початком координат, і пряма має вигляд

Де. Вважаємо що початкова точказнаходиться ліворуч. Нехай на (i-1)-му кроці поточною точкою відрізка є P i -1 = (r, q). Вибір наступної точки S i або T i залежить від знака різниці (s-t). Якщо (s-t)<0 , то P i =T i =(r+1,q) и тогда

X i +1 =i+1;Y i +1 =Y i , якщо ж (s-t)≥0, то P i =T i =(r+1,q+1) і тоді X i +1 =i+ 1; Y i +1 = Y i +1;

dx = (s-t) = 2 (rdy-qdx) + 2dy -dx

Оскільки знак dx=(s-t) збігається зі знаком різниці), то перевірятимемо знак виразу d i =dx(s-t). . Оскільки r=X i -1 і q=Y i -1 ,то

d i +1 = d i +2dy -2dx(y i -y i -1).

Нехай на попередньому кроці d i<0 , тогда(y i -y i -1)=0 и d i +1 = d i +2dy . Если же на предыдущем шаге d i ≥0 , тогда(y i -y i -1)=1 и d i +1 = d i +2dx(y i -y i -1)

Залишилося дізнатися як обчислити d i. Оскільки при i=1

Procedure Bresenham (x1, y1, x2, y2, Color: integer);

dx,dy,incr1,incr2,d,x,y,xend: integer;

dx: = ABS (x2-x1);

dy:= Abs(y2-y1);

d:=2*dy-dx; (Початкове значення для d)

incr1:=2*dy; (приріст для d<0}

incr2:=2*(dy-dx); (Приріст для d>=0)

if x1>x2 then (починаємо з крапки з меншим знач. x)

PutPixel (x, y, Color); (Перша точка відрізка)

While x

d:=d+incr1 (вибираємо нижню точку)

d:=d+incr2; (Вибираємо верхню точку, y-зростає)

PutPixel (x, y, Color);

26. Загальний алгоритм Брезенхема.

Алгоритм вибирає оптимальні растрові координати подання відрізка. Більше з прирощень, або x, або y, вибирається як одиниця растру. У процесі роботи одна з координат - або x або y (залежно від кутового коефіцієнта) - змінюється на одиницю. Зміна іншої координати (на 0 або 1) залежить від відстані між дійсним положенням відрізка та найближчими координатами сітки. Така відстань є помилкою.

Алгоритм побудований отже потрібно знати знак цієї помилки. Отже, точка растру (1, 1) краще апроксимує перебіг відрізка, ніж точка (1, 0). Якщо кутовий коефіцієнт менше ½, то вірне протилежне. Для кутового коефіцієнта, що дорівнює ½, немає будь-якого кращого вибору. У разі алгоритм вибирає точку (1, 1). Оскільки бажано перевіряти лише знак помилки, вона спочатку встановлюється рівною -½. Таким чином, якщо кутовий коефіцієнт відрізка більший або дорівнює ½, то величина помилки у наступній точці растру може бути обчислена як е = -½ + Δy/Δx.

Щоб реалізація алгоритму Брезенхема була повна, необхідно обробляти відрізки у всіх октантах. Це легко зробити, враховуючи в алгоритмі номер квадранта, в якому лежить відрізок та його кутовий коефіцієнт. Коли абсолютна величина кутового коефіцієнта більше 1, y постійно змінюється на одиницю, а критерій помилки Брезенхема використовується для ухвалення рішення про зміну величини x. Вибір координати, що постійно змінюється (на +1 або -1), залежить від квадранта.

var x,y,sy,sx,dx,dy,e,z,i: Integer;
change: boolean;
begin
x: = x1; y:=y1;
dx:=abs(x2-x1); dy:=abs(y2-y1);
sx:=sign(x2-x1); sy:=sign(y2-y1);
e:= 2*dy-dx;
if dy
else begin
z:=dx;
dx: = dy; dy:=z;
change:=true
end;
for i:=1 to dx+dі do begin
if dy< dx then begin
if change then y:=y+sy
else x:=x+sx;
e:=e+2*dy;
end else
if change then x:=x+sx
else y:=y+sy;
e:=e-2*dx
end;
Form1.Canvas.Pixels:=clblack; // Висновок точки, наприклад
end;

27. Алгоритм Брезенхема для генерації кола

У растр потрібно розкладати не тільки лінійні, а й інші, більш складні функції. Розкладаннюконічних перерізів, тобто кіл, еліпсів, парабол, гіпербол, було присвячено значнукількість робіт. Найбільшу увагу, зрозуміло, приділено колу. Один з найбільшефективних і найпростіших для розуміння алгоритмів генерації кола належитьБрезенхему. Для початку зауважимо, що необхідно згенерувати лише одну восьму частину колу. Інші її частини можуть бути получені послідовними відбитками. Якщо згенерований перший октант (від 0 до 45° протигодинникової стрілки), то другий Октант можна отримати зеркальним відображенням щодо прямої у = х, що дає в сукупності перший квадрант. Перший квадрант відбивається відносно прямої х = 0 для отримання відповідної частини колу в іншому квадранті. Верхня півколо відбивається відносно прямої у = 0 для завершення побудови.

Для виведення алгоритму розглянемо першу чверть кола з центром у початку координат. Зауважимо, що якщо робота алгоритму починається в точці х = 0, у = R, то при генерації кола за часовою стрілкою в першому квадраті у емонотонно спадною функцією аргументів. Аналогічно, якщо вихідною точкою є у = 0, х == R, то при генерації кола проти часникової стрілки х будемонотонно спадною функцією аргументу у. У нашому випадку вибирається генерація за годинниковою стрілкою з початком у точці х = 0, у = R. Передбачається, що центр кола та початкова точка перебувають точно в точках растру.

Для будь-якої заданої точки на коли при генерації за часовою стрілкою існує тільки три можливості вибрати наступний піксел, що найкращим чином наближує окружність: горизонтально вправо, по діагоналі вниз і вправо, вертикально вниз. Алгоритм вибирає піксель, для якого мінімальний квадрат відстані між одним із цих пікселів і окружністю.

28. Поняття фракталу. Історія фрактальної графіки

У повсякденному житті часто можна спостерігати зображення (візерунки), які, здавалося б, не можна описати математично. Приклад: вікна взимку замерзають, можна спостерігати картину. Подібні множини називають фрактальними. Фрактали не схожі на відомі фігури з геометрії, і вони будуються за певними алгоритмами, які можна реалізувати на комп'ютері. Спрощено, фрактал - це зображення, отримане внаслідок деякого перетворення, багаторазово застосованого до вихідної фігури.
Перші ідеї фрактальної геометрії виникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури перетворив лінію на набір незв'язаних точок, які згодом отримали назву «Пил Кантора». Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися. Пеано намалював особливий вид лінії. Для її малювання Пеано використав такий алгоритм:
Він брав пряму лінію та заміняв її відрізками втричі меншою довжини, ніж у вихідної лінії. Далі він повторював цю ж дію з кожним із відрізків. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину, тобто. для кожної точки, що знаходиться на площині, можна знайти точку, що належить лінії Пеано.
Засновником фрактальної геометрії вважається Бенуа Мандельброт. Мандельброт увів поняття «фрактал».

Фрактал - це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких представлятиме зменшену копію цілого. Основною властивістю фрактал є самоподібність, тобто. будь-який фрагмент фракталу у тому чи іншому відношенні відтворює його глобальну структуру. Фрактали поділяються на геометричні, алгебраїчні, стохастичні, системи функцій, що ітеруються.

29. Поняття розмірності та її розрахунок

У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з розмірностями. Ми прикидаємо довжину дороги, дізнаємося про площу квартири і т.д. Це поняття цілком інтуїтивно зрозуміле і, начебто, вимагає роз'яснення. Лінія має розмірність 1. Це означає, що вибравши точку відліку, ми можемо будь-яку точку на цій лінії визначити за допомогою 1 числа - позитивного або негативного. Причому це стосується всіх ліній – коло, квадрат, парабола тощо.

Розмірність 2 означає, що будь-яку точку ми можемо однозначно визначити двома числами. Не треба думати, що двовимірний означає плоский. Поверхня сфери теж двомірна (її можна визначити за допомогою двох значень – кутів на зразок ширини та довготи).

Якщо з математичної погляду, то розмірність визначається так: для одномірних об'єктів - збільшення вдвічі їх лінійного розміру призводить до збільшення розмірів (у разі довжини) вдвічі (2^1).

Для двовимірних об'єктів збільшення вдвічі лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (наприклад, площа прямокутника) вчетверо (2^2).

Для 3-х мірних об'єктів збільшення лінійних розмірів удвічі призводи до збільшення обсягу вісім разів (2^3) тощо.

Геометричні фрактали

Саме з цим фракталами почалася історія розвитку фракталів загалом. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай під час побудови геометричних фракталів керуються наступним алгоритмом:

1. Береться набір відрізків, на підставі яких будується фрактал.
2. До цього набору застосовують певні правила, які перетворять його на будь-яку геометричну фігуру.
3. До кожної частини цієї фігури застосовують той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і, якщо провести нескінченну кількість перетворень, отримаємо геометричний фрактал.

Приклади геометричних фракталів: крива Пеано, сніжинка Коха, лист папороті, трикутник Серпінського,

Мал. Сніжинка Коха

Мал. Аркуш

Мал. Трикутник Серпінського

Алгебраїчні фрактали

Фрактал- складна геометрична фігура, що має властивість самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком

Алгебраїчні фрактали отримали свою назву за те, що їх будують на основі функцій алгебри. До фракцій алгебри відносяться: безліч Мандельброта, безліч Жюліа, басейни Ньютона, біоморфи.

-безліч Мандельброта:Вперше безліч Мандельброта було описано в 1905 П'єром Фату. Фату вивчав рекурсивні види

Почавши з точки на комплексній площині, можна отримати нові точки, послідовно застосовуючи до них формулу. Така послідовність точок називається орбітою під час перетворення

Фату виявив, що орбіта при цьому перетворенні показує досить складну та цікаву поведінку. Існує безліч таких перетворень - своє для кожного значення. (названо мандельброта оскільки він першим провів необхідну кількість обчислень, використавши комп'ютер).

-безліч Жюліа: безліч Жюліа раціонального відображення. - безліч точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка по відношенню до малих збурень початкового становища. У разі якщо f- Полін, розглядають також заповнене безліч Жюліа - безліч точок, що не прагнуть до нескінченності. Звичайна множина Жюлія при цьому є його кордоном.

-басейни Ньютона:Області з фрактальними кордонами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який у даному випадку узагальнюється для комплексної площини).

Застосуємо метод Ньютона знаходження нуля функції комплексного змінного, використовуючи процедуру:

Вибір початкового наближення становить особливий інтерес. Т.к. функція може мати кілька нулів, у різних випадках метод може сходитися до різних значень.

-біоморфи:скорочена форма множини Жюліа, обчислюється за формулою z = z 3 + c. Назву отримала через схожість з одноклітинними організмами.

Стохастичні фрактали

Типовим представником цього виду фракталів є так звана плазма.

Для її побудови беруть прямокутник і кожного його кута визначають колір. Далі знаходять центральну точку прямокутника і розфарбовують її в колір, що дорівнює середньоарифметичному кольору по кутах прямокутника + деяке випадкове число. Чим більше це випадково число - тим рванішим буде малюнок.

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватись стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

траєкторія броунівського руху на площині та у просторі;

межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 року Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельброта у тому, що її розмірність дорівнює 4/3.

еволюції Шрамма-Левнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають у критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, моделі Ізінга і перколяції.

різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, яку на кожному кроці введено випадковий параметр. Плазма – приклад використання такого фракталу у комп'ютерній графіці.

Фрактальна монотипія, або стохатипія - напрямки в образотворчому мистецтві, що полягають у отриманні зображення випадкового фракталу.

Подібна інформація.

Якщо простір недискретний, то чому Ахіллес обганяє черепаху? Якщо ж простір дискретний, то як частинки реалізують алгоритм Брезенхема?

Я давно замислююся над тим, що являє собою Всесвіт загалом і закони його роботи зокрема. Часом описи деяких фізичних явищ на тій же Вікіпедії досить заплутані, щоб залишатися незрозумілими навіть для людини, яка не дуже далека від цієї галузі. Тим більше не пощастило мені подібним - тим, хто від цієї області, принаймні, був дуже далекий. Однак, з дещо іншою площиною – алгоритмами, я, будучи програмістом, стикаюся майже щодня. І одного разу, в процесі реалізації якоїсь подоби 2d-фізики в консолі, я подумав: «Але Всесвіт - це по суті така сама консоль невідомої розмірності. Чи є причини думати, що для лінійного руху на, так би мовити, екрані цієї консолі частки не повинні реалізовувати алгоритм Брезенхема?». І, здається, причин немає.

Всіх, кому цікаво, що взагалі таке алгоритм Брезенхема, як він може бути пов'язаний з фізикою і як це може вплинути на її інтерпретацію - ласкаво просимо під кат. Можливо, Ви знайдете там опосередковане підтвердження існування паралельних Всесвітів. Або навіть вкладених один в одного Всесвіту.

Алгоритм Брезенхема

F(x) = 0
і

F(x) = x
А тепер уявімо, що відрізок необхідно повернути ще на 10 градусів, наприклад. Тоді ми отримаємо класичну однорідну лінійну функцію:

F(x) = x * tan(55)
І намалювати графік цієї функції звичайною ручкою на звичайному листку не складе труднощів для будь-якого учня 7 класу. Однак що робити у випадку з нашим передбачуваним аркушем паперу, який є дискретним по клітинах? Адже тоді виникає потреба вибирати, які саме клітини зафарбовувати при малюванні лінії. Тут нам допоможе і приходить алгоритм Брезенхема.

Цей аглоритм був розроблений Джеком Брезенхемом у 1962 році, коли той працював у IBM. Він досі використовується для реалізації віртуальної графіки у багатьох прикладних та системних комплексах, починаючи з обладнання на виробництві та закінчуючи OpenGL. Використовуючи цей алгоритм, можна розрахувати максимально підходяще наближення для заданої прямої при заданому рівні дискретності площині, де ця пряма розташовується.

Реалізація Javascript для загального випадку

var draw = (x, y) => (...); // функція для малювання точки var bresenham = (xs, ys) => ( // xs, ys - масиви і відповідно let deltaX = xs - xs, deltaY = ys - ys, error = 0, deltaError = deltaY, y = ys ; for (let x = xs; x<= xs; x++) { draw(x, y); error += deltaError; if ((2 * error) >= deltaX) (y - = 1; error - = deltaX;); ); );

Ще одним непрямим підтвердженням дискретності простору може бути судження, що виходить з вищеописаного: якщо при певному зменшенні масштабів спостережуваного, це втрачає здатність бути описаним за допомогою евклідової геометрії, то очевидно, що при подоланні мінімального порогу відстані метод геометричного опису суб'єкта все одно. Нехай у такій геометрії однієї паралельної прямої може відповідати більше однієї іншої прямої, що проходить через точку, що не належить вихідній прямій, або в такій геометрії взагалі немає поняття паралельності прямих або навіть зовсім поняття прямих, проте має місце бути будь-який, гіпотетично представлений метод опису геометрії об'єкта менше мінімальної довжини. І, як відомо, є одна теорія, яка претендує на здатність описати таку геометрію в межах відомого мінімального порога. Це теорія струн. Вона передбачає існування чогось, що вчені звуть струнами або лайками, відразу в 10/11/26 вимірах в залежності від інтерпретації та математичної моделі. Мені особисто здається, що приблизно так все й для обґрунтування своїх слів я проведу з Вами уявний експеримент: на двовимірній площині при повній «евклідності» її геометрії працює вже згадуване правило: через одну точку можна провести тільки одну пряму, паралельну даній. Тепер масштабуємо це правило на тривимірний простір та отримаємо дваз нього випливають нові правила:

1. Аналогічне - через одну точку можна провести тільки одну пряму, паралельну даній
2. На зазначеній відстані від даної прямої може бути нескінченність-X прямих, і ця нескінченність-X у Y разів менша від нескінченності-Z всіх прямих, паралельних даній, незалежно від відстані, де Y - це, грубо кажучи, можлива кількість товщин прямої в межах простору

Паралельні та вкладені Всесвіти?

Інакше кажучи, або Ахіллес ніколи не наздожене черепаху, або ми в Матриці весь оглядовий Всесвіт і відома фізика, швидше за все - лише крапля у величезному океані можливого розмаїття реальності.

Останні матеріали розділу: