Графік швидкості прискореного руху. Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі

Запитання.

1. Запишіть формулу, за якою можна розрахувати векторну проекцію миттєвої швидкостіпрямолінійного рівноприскореного руху, якщо відомі: а) проекція вектора початкової швидкості та проекція вектора прискорення; б) проекція вектора прискорення у тому, що початкова швидкість дорівнює нулю.

2. Що є графіком проекції вектора швидкості рівноприскореного руху при початковій швидкості: а) рівної нулю; б) не дорівнює нулю?

3. Чим подібні і чим відрізняються один від одного рухи, графіки яких представлені на рисунках 11 та 12?

В обох випадках рух відбувається з прискоренням, однак у першому випадку прискорення позитивне, а по-друге негативне.

Вправи.

1. Хокеїст злегка вдарив ключкою по шайбі, надавши їй швидкість 2 м/с. Чому дорівнюватиме швидкість шайби через 4 с після удару, якщо в результаті тертя об лід вона рухається з прискоренням 0,25 м/с 2 ?

2. Лижник з'їжджає з гори зі стану спокою із прискоренням, що дорівнює 0,2 м/с 2 . Через який проміжок часу швидкість зросте до 2 м/с?

3. В тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русідля випадків: а) v ox = 1м/с, ax = 0,5 м/с2; б) v ox = 1м/с, ax = 1 м/с2; в) v ox = 2 м/с, a x = 1 м/с2.
Масштаб у всіх випадках однаковий: 1см-1м/с; 1см – 1с.

4. У тих самих координатних осях побудуйте графіки проекції вектора швидкості (на вісь Х, сонаправленную з вектором початкової швидкості) при прямолінійному рівноприскореному русі для випадків: а) v ox = 4,5 м/с, a x = -1,5 м/с 2; б) v ox = 3 м/с, a x = -1 м/с 2
Масштаб виберіть самі.

5. На малюнку 13 наведено графіки залежності модуля вектора швидкості від часу при прямолінійному русі двох тіл. З яким модулем прискоренням рухається тіло I? тіло ІІ?

3.1. Рівноперемінний рух прямою.

3.1.1. Рівноперемінний рух прямою- рух по прямій з постійним за модулем та напрямом прискоренням:

3.1.2. Прискорення ()- фізична Векторна величина, Що показує, на скільки зміниться швидкість за 1 с.

У векторному вигляді:

де - Початкова швидкість тіла, - швидкість тіла в момент часу t.

У проекції на вісь Ox:

де - проекція початкової швидкості на вісь Ox, - проекція швидкості тіла на вісь Oxу момент часу t.

Знаки проекцій залежать від напрямку векторів та осі Ox.

3.1.3. Графік проекції прискорення від часу.

При рівнозмінному русі прискорення постійно, тому буде прямі лінії, паралельні осі часу (див. рис.):

3.1.4. Швидкість при рівнозмінному русі.

У векторному вигляді:

У проекції на вісь Ox:

Для рівноприскореного руху:

Для рівноуповільненого руху:

3.1.5. Графік проекції швидкості в залежності від часу.

Графік проекції швидкості від часу – пряма лінія.

Напрямок руху: якщо графік (або частина його) знаходиться над віссю часу, то тіло рухається у позитивному напрямку осі Ox.

Значення прискорення: що більше тангенс кута нахилу (що крутіше піднімається вгору чи опускає вниз), то більше вписувалося модуль прискорення; де - зміна швидкості за час

Перетин з віссю часу: якщо графік перетинає вісь часу, то до точки перетину тіло гальмувало (рівноуповільнений рух), а після точки перетину почало розганятися в протилежний бік(Рівноприскорений рух).

3.1.6. Геометричний змістплощі під графіком в осях

Площа під графіком, коли на осі Ойвідкладено швидкість, а на осі Ox- Час - це шлях, пройдений тілом.

На рис. 3.5 намальовано випадок рівноприскореного руху. Шлях у даному випадкубуде дорівнює площітрапеції: (3.9)

3.1.7. Формули для розрахунку шляху

Усі формули, подані у таблиці, працюють лише за збереженні напрями руху, тобто до перетину прямий з віссю часу графіку залежності проекції швидкості від часу.

Якщо ж перетин відбувся, то рух простіше розбити на два етапи:

до перетину (гальмування):

Після перетину (розгін, рух у зворотний бік)

У формулах вище – час від початку руху до перетину з віссю часу (час до зупинки), – шлях, який пройшло тіло від початку руху до перетину з віссю часу, – час, що пройшов з моменту перетину осі часу до даного моменту t, - шлях, який пройшло тіло в зворотному напрямкуза час, що минув з перетину осі часу до цього моменту t, - Модуль вектора переміщення за весь час руху, L- Шлях, пройдений тілом за весь час руху.

3.1.8. Переміщення за секунду.

За час тіло пройдешлях:

За час тіло пройде шлях:

Тоді за -ий проміжок тіло пройде шлях:

За проміжок можна приймати будь-який відрізок часу. Найчастіше с.

Тоді за першу секунду тіло проходить шлях:

За другу секунду:

За 3 секунду:

Якщо уважно подивимося, то побачимо, що й т.д.

Таким чином, приходимо до формули:

Словами: шляхи, прохідні тіломза послідовні проміжки часу співвідносяться між собою як ряд непарних чисел і це не залежить від того, з яким прискоренням рухається тіло. Підкреслимо, що це співвідношення справедливе за

3.1.9. Рівняння координати тіла при рівнозмінному русі

Рівняння координати

Знаки проекцій початкової швидкості та прискорення залежать від взаємного розташуваннявідповідних векторів та осі Ox.

Для вирішення завдань до рівняння необхідно додавати рівняння зміни проекції швидкості на вісь:

3.2. Графіки кінематичних величин під час прямолінійного руху

3.3. Вільне падіння тіла

Під вільним падінням мається на увазі наступна фізична модель:

1) Падіння відбувається під впливом сили тяжіння:

2) Опір повітря відсутній (у завданнях іноді пишуть «опір повітря знехтувати»);

3) Усі тіла, незалежно від маси падають з однаковим прискоренням (іноді додають – «незалежно від форми тіла», але ми розглядаємо рух тільки матеріальної точкитому форма тіла вже не враховується);

4) Прискорення вільного падіння спрямовано строго вниз і поверхні Землі одно (у завданнях часто приймаємо зручності підрахунків);

3.3.1. Рівняння руху у проекції на вісь Ой

На відміну від руху горизонтальною прямою, коли далеко не всіх завдань відбувається зміна напрямку руху, при вільному падінні найкраще відразу користуватися рівняннями, записаними в проекціях на вісь Ой.

Рівняння координати тіла:

Рівняння проекції швидкості:

Як правило, у завданнях зручно вибрати вісь Ойнаступним чином:

Ось Ойспрямована вертикально догори;

Початок координат збігається з рівнем Землі або найнижчою точкою траєкторії.

При такому виборі рівняння і перепишуться в наступному вигляді:

3.4. Рух у площині Oxy.

Ми розглянули рух тіла з прискоренням по прямій. Однак цим рівнозмінний рухне обмежується. Наприклад, тіло, кинуте під кутом до горизонту. У таких завданнях необхідно враховувати рух одразу по двох осях:

Або у векторному вигляді:

І зміна проекції швидкості на обидві осі:

3.5. Застосування поняття похідної та інтегралу

Ми не будемо наводити тут докладне визначенняпохідної та інтеграла. Для вирішення завдань нам знадобиться лише невеликий набір формул.

Похідна:

де A, Bтобто постійні величини.

Інтеграл:

Тепер подивимося, як поняття похідної та інтеграла застосовується до фізичних величин. У математиці похідна позначається """, у фізиці похідна за часом позначається "∙" над функцією.

Швидкість:

тобто швидкість є похідною від радіусу-вектора.

Для проекції швидкості:

Прискорення:

тобто прискорення є похідною від швидкості.

Для проекції прискорення:

Таким чином, якщо відомий закон руху, то легко можемо знайти і швидкість і прискорення тіла.

Тепер скористаємося поняттям інтегралу.

Швидкість:

тобто, швидкість можна знайти як інтеграл у часі від прискорення.

Радіус-вектор:

тобто, радіус-вектор можна знайти, взявши інтеграл від функції швидкості.

Таким чином, якщо відома функція, то легко можемо знайти і швидкість, і закон руху тіла.

Константи у формулах визначаються з початкових умов- значення та в момент часу

3.6. Трикутник швидкостей та трикутник переміщень

3.6.1. Трикутник швидкостей

У векторному вигляді при постійному прискоренні закон зміни швидкості має вигляд (3.5):

Ця формула означає, що вектор дорівнює векторній сумі векторів і векторну суму завжди можна зобразити малюнку (див. рис.).

У кожній задачі, залежно від умов, трикутник швидкостей матиме свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує розв'язання задачі.

3.6.2. Трикутник переміщень

У векторному вигляді закон руху при постійному прискоренні має вигляд:

При вирішенні завдання можна вибирати систему відліку найбільш зручним чином, тому не втрачаючи спільності, можемо вибрати систему відліку так, що тобто початок системи координат поміщаємо в точку, де в початковий моментзнаходиться тіло. Тоді

тобто вектор дорівнює векторній сумі векторів і Зобразимо малюнку (див. рис.).

Як і в попередньому випадку, залежно від умов трикутник переміщень буде мати свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує розв'язання задачі.

Цей відеоурок присвячений темі Швидкість прямолінійного рівноприскореного руху. Графік швидкості». У ході заняття учні повинні згадати таку фізичну величину, як прискорення. Потім вони дізнаються, як визначити швидкості прямолінійного рівноприскореного руху. Після цього вчитель розповість, як правильно будувати графік швидкості.

Згадаймо, що таке прискорення.

Визначення

Прискорення- це фізична величинаяка характеризує зміну швидкості за певний проміжок часу:

Тобто прискорення - це величина, що визначається зміною швидкості за час, протягом якого ця зміна сталася.

Ще раз про те, що такий рівноприскорений рух

Розглянемо завдання.

Автомобіль за кожну секунду збільшує швидкість на . Чи рухається автомобіль рівноприскорено?

На перший погляд, здається, так, адже за рівні проміжки часу швидкість збільшується на рівні величини. Розглянемо детальніше рух протягом 1 с. Можливий такий випадок, що перші 0,5 с автомобіль рухався рівномірно і збільшив свою швидкість за другі 0,5 с. Могла бути й інша ситуація: автомобіль розганявся на перші, а ті, що залишилися, рухався поступово. Такий рух не буде рівноприскореним.

За аналогією з рівномірним рухом введемо коректне формулювання рівноприскореного руху.

Рівноприскоренимназивається такий рух, при якому тіло за БУДЬ-ЯКІ рівні проміжки часу змінює свою швидкість на однакову величину.

Часто рівноприскореним називають такий рух, при якому тіло рухається з постійним прискоренням. Самим простим прикладомрівноприскореного руху є вільне падіннятіла (тіло падає під впливом сили тяжкості).

Скориставшись рівнянням, що визначає прискорення, зручно записати формулу для обчислення миттєвої швидкості будь-якого проміжку та для будь-якого моменту часу:

Рівняння швидкості в проекціях має вигляд:

Це рівняння дозволяє визначити швидкість у будь-який момент руху тіла. Працюючи із законом зміни швидкості від часу необхідно враховувати напрям швидкості стосовно обраної СО.

До питання про напрям швидкості та прискорення

У рівномірному русінапрямок швидкості і переміщення завжди збігаються. У разі рівноприскореного руху напрямок швидкості не завжди збігається з напрямком прискорення і не завжди напрямок прискорення вказує напрямок руху тіла.

Розглянемо найбільш типові прикладинапрями швидкості та прискорення.

1. Швидкість та прискорення спрямовані в одну сторону вздовж однієї прямої (рис. 1).

Рис. 1. Швидкість та прискорення спрямовані в одну сторону вздовж однієї прямої

У цьому випадку тіло розганяється. Прикладами такого руху можуть бути вільне падіння, початок руху та розгін автобуса, старт та розгін ракети.

2. Швидкість та прискорення спрямовані у різні сторонивздовж однієї прямої (рис. 2).

Рис. 2. Швидкість та прискорення спрямовані у різні сторони вздовж однієї прямої

Такий рух іноді називають рівноповільним. У такому разі кажуть, що тіло гальмує. Зрештою воно або зупиниться, або почне рухатися в протилежному напрямку. Приклад такого руху – камінь, підкинутий вертикально вгору.

3. Швидкість та прискорення взаємно перпендикулярні (рис. 3).

Рис. 3. Швидкість та прискорення взаємно перпендикулярні

Прикладами такого руху є рух Землі навколо Сонця та рух Місяця навколо Землі. У цьому випадку траєкторією руху буде коло.

Отже, напрям прискорення який завжди збігається з напрямом швидкості, але завжди збігається з напрямом зміни швидкості.

Графік швидкості(проекції швидкості) є закон зміни швидкості (проекції швидкості) від часу для рівноприскореного прямолінійного рухупредставлений графічно.

Рис. 4. Графіки залежності проекції швидкості від часу для рівноприскореного прямолінійного руху

Проаналізуємо різноманітні графіки.

Перший. Рівняння проекції швидкості: . Зі збільшенням часу швидкість також збільшується. Зверніть увагу, що на графіку, де одна з осей – час, а інша – швидкість, буде пряма лінія. Починається ця лінія з точки, що характеризує початкову швидкість.

Другий – це залежність при негативне значенняпроекції прискорення, коли рух уповільнено, тобто швидкість модуля спочатку зменшується. У цьому випадку рівняння виглядає так:

Графік починається в точці і продовжується до точки перетину осі часу. У цій точці швидкість тіла дорівнює нулю. Це означає, що тіло зупинилося.

Якщо ви уважно подивіться на рівняння швидкості, то згадайте, що в математиці була схожа функція:

Де і деякі постійні, наприклад:

Рис. 5. Графік функції

Це рівняння пряме, що підтверджується графіками, розглянутими нами.

Щоб остаточно розібратися з графіком швидкості, розглянемо окремі випадки. У першому графіку залежність швидкості від часу пов'язані з тим, що початкова швидкість, , дорівнює нулю, проекція прискорення більше нуля.

Запис цього рівняння. Сам вид графіка досить простий (графік 1).

Рис. 6. Різні випадкирівноприскореного руху

Ще два випадки рівноприскореного рухупредставлені наступних двох графіках. Другий випадок – це ситуація, коли спочатку тіло рухалося з негативною проекцією прискорення, а потім почало розганятися у позитивному напрямку осі.

Третій випадок - це ситуація, коли проекція прискорення менша за нуль і тіло безперервно рухається в напрямку, протилежному позитивному напрямку осі. У цьому модуль швидкості постійно зростає, тіло прискорюється.

Графік залежності прискорення від часу

Рівноприскорений рух - це рух, при якому прискорення тіла не змінюється.

Розглянемо графіки:

Рис. 7. Графік залежності проекцій прискорення від часу

Якщо якась залежність є постійною, то на графіку вона зображується прямою, паралельної осіабсцис. Прямі I та II - прямі рухи для двох різних тіл. Зверніть увагу, що пряма I лежить вище за прямий абсцис (проекція прискорення позитивна), а пряма II - нижче (проекція прискорення негативна). Якби рух був рівномірним, то проекція прискорення збіглася б із віссю абсцис.

Розглянемо рис. 8. Площа фігури, обмеженої осями, графіком та перпендикуляром до осі абсцис, дорівнює:

Твір прискорення та часу - це зміна швидкості за цей час.

Рис. 8. Зміна швидкості

Площа фігури, обмеженої осями, залежністю та перпендикуляром до осі абсцис, чисельно дорівнює зміні швидкості тіла.

Ми використовували слово «чисельно», оскільки одиниці виміру площі та зміни швидкості не збігаються.

на даному уроціми познайомилися з рівнянням швидкості та навчилися графічно зображувати дане рівняння.

Список літератури

1. Кікоїн І.К., Кікоїн А.К. Фізика: Підручник для 9 класу середньої школи. - М: «Просвіта».
2. Перишкін А.В., Гутнік Є.М., Фізика. 9 кл.: Підручник для загальноосвіт. установ/А.В. Перишкін, Е.М. Гутник. - 14-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.
3. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Фізика: Довідник із прикладами розв'язання задач. - 2-ге видання переділ. – X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.

1. Інтернет-портал «class-fizika.narod.ru» ()
2. Інтернет-портал «youtube.com» ()
3. Інтернет-портал «fizmat.by» ()
4. Інтернет-портал «sverh-zadacha.ucoz.ru» ()

Домашнє завдання

1. Що таке рівноприскорений рух?

2. Охарактеризуйте рух тіла та визначте пройдений шлях тіла за графіком за 2 с від початку руху:

3. На якому з графіків зображено залежність проекції швидкості тіла від часу при рівноприскореному русі при ?

Для побудови цього графіка на осі абсцис відкладають час руху, але в осі ординат - швидкість (проекцію швидкості) тіла. У рівноприскореному русі швидкість тіла з часом змінюється. Якщо тіло рухається вздовж осі Ох, залежність його швидкості від часу виражається формулами
v x = v 0x + a x t і v x = at (при v 0x = 0).

З цих формул видно, що залежність v x від t лінійна, отже графіком швидкості є пряма лінія. Якщо тіло рухається з деякою початковою швидкістю, ця пряма перетинає вісь ординат у точці v0x. Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, графік швидкості проходить через початок координат.

Графіки швидкості прямолінійного рівноприскореного руху зображено на рис. 9. На цьому малюнку графіки 1 та 2 відповідають руху з позитивною проекцією прискорення на вісь О х (швидкість збільшується), а графік 3 відповідає руху з негативною проекцією прискорення (швидкість зменшується). Графік 2 відповідає руху без початкової швидкості, а графіки 1 і 3 - руху з початковою швидкістю v ox . Кут нахилу графіка до осі абсцис залежить від прискорення руху тіла. Як видно із рис. 10 та формули (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

За графіками швидкості можна визначити шлях, пройдений тілом за проміжок часу t. Для цього визначимо площу трапеції та трикутника, зафарбованих на рис. 11.

У вибраному масштабі одна основа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції початкової швидкості v 0x тіла, а інша її основа - модулю прокції його швидкості v x в момент часу t. Висота трапеції чисельно дорівнює тривалості проміжку часу t. Площа трапеції

S = (v 0x + v x) / 2t.

Використавши формулу (1.11), після перетворень знаходимо, що площа трапеції

S = 0x t + at 2 /2.

шлях, пройдений у прямолінійному рівноприскореному русі з початковою швидкістю, чисельно дорівнює площі трапеції, обмеженої графіком швидкості, осями координат та ординатою, що відповідає значенню швидкості тіла на момент часу t.

У вибраному масштабі висота трикутника (рис. 11,б) чисельно дорівнює модулю проекції швидкості v х тіла в момент часу t, а основа трикутника чисельно дорівнює тривалості проміжку часу t. Площа трикутника S = v x t/2.

Використавши формулу 1.12, після перетворення знаходимо, що площа трикутника

Права частинаостанньої рівності є виразом, що визначає шлях, пройдений тілом. Отже, шлях, пройдений у прямолінійному рівноприскореному русі без початкової швидкості, чисельно дорівнює площі трикутника, обмеженого графіком швидкості, віссю абсцис та ординатою, що відповідає швидкості тіла в момент часу t.