Безперервність функції та граничний перехід. Граничний перехід у нерівностях

Нехай дано деяку послідовність перенумерованих чисел x 1 , x 2 ,..., x n ,.. ., яку позначимо коротко або (x n ) . Цю послідовність можна записати як функцію від номера n : x n =f(n) , або x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

Будь-яка послідовність буде поставлена, якщо буде вказано правило утворення її членів. Послідовність, як правило, визначається формулами виду x n =f(n) або x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) і т.д., де .

приклад. Послідовність 2, 4, 8, 16, .. . задана формулою x n = 2 n; геометрична прогресія a 1, a 2, ..., a n, .. . може бути визначена формулою a n =a 1 q n-1 або a n =a n-1 q; числа Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . визначаються формулами x n = x n-1 + x n-2 , n = 3, 4, ..., x 1 = 1, x 2 = 1 .

Графік числової послідовності (x n ) утворюється безліччю точок M n (n; f (n)) на площині nOx , тобто графік числової послідовностіскладається з дискретних точок.

Послідовність (x n ) називається зростаючою, якщо виконано умову виду.

Послідовність (x n ) називається спадною, якщо виконано умову виду.

Послідовність (x n ) називається не зростаючою, якщо виконано умову виду.

Послідовність (x n ) називається не спадною , якщо виконано умова виду: .

Такі послідовності називаються монотонними. Інші послідовності - не монотонні.

Поруч називається нескінченна послідовністьбудь-яких об'єктів однакової природи.

приклад.Ряд з чисел - числовий ряд. Ряд із функцій - функціональний ряд.

Порядок проходження елементів ряду - суттєвий. Змінивши порядок, із тих самих елементів отримаємо інший ряд.

Нас тут цікавить лише числовий ряд і його сума, що записується поки що формально (не конструктивно, не формалізовано), тобто сума всіх членів деякої нескінченної числової послідовності u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., або u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Цей ряд можна записати компактно у вигляді

Знак - знак "сигма" або знак суми, послідовного підсумовування всіх елементів u n від нижньої межі n=1 (вказується внизу, може бути будь-яким кінцевим, так і негативною нескінченністю) до верхньої межі(Вказується вгорі, може бути будь-яким числом, великим або рівним нижньому межі, а також позитивною нескінченністю).

Числа u n (n=1, 2, .. .) називаються членами ряду, а u n - спільним членомряду.

приклад. шкільному курсіматематики дається геометрична нескінченно спадна прогресія a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

приклад. Гармонічний ряд чисел- Ряд виду: . Нижче ми розглянемо його детальніше.

Числовий ряд вважатиметься заданим, тобто кожен його елемент буде визначений однозначно, якщо вказано правило знаходження його спільного члена або дана деяка цифрова функціянатурального аргументу , або u n = f(n).

приклад.Якщо , то заданий ряд , або компактного запису:

Якщо заданий гармонійний ряд чисел, його загальний член можна записати як , а сам ряд - як

Дамо визначення кінцевої суми ряду та послідовності таких кінцевих сум.

Кінцева сума n перших членів ряду називається його n-ою частковою сумою і позначається через S n :

Ця сума знаходиться за звичайними правилами підсумовування чисел. Таких сум можна скласти нескінченно багато, тобто для кожного ряду можна розглядати ряд, складений із часткових сум: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . чи послідовність часткових сум, побудованих при цьому ряду: .

Послідовність обмежена зверху , якщо знайдеться таке загальне всім членів послідовності число M , якого перевищують всі члени послідовності, тобто якщо виконано таке умова:

Послідовність чисел обмежена знизу , якщо знайдеться таке загальне всім членів послідовності число m , яке перевершують всі члени послідовності, тобто якщо виконано умова:

Послідовність чисел обмежена , якщо знайдуться такі загальні всім членів послідовності числа m і M , які задовольняють умові:

Число a називається межею числової послідовності(x n ) , якщо існує таке мале число , що всі члени послідовності, за винятком деякої кінцевої кількості перших членів, потрапляють в - околиця числа a , тобто, зрештою, згущуються біля точки a . Таким чином, у проміжок повинні потрапити всі точки x i, i = N 0, N 0 +1, N 0 +2, .. . послідовності. У цьому номер N 0 залежить від обраного числа , тобто (рис. 7.1).

Математично існування межі послідовності можна записати у вигляді:

Цей факт записують коротко у вигляді або , і кажуть, що сходиться до a . Якщо послідовність немає межі, вона називається розбіжною .

З визначення межі безпосередньо слідує: якщо відкинути, додати або змінити кінцеве число членів послідовності, то збіжність не порушується (тобто якщо сходиться вихідна послідовність, то сходиться змінена послідовність) і межі вихідної та отриманої послідовності будуть рівні.

приклад.Припустимо, що де , тобто , , . Цей факт легко доводиться, але ми поки що беремо його як доведений факт. Тоді : . Знайдемо значення номера (якщо такий номер існує). Розглянемо . Правильне таке співвідношення:

Тому, якщо візьмемо номер , то нерівність буде виконано. Наприклад, за значення , отримуємо номер N 0 =99 , тобто , |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

Дамо тепер два еквівалентні визначення межі функції: за допомогою межі послідовності і за допомогою відповідності малих околиць аргументу та значення функції. З виконання одного визначення випливає здійсненність іншого. Нехай функцію y=f(x) визначено , крім, можливо, точки x=x 0 яка є граничною точкою D(f) . У цій точці функція може бути не задано (не визначено) або може мати розрив.

Арифметичні операції над послідовностями, що сходяться, призводять до таких же арифметичних операцій над їх межами. У цьому пункті покажемо, що нерівності, яким задовольняють елементи послідовностей, що сходяться, в межі переходять у відповідні нерівності для меж цих послідовностей.

Теорема. Якщо елементи послідовності, що збігаються ( x n x n ≥ b (x n ≤ b), то і межа aцій послідовності задовольняє нерівності a ≥ b (a ≤ b).

Доведення. Нехай усі елементи x n, принаймні починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність x n ≥ b. Потрібно довести нерівність a ≥ b. Припустимо, що a < b. Оскільки a- межа послідовності ( x n), то для позитивного ε = b - aможна вказати номер Nтакий, що за n ≥ Nвиконується нерівність | x n - a| < b - a. Ця нерівність еквівалентна наступним двом нерівностям: -( b - a) < x n - a < b - a. Використовуючи праву з цих нерівностей, отримаємо x n < bа це суперечить умові теореми. Випадок x n ≤ bрозглядається аналогічно. Теорему доведено.

Зауваження. Елементи послідовності, що збігається ( x n) можуть задовольняти сувору нерівність x n > b, проте при цьому межа aможе виявитися рівним b. Наприклад, якщо , то x n> 0, проте .

Наслідок 1. Якщо елементи x nі y nпослідовностей, що сходяться ( x n) та ( y n), починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності x n ≤ y n, то їхні межі задовольняють таку ж нерівність:

Справді, елементи послідовності ( y n - x n) невід'ємні, а тому невід'ємний та її межа. Звідси слідує що

Наслідок 2. Якщо всі елементи послідовності ( x n) знаходяться на сегменті [ a, b], то її межа cтакож знаходиться у цьому сегменті.

Справді, оскільки a ≤ x n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Наступна теорема грає важливу рольу різних додатках.

Теорема. Нехай ( x n) та ( z n) - послідовності, що сходяться, мають спільну межу a. Нехай, починаючи з деякого номера, елементи послідовності ( y n) задовольняють нерівностям x n ≤ y n ≤ z n. Тоді послідовність ( y n) сходиться і має межу a.

Доведення. Нам достатньо довести, що послідовність ( y n - a) є нескінченно малою. Позначимо через N*номер, починаючи з якого виконуються нерівності, зазначені за умови теореми. Тоді, починаючи з цього ж номера, виконуватимуться також нерівності x n - a ≤ y n - a ≤ z n - a. Звідси випливає, що за n ≥ N*елементи послідовності ( y n - a) задовольняють нерівності

|y n - a| ≤ max (| x n - a|, |z n - a|}.

Так як і , то для будь-кого ε > 0 можна вказати номери N 1 та N 2 такі, що при n ≥ N 1 |x n - a| < ε , а при n ≥ N 2 |z n - a| < ε . Нехай N= max( N*, N 1 , N 2). Починаючи з цього номера має місце нерівність | y n - a| < ε . Отже, послідовність ( y n - a) - нескінченно мала. Теорему доведено.

Формулювання:Якщо існують 3 послідовності, елементи однієї з яких, починаючи з деякого номера, будуть між елементами двох інших при рівних номерах, а також 2 інші послідовності мають кінцеві межі, і ці межі рівні, то наша послідовність теж буде сходитися до кінцевої межі,ця межа буде дорівнює межамдвох інших послідовностей.

Доведення:

а n межа а n дорівнює d і межа c n дорівнює d
(!) Що у послідовності b n теж є межа і він дорівнює d
розглянемо E>0
межа n дорівнює d, отже існує номер N 1, починаючи з якого | а n -d | межа c n дорівнює d, отже існує номер N 2 , починаючи з якого | а n -d | виберемо найбільший номер (N)
тоді:
E-d<а n тобто E-d що й потрібна була довести.