Десяткове розкладання числа. Раціональні числа

У цьому розділі ми даємо огляд основних властивостей(аксіом) дійсних чисел. Це доречно, тому що серед цих властивостей є такі, з якими ми не мали справи в арифметиці та шкільному курсіалгебри, де розглядаються операції над постійними числами. Тим часом ці властивості виявляються при розгляді змінних чисел або, як кажуть за традицією, змінних величин.

При вивченні функцій доводиться залучати властивості чисел у всій їхній повноті, крім тих властивостей, з якими добре знайомі зі шкільної математики.

Раціональні числа будемо записувати як де цілі, .

У практичних обчисленнях цілком достатньо оперувати лише раціональними числами. Однак числа потрібні ще для цілей вимірювання геометричних та фізичних величин(Довжина відрізків, площ, обсягів, температур і т.д.). Ми тут маємо на увазі не практичний наближений вимір цих величин, а точний (теоретичний) вираз їх числами. Для цих цілей раціональних чиселвже недостатньо. Розглянемо, наприклад, відрізок, що є гіпотенузою прямокутного трикутниказ рівними катетами довжина одиниця. Якщо припустити, що довжина цього відрізка виражається позитивною раціональним дробомяку будемо вважати нескоротною, то площа побудованого на ньому квадрата дорівнює а площа кожного з квадратів, побудованих на катетах, дорівнює 1. Тоді в силу теореми Піфагора отримаємо рівність Права його частина є ціле число, що ділиться на 2, але тоді ліва повинна бути парною, а разом з нею і Звідси випливає, що ліва частинаділиться на 4, але тоді ділиться на 2, звідки також ділиться на 2. Отже, мають загальний множник 2, що суперечить припущенню, що дріб узятий нескоротним. Таким чином є відрізки, довжини яких не виражаються раціональними числами. Їх називають незрівнянними з одиницею. Щоб

висловити їх довжину, виникла потреба у нових числах, званих ірраціональними. Так виникло число, що виражає довжину гіпотенузи розглянутого трикутника.

Існують різні способизапровадження ірраціональних чисел. Покажемо, як можна запровадити їх за допомогою нескінченних десяткових дробів.

Задамо довільне позитивне раціональне число Перетворимо його за відомими правилами арифметики на десятковий дріб. В результаті отримаємо

де ціле невід'ємне число, а цифри. Будемо писати

і називати десятковий дріб у правій частині (3) десятковим розкладанням числа

Легко показати, що десяткове розкладання позитивного раціонального числа не залежить від способу завдання останнього, інакше кажучи, при заміні відповідно де виходить в точності те ж десяткове розкладання Будемо вважати, що дріб нескоротний.

Добре відомо, що якщо знаменник дробу має вигляд де - невід'ємні цілі числа, то його десяткове розкладання є кінцевим десятковим дробом:

яка, зокрема, може виявитися натуральним числом Якщо формально приписати праворуч до цього десяткового дробу нескінченно багато нулів, то він перетворюється на нескінченний десятковий дріб:

Ми називаємо її періодичним десятковим дробом із періодом 0, тому що в ній цифра періодично повторюється.

Користуються також іншим поданням кінцевого десяткового дробу (4) у вигляді періодичного десяткового дробу з періодом 9:

хоча воно й не виникає у процесі (2).

Нехай тепер знаменник позитивного дробу не має вигляду. Тоді процес (2) нескінченний - на будь-якому його кроці виникає позитивний залишок. Кожен залишок менший і тому після того, як цифри числа знесені, серед перших залишків виявиться принаймні два рівні між собою. Але щойно виникає залишок, який був раніше, процес стає повторюваним - періодичним. Тому десяткове розкладання довільного позитивного раціонального числа має вигляд

Розкладання (5) або (6) можна розглядати як окремі випадки (7). Розкладання виду (7) називається позитивним десятковим періодичним дробом з періодом, що є групою цифр

Нижче наводяться окремі приклади позитивних нескінченних десяткових періодичних дробів:

У першому прикладі періодом є цифра у другому – група цифр 142857, у четвертому – група цифр

У позитивного десяткового дробу хоча б одне з чисел не дорівнює нулю.

Отже, кожному позитивному раціональному числу за допомогою процесу (2) ставиться у відповідність позитивна десяткова періодичний дрібз періодом, відмінним від 9.

За інших обчислень можуть виходити десяткові дробиз періодом 9, але за бажання їх потім можна записати через відповідні їм кінцеві десяткові дроби, або, що все одно, десяткові дроби з періодом 0.

Правильно і зворотне затвердження: кожен позитивний десятковий періодичний дріб, якщо він не має періоду 9, може бути отриманий за допомогою процесу (2) з деякого звичайного позитивного дробу (єдиного).

Наприклад, якщо дріб піддати процесу (2), то отримаємо десятковий періодичний дріб. Назад, цей останній перетворюється на вихідний дріб:

Негативному раціональному числу приводять у відповідність нескінченне десяткове розкладання позитивного числавзяте зі знаком

Отже, є взаємно однозначна відповідність між рівними нулю раціональними числами і нескінченними десятковими не рівними нулю періодичними дробами. Кожному не рівному нулю раціональному числу відповідає за допомогою зазначеного вище процесу одне і тільки одне його десяткове нескінченне періодичне розкладання, що не має періоду 9. Назад, будь-яке таке розкладання відповідає за допомогою зазначеного процесу деякому не рівному нулю раціонального числа (єдиного).

Число нуль (воно теж раціональне) природно привести у відповідність розкладання

Крім періодичних десяткових дробів існують неперіодичні, наприклад

Ось ще приклад: якщо видобувати корінь квадратний з 2 за відомим правилом, то отримаємо певний нескінченний неперіодичну десятковий дріб. Вона визначена в тому сенсі, що будь-кому натуральному числувідповідає певна цифра розряду числа однозначно обчислюється згідно з правилом вилучення квадратного кореня.

Математичний аналіз дає багато шляхів обчислення числа з будь-якою заданою точністю. Це призводить до цілком певного нескінченного десяткового розкладання, яке, як виявляється, не є періодичним.

Дамо тепер визначення ірраціонального числа, поки що чисто формальне. Ірраціональним числом називається довільний нескінченний неперіодичний дріб

де ціле невід'ємне число, а цифри, знак рівності висловлює, що ми позначили праву частину (8) через . Втім, зручно говорити, що права частина(8) є десяткове розкладання числа а.

Раціональні та ірраціональні числаназиваються дійсними (чи речовими) числами.

Зі сказаного випливає, що всяке не рівне нулю дійсне числоможе бути записано у вигляді нескінченного десяткового дробу (8). Якщо воно раціональне, то його десяткове розкладання є нескінченний десятковий періодичний дріб. Інакше згідно з нашим визначенням вираз (8) сам визначає ірраціональне число. Перші групи містять відомі властивості, якими ми керуємося при арифметичних обчисленнях і рішеннях нерівностей. Група IV становить одну властивість (архімеда). Нарешті, група V також складається з однієї властивості: існування межі в незниженій обмеженої послідовності. По суті, для подальшого нам буде важливо лише знати, що дійсні числа (десяткові дроби) є об'єктами, для яких визначено поняття і перевірити, що вони задовольняють аксіомам. Такими символами якраз і можуть служити нескінченні десяткові дроби.

± d m … d 1 d 0, d − 1 d − 2 … (\displaystyle \pm d_(m)\ldots d_(1)d_(0)(,)d_(-1)d_(-2)\ldots ± (\displaystyle \pm ) — знак дробу: або + (\displaystyle +), або − (\displaystyle -), , (\displaystyle ,) — десяткова кома , що служить між цілою і дрібною частиноючисла () , d k (\displaystyle d_(k))- . Причому послідовність цифр до коми(ліворуч від неї) кінцева (як мінімум одна цифра), а після коми(праворуч від неї) — може бути як кінцевою (зокрема, цифри після коми можуть взагалі бути відсутніми), так і нескінченною.

Значенням десяткового дробу ± d m … d 1 d 0, d − 1 d − 2 … (\displaystyle \pm d_(m)\ldots d_(1)d_(0),d_(-1)d_(-2)\ldotsє дійсне число

± (d m ⋅ 10 m + … + d 1 ⋅ 10 1 + d 0 ⋅ 10 0 + d − 1 ⋅ 10 − 1 + d − 2 ⋅ 10 − 2 + …) , (\displaystyle \pm \left(d_ m)\cdot 10^(m)+\ldots +d_(1)\cdot 10^(1)+d_(0)\cdot 10^(0)+d_(-1)\cdot 10^(-1) +d_(-2)\cdot 10^(-2)+\ldots \right),)

Ця властивість була використана двічі в алгоритмі. На самому початку побудови вибиралося ціле , таке, що дійсне число знаходиться між a 0 (\displaystyle a_(0))і наступним цілим a 0 + 1 (\displaystyle a_(0)+1):

a 0 ⩽ α< a 0 + 1 , a 0 ∈ Z {\displaystyle a_{0}\leqslant \alpha

Проте існування такого цілого числа a 0 (\displaystyle a_(0))треба ще довести: не можна виключати, наприклад, можливість, коли, яке б не було ціле n (\displaystyle n), завжди має місце нерівність n ⩽ α (\displaystyle n\leqslant \alpha ). Якби цей випадок мав місце, то, очевидно, потрібного числа a 0 (\displaystyle a_(0))не знайшлося б.

Ця можливість якраз виключається аксіомою Архімеда, згідно з якою б не було число α (\displaystyle \alpha), завжди знайдеться ціле n (\displaystyle n)таке, що n > α (\displaystyle n>\alpha ). Тепер серед чисел k = 1, …, n (displaystyle k = 1, ldots, n)візьмемо найменше, що має властивість k > α (\displaystyle k>\alpha). Тоді

k − 1 ⩽ α< k {\displaystyle k-1\leqslant \alpha

Шукане число знайдено: a 0 = k − 1 (\displaystyle a_(0)=k-1).

Вдруге аксіома Архімеда неявно використовувалася при доказі прагнення нулю довжин відрізків послідовності I 0 , I 1 , I 2 , … (\displaystyle I_(0),I_(1),I_(2),\ldots ):

lim n → ∞ 10 − n = 0 (\displaystyle \lim _(n\to \infty )10^(-n)=0)

Суворий доказ цієї пропозиції спирається на аксіому Архімеда. Доведемо еквівалентне співвідношення

Відповідно до аксіоми Архімеда, яке б не було дійсне число E> 0 (\displaystyle E>0), послідовність натуральних чисел 1 , 2 , … (\displaystyle 1,2,\ldots )перевершить його, починаючи з деякого номера. А оскільки для кожного n (\displaystyle n)має місце нерівність

10 n > n (\displaystyle 10^(n)>n)

то послідовність 10 n (\displaystyle 10^(n))також перевершить E (\displaystyle E)починаючи з того ж номера. Відповідно до визначення числової послідовності, це означає, що lim n → ∞ 10 n = ∞ (\displaystyle \lim _(n\to \infty )10^(n)=\infty ).

Неоднозначність подання у вигляді десяткового дробу

За допомогою наведеного алгоритму ми можемо для будь-якого дійсного числа α (\displaystyle \alpha)побудувати десятковий дріб, що представляє це число. Однак може статися, що це саме число α (\displaystyle \alpha)може бути представлено у вигляді десяткового дробу та іншим чином.

Неєдиність уявлення чисел у вигляді десяткових дробів вже випливає з того тривіального факту, що, приписуючи кінцевого дробу праворуч після коми нулі, ми отримуватимемо формально різні десяткові дроби, що становлять те саме число.

Розглянемо, наприклад, десятковий дріб

0 , 99 … (\displaystyle 0(,)99\ldots )

Згідно з визначенням, цей дріб є поданням числа 0 + 9 / 10 + 9 / 100 + … = 1 (\displaystyle 0+9/10+9/100+\ldots =1). Разом з тим, це число може бути представлене у вигляді десяткового дробу 1 , 00 … (\displaystyle 1(,)00\ldots ).

Цей приклад можна узагальнити. Можна показати, що дроби

± a 0 , a 1 … a n − 1 a n 999 … (\displaystyle \pm a_(0)(,)a_(1)\ldots a_(n-1)a_(n)999\ldots ) ± a 0 , a 1 … a n − 1 (a n + 1) 000 (\displaystyle \pm a_(0)(,)a_(1)\ldots a_(n-1)(a_(n)+1)000)

де a n ≠ 9 (\displaystyle a_(n)\neq 9), представляють те саме дійсне число.

Виявляється, цим загальним прикладом вичерпуються всі випадки неоднозначності уявлення дійсних чисел як десяткових дробів. При цьому ми, звичайно, не розглядаємо тривіальні випадки дробів, отримані приписуванням нулів у кінець один одному, а також кілька дробів і .

Ці результати можна підсумовувати у наступній теоремі.

Теорема. Будь-яке дійсне число α (\displaystyle \alpha), не представлене у вигляді p / 10 s (\displaystyle p/10^(s)), де p (\displaystyle p)- ціле, s (\displaystyle s)- Ціле невід'ємне, допускає єдине уявлення у вигляді десяткового дробу; при цьому цей дріб є нескінченним.

Будь-яке дійсне число виду α = p / 10 s (\displaystyle \alpha =p/10^(s))може бути представлено у вигляді десяткового дробу більш ніж одним способом. Якщо α ≠ 0 (\displaystyle \alpha \neq 0), то воно може бути представлене як у вигляді кінцевого десяткового дробу, а також нескінченного дробу, отриманого приписуванням нулів в кінець після коми, так і у вигляді нескінченного дробу, що закінчується на . Число α = 0 (\displaystyle \alpha =0)може бути представлено дробами виду + 0 , 00 … (\displaystyle +0(,)00\ldots ), а також дробами виду − 0 , 00 … (\displaystyle -0(,)00\ldots ).

Зауваження. Нескінченні дроби, що закінчуються на 999 … (\displaystyle 999\ldots ), виходять, якщо у наведеному вище алгоритмі завжди вибирати лівий відрізокзамість правого.

Зайві нулі та похибка

Слід зазначити, що, з погляду , запис десяткового дробу з нулями наприкінці не зовсім тотожна запису без цих нулів.

Вважають, що, якщо похибка не зазначена, то десяткового дробу дорівнює плюс-мінус половині [ ] одиниці останнього написаного розряду. Наприклад, запис "3,7" означає, що абсолютна похибка дорівнює ±0,05. На запису «3,700» абсолютна похибка дорівнює ±0,0005. Інші приклади:

"25" - абсолютна похибка дорівнює ±0,5 (також, такий запис може означати точне значення 25: наприклад, 25 штук);
"25,0" - абсолютна похибка дорівнює ±0,05;
"25,00" - абсолютна похибка дорівнює ±0,005.

Періодичні десяткові дроби

Нескінченний десятковий дріб називається періодичної, якщо її послідовність цифр після коми, починаючи з деякого місця, являє собою групу цифр, що періодично повторюється. Іншими словами, періодичний дріб — десятковий дріб, що має вигляд

± a 0 , a 1 … a m b 1 … b l ⏟ b 1 … b l ⏟ … (\displaystyle \pm a_(0),a_(1)\ldots a_(m)\underbrace )) \underbrace (b_(1)\ldots b_(l)) \ldots )

Такий дріб прийнято коротко записувати у вигляді

± a 0, a 1 … a m (b 1 … b l) (\displaystyle \pm a_(0),a_(1)\ldots a_(m)(b_(1)\ldots b_(l))

Група цифр, що повторюється b 1 … b l (\displaystyle b_(1)\ldots b_(l))називається періодомдроби, кількість цифр у цій групі – довжиною періоду.

Якщо в періодичному дробі період слідує відразу після коми, то дріб називається чистої періодичної. Якщо між комою і першим періодом є цифри, дріб називається змішаної періодичної, а група цифр після коми до першого знака періоду - передперіодомдроби. Наприклад, дріб 1 , (23) = 1,232 3 … (\displaystyle 1(,)(23)=1(,)2323\ldots )є чистим періодичним, а дріб 0 , 1 (23) = 0,123 23 … (\displaystyle 0(,)1(23)=0(,)12323\ldots )- Змішаної періодичної.

Основна властивість періодичних дробів, завдяки якому їх виділяють із усієї сукупності десяткових дробів, полягає в тому, що періодичні дроби і тільки вони представляють . Точніше, має місце така пропозиція.

Теорема. Будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб представляє раціональне число. Назад, якщо раціональне число розкладається в нескінченний десятковий дріб, то цей дріб є періодичним.

Можна показати, що чисто періодичні дроби відповідають раціональним числам, у запису яких у вигляді нескоротного дробу p/q (\displaystyle p/q)знаменник q (\displaystyle q) не має

У цій статті ми почнемо вивчати раціональні числа. Тут ми дамо визначення раціональних чисел, дамо необхідні пояснення та наведемо приклади раціональних чисел. Після цього зупинимося на тому, як визначити, чи є дане число раціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних чисел

У цьому вся пункті ми дамо кілька визначень раціональних чисел. Незважаючи на відмінності у формулюваннях, всі ці визначення мають єдиний зміст: раціональні числа об'єднують цілі числа та дробові числа, подібно до того, як цілі числа поєднують натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль. Іншими словами, раціональні числа узагальнюють цілі та дробові числа.

Почнемо з визначення раціональних чисел, що сприймається найбільш природно.

З озвученого визначення випливає, що раціональним числом є:

Будь-яке натуральне число n. Справді, можна уявити будь-яке натуральне число у вигляді звичайного дробу, наприклад, 3=3/1.
Будь-яке ціле число, зокрема число нуль. Насправді, будь-яке ціле число можна записати у вигляді або позитивного звичайного дробу, або у вигляді негативного звичайного дробу, або як нуль. Наприклад, 26=26/1 , .
Будь-який звичайний дріб (позитивний або негативний). Це безпосередньо затверджується наведеним визначенням раціональних чисел.
Будь-яке змішане число. Дійсно, завжди можна уявити змішане число у вигляді неправильного звичайного дробу. Наприклад, і .
Будь - який кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб . Це так через те, що зазначені десяткові дроби перетворюються на звичайні дроби. Наприклад, , а 0, (3) = 1/3.

Також зрозуміло, що будь-яка нескінченна неперіодична десяткова дріб не є раціональним числом, так як вона не може бути представлена у вигляді звичайного дробу.

Тепер ми можемо легко привести приклади раціональних чисел. Числа 4, 903, 100321 - це раціональні числа, так як вони натуральні. Цілі числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 також є прикладами раціональних чисел. Звичайні дроби 4/9 , 99/3 - це теж приклади раціональних чисел. Раціональними числами є і числа.

З наведених прикладів видно, що є і позитивні і негативні раціональні числа, а раціональне число нуль перестав бути ні позитивним, ні негативним.

Озвучене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротшою формою.

Визначення.

Раціональними числаминазивають числа, які можна записати як дробу z/n , де z – ціле число, а n – натуральне число.

Доведемо, що це визначення раціональних чисел рівносильне попередньому визначенню. Ми знаємо, що можна розглядати межу дробу як знак розподілу , тоді з властивостей розподілу цілих чисел і правил розподілу цілих чисел слід справедливість наступних рівностей і . Отже, що і є доказом.

Наведемо приклади раціональних чисел, ґрунтуючись на даному визначенні. Числа −5 , 0 , 3 , і є раціональними числами, оскільки вони можуть бути записані у вигляді дробів із цілим чисельником натуральним знаменникомвиду та відповідно.

Визначення раціональних чисел можна дати і у наступному формулюванні.

Визначення.

Раціональні числа– це числа, які можуть бути записані у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Це визначення також рівнозначне першому визначенню, так як будь-якому звичайному дробу відповідає кінцевий або періодичний десятковий дріб і назад, а будь-якому числу можна зіставити десятковий дріб з нулями після коми.

Наприклад, числа 5 , 0 , −13 , є прикладами раціональних чисел, оскільки їх можна записати у вигляді наступних десяткових дробів 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 і −7,(18) .

Закінчимо теорію цього пункту такими твердженнями:

цілі та дробові числа (позитивні та негативні) становлять безліч раціональних чисел;
кожне раціональне число може бути представлене у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом;
кожне раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом.

Чи є це число раціональним?

У попередньому пункті ми з'ясували, що будь-яке натуральне число, будь-яке ціле число, будь-який звичайний дріб, будь-яке змішане число, будь-який кінцевий десятковий дріб, а також будь-який періодичний десятковий дріб є раціональним числом. Це знання нам дозволяє «пізнавати» раціональні числа з множини написаних чисел.

Але як бути, якщо число задано у вигляді деякого , або як , і т.п., як відповісти на питання, чи є це числораціональним? У багатьох випадках відповісти на нього дуже важко. Вкажемо деякі напрямки ходу думки.

Якщо число задано у вигляді числового виразу, яке містить лише раціональні числа та знаки арифметичних дій(+, −, · і:), то значення цього виразу є раціональним числом. Це випливає з того, як визначено дії з раціональними числами. Наприклад, виконавши всі дії у виразі ми отримуємо раціональне число 18 .

Іноді, після спрощення виразів і більше складного вигляду, з'являється можливість визначити, чи раціонально задане число.

Ходімо далі. Число 2 є раціональним числом, оскільки будь-яке натуральне число є раціональним. А як щодо числа? Чи є воно раціональним? Виявляється, що ні, - не є раціональним числом, це ірраціональне число (доказ цього факту методом протилежного наведено в підручнику з алгебри за 8 клас, зазначеному нижче у списку літератури). Також доведено, що квадратний коріньз натурального числа є раціональним числом лише тоді, коли під коренем перебуває число, що є повним квадратом деякого натурального числа. Наприклад, і - раціональні числа, так як 81 = 9 2 і 1024 = 32 2 а числа і не є раціональними, так як числа 7 і 199 не є повними квадратаминатуральних чисел.

А чисельність раціонально чи ні? У даному випадкуНеважко помітити, що, отже, це число - раціональне. А чи є число раціональним? Доведено, що корінь k-ого ступеня з цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під знаком кореня є k-им ступенем деякого цілого числа. Тому не є раціональним числом, тому що не існує цілого числа, п'ятий ступінь якого дорівнює 121 .

Метод протилежного дозволяє доводити, що логарифми деяких чисел з деяких підстав є раціональними числами. Наприклад доведемо, що - раціональне число.

Припустимо неприємне, тобто, припустимо, що - раціональне число і його можна записати у вигляді звичайного дробу m/n. І тоді дають такі рівності: . Остання рівність неможлива, тому що в лівій його частині знаходиться не парне число 5 n , а правої частини – парне число 2 m . Отже, наше припущення є невірним, таким чином, не є раціональним числом.

На закінчення варто особливо відзначити, що при з'ясуванні раціональності чи ірраціональності чисел слід утриматися від раптових висновків.

Наприклад, не варто відразу стверджувати, що добуток ірраціональних чисел π і e є ірраціональним числом, це «як очевидно», але не доведено. При цьому постає питання: «А з чого б твору бути раціональним числом»? А чому б і ні, адже можна навести приклад ірраціональних чисел, добуток яких дає раціональне число: .

Також невідомо, чи є числа та багато інших чисел раціональними чи не є такими. Наприклад, існують ірраціональні числа, ірраціональний ступіньяких є раціональним числом. Для ілюстрації наведемо ступінь виду , основу цього ступеня і показник ступеня є раціональними числами, але , а 3 – раціональне число.

Список літератури.

Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

У даному уроцірозглядається множення та розподіл раціональних чисел.

Зміст уроку

Збільшення раціональних чисел

Правила множення цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Іншими словами, щоб множити раціональні числа, потрібно вміти

Також необхідно знати основні закони множення, такі як: переміщувальний законмноження, сполучний закон множення, розподільчий закон множення та множення на нуль.

приклад 1.Знайти значення виразу

Це множення раціональних чисел з різними знаками. Щоб перемножити раціональні числа з різними знаками, потрібно перемножити їх модулі і перед відповіддю поставити мінус.

Щоб добре побачити, що ми маємо справу з числами, у яких різні знаки, заключимо кожне раціональне число у дужки разом зі своїми знаками.

Модуль числа дорівнює, а модуль числа дорівнює. Перемноживши отримані модулі, як позитивні дробиМи отримали відповідь, але перед відповіддю поставили мінус, як від нас вимагало правило. Щоб забезпечити цей мінус перед відповіддю, множення модулів виконувалося в дужках, перед якими і поставлений мінус.

Коротке рішення виглядає так:

приклад 2.Знайти значення виразу

приклад 3.Знайти значення виразу

Це множення негативних раціональних чисел. Щоб перемножити негативні раціональні числа, потрібно перемножити їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити плюс

Рішення для даного прикладуможна записати коротше:

приклад 4.Знайти значення виразу

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

Приклад 5.Знайти значення виразу

Це множення раціональних чисел із різними знаками. Перемножимо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус

Коротке рішення виглядатиме значно простіше:

Приклад 6.Знайти значення виразу

Перекладемо змішане число в неправильний дріб. Решту перепишемо, як є

Отримали множення раціональних чисел із різними знаками. Перемножити модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

Рішення для цього прикладу можна записати коротше

Приклад 7.Знайти значення виразу

Спочатку у відповіді вийшов неправильний дріб, але ми виділили в ньому цілу частину. Зверніть увагу, що ціла частинабула виділена від модуля дробу. Змішане число, що вийшло, було укладено в дужки, перед якими поставлений мінус. Це зроблено у тому, щоб виконувалася вимога правила. А правило вимагало, щоб перед отриманим відповіддю стояв мінус.

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

Приклад 8.Знайти значення виразу

Спочатку перемножимо і отримане число перемножимо з числом 5, що залишилося. Запис з модулями пропустимо, щоб не захаращувати вираз.

Відповідь:значення виразу −2.

Приклад 9.Знайти значення виразу:

Перекладемо змішані числау неправильні дроби:

Набули множення негативних раціональних чисел. Перемножити модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо плюс. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

приклад 10.Знайти значення виразу

Вираз складається з кількох співмножників. Згідно сполучному законумноження, якщо вираз складається з кількох співмножників, то твір не залежатиме від порядку дій. Це дозволяє нам обчислити цей вираз у будь-якому порядку.

Не будемо винаходити велосипед, а обчислимо цей вираз зліва направо в порядку прямування співмножників. Запис із модулями пропустимо, щоб не захаращувати вираз

Третя дія:

Четверта дія:

Відповідь:значення виразу дорівнює

Приклад 11.Знайти значення виразу

Згадуємо закон множення на нуль. Цей закон свідчить, що добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю.

У нашому прикладі один із співмножників дорівнює нулю, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що значення виразу дорівнює нулю:

приклад 12.Знайти значення виразу

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю.

У нашому прикладі один із співмножників дорівнює нулю, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що значення виразу одно нулю:

приклад 13.Знайти значення виразу

Можна скористатися порядком дій і спочатку обчислити вираз у дужках і отриману відповідь перемножити з дробом.

Ще можна скористатися розподільчим законом множення - помножити кожне доданок суми на дріб та отримані результати скласти. Цим способом і скористаємось.

Відповідно до порядку дій, якщо у виразі є додавання і множення, то в першу чергу потрібно виконувати множення. Тому в новому виразі візьмемо в дужки ті параметри, які повинні бути перемножені. Так ми добре побачимо, які дії виконати раніше, а які пізніше:

Третя дія:

Відповідь:значення виразу одно

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Видно, що цей приклад можна було вирішити навіть у думці. Тому слід розвивати у собі навичку аналізу висловлювання на початок його рішення. Цілком ймовірно, що його можна вирішити в умі і заощадити багато часу та нервів. А на контрольних та іспитах, як відомо, час дуже дорого коштує.

приклад 14.Знайти значення виразу -4,2 × 3,2

Зверніть увагу, як множилися модулі раціональних чисел. У разі, щоб перемножити модулі раціональних чисел, знадобилося .

приклад 15.Знайти значення виразу -0,15 × 4

Зверніть увагу, як множилися модулі раціональних чисел. У разі, щоб перемножити модулі раціональних чисел, знадобилося зуміти .

Приклад 16Знайти значення виразу -4,2 × (-7,5)

Це множення негативних раціональних чисел. Перемножимо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо плюс

Розподіл раціональних чисел

Правила поділу цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Іншими словами, щоб вміти поділяти раціональні числа, потрібно вміти

У іншому застосовуються самі методи поділу звичайних і десяткових дробів. Щоб розділити звичайний дріб на інший дріб, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

А щоб розділити десятковий дріб на інший десятковий дріб, потрібно в діленому і в дільнику перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику, потім виконати поділ, як на звичайне число.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити такий вираз, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

Отже, помножимо перший дріб на другий дріб.

Отримали множення раціональних чисел із різними знаками. А як обчислювати такі вирази, ми вже знаємо. Для цього потрібно перемножити модулі цих раціональних чисел та перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Дорішаємо цей приклад до кінця. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

Таким чином, значення виразу дорівнює

Докладне рішення виглядає так:

Коротке рішення виглядатиме так:

приклад 2.Знайти значення виразу

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

Зворотний для другого дробу це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Коротке рішення виглядатиме так:

приклад 3.Знайти значення виразу

Це розподіл негативних раціональних чисел. Щоб обчислити цей вираз, знову ж таки потрібно перший дріб помножити на дріб зворотний другий.

Зворотний для другого дробу це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Набули множення негативних раціональних чисел. Як обчислюється подібний виразми вже знаємо. Потрібно перемножити модулі раціональних чисел та перед отриманою відповіддю поставити плюс.

Дорішаємо цей приклад до кінця. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:

приклад 4.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перше число −3 помножити на дріб, зворотні дроби.

Зворотний для дробу це дріб. На неї і помножимо перше число -3

Приклад 6.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дроб помножити на число, протилежне числу 4.

Зворотне для числа 4 це дріб. На неї і помножимо перший дріб

Приклад 5.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дроб помножити на число, обернене до −3

Зворотний для числа −3 це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Приклад 6.Знайти значення вираз −14,4: 1,8

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити цей вираз, потрібно модуль поділеного розділити на модуль дільника і перед отриманою відповіддю поставити мінус

Зверніть увагу, як модуль поділеного був поділений на модуль дільника. У цьому випадку, щоб зробити це правильно, знадобилося зуміти.

Якщо немає бажання возитися з десятковими дробами (а це буває часто), то ці, потім перевести ці змішані числа в неправильні дроби, а потім зайнятися безпосередньо розподілом.

Обчислимо попередній вираз -14,4: 1,8 цим способом. Переведемо десяткові дроби до змішаних цифр:

Тепер переведемо отримані змішані числа до неправильних дробів:

Тепер можна зайнятися безпосередньо розподілом, а саме розділити дріб на дріб. Для цього потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий:

Приклад 7.Знайти значення виразу

Переведемо десятковий дріб −2,06 у неправильний дріб, і помножимо цей дріб на дріб, зворотний другий:

Багатоповерхові дроби

Часто можна зустріти вираз, у якому розподіл дробів записано за допомогою дробової межі. Наприклад, вираз може бути записаний таким чином:

У чому різниця між висловлюваннями і ? Насправді різниці жодної. Ці два вирази несуть одне й те саме значення і між ними можна поставити знак рівності:

У першому випадку знак поділу є двокрапкою і вираз записано в один рядок. У другому випадку поділ дробів записано за допомогою дробової межі. В результаті виходить дріб, який у народі домовилися називати багатоповерховий.

При зустрічі з такими багатоповерховими виразами потрібно застосовувати ті ж правила поділу звичайних дробів. Перший дріб необхідно множити на дріб, зворотний другий.

Використовувати у вирішенні подібні дробивкрай незручно, тому можна записати їх у зрозумілому вигляді, використовуючи як знак розподілу не дробову межу, а двокрапку.

Наприклад, запишемо багатоповерховий дріб у зрозумілому вигляді. Для цього спочатку потрібно розібратися, де перший дріб і де другий, тому що зробити це правильно вдається не завжди. У багатоповерхових дробах є кілька дробових характеристик, які можуть заплутати. Головна дробова риса, яка відокремлює перший дріб від другого, зазвичай буває довшою за інші.

Після визначення головної дробової риси можна легко зрозуміти, де перший дріб і де другий:

приклад 2.

Знаходимо головну дробову межу (вона найдовша) і бачимо, що здійснюється розподіл цілого числа −3 на звичайний дріб

А якби ми помилково прийняли другу дробову межу за головну (ту, що коротше), то вийшло б, що ми ділимо дріб на ціле число 5. У цьому випадку, навіть якщо цей вираз обчислити правильно, завдання буде вирішено неправильно, оскільки ділимо в даному У разі є число −3, а дільником — дріб .

приклад 3.Запишемо у зрозумілому вигляді багатоповерховий дріб

Знаходимо головну дробову межу (вона найдовша) і бачимо, що здійснюється розподіл дробу на ціле число 2

А якби ми помилково прийняли першу дробову межу за головну (ту, що коротше), то вийшло б, що ми ділимо ціле число −5 на дріб. у разі є дріб , а дільником — ціле число 2.

Незважаючи на те, що багатоповерхові дроби незручні в роботі, ми стикаємося з ними дуже часто, особливо при вивченні вищої математики.

Природно, на переведення багатоповерхового дробу до зрозумілого вигляду йде додатковий часта місце. Тому можна скористатися більше швидким методом. Даний метод зручний і на виході дозволяє отримати готовий вираз, в якому перший дріб вже помножений на дріб, зворотний другий.

Реалізується цей метод так:

Якщо дріб чотириповерховий, наприклад як , то цифру на першому поверсі піднімають на верхній поверх. А цифру, що знаходиться на другому поверсі, піднімають на третій поверх. Отримані цифри потрібно поєднати значками множення (×)

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримуємо новий вираз , в якому перший дріб вже помножено на дріб, зворотний другий. Зручність та й годі!

Щоб не допускати помилок під час використання даного методу, можна керуватися наступним правилом:

З першого на четвертий. З другого до третього.

У правилі мова йдепро поверхи. Цифру з першого поверху слід піднімати на четвертий поверх. А цифру із другого поверху треба піднімати на третій поверх.

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись вищенаведеним правилом.

Отже, цифру, що знаходиться на першому поверсі, піднімаємо на четвертий поверх, а цифру, що знаходиться на другому поверсі, піднімаємо на третій поверх.

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримуємо новий вираз , в якому перший дріб вже помножено на дріб, зворотній другий. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись новою схемою.

Тут є лише перший, другий та четвертий поверхи. Третій поверх відсутній. Але ми не відходимо від основної схеми: цифру з першого поверху піднімаємо на четвертий поверх. А оскільки третій поверх відсутній, то цифру, що знаходиться на другому поверсі, залишаємо, як є

В результаті, минаючи проміжний запис, ми отримали новий вираз , в якому перше число −3 вже помножено на дріб, зворотний другий. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись новою схемою.

Тут є лише другий, третій та четвертий поверхи. Першого поверху немає. Оскільки перший поверх відсутній, підніматися на четвертий поверх нічому, але ми можемо підняти цифру з другого поверху на третій:

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримали нове вираз, в якому перший дріб вже помножено на число, зворотне дільнику. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Використання змінних

Якщо вираз складний і вам здається, що він заплутає вас у процесі розв'язання задачі, то частину виразу можна занести в змінну і далі працювати з цією змінною.

Математики часто так і роблять. Складне завданнярозбивають більш легені подзадачи і вирішують їх. Потім збирають вирішені підзавдання в єдине ціле. Це творчий процесі цього навчаються роками, завзято тренуючись.

Використання змінних виправдане при роботі з багатоповерховими дробами. Наприклад:

Знайти значення виразу

Отже, є дрібний вираз у чисельнику і в знаменнику якому дробові вирази. Іншими словами, перед нами знову багатоповерховий дріб, який ми так не любимо.

Вираз, що знаходиться в чисельнику, можна занести в змінну з будь-якою назвою, наприклад:

Але у математиці у разі змінним прийнято давати назву з великих латинських букв. Давайте не порушуватимемо цю традицію, і позначимо перший вираз через велику латинську букву A

А вираз, що знаходиться в знаменнику, можна позначити через велику латинську букву B

Тепер наш початковий вираз набуває вигляду. Тобто, ми зробили заміну числового виразу на буквене, попередньо внісши чисельник і знаменник змінні A і B.

Тепер ми можемо окремо обчислити значення змінної A і змінної B. Готові значення ми вставимо у вираз .

Знайдемо значення змінної A

Знайдемо значення змінної B

Тепер підставимо в головне вирази замість змінних A та B їх значення:

Ми отримали багатоповерховий дріб у якому можна скористатися схемою «з першого на четвертий, з другого на третій», тобто цифру, що знаходиться на першому поверсі, підняти на четвертий поверх, а цифру, що знаходиться на другому поверсі, підняти на третій поверх. Подальше обчислення не складе особливих труднощів:

Таким чином, значення виразу дорівнює -1.

Звичайно, ми розглянули найпростіший приклад, але нашою метою було дізнатися, як можна використовувати змінні для полегшення собі завдання, щоб звести до мінімуму припущення помилок.

Зазначимо також, що рішення для цього прикладу можна записати не застосовуючи змінні. Виглядатиме воно як

Це рішення швидше і коротке і в даному випадку його доцільніше так і записати, але якщо вираз виявиться складним, що складається з декількох параметрів, дужок, коренів і ступенів, то бажано обчислювати його в кілька етапів, заносячи частину його виразів у змінні.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Поняття числа є первинним та основним у математиці. Це поняття пройшло тривалий шлях історичного поступу. Безліч натуральних чисел

виникло у зв'язку з рахунком предметів. Потім під впливом потреб практики та розвитку самої математики було введено цілі числа

та раціональні числа

Де .

Для однозначності запису раціонального числа будемо вважати, що дріб не скоротний, якщо не робитиметься застереження щодо цього.

Введення раціональних чисел, однак, повністю не вирішило важливої практичного завданняпро вимір відрізків. Адже є відрізок, довжина якого є раціональним числом. Прикладом може бути діагональ квадрата, сторона якого дорівнює одиниці.

У зв'язку з цим виникла необхідність запровадження, крім раціональних чисел, та інших чисел – ірраціональних. Довільні числа – раціональні чи ірраціональні – називаються дійсними чи речовими. Безліч дійсних чисел позначають через . Існують різні способи запровадження (визначення) дійсних чисел. Ми зупинимося на способі представлення їх у вигляді нескінченних десяткових дробів

. (1)

Тут - ціле невід'ємне число, при - десяткові цифри. Таким чином, може приймати лише одне із значень . Знак часто у цих записах опускають.

Щоб уявити не рівне нулю раціональне число у вигляді десяткового дробу, виробляємо процес поділу за відомим способом, якому нас вчили в школі:

(2)

Зауважимо, якщо цей спосіб застосувати до іншого запису дробу , то отримаємо той самий результат.

Вважаємо

(3)

і праву частину (3) називаємо десятковим розкладанням числа.

Якщо знаменник дробу має вигляд , де , - цілі невід'ємні числа, то процес (2) закінчується після кінцевого числакроків і виходить кінцевий десятковий дріб

. (4)

Кінцевий десятковий дріб ми будемо записувати також у вигляді біс кінцевого дробу:

Але користуються також іншим записом:

хоча вона виникає з процесу (2).

Отже, мають місце рівності

Дроби і можуть бути прикладами періодичних дробів. Перша їх після цифри має період 0, а друга після цифри має період 9.

Нехай тепер знаменник нескоротного дробуне має вигляду. Тоді процес (2) нескінченний – будь-якому кроці виникає позитивний залишок. Кожен залишок менший, і тому (після того, як цифри числа знесені) вже серед перших залишків, принаймні два, рівні між собою. Але, як тільки виникає залишок, який уже був раніше, процес стає періодичним, що повторюється. Тому, десяткове розкладання довільного раціонального числа має вигляд

(6)

Розкладання (5) та (5´) можна розглядати як окремі випадки (6).

(7)

Розкладання виду (6) називається нескінченним десятковим періодичним дробом.

Отже, кожне не рівне нулю раціональне число можна розкласти за допомогою процесу (2), а у випадку (4) і процесу (5) – у нескінченний періодичний дріб з періодом, відмінним від 9. При цьому можна довести, що різним раціональним числам відповідають різні нескінченні десяткові розкладання. Але й назад: будь-який нескінченний періодичний дріб (6), з періодом, відмінним від 9, породжується за допомогою зазначених процесів(2), (5) деяким раціональним числом, яке обчислюється за формулою

Тут ми дозволили собі через і позначити ціле число, записане відповідно до цифр і .

Наприклад,

Крім періодичних десяткових дробів, існують неперіодичні, наприклад ; .

Ось ще приклад: якщо витягувати корінь квадратний з 2 за відомим правилом, то отримаємо певну нескінченну неперіодичну десяткову дріб. Вона визначена в тому сенсі, що будь-якому натуральному числу відповідає певна цифра, що стоїть на місці після коми і однозначно обчислюється відповідно до правила вилучення квадратного кореня.

(8)

де - ціле невід'ємне число, а - цифри, знак рівності «=» висловлює, що ми позначили праву частину (8) через . Втім, зручно говорити, що права частина (8) є десятковим розкладанням числа .

Раціональні та ірраціональні числа називаються дійсними (або речовими) числами.

Зі сказаного випливає, що всяке не рівне нулю дійсне число може бути записане у вигляді нескінченного десяткового дробу (8). Якщо воно раціональне, то його десяткове розкладання є нескінченний періодичний десятковий дріб. В іншому випадку, згідно з нашим визначенням, вираз (8) сам визначає ірраціональне число.

Не рівний нулю десятковий дріб може бути кінцевим, але він не визначає нового раціонального числа: в силу угод, виражених рівностями (5), (5'), він може бути замінений зазначеними в цих рівностях нескінченними періодичними дробами.

Число , де всі рівні нулю, позитивно чи негативно залежно від цього, чи буде (8) фігурувати чи ; при цьому, як завжди, опускатимемо.

Число 0 теж може бути записане нескінченним десятковим дробом одного з наступних видів:

Дійсні числа визначені поки що формально, треба ще визначити арифметичні операції над ними, ввести поняття і перевірити, що ці операції та поняття узгоджуються з уже наявними відповідними операціями та поняттям для раціональних чисел, а також задовольняють властивостям, які ми пред'являємо до чисел.