Визначення ймовірності події та статистичного розподілу.

При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із завданнями, у яких той самий досвід чи аналогічні досліди повторюються неодноразово. В результаті кожного досвіду може з'явитися або не з'явитися певна подія, причому нас цікавить не результат кожного окремого досвіду, а загальна кількість події в результаті серії дослідів. Наприклад, якщо проводиться група пострілів за однією і тією ж метою, нас, як правило, цікавить не результат кожного пострілу, а загальна кількість попадань. У подібних задачахпотрібно вміти визначати ймовірність будь-якого заданого числа події в результаті серії дослідів. Такі завдання будуть розглянуті в цьому розділі. Вони вирішуються дуже просто у разі, коли досліди є незалежними.

Декілька дослідів називаються незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату кожного з дослідів не залежить від того, які наслідки мали інші досліди. Наприклад, кілька послідовних кидань монети є незалежними дослідами. Декілька послідовних виймань карти з колоди є незалежними дослідами за умови, що витягнута карта щоразу повертається в колоду і карти перемішуються; інакше це – залежні досліди. Декілька пострілів є незалежними дослідами лише у випадку, якщо прицілювання проводиться заново перед кожним пострілом; у разі, коли прицілювання проводиться один раз перед усією стріляниною або безперервно здійснюється в процесі стрільби (стрільба чергою, бомбометання серією), постріли є залежними дослідами. Незалежні досліди можуть проводитися в однакових або різних умовах. У першому випадку ймовірність події від досвіду до досвіду змінюється. До першого випадку належить приватна теорема, а до другого – загальна теоремапро повторення дослідів. Ми почнемо з приватної теореми як більш елементарної. Насамперед, розглянемо конкретний приклад.

приклад. Здійснюється три незалежні постріли по мішені, ймовірність влучення в яку при кожному пострілі дорівнює . Знайти ймовірність того, що за цих трьох пострілів ми отримаємо рівно два влучення.

Рішення. Позначимо подія, яка полягає в тому, що в ціль потрапить рівно два снаряди. Ця подія може статися трьома способами:

1) попадання при першому пострілі, попадання при другому, промах за третього;

2) попадання при першому пострілі, промах при другому, попадання при третьому;

3) промах при першому пострілі, попадання при другому, попадання за третього.

Отже, подію можна як суму творів подій:

де - влучення при першому, другому, третьому пострілах відповідно, - промах при першому, другому, третьому пострілах.

Враховуючи, що три перелічені варіанти події несумісні, а події, що входять до творів, незалежні, за теоремами складання та множення отримаємо:

або, позначаючи ,

Аналогічно, перераховуючи все можливі варіанти, в яких цікава для нас подія може з'явитися задане числораз, можна вирішити і наступне спільне завдання.

Виробляється незалежних дослідів, у кожному з яких може з'явитися або не з'явиться певна подія; ймовірність появи події у кожному досвіді дорівнює, а ймовірність непояви. Потрібно знайти ймовірність того, що подія у цих дослідах з'явиться рівно раз.

Розглянемо подію , що у тому, що подія з'явиться у дослідах рівно раз. Ця подія може здійснитися у різний спосіб. Розкладемо подію у сумі творів подій, які у появі чи непояві події у окремому досвіді. Позначатимемо появу події в i-му досвіді; - Непоява події в i-му досвіді.

Вочевидь, кожен варіант появи події (кожен член суми) має складатися з m події і непояв, тобто. з подій та подій з різними індексами. Таким чином,

причому у кожний твір подія має входити раз, а має входити раз.

Число всіх комбінацій такого роду рівне, тобто. числу способів, якими можна з дослідів вибрати, у яких відбулася подія. Імовірність кожної такої комбінації за теоремою множення для незалежних подій дорівнює . Оскільки комбінації між собою несумісні, то, за теоремою додавання, ймовірність події дорівнює

2. Виробляється три незалежні досвіди, у кожному з яких подія з'являється з ймовірністю 0.2. Скласти ряд розподілу числа події у трьох дослідах. Знайти М(Х) та D(X) цієї випадкової величини.

3. Незалежні випадкові величини X та Y задані таблицями розподілів:

Знайти:
а) М(Х), М(Y), D(X), D(Y);
б) таблиці розподілу випадкових величин Z1 = 2Х + У та Z2 = XY;
в) М(Z1), М(Z2), D(Z1), D(Z2) безпосередньо за таблицями розподілів та на підставі властивостей математичного очікування та дисперсії.

4. Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,01. Скласти ряд розподілу бракованих деталей із 200 виготовлених. Знайти М(Х) цієї випадкової величини.

5. Число елементів апаратури, що відмовили за час T - випадкова величина X, розподілена експоненційно (λ= 0,2). Вказати щільність і функцію розподілу, побудувати їх графіки, знайти середню кількість елементів, які можуть вийти з ладу за час Т. Яка ймовірність того, що кількість елементів, що відмовили, укладено між 3 і 10?

6. Навантаження G на стрижень підпорядковується нормальному законурозподілу з параметрами а = 250 кг; σ = 50 кг. Яка ймовірність того, що навантаження не перевищить 380 кг? Якою є ймовірність навантажень від 100 до 200 кг?

Визначення ймовірності події та статистичного розподілу

Завдання 1

У коробці змішані електролампи однакового розміру та форми: по 150 Вт - 8 штук і по 100 Вт - 13. Вийнято з коробки навмання три лампи. Знайти ймовірність того, що серед них:

а) лише одна лампа по 150 Вт; b) дві лампи 150 Вт;

с) не менше двох ламп по 150 Вт; d) хоча б одна лампа по 150 Вт;

е) усі лампи однакової потужності.

a) подія F1 - з трьох навмання взятих ламп тільки одна буде 150 Вт:

b) подія F2 - з трьох навмання взятих ламп дві лампи будуть по 150 Вт:

c) подія F3 - з трьох навмання взятих ламп не менше 2 буде по 150 Вт:

d) подія F4 - з трьох навмання взятих деталей буде хоча б одна лампа 150 Вт:

e) подія F5 - з трьох навмання взятих ламп всі три будуть однієї потужності

Завдання 2

По літаку проводиться три незалежні постріли. Імовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,4, при другому – 0,5, при третьому – 0,6. Для виведення літака з ладу достатньо трьох влучень. При двох попаданнях він виходить з ладу з ймовірністю 0,7, при одному попаданні - з ймовірністю 0,4.

1. Знайти ймовірність того, що в результаті трьох пострілів літака буде виведено з ладу.

2. Внаслідок трьох пострілів літак не був виведений з ладу. Скільки попадань найімовірніше сталося в літак?

1) Розглянемо гіпотези:

H1 - із трьох пострілів не буде жодного влучення

H2 - з трьох пострілів буде рівно одне влучення

H3 - з трьох пострілів буде два влучення

H4 - з трьох пострілів буде три влучення

та подія

F - літак буде виведено з ладу.

Т.к. літак ні виведено з ладу, тобто. подія F відбулася, то ймовірності гіпотез визначимо за формулою Байєса

0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462

Таким чином, найімовірніше в літак сталося одне влучення.

Завдання 3

Згідно зі статистичними даними в місті N в середньому 18% нових підприємств, що відкриваються, припиняють свою діяльність протягом року.

1. Яка ймовірність того, що з 6 навмання обраних нових підприємств міста N до кінця року діяльності залишиться:

а) рівно 4; b) 4; с) менше 4; d) хоча б одне підприємство?

2. Обчислити ймовірність того, що зі ста новостворених підприємств у місті N до кінця року припинять свою діяльність:

а) 15; b) не менше ніж 15; с) не більше 21; d) не менше ніж 13, але не більше 23 підприємств.

n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82

Значення n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) рівно 4 підприємства залишиться:

b) більше 4 підприємств залишиться:

P(більше 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)

P(більше 4) = 0,4004 +0,304 = 0,7044

c) менше 4 підприємств залишиться:

P(менше 4)=1-P(не менше 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759

d) хоча б одне підприємство залишиться

P(хоча б 1)=1-P(жоден)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966

n=100p=0,18q=0,82

Значення n=100 досить велике, тому для розрахунків скористаємося локальною та інтегральною формулами Лапласа:

a) рівно 15 підприємств припинять свою діяльність:

де, а (x) – локальна функція Лапласа

За таблицею знаходимо, що

(-0,78)=(0,78)=0,2943,

b) щонайменше 15 підприємств припинять своєї діяльності, тобто. від 15 до 100:

Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),

де і, а Ф(x) – інтегральна функція Лапласа

По таблиці значень функції Ф(x) знаходимо, що Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823, а Ф(21,34)=0,5, P100(15;100) 0,5 +0,2823 = 0,7823

c) трохи більше 21 підприємства припинять своєї діяльності:, тобто. від 0 до 21:

По таблиці значень функції Ф(x) знаходимо, що Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999, а Ф(0,78)=0,2823, P100(0;21) 0,2823 +0,499999 = 0,782299

d) не менше 13, але не більше 23 підприємств припинять свою діяльність:

По таблиці значень функції Ф(x) знаходимо, що Ф(1,3)=0,4032,

P100 (13; 23) 0,4032 +0,4032 = 0,8064

Завдання 4

Два бухгалтери незалежно один від одного заповнюють однакові відомості. Перший бухгалтер припускається помилок у середньому у 8%, другий - у 12% усіх документів. Кількість заповнених відомостей першим бухгалтером дорівнює 1, другим – 2. Розглядається випадкова величина (с.в.) – кількість відомостей, заповнених двома бухгалтерами без помилок.

1. Скласти низку розподілу с.в. і уявити його графічно.

3. Обчислити математичне очікування(середнє значення) М, дисперсію

Dта середнє квадратичне (стандартне) відхилення ().

4. Визначити ймовірність: а) Р; b) Р; c) Р

1) Визначимо можливі значення випадкової величини Х та їх ймовірності:

Х = 0: 0,920,882 = 0,712448

Х = 1: 0,080,882 +0,92 (0,120,88 +0,880,12) = 0,256256

Х = 2: 0,920,122 +0,08 (0,120,88 +0,880,12) = 0,030144

Х = 3: 0,080,122 = 0,001152

Перевірка:

0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1

Запишемо низку розподілу

Зобразимо ряд розподілу графічно як полігону

2) Складемо функцію розподілу:

Побудуємо графік функції розподілу

3) Математичне очікування та дисперсія знаходяться за формулою:

D(X)=0,3872-0,322=0,2848

4) Знайдемо необхідні ймовірності:

Р(X

Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296

P(-0,2137)

Завдання 5

Між двома населеними пунктами, що віддаляються один від одного на відстані L = 9 км, курсує автобус із зупинками на вимогу в будь-якому місці. Відстань (в км), яку проїжджає якийсь пасажир, який сів у автобус на початку маршруту, є випадковою із щільністю розподілу

1. Встановити невідому постійну і побудувати графік функції p(x).

2. Знайти функцію розподілу С.В. та побудувати її графік.

3. Обчислити математичне очікування (середнє значення) М, дисперсію D та середнє квадратичне (стандартне) відхилення ().

4. У скільки разів кількість висадок від початку маршруту до середнього місця поїздки пасажира перевищує кількість висадок від місця до кінця маршруту автобуса?

1) Для перебування постійної C скористаємось властивістю щільності розподілу:

Побудуємо графік густини розподілу

2) Знайдемо функцію розподілу

а) якщо x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

б) якщо 0x<9, то

в) якщо x>3, то

через властивість щільності розподілу

Остаточно отримаємо:

Побудуємо графік F(x):

3) математичне очікування обчислюється за формулою

Дисперсія обчислюється за такою формулою:

DX = 24,3-4,52 = 4,05

Середнє квадратичне відхиленняодно:

Р(X

Р(XMX)=1-Р(X

Тобто. кількість висадок від початку маршруту до середнього місця поїздки пасажира та кількість висадок від цього місця до кінця маршруту автобуса дорівнює.

Завдання 6

При перенесенні вантажів вертольотами використовуються троси, які виготовлені із синтетичних матеріалів на основі нових хімічних технологій. В результаті 25 випробувань троса на розрив отримано такі дані (у тоннах):

2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591

Необхідно:

1. Визначити досліджувану ознаку та її тип (дискретний чи безперервний).

2. Залежно від типу ознаки побудувати полігон чи гістограму відносних частот.

3. На основі візуального аналізу полігону (гістограми) сформулювати гіпотезу про закон розподілу ознаки, що досліджується.

4. Обчислити вибіркові характеристики ознаки: середнє, дисперсію та середнє квадратичне (стандартне) відхилення.

5. Використовуючи критерій згоди «хі-квадрат» Пірсона, перевірити відповідність вибіркових даних висунутому в п.3 закону розподілу за рівня значимості 0,01.

6. Для генеральної середньої та дисперсії побудувати довірчі інтервали, що відповідають довірчій ймовірності 0,99.

7. З надійністю 0,99 перевірити гіпотезу про рівність:

а) генерального середнього значення 5С;

б) генеральної дисперсії значення С 2 , де С = 1,09.

Значення вибірки відповідно до варіанта завдання

1. Тип ознаки – безперервний, т.к. випадкова величина може приймати будь-які значення деякого інтервалу.

2. Побудуємо гістограму відносних частот. Визначимо кількість інтервалів:

де n – кількість значень, а k – кількість інтервалів.

У даному випадкує 25 значень, тому кількість інтервалів дорівнює:

k=1+1,44ln 25 5,6.

Приймемо кількість інтервалів 5.

Визначимо величину одного інтервалу:

Визначимо відносні частоти кожного інтервалу. Розрахунки зручно провести у таблиці

Побудуємо гістограму

3. На основі візуального аналізу можна висунути гіпотезу про розподіл ознаки за нормальним законом.

4. Визначимо вибіркові характеристики досліджуваної ознаки.

а) вибіркове середнє:

б) вибіркова дисперсія:

в) вибіркове середнє квадратичне відхилення

5. Перевіримо гіпотезу про відповідність вибіркових даних нормальному розподілу

Визначимо кінці інтервалів за формулою, навіщо складемо таблицю

Знайдемо теоретичні ймовірності pi та теоретичні частоти. Результати розрахунків запишемо до таблиці

Обчислимо значення критерію Пірсона. Для цього складемо таблицю:

За рівнем значимості =0,01 та кількістю ступенів свободи k=n-3=5-3=2 знаходимо за таблицею критичних точок: =9,2

Т.к. , то немає підстав відкинути гіпотезу про нормальний розподіл критичної маси на розрив.

6. Побудуємо довірчий інтервал для генеральної середньої та генеральної дисперсії

Гранична помилка вибірки для середньої розраховується за такою формулою:

де t - Коефіцієнт довіри, який залежить від ймовірності, з якої робиться твердження.

Коефіцієнт довіри виходить із співвідношення 2Ф(t)=p, де Ф(х) - інтегральна функція Лапласа.

За умовою p=0,99,

Межі, до яких потрапляє генеральна середня, задаються нерівностями:

5,1225 – 0,7034 a 5,1225 + 0,7034

Знайдемо інтервальну оцінку дисперсії:

По таблиці критичних точок розподілу знаходимо, що =42,98, а =10,86, тоді довірчий інтервал дисперсії буде:

а) перевіримо гіпотезу про рівність генерального середнього значення 5,45.

Висуваємо гіпотези:

Т.к. дисперсія генеральної сукупності невідома, то розраховуємо вираз

За таблицею значень критичних точок Стьюдента знаходимо критичне значення

tкр(;n-1)=tкр(0,01;24)=2,8

Т.к. 1,201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

б) Перевіримо гіпотезу про рівність генеральної дисперсії значення 1,1881.

Висуваємо гіпотези:

Розраховуємо вираз

За таблицею значень критичних точок розподілу "Хі-квадрат" знаходимо критичне значення (; n-1) = (0,01; 24) = 43

Т.к. 37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Список літератури

ймовірність статистичний дисперсія математичний

1. Гмурман В.Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навчальний посібник для студентів вузів. - М: Вища школа, 2002.

2. Семенов А.Т. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний комплекс. - Новосибірськ: НДАЕіУ, 2003.