Певний інтеграл як функція верхньої межі.

На сьогоднішній лекції ми продовжимо вивчення певного інтеграла та отримаємо формулу для його обчислення. Як ми побачимо пізніше, певний інтеграл дорівнює прирощеннюпервісної, і є постійне число, рівне площі криволінійної трапеції. Тому всі методи обчислення невизначеного інтеграла справедливі й у певного інтеграла.

Запитання 1. Основні властивостіпевного інтегралу

Інтеграл

був введений для випадку a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Властивість 1. .

Ця формула виходить із (1) за умови, що всі Δx i = 0.

Властивість 2. .

Ця формула виходить з (1) за умови, що відрізок пробігається в зворотному напрямку(Від b до а), тобто. всі Δx i< 0.

Властивість 3. (властивість адитивності)

Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку та a< c < b, то

. (2)

Рівність (2) справедлива при будь-якому розташуванні точок а, b і з (вважаємо, що функція f(x) інтегрована на більшому з відрізків, що виходять).

Властивість 4.

Постійний множникможна виносити знак певного інтеграла, тобто.

,

де k = const.

Властивість 5.

Визначений інтегралвід алгебраїчної сумидвох функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів цих функцій, тобто.

.

Зауваження

1. Властивість 5 поширюється на суму будь-якого кінцевого числадоданків.
2. Властивості 4 і 5 в сукупності є властивість лінійностіпевного інтегралу.

Запитання 2. Оцінки інтеграла. Теорема про середнє

1. Якщо скрізь на відрізку функція f(x) ≥ 0, то .

2. Якщо скрізь на відрізку f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функції f(x), визначеної на відрізку , має місце нерівність .

Зокрема, якщо всюди на відрізку то та .

4. Якщо m та М – відповідно найменше та найбільше значенняфункції f(x) на відрізку , то .

Т.2.1. (теорема про середнє)

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то цьому відрізку існує точка з, така, що

. (3)

Рівність (3) називається формулою середнього значенняа величина f(c) - називається середнім значенням функції f(x) на відрізку.

Запитання 3. Певний інтеграл як функція верхньої межі

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку , вона інтегрована і будь-якому меншому відрізку, тобто. для "xÎ існує інтеграл

Для того щоб не змішувати позначення межі та змінної інтегрування, позначимо змінну інтегрування через t. Тоді інтеграл (4) запишеться у вигляді. Величина цього інтеграла є функцією верхньої межі х і позначається Ф(х):

. (5)

Функція Ф(х) називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

Розглянемо деякі властивості функції Ф(х).

Т.3.1.(безперервність функції Ф(х))

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то функція Ф(x) буде так само безперервна на відрізку .

Т.3.2.(диференціювання функції Ф(х))

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то функція Ф(x) диференційована будь-який внутрішньої точких цього відрізка, причому справедлива рівність

.

Слідство

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то для цієї функції існує первісна на даному відрізку, причому функція Ф(x) - інтеграл зі змінною верхньою межею є первісною для функції f(x).

Оскільки будь-яка інша первісна для функції f(x) відрізняється від Ф(x) тільки на постійне доданок, можна встановити

Нехай функція f(t) визначена і безперервна на деякому проміжку, що містить точку a.Тоді кожному числу xз цього проміжку можна поставити у відповідність число

I(x) = I(x +x) – I(x) =

Як показано на малюнку 23, величина останнього інтеграла у формулі для збільшення  I(x) дорівнює площі криволінійної трапеції, позначеної штрихуванням. При малих величинах  x(Тут, так само як і скрізь у цьому курсі, говорячи про малі величини прирощень аргументу або функції, маємо на увазі абсолютні величини прирощень, так як самі прирощення можуть бути і позитивними і негативними) ця площа виявляється приблизно рівною площі прямокутника, позначеного на малюнку подвійний штрихуванням. Площа прямокутника визначається формулою f(x)x. Звідси отримуємо співвідношення

.

В останній наближеній рівності точність наближення тим вища, чим менша величина  x.

Зі сказаного випливає формула для похідної функції I(x):

.

Похідна певного інтеграла по верхній межі в точціx дорівнює значенню підінтегральної функції у точціx. Звідси випливає, що функція
є первісною для функції f(x), причому такою первісною, яка приймає у точці x = aзначення, рівне нулю. Цей факт дає можливість уявити певний інтеграл у вигляді

. (9)

Нехай F(x)теж є первісною для функції f(x), тоді за теоремою про загальному виглядівсіх первісних функцій I(x) = F(x) + C, де C- Деяке число. При цьому права частина формули (9) набуває вигляду

I(x) – I(a) = F(x) + C– (F(a) +C) = F(x) – F(a). (10)

З формул (9) та (10) після заміни xна bслідує формула для обчислення певного інтеграла від функції f(t) по проміжку [ a;b]:

,

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца. Тут F(x)- будь-яка первісна функції f(x).

Для того щоб обчислити певний інтеграл від функції f(x) по проміжку [ a;b], потрібно знайти якусь первісну F(x) функції f(x) і підрахувати різницю значень первісної в точках bі a. Різниця цих значень первісної прийнято позначати символом .

Наведемо приклади обчислення певних інтегралів за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

приклади. 1.
.

2.
.

Спочатку обчислимо невизначений інтегралвід функції f(x) = xe x. Використовуючи метод інтегрування частинами, отримуємо:
. Як первісна функція f(x) виберемо функцію e x (x- 1) і застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

I = e x (x – 1)= 1.

При обчисленні певних інтегралів можна застосовувати формулу заміни змінної у певному інтегралі:

.

Тут  і  визначаються відповідно з рівнянь  ( ) = a;  ( ) = b, а функції f,  ,  повинні бути безперервними на відповідних проміжках.

Приклад:
.

Зробимо заміну: ln x = tабо x = e t, тоді якщо x = 1, то t = 0, а якщо x = e, то t = 1. В результаті отримаємо:

.

При заміні змінної у певному інтегралі не потрібно повертатися до вихідної змінної інтегрування.

Лекція №15.

Визначений інтеграл

Нехай на відрізку
задана функція
. Розіб'ємо відрізок
точкамина елементарних відрізків

довжини
. У кожному з цих відрізків
візьмемо довільну точку і складемо суму
звану інтегральною сумою (Рімана) для функції
на відрізку
.

Визначення 37.1.Нехай межа послідовності інтегральних сум при прагненні
до нуля існує, кінцевий і не залежить від способу розбиття відрізка
, ні від вибору точок . Ця межа називаєтьсяпевним інтегралом від функції
на відрізку
і позначається

(1)

При цьому число називається нижньою межею , число - Його верхньою межею; функція
–підінтегральною функцією , вираз
–підінтегральним виразом , а завдання про знаходження
–інтегруванням функції
на відрізку
.

Усі безперервні на відрізку
функції інтегровані у цьому відрізку. Інтегрованими будуть і обмежені функції, що мають на
кінцева кількість точок розриву.

Властивості певного інтегралу

1. Певний інтеграл – це число! Його значення залежить лише від виду функції
та меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, яку можна позначати будь-якою буквою:

.

Інтеграл
був введений у припущенні, що
. Узагальнемо поняття певного інтеграла на випадок, коли
і
.

2.
.3.

Розглянемо властивості певного інтеграла, які мають аналоги у разі інтеграла невизначеного.

4. Якщо
, то
.

5. Інтеграл від суми алгебри двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій:
.

Перейдемо тепер до властивостей певного інтегралу, які мають аналогів у разі невизначеного інтеграла.

6. Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів кожної з виниклих частин, тобто. за будь-яких ,,.

.

7. Якщо
на відрізку
, то
.

8. Нехай на відрізку
, де
,
. Тоді

.

9. Теорема про середнє.Якщо функція
безперервна на відрізку
, то знайдеться таке число
, що

.

10. Якщо функція
інтегрована на відрізку
, то функція
також інтегрована на відрізку
і має місце нерівність

Геометричний зміст певного інтегралу

Поняття певного інтеграла введено в такий спосіб, що у разі, коли функція
невід'ємна на відрізку
, де
,
чисельно дорівнює площі під кривою
на
.

З огляду на сказане ми можемо вказати значення деяких інтегралів, використовуючи відомі планиметричні формули для площ плоских фігур. Наприклад,

,
,
і т.д.

(Перший з інтегралів - площа квадрата зі стороною одиничної довжини; другий - площа прямокутного трикутника, обидва катета якого одиничної довжини; третій - площа чверті кола одиничного радіусу.)

Певний інтеграл як функція верхньої межі

Раніше, будуючи нові функції з відомих, ми використовували чотири арифметичні діїта суперпозицію функцій. Нині ми розглянемо принципово інший спосіб побудови нових функцій із відомих.

Якщо
інтегрована на відрізку
, то, очевидно, вона інтегрована також на будь-якому відрізку
, вкладеному в
.

Покладемо за визначенням

,

де
, а функція
називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

Нехай
на відрізку
. Тоді значення функції
у точці дорівнює площі
під кривою
на відрізку
.

Це дозволяє по-новому поглянути на деякі відомі функції Наприклад,
, де
тому значення функції
у точці чисельно дорівнює площі
під гіперболою на відрізку
.

Розглянемо тепер властивості функції
.

Теорема 1. Нехай функція
безперервна на відрізку
. Тоді в кожній точці відрізка
похідна функції
за змінною верхньою межею дорівнює підінтегральній функції
, тобто.

. (2)

Доведення.

Покажемо, що функція

(3)

є первісної функції
.

Згідно з визначенням похідної,

.

Застосовуючи теорему про середнє до проміжку
, представимо інтеграл у чисельнику у вигляді
, де
і
при
.

Отже,
.

Теорема 2.Якщо функція
безперервна на відрізку
, то функція
також безперервна на
.

Обчислення певного інтеграла можливе із застосуванням первісної функції
за формулою Ньютона-Лейбніца.

Теорема 3.Якщо функція
безперервна на відрізку
і
- Первісна функції
, то

. (4)

Формула (4) називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення.

Повернімося до рівняння (3). Вважаючи
, знаходимо значення постійної :

.

Вважаючи в цьому ж рівнянні
, отримуємо:

.

Знаходження певних інтегралів з використанням формули (4) здійснюється у два кроки: на першому кроці знаходять первинну
для підінтегральної функції
; на другому – застосовується власне формула (3) – знаходиться збільшення первісної, рівне шуканому інтегралу. Введемо позначення для збільшення первісної

.

Усі методи, що застосовуються при обчисленні первісної, переносяться на обчислення певного інтегралу.

Теорема 4. (Заміна змінної в певному інтегралі).Якщо виконані умови:

1) функція
безперервна на відрізку
;

2) відрізок
є безліччю значень функції
, визначеної на відрізку
і має на ньому безперервну похідну;

3)
і
, то справедлива формула

.

Приклад 1. Обчислити
.

Рішення.Покладемо
. Тоді
і
.

Якщо
, то
, і якщо
, то
. Отже,

Формула заміни змінної для певного інтеграла навіть зручніша, ніж для невизначеного. Нам не потрібно повертатися до вихідних змінних, а натомість потрібно поміняти межі інтегрування.

Розглянемо, як виконується інтегрування частинами певному інтегралі.

Теорема 5.Якщо функції
і
мають безперервні похідні на відрізку
, то справедлива формула

.

Приклад 2. Обчислити
.

Рішення.

Геометричні додатки певного інтегралу

Обчислення площ плоских фігур.Якщо безперервна крива задана у прямокутних координатах рівнянням
, де
на відрізку
, то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями
;
та відрізком осі абсцис
, обчислюється за формулою

.

приклад 3.Обчислити площу, обмежену параболою
, Прямими
,
і віссю абсцис.

Рішення.

приклад 4.Обчислити площу, обмежену кривою
та віссю ординат.

Рішення.Тут змінено ролі осей координат, тому шукана площа виражатиметься інтегралом

.

У випадку, якщо площа обмежена двома безперервними кривими
;
та двома вертикалями
;
, де
, для обчислення площі фігури маємо формулу

Приклад 5.Обчислити площу , укладену між кривими
і
.

Р ешение.Знайдемо точки перетину кривих:
,

,
. На відрізку

. Значить,

.

Параметричне завдання верхнього кордонукриволінійної трапеції

При обчисленні площі криволінійної трапеції, якщо верхня межа задана параметричними рівняннями

,

у формулі
треба зробити заміну змінною, поклавши
,
тоді отримаємо
, де aі b- Значення параметра , що відповідають значенням
і
, тобто.
;
.

Приклад 6.Знайти площу фігури, обмеженою однією аркою циклоїди
і віссю
.

Рішення.Шукана площа

Площа фігури в полярної системикоординат

Нехай у полярній системі координат задана функція
, де - Полярний радіус, - Полярний кут. Нехай, далі, функція
безперервна при зміні кута в межах
(
і - У радіанах). Фігура, обмежена лінією
, з якою будь-який промінь, що виходить з полюса , перетинається не більше ніж в одній точці, і двома променями
і
, називається криволінійним сектором.

.

Приклад 7.Обчислити площу фігури, обмеженою кривою
.

Рішення.Знайдемо область визначення кута з умови, що
. Маємо:
, тобто.

Відповідно величина кута змінюється у таких межах:

залежно від значення
. Знайдемо межі зміни величини кута :

де - область визначення -го пелюстки.

Достатньо обчислити площу однієї пелюстки

Отже, площа всіх пелюсток

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку , вона інтегрована і будь-якому меншому відрізку, тобто. для "xÎ існує інтеграл

Для того щоб не змішувати позначення межі та змінної інтегрування, позначимо змінну інтегрування через t. Тоді інтеграл (4) запишеться у вигляді. Величина цього інтеграла є функцією верхньої межі х і позначається Ф(х):

. (5)

Функція Ф(х) називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

Розглянемо деякі властивості функції Ф(х).

Т.3.1.(безперервність функції Ф(х))

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то функція Ф(x) буде так само безперервна на відрізку .

Т.3.2.(диференціювання функції Ф(х))

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то функція Ф(x) диференційована в будь-якій внутрішній точці x цього відрізка, причому справедлива рівність

.

Слідство

Якщо функція f(x) безперервна на відрізку , то для цієї функції існує первісна на даному відрізку, причому функція Ф(x) - інтеграл зі змінною верхньою межею є первісною для функції f(x).

Оскільки будь-яка інша первісна для функції f(x) відрізняється від Ф(x) тільки на постійне доданок, можна встановити зв'язок між невизначеним та певним інтегралами:

,

де С – довільна стала.

Запитання 4. Обчислення певного інтегралу. Формула Ньютона-Лейбніца

Обчислення певних інтегралів методом, заснованим на визначенні інтеграла як межі інтегральних сум, як правило, пов'язане з великими труднощами. Існує більш зручний метод обчислення певних інтегралів, який заснований на встановленого зв'язкуміж невизначеним та певним інтегралами.

Т.4.1.Якщо функція f(x) безперервна на відрізку і F(x) - будь-яка первісна для функції f(x) на то справедлива формула

. (6)

Формула (6) називається формулою Ньютона - Лейбніца.

Якщо ввести позначку то формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна переписати у вигляді

.

Формула Ньютона – Лейбніца дає зручний спосібобчислення певних інтегралів. Щоб обчислити певний інтеграл, необхідно знайти будь-яку первісну функцію F(x) для f(x) і взяти різницю F(b) ‒ F(a) на кінцях відрізка .

приклад

Питання 5. Заміна змінної та інтегрування частинами у певному інтегралі

Метод заміни змінної

p align="justify"> При обчисленні певних інтегралів широко використовується метод підстановки або метод заміни змінної.

Т.5.1. (Заміна змінної в певному інтегралі)

Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку. Тоді, якщо:

1) функція x = j(t) та її похідна x′ = j′(t) безперервні на відрізку;

2) множиною значень функції x = j(t) є відрізок;

3) j(a) = a, j(b) = b,

то справедлива формула заміни змінної у певному інтегралі:

.

Зауваження

1. При обчисленні певного інтеграла шляхом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно.

2. Часто замість підстановки x = j(t) застосовують підстановку t = g(x).

3. При використанні формули необхідно перевіряти виконання перерахованих у теоремі умов. Якщо ці умови порушуються, може бути отримано і неправильний результат.

приклад. Обчислити

Інтегрування частинами

Т.5.2. (інтегрування частинами у певному інтегралі)

Якщо функції u = u(x) і v = v(x) мають безперервні похідні на відрізку, то справедлива формула інтегрування частинами у певному інтегралі:

.

приклад. Обчислити інтеграл