Фізичний сенс бінома Ньютона. Знаходження певного члена

Кур'якова Тетяна Сергіївна

вчитель математики МОУ «ЗОШ №36», м. Ангарськ

Біном Ньютона – одне з тим, розгляд яких сприяє глибинному розумінню учнями лише комбінаторних понять, а й формул скороченого множення. У цій статті представлено один із варіантів лекції для старшокласників на тему «Біном Ньютона».

Тема: «Біном Ньютона»

План лекції 1. Поняття бінома Ньютона

2. Властивості бінома та біноміальних коефіцієнтів

3. Типові завданняна тему «Біном Ньютона»

4. Завдання, що зводяться до використання формули бінома Ньютона (нестандартні завдання на тему «Біном Ньютона»)

Література

1. Збірник конкурсних завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І.Сканаві: Навч. допомога. Санкт-Петербург, 1995. - С.84.

2. Супрун В.П. Вибрані завдання підвищеної складності математики. Мн.: Пламя, 1998. - 108с.

Поняття бінома Ньютона

Біномом Ньютона називають розкладання виду:

Але, строго кажучи, усю формулу не можна назвати біномом, тому що «біном» перекладається як «двучлен». Крім того, формула розкладання була відома ще до Ньютона, Ісаак Ньютон поширив це розкладання на випадок n

Цільвивчення бінома Ньютона - спрощення обчислювальних процесів.

Компонентиформули «біном Ньютона»:

Практична значимість трикутника Паскаля у тому, що з його допомогою можна запросто відновлювати з пам'яті як відомі формули квадратів суми і різниці, а й формули куба суми (різниці), четвертої ступеня і від.

Наприклад, четвертий рядок трикутника якраз наочно демонструє біномні коефіцієнти для бінома четвертого ступеня:

Альтернатива трикутнику Паскаля:

перемножити почленно чотири дужки:

згадати розкладання бінома Ньютона четвертого ступеня:

де Т - Член розкладання;
– порядковий номерчлена розкладання.

– 2 –

Властивості бінома та біноміальних коефіцієнтів

Доведення

Розглянемо член розкладання:

Сума показників ступенів aі b:

Доведення

Нехай
тоді:

Тоді:

Доказ – самостійно

– 3 –

Типові завдання на тему «Біном Ньютона»

До типових (стандартних) завдань на цю тему можна віднести завдання на обчислення, серед яких:

Знайти член (номер члена) розкладання бінома

Вивести біном за відомими членами розкладання (за відомою сумою)

Обчислити суму біномних коефіцієнтів розкладання бінома

та інші.

Продемонструємо на прикладах (їхнє рішення нескладне, тому більшість пропонуємо вирішити самостійно).

Приклад 1

Розкласти за формулою біном

Рішення – самостійно

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на знак чергування!

Приклад 2

Знайти шостий член розкладання

Рішення – самостійно

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на знак!

Краще починати міркування з наступного:

Приклад 3

Знайдіть два середніх члени розкладання

Рішення – самостійно

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на те, що ці члени рівновідстоять від кінця, тому їх біномні коефіцієнти будуть рівні.

НЕ ЗАБУДЬТЕ у процесі рішення проводити перетворення ступенів з однаковими підставами (тобто спрощувати).

Приклад 4

У біноміальному розкладанні
знайти член розкладання, що не містить х

Так як у розкладанні ми шукаємо член, що не містить х, то

Відповідь:

– 4 –

Завдання, що зводяться до використання формули бінома Ньютона

(Нестандартні завдання на тему «Біном Ньютона»)

До нестандартних завдань на цю тему можна віднести такі, у яких немає явного натяку необхідність використання бінома. Однак у результаті рішення зводиться до нього і виглядає дуже цікавим.

Приклад 5

Довести, що для будь-яких
і для будь-яких
вірно нерівність Бернуллі :

Доведення

Нехай

Оскільки , то

Переформулюємо вимогу: Довести, що
, де

Так як
, значить у розкладанні як мінімум три члени розкладання, тоді:

Це означає, що

Приклад 6

Довести, що

Доказ – самостійно

(Підказка: використовуйте нерівність Бернуллі)

Приклад 7

Довести, що за будь-якого натурального nчисло ділиться на 9

Доведення

Почнемо розглядати біном у загальному вигляді:

Приклад 8

Вирішити рівняння

Здійснимо заміну:

Тоді рівняння перепишемо:

Застосуємо формулу бінома до лівої частини рівняння:

Відповідь:
Нестандартні завдання... Найпростіші імовірнісні завдання+ + + 124-130 Поєднання та розміщення. Формула бінома Ньютона. + ...

Розглянемо такі вирази зі ступенями (a + b) n , де a + b є будь-яким біном, а n – ціле число.

Кожен вираз – це поліном. У всіх виразах можна побачити особливості.

1. У кожному виразі на один доданок більше, ніж показник ступеня n.

2. У кожному доданку сума ступенів дорівнює n, тобто. ступеня, в яку зводиться біном.

3. Ступені починаються зі ступеня бінома n та зменшуються до 0. Останній членнемає множника a. Перший член немає множника b, тобто. ступеня b починаються з 0 та збільшуються до n.

4. Коефіцієнти починаються з 1 і збільшуються на певні значеннядо "половини шляху", а потім зменшуються на ті ж значення назад до 1.

Давайте розглянемо коефіцієнти докладніше. Припустимо, що хочемо знайти значення (a + b) 6 . Відповідно до особливості, яку ми щойно помітили, тут має бути 7 членів
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Але як ми можемо визначити значення кожного коефіцієнта, c i? Ми можемо зробити це двома шляхами. Перший метод включає написання коефіцієнтів трикутником, як показано нижче. Це відомо як Трикутник Паскаля :


Є багато особливостей у трикутнику. Знайдіть стільки, скільки можете.
Можливо ви знайшли шлях, як записати наступний рядок чисел, використовуючи числа у рядку вище. Одиниці завжди розташовані на всі боки. Кожне число, що залишилося, це сума двох чисел, розташованих вище цього числа. Давайте спробуємо знайти значення виразу (a + b) 6 шляхом додавання наступного рядка, використовуючи особливості, які ми знайшли:

Ми бачимо, що в останньому рядку

першої та останньої числа 1 ;
друге число дорівнює 1 + 5, або 6 ;
третє число це 5+10, або 15 ;
четверте число це 10 + 10, або 20 ;
п'яте число це 10 + 5, або 15 ; і
шосте число це 5 + 1, або 6 .

Таким чином, вираз (a + b) 6 дорівнюватиме
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .

Для того, щоб звести в ступінь (a + b) 8 , ми доповнюємо два рядки до трикутника Паскаля:

Тоді
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Ми можемо узагальнити наші результати в такий спосіб.

Біном Ньютона з використанням трикутника Паскаля

Для будь-якого бінома a+ b та будь-якого натурального числа n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
де числа c0, c1, c2, ...., cn-1, cn взяті з (n + 1) ряду трикутника Паскаля.

Приклад 1Зведіть до ступеня: (u - v) 5 .

РішенняУ нас є (a + b) n , де a = u, b = -v, і n = 5. Ми використовуємо шість рядів трикутника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тоді ми маємо
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Зверніть увагу, що знаки членів коливаються між + та -. Коли ступінь -v є непарним числом, знак -.

Приклад 2Зведіть у ступінь: (2t + 3/t) 4 .

РішенняУ нас є (a + b) n , де a = 2t, b = 3/t, і n = 4. Ми використовуємо 5 ряд трикутника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тоді ми маємо

Розкладання бінома використовуючи значення факторіалу

Припустимо, що хочемо знайти значення (a + b) 11 . Недолік у використанні трикутника Паскаля в тому, що ми повинні обчислити всі попередні трикутники, щоб отримати необхідний ряд. Наступний метод дозволяє уникнути цього. Він також дозволяє знайти певний рядок – скажімо, 8-й рядок – без обчислення всіх інших рядків. Цей метод корисний у обчисленнях, статистиці і він використовує біномне позначення коефіцієнта .
Ми можемо сформулювати біном Ньютона так.

Біном Ньютона з використанням позначення факторіалу

Для будь-якого бінома (a + b) та будь-якого натурального числа n,
.

Біном Ньютона може бути доведений методом математичної індукції. Вона показує чому називається біномінальним коефіцієнтом .

Приклад 3Зведіть до ступеня: (x 2 - 2y) 5 .

РішенняМи маємо (a + b) n , де a = x 2 , b = -2y, і n = 5. Тоді, використовуючи біном Ньютона, ми маємо


Нарешті, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Приклад 4Зведіть у ступінь: (2/x + 3√x) 4 .

РішенняУ нас є (a + b) n , де a = 2/x, b = 3√x і n = 4. Тоді, використовуючи біном Ньютона, ми отримаємо


Finally (2/x + 3√x) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Знаходження певного члена

Припустимо, що хочемо визначити той чи інший член термін з висловлювання. Метод, який ми розробили, дозволить нам знайти цей член без обчислення всіх рядків трикутника Паскаля чи всіх попередніх коефіцієнтів.

Зверніть увагу, що в біном Ньютона дає нам 1-й член, дає нам 2-й член, дає нам 3-й член і так далі. Це може бути узгоджено наступним чином.

Знаходження (k+1) члена

(k + 1) член виразу (a + b) n є .

Приклад 5Знайдіть 5-й член у виразі (2x – 5y) 6 .

РішенняПо-перше, відзначаємо, що 5 = 4 + 1. Тоді k = 4, a = 2x, b = -5y, і n = 6. Тоді 5-й член виразу буде

Приклад 6Знайдіть 8-й член у виразі (3x - 2) 10 .

РішенняПо-перше, відзначаємо, що 8 = 7 + 1. Тоді k = 7, a = 3x, b = -2 та n = 10. Тоді 8-й член виразу буде

Загальна кількість підмножин

Припустимо, що множина має n об'єктів. Число підмножин, що містять k елементів є . Загальне числопідмножин множини є число підмножин з 0 елементами, а також число підмножин з 1 елементом, а також число підмножин з 2 елементами і так далі. Загальна кількість підмножин множини з n елементами є
.
Тепер розглянемо зведення в ступінь (1 + 1) n:

.
Так. Загальна кількістьпідмножин (1 + 1) n, або 2 n. Ми довели таке.

Повна кількість підмножин

Повне число підмножин множини з n елементами дорівнює 2 n.

Приклад 7Скільки підмножин має множину (A, B, C, D, E)?

РішенняБезліч має 5 елементів, тоді число підмножин дорівнює 25, або 32.

Приклад 8Мережа ресторанів Венді пропонує таку начинку для гамбургерів:
{кетчуп, гірчиця, майонез, помідори, салат, цибуля, гриби, оливки, сир}.
Скільки різних видівгамбургерів може запропонувати Венді, виключаючи розміри гамбургерів чи їх кількість?

РішенняНачинки на кожен гамбургер є елементами підмножини багатьох можливих начинок, а порожня безлічце просто гамбургер. Загальна кількість можливих гамбургерів дорівнюватиме

. Таким чином, Венді може запропонувати 512 різних гамбургерів.

Наука та життя // Ілюстрації

Блез Паскаль (1623-1662).

Ісаак Ньютон (1643-1727).

Трикутник Паскаля.

Сьогодні, як і років тридцять-сорок тому, абітурієнти вступних іспитіву вуз традиційно побоюються витягнути квиток із питанням про біном Ньютона. (Автор формули - великий англійський фізик, математик, астроном і філософ сер Ісаак Ньютон.) Справа не тільки в тому, що формула видається складною. Вивчення її то включали до програми середньої школи, то виводили за рамки основного курсу, але в серйозних вишах екзаменатори запитували і продовжують запитувати про біном Ньютона.

Насправді боятися тут особливо нема чого. Біном Ньютона - формула розкладання довільної натурального ступенядвочлена ((a+b)^n \) в многочлен. Кожен з нас знає напам'ять формули «квадрату суми» ((a+b)^2) і «куба суми» ((a+b)^3), але при збільшенні показника ступеня з визначенням коефіцієнтів при членах многочлена починаються Проблеми. Щоб не помилитися і застосовується формула бінома Ньютона:

\[(a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

У загальному вигляді формула коефіцієнтів у біномі записується так:

\[ C_(n)^(k) = \frac(n){k!(n-k)!} \]!}

де k -порядковий номер доданку в багаточлені.

Нагадаємо, що факторіал – твір натуральних чиселвід 1 до n,тобто \(1*2*3*\ldots*n \) - позначається n!,наприклад, (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 \).

Запам'ятати формулу справді непросто. Але спробуємо її проаналізувати. Видно, що у будь-якому багаточлені присутні a nі b nз коефіцієнтами 1. Ясно також, що кожен інший член багаточлена виглядає як добуток певних ступенів кожного з доданків двочлена (a+b),причому сума ступенів завжди дорівнює n. Наприклад, у виразі \[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сума ступенів співмножників у всіх членах дорівнює трьом (3, 2+1, 1+2, 3). Те саме справедливо і для будь-якого іншого ступеня. Питання лише тому, які коефіцієнти слід ставити при членах.

Мабуть, для того, щоб полегшити працю школярів і студентів, великий французький математик і фізик Блез Паскаль триста п'ятдесят років тому придумав спеціальний інструментвизначення цих самих коефіцієнтів - «трикутник Паскаля».

Будується він так. У вершині трикутника пишемо 1. Одиниця відповідає виразу \((a+b)^0, \) оскільки будь-яке число, зведене в нульовий ступінь, дає одиницю. Добудовуючи трикутник нижче пишемо ще по одиниці. Це коефіцієнти розкладання того ж двочлена, зведеного в перший ступінь: ((a + b) ^ 1 = a + b. \) Ідемо далі. Сторони трикутника утворюють одиниці, а між ними – сума двох одиниць, що знаходяться зверху, тобто 2. Це і є коефіцієнти тричлену «квадрат суми»:

\[a^2 + 2ab + b^2. \]

Наступний ряд, як і попередній, починається і закінчується одиницями, а між ними - суми цифр, що знаходяться зверху: 1, 3, 3, 1. Ми отримали коефіцієнти розкладання куба суми. Ряд коефіцієнтів двочлена четвертого ступеня становитимуть 1, 4, 6, 4, 1 тощо.

Для прикладу з допомогою трикутника Паскаля розкладемо в многочлен суму двочленів шостою:

\[(a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Все дуже нескладно та запам'ятовується на все життя. До речі, самостійно згадати та вивести формулу бінома Ньютона, намалювавши на чернетці трикутник Паскаля, теж набагато простіше.

Деякі історики науки приписують Блезу Паскалю авторство як трикутника, що дозволяє знаходити біномні коефіцієнти, а й самої формули бінома. Вони вважають, що Паскаль вивів її трохи раніше за Ньютона, а той лише узагальнив формулу для різних показниківступенів.