Площа метод піку. З математики на тему "Формула Піка"

Намалюємо на картатому папері якийсь багатокутник. Наприклад, такий, як показано на малюнку 1.

Спробуємо розрахувати його площу. Як це зробити? Напевно, найпростіше розбити його на прямокутні трикутники та прямокутники, площі яких вже неважко обчислити та скласти отримані результати. Використаний мною спосіб нескладний, але дуже громіздкий, крім того, він годиться не для всяких багатокутників.

Розглянемо невироджений простий цілочисленний багатокутник (тобто він зв'язковий - будь-які дві його точки можуть бути з'єднані безперервною кривою, що повністю в ньому міститься, і всі його вершини мають цілі координати, його межа - зв'язкова ламана без самоперетинів, і він має ненульову площу). Для обчислення площі такого багатокутника можна скористатися такою теоремою:

Теорема Піка.Нехай - число цілих точок всередині багатокутника, - кількість цілих точок на його кордоні, - його площа. Тоді справедлива формула Піка:

приклад.Для багатокутника малюнку 1 (жовті точки), (сині точки, не забудьте про вершини!), тому квадратних одиниць.

Доказ теореми Піка.Спочатку зауважимо, що формула Піка правильна для одиничного квадрата. Справді, у цьому випадку ми маємо і

Розглянемо прямокутник із сторонами, що лежать на лініях решітки. Нехай довжини його сторін дорівнюють і. Маємо в цьому випадку і, за формулою Піка,

Розглянемо тепер прямокутний трикутник із катетами, що лежать на осях координат. Такий трикутник виходить із прямокутника зі сторонами та, розглянутого в попередньому випадку, розрізанням його по діагоналі. Нехай на діагоналі лежать цілих точок. Тоді для цього випадку й отримуємо, що

Тепер розглянемо довільний трикутник. Його можна отримати, відрізавши від прямокутника кілька прямокутних трикутників і, можливо, прямокутник (див. малюнки 2 та 3). Оскільки і для прямокутника, і для прямокутного трикутникаформула Піка вірна, ми отримуємо, що вона буде справедливою і для довільного трикутника.

Залишається зробити останній крок: перейти від трикутників до багатокутників. Будь-який багатокутник можна розбити на трикутники (наприклад, діагоналями). Тому потрібно просто довести, що при додаванні будь-якого трикутника до будь-якого багатокутника формула Піка залишається вірною.

Нехай багатокутник та трикутник мають спільну сторону. Припустимо, що для формула Піка справедлива, доведемо, що вона буде вірною і для багатокутника, отриманого з додаванням. Так як і мають спільну сторону, то всі цілі точки, що лежать на цій стороні, крім двох вершин, стають внутрішніми точкаминового багатокутника. Вершини будуть граничними точками. Позначимо число загальних точокчерез та отримаємо

Число внутрішніх цілочисельних точок нового багатокутника,

Число граничних точок нового багатокутника.

З цих рівностей отримуємо

Оскільки ми припустили, що теорема вірна для і окремо, то

Тим самим було формула Піка доведена.

Цю формулу відкрив австрійський математик Пік Георг Олександров (1859 – 1943 р.р.) у 1899 році. Крім цієї формули Георг Пік відкрив теореми Піка, Піка – Жюліа, Піка – Неваліни, довів нерівність Шварца – Піка. У Додаток 1можна побачити розглянуті мною нестандартні завданнязастосування формули Піка.

Формула Піка

Сажина Валерія Андріївна, учня 9 класу МАОУ «ЗОШ №11» м Усть-Ілімськ Іркутської області

Керівник: Губар Оксана Михайлівна, вчитель математики вищої кваліфікаційної категоріїМАОУ «ЗОШ №11» м Усть-Ілімськ Іркутської області

2016 рік

Вступ

При вивченні теми геометрії «Площі багатокутників» я вирішила дізнатися: чи існує спосіб знаходження площ, відмінний від тих, які ми вивчали під час уроків?

У такий спосіб є формула Піка. Л. В. Горіна в «Матеріалах для самоосвіти учнів» так описувала цю формулу: «Ознайомлення з формулою Піка особливо актуально напередодні здачі ЄДІта ДІА. За допомогою цієї формули можна без проблем вирішувати великий класзадач, запропонованих на іспитах, - це завдання перебування площі багатокутника, зображеного на картатий папері. Маленька формула Піка замінить цілий набір формул, необхідних для вирішення таких завдань. Формула Піка працюватиме «одна за всіх…»!».

У матеріалах ЄДІмені зустрілися завдання із практичним змістом на знаходження площі земельних ділянок. Я вирішила перевірити, чи застосовна дана формуладля знаходження площі території школи, мікрорайонів міста, області. А так само чи раціонально її застосування для вирішення завдань.

Об'єкт дослідження: формула Піка.

Предмет дослідження: раціональність застосування формули Піка під час вирішення завдань.

Мета роботи: обгрунтувати раціональність використання формули Піка під час вирішення завдань перебування площі фігур, зображених на картатий папері.

Методи дослідження: моделювання, порівняння, узагальнення, аналогії, вивчення літературних та Інтернет-ресурсів, аналіз та класифікація інформації.

Підібрати необхідну літературу, проаналізувати та систематизувати отриману інформацію;

Розглянути різні методиі прийоми розв'язання завдань на папері;

Перевірити експериментальним шляхом раціональність використання формули Піка;

Розглянути застосування цієї формули.

Гіпотеза: якщо застосувати формулу Піка для знаходження площ багатокутника, можна знайти площу території, а розв'язання завдань на картатому папері буде раціональніше.

Основна частина

Теоретична частина

Клітчастий папір (точніше - його вузли), на якому ми часто вважаємо за краще малювати і креслити, є одним з найважливіших прикладівточкові грати на площині. Вже ця проста грати послужила К. Гауссу відправною точкою для порівняння площі кола з кількістю точок з цілими координатами, що знаходяться всередині нього. Те, що деякі прості геометричні твердження про фігури на площині мають глибокі наслідки в арифметичних дослідженнях, було явно помічено Г. Мінковським у 1896 р., коли він уперше для розгляду теоретико-числових проблем залучив геометричні методи.

Намалюємо на картатому папері якийсь багатокутник (Додаток 1, малюнок 1). Спробуємо розрахувати його площу. Як це зробити? Напевно, найпростіше розбити його на прямокутні трикутники та трапецію, площі яких вже неважко обчислити та скласти отримані результати.

Використаний спосіб нескладний, але дуже громіздкий, крім того, він годиться не для всяких багатокутників. Так наступний багатокутник не можна розбити на прямокутні трикутники, оскільки ми це зробили попередньому випадку (Додаток 2, малюнок 2). Можна, наприклад, спробувати доповнити його до «хорошого», потрібного нам, тобто до такого, площу якого ми зможемо обчислити описаним способом, потім від отриманого числа відняти площі доданих частин.

Однак виявляється, що є дуже проста формуладозволяє обчислити площі таких багатокутників з вершинами у вузлах квадратної сітки.

Цю формулу відкрив австрійський математик Пік Георг Олександров (1859 – 1943 р.р.) у 1899 році. Крім цієї формули Георг Пік відкрив теореми Піка, Піка – Жюліа, Піка – Неваліни, довів нерівність Шварца – Піка.

Ця формула залишалася непоміченою протягом деякого часу після того, як Пік її опублікував, однак у 1949 р. польський математик Гуго Штейнгауз включив теорему до свого знаменитого « Математичний калейдоскоп». З того часу теорема Піка стала широко відома. У Німеччині формула Піка включена до шкільні підручники.

Вона є класичним результатом комбінаторної геометріїта геометрії чисел.

Доказ формули Піка

Нехай АВСD – прямокутник з вершинами у вузлах і сторонами, що йдуть лініями сітки (Додаток 3, малюнок 3).

Позначимо через В – кількість вузлів, що лежать усередині прямокутника, а через Г – кількість вузлів на його межі. Змістимо сітку на півклітини вправо та півклітини

вниз. Тоді територію прямокутника можна «розподілити» між вузлами наступним чином: кожен з В вузлів «контролює» цілу клітину зміщеної сітки, а кожен з Г вузлів – 4 граничних не кутових вузла – половину клітини, а кожна з кутових точок- Чверть клітини. Тому площа прямокутника S дорівнює

S = В + + 4 · = В + - 1 .

Отже, для прямокутників з вершинами у вузлах та сторонами, що йдуть лініями сітки, ми встановили формулу S = В + - 1 . Це і є формула Піка.

Виявляється, ця формула правильна як для прямокутників, але й довільних багатокутників з вершинами у вузлах сітки.

Практична частина

Знаходження площі фігур геометричним методом та за формулою Піка

Я вирішила переконатися, що формула Піка вірна всім розглянутих прикладів.

Виявляється, якщо багатокутник можна розрізати на трикутники з вершинами у вузлах сітки, то для нього вірна формула Піка.

Я розглянула деякі завдання на папері з клітками з клітинами розміром 1 см1 см і провела порівняльний аналізз вирішення завдань (Таблиця № 1).

Таблиця №1 Розв'язання задач у різний спосіб.

Малюнок

За формулою геометрії

За формулою Піка

Завдання №1

S=Sпр -(2S 1 +2S 2 )

Sпр =4*5=20 см 2

S 1 =(2*1)/2=1 см 2

S 2 =(2*4)/2=4 см 2

S=20-(2*1+2*4)=10см 2

Відповідь :10 см ².

В = 8, Г = 6

S= 8 + 6/2 - 1 = 10 (см²)

Відповідь: 10 см².

Завдання №2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8см 2

Відповідь : 8 см ².

В = 6, Г = 6

S= 6 + 6/2 - 1 = 8 (см²)

Відповідь: 8 см².

Завдання №3

S=Sкв -(S 1 +2S 2 )

Sкв =4 2 =16 см 2

S 1 = (3 * 3) / 2 = 4,5 см 2

S 2 = (1 * 4) / 2 = 2см 2

S=16-(4,5+2*2)=7.5 см 2

В = 6, Г = 5

S= 6 + 5/2 - 1 = 7,5 (см²)

Відповідь: 7,5 см ².

Завдання №4

S=Sпр -(S 1 +S 2+ S 3 )

Sпр =4 * 3=12 см 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 см 2

S 2 =(1*2)/2=1 см 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 см 2

S=12-(1,5+1+2)=7.5см 2

В = 5, Г = 7

S= 5 + 7/2 - 1 = 7,5 (см²)

Відповідь: 7,5 см ².

Завдання № 5.

S=Sпр -(S 1 +S 2+ S 3 )

Sпр =6 * 5=30 см 2

S 1 =(2*5)/2=5 см 2

S 2 =(1*6)/2=3 см 2

S 3 =(4*4)/2=8 см 2

S=30-(5+3+8)=14см 2

Відповідь: 14 см²

В = 12, Г = 6

S= 12 + 6/2 - 1 = 14 (см²)

Відповідь: 14 см²

Завдання №6.

Sтр = (4 +9) / 2 * 3 = 19,5 см 2

Відповідь: 19,5 см 2

В = 12, Г = 17

S= 12 + 17/2 - 1 = 19,5 (см²)

Відповідь: 19,5 см 2

Завдання №7. Знайдіть площу лісового масиву (в м²), зображеного на плані з квадратною сіткою 1 × 1(см) у масштабі 1 см – 200 м

S=S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 м 2

S 2 =(200*600)/2=60000 м 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 м 2

S= 80000+60000+240000=

420000м 2

Відповідь: 420 000 м²

У = 8, Г = 7. S= 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200 м²; S= 40000 · 10,5 = 420000 (м²)

Відповідь: 420 000 м²

Завдання №8 . Знайдіть площу поля (м²), зображеного на плані з квадратною сіткою 1 × 1(см) у масштабі

1 см - 200 м-коду.

S= Sкв -2( Sтр + Sтрап )

Sкв = 800 * 800 = 640 000 м 2

Sтр = (200 * 600) / 2 = 60000м 2

Sтрап = (200 + 800) / 2 * 200 =

100000м 2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 м 2

Відповідь: 320 000 м²

Рішення.Знайдемо Sплоща чотирикутника, зображеного на картатому папері за формулою Піка:S= В + - 1

У = 7, Г = 4. S= 7 + 4/2 - 1 = 8 (см²)

1 см² - 200 м²; S= 40 000 · 8 = 320 000 (м²)

Відповідь: 320 000 м²

Завдання №9 . Знайдіть площуS сектора, вважаючи сторони квадратних клітин рівними 1. У відповіді вкажіть .

Сектор є однією четвертою частиною кола і, отже, його площа дорівнює одній четвертій площі кола. Площа кола дорівнює πR 2 , де R - Радіус кола. У нашому випадкуR =√5 і, отже, площаS сектора дорівнює 5?/4. ЗвідкиS/π=1,25.

Відповідь. 1,25.

Г = 5, В = 2, S= В + Г/2 - 1 = 2 + 5/2 - 1 = 3,5, ≈ 1,11

Відповідь. 1,11.

Завдання №10. Знайдіть площу S кільця, вважаючи сторони квадратних клітин рівними 1. У відповіді вкажіть .

Площа кільця дорівнює різниці площ зовнішнього та внутрішнього кіл. РадіусR зовнішнього кола дорівнює

2 , радіус r внутрішнього кола дорівнює 2. Отже, площа кільця дорівнює 4і, отже,. Відповідь:4.

Г = 8, В = 8, S= В + Г/2 - 1 = 8 + 8/2 - 1 = 11, ≈ 3,5

Відповідь:3,5

Висновки: Розглянуті завдання аналогічні до завдання з варіантів контрольно-вимірювальних матеріалів ЄДІ з математики (завдання №5,6).

З розглянутих розв'язків задач я побачила, що деякі з них, наприклад задачі № 2,6, легше вирішити, застосовуючи геометричні формули, так як висоту та основу можна визначити за малюнком. Але в більшості завдань потрібно розбиття фігури на простіші (завдання №7) або добудовування до прямокутника (завдання №1,4,5), квадрата (завдання №3,8).

З розв'язання задач №9 та №10 я побачила, що застосування формули Піка до фігур, які не є багатокутниками, дає наближений результат.

Для того, щоб перевірити раціональність застосування формули Піка, я провела дослідження щодо витраченого часу (Додаток 4, таблиця №2).

Висновок: з таблиці та діаграми (Додаток 4, діаграма 1) видно, що при вирішенні завдань за допомогою формули Піка, часу витрачається набагато менше.

Знаходження площі поверхні просторових форм

Перевіримо застосовність цієї формули до просторових форм (Додаток 5, рисунок 4).

Знайти площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, Вважаючи сторони квадратних клітин рівними 1.

Це нестача формули.

Застосування формули Піка для знаходження площі території

Вирішуючи завдання з практичним змістом (завдання №7,8; таблиця №1), я вирішила застосувати даний спосібдля знаходження площі території нашої школи, мікрорайонів міста Усть-Ілімська, Іркутської області.

Ознайомившись із «Проектом кордонів земельної ділянкиМАОУСОШ№11 г.Усть-Илимска» (Додаток 6), я знайшла площу території нашої школи і порівняла з площею за проектом кордонів земельної ділянки (Додаток 9, таблиця 3).

Розглянувши карту правобережної частини Усть-Ілімська (Додаток 7), я обчислила площі мікрорайонів та порівняла з даними з «Генерального плану м. Усть-Ілімська Іркутської області». Результати подала в таблиці (Додаток 9, таблиця 4).

Розглянувши карту Іркутської області (Додаток 7), я знайшла площу території та порівняла з даними з Вікіпедії. Результати подала в таблиці (Додаток 9, таблиця 5).

Проаналізувавши результати, я дійшла висновку: за формулою Піка ці площі можна знайти набагато простіше, але результати є приблизними.

З проведених досліджень найбільш точне значенняя отримала під час перебування площі території школи (Додаток 10, діаграма 2). Більше розбіжність у результатах вийшло під час перебування площі Іркутської області (Додаток 10, діаграма 3). Це пов'язано з тим. Не всі межі області є сторонами багатокутників, і вершини є вузловими точками.

Висновок

В результаті моєї роботи я розширила свої знання про вирішення завдань на папері, визначила для себе класифікацію досліджуваних завдань.

При виконанні роботи були розв'язані задачі на знаходження площі багатокутників, зображених на папері паперу двома способами: геометричним і за допомогою формули Піка.

Аналіз рішень та експеримент з визначення витраченого часу показав, що застосування формули дає можливість вирішувати завдання на знаходження площі багатокутника, більш раціонально. Це дозволяє економити час на ЄДІ з математики.

Знаходження площі різних фігур, зображених на папері, дозволило зробити висновок, що використання формули Піка для обчислення площі кругового сектора і кільця недоцільно, так як вона дає наближений результат, і, що формула Піка не застосовується для вирішення завдань у просторі.

Також у роботі було знайдено площі різних територій за формулою Піка. Можна зробити висновок: використання формули знаходження площі різних територій можливе, але результати виходять приблизними.

Висунута мною гіпотеза підтвердилася.

Я дійшла висновку, що тема, яка мене зацікавила, досить багатогранна, завдання на папері паперу різноманітні, методи і прийоми їх вирішення також різноманітні. Тому я вирішила продовжити роботу у цьому напрямку.

Література

Волков С.Д.. Проект меж земельної ділянки, 2008 р, с. 16.

Горіна Л.В., математика. Все для вчителя, М:Наука, 2013 р. №3, с. 28.

Прокоп'єва В.П., Петров А.Г., Генеральний планміста Усть-Ілімська Іркутської області, Держбуд Росії, 2004 р. с. 65.

Рісс Е. А., Жарковська Н. М., Геометрія картатого паперу. Формула Піка. - Москва, 2009 № 17, с. 24-25.

Смирнова І. М.,. Смірнов В. А, Геометрія на папері. - Москва, Чисті ставки, 2009, с. 120.

Смирнова І. М., Смирнов Ст А., Геометричні завдання з практичним змістом. - Москва, Чисті ставки, 2010, с. 150

Завдання відкритого банкузавдань з математики ФІПД, 2015.

Карта міста Усть-Ілімська.

Мапа Іркутської області.

Вікіпедія.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Я, учень 6 класу. Вивчати геометрію почав ще з минулого року, адже займаюся я у школі за підручником «Математика. Арифметика. Геометрія» за редакцією Є.А. Бунимович, Л.В.Кузнєцова, С.С. Мінаєва та інші.

Найбільшу мою увагу привернули теми «Площі фігур», «Упорядкування формул». Я помітив, що площі тих самих фігур можна знаходити різними способами. У побуті ми часто стикаємося із завданнями знаходження площі. Наприклад, знайти площу підлоги, яку доведеться пофарбувати. Адже цікаво, щоб купити необхідна кількістьшпалер для ремонту, треба зазначити розміри кімнати, тобто. площа стін. Обчислення площі квадрата, прямокутника і прямокутного трикутника не викликало в мене труднощів.

Зацікавившись цією темою, я почав шукати додатковий матеріалв інтернеті. В результаті пошуків я натрапив на формулу Піка - це формула для обчислення площі багатокутника, намальованого на папері. Обчислення площі за цією формулою мені здалося доступним учню. Саме тому я вирішив провести дослідницьку роботу.

Актуальність теми:

Ця тема є доповненням та поглибленням вивчення курсу геометрії.

Вивчення цієї теми допоможе краще підготуватися до олімпіад та іспитів.

Мета роботи:

Ознайомитись із формулою Піка.

Опанувати прийоми рішень геометричних завданьз використанням формули Піка.

Систематизувати та узагальнити теоретичний та практичний матеріали.

Завдання дослідження:

Перевірити ефективність і доцільність застосування формули під час вирішення завдань.

Навчитися застосовувати формулу Піка у завданнях різної складності.

Порівняти завдання, вирішені за допомогою формули Піка та традиційним способом.

Основна частина

1.1. Історична довідка

Георг Олександр Пік - австрійський математик, народився 10 серпня 1859 року. Він був обдарованою дитиною, його навчав батько, котрий очолював приватний інститут. У 16 років Георг закінчив школу і вступив до Віденського університету. У 20 років отримав право викладати фізику та математику. Всесвітню популярність йому принесла формула визначення площі решітки полігонів. Свою формулу він опублікував у статті 1899 року. Вона стала популярною, коли польський вчений Х'юго Штейнгауз включив її у 1969 році у видання математичних знімків.

Георг Пік здобув освіту у Віденському університеті та захистив кандидатську у 1880 році. Після отримання докторського ступенявін був призначений помічником Ернеста Маха у Шерльсько-Фердинандському університеті в Празі. Там він став викладачем. Він залишався у Празі до своєї відставки у 1927 році, а потім повернувся до Відня.

Пік очолював комітет у німецькому університеті Праги, який призначив Ейнштейна професором кафедри математичної фізики 1911 року.

Він був обраний членом Чеської академії наук та мистецтв, але був виключений після захоплення нацистами Праги.

Коли нацисти увійшли до Австрії 12 березня 1938 року, він повернувся до Праги. У березні 1939 року нацисти вторглися до Чехословаччини. 13 липня 1942 року Пік був депортований у створений нацистами в північній Чехії табір Терезієнштадт, де помер через два тижні у віці 82 років.

1.2. Дослідження та доказ

Свою дослідницьку роботу я почав із з'ясування питання: площі яких фігур я зможу знайти? Скласти формулу для обчислення площі різних трикутниківі чотирикутників я міг. А як бути з п'яти-, шести-, і взагалі з багатокутниками?

У ході дослідження на різних сайтах я побачив вирішення завдань на обчислення площі п'яти-, шести- та інших багатокутників. Формула, що дозволяє вирішувати ці завдання, називалася формулою Піка. Вона виглядає так:S =B+Г/2-1, де У- кількість вузлів, що лежать усередині багатокутника, Г- кількість вузлів, що лежать на межі багатокутника. Особливість цієї формули у тому, що її можна використовувати лише багатокутників, намальованих на картатому папері.

Будь-який такий багатокутник легко розбити на трикутники з вершинами у вузлах ґрат, які не містять вузлів ні всередині, ні на сторонах. Можна показати, що площі всіх цих трикутників однакові і дорівнюють ½, а отже, площа багатокутника дорівнює половині їх числа Т.

Щоб знайти це число, позначимо через n число сторін багатокутника, через У- Число вузлів всередині нього, через Г- Число вузлів на сторонах, включаючи вершини. Загальна сума кутів усіх трикутників дорівнює 180 °. Т.

Тепер знайдемо суму в інший спосіб.

Сума кутів з вершиною у кожному внутрішньому вузлі становить 2.180°, тобто. Загальна сумакутів дорівнює 360 °. В;загальна сума кутів при вузлах на сторонах, але не у вершинах дорівнює ( Г-n) 180°, а сума кутів при вершинах багатокутника дорівнюватиме ( Г-2) 180°. Таким чином, Т= 2.180 °. В+(Г-n)180°+(n -2)180 °. Виконавши розкриття дужок і розділивши на 360 °, отримуємо формулу для площі багатокутника S, відому як формула Піка.

2. Практична частина

Цю формулу вирішив перевірити на завданнях зі збірки ОДЕ-2017. Взяв завдання на обчислення площі трикутника, чотирикутника та п'ятикутника. Вирішив порівняти відповіді, вирішуючи двома способами: 1) доповнив фігури до прямокутника та з площі отриманого прямокутника вирахував площу прямокутних трикутників; 2) застосував формулу Піка.

S = 18-1,5-4,5 = 12 і S = 7+12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 і S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 і S = 43+14/2-1 = 49

Порівнявши отримане, роблю висновок, що обидві формули дають ту саму відповідь. Знайти площу фігури за формулою Піка виявилося швидше і легше, адже обчислень було менше. Легкість рішення та економія часу на обчисленнях мені стануть у нагоді в майбутньому при здачі ОДЕ.

Це підштовхнуло мене до перевірки можливості застосування формули Піка на складніших постатях.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Висновок

Формула Піка проста у розумінні та зручна у застосуванні. По-перше, достатньо вміти рахувати, ділити на 2, складати та віднімати. По-друге, можна знайти площу та складної фігурине витративши багато часу. По-третє, ця формула працює для будь-якого багатокутника.

Недоліком є ​​те, що Формула Піка застосовується тільки для фігур, які намальовані на картатому папері і вершини лежать на вузлах клітин.

Я впевнений, що під час здачі випускних іспитів, Завдання на обчислення площі фігур не будуть викликати труднощі. Адже я вже знайомий із формулою Піка.

Список літератури

Бунимович Є.А., Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б. та ін Математика. Арифметика. Геометрія. 5 клас: навч. для загальноосвіт. організацій із дод. на електрон. носії -3-тє вид.-М.: Просвітництво, 2014.- 223, с. : іл. – (Сфери).

Бунимович Є.А., Кузнєцова Л.В., Мінаєва С.С. та ін Математика. Арифметика. Геометрія. 6 клас: навч. для загальноосвіт. організацій-5-е вид.-М.: Просвітництво, 2016.-240с. : іл.- (Сфери).

Васильєв Н.Б. Навколо формули Піка. //Квант.- 1974.-№2. -С.39-43

Рассолов В.В. Завдання щодо планіметрії. / 5- вид., Випр. І дод. – К.: 2006.-640с.

І.В. Ященко.ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: О-39 36 варіантів - М.: Видавництво « Національна освіта», 2017. –240 с. - (ОДЕ. ФІПІ-школі).

«Вирішу ОДЕ»: математика. Навчальна система Дмитра Гущина. ОДЕ-2017: завдання, відповіді, рішення [ Електронний ресурс]. Режим доступу: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата звернення 02.04.2017)

За допомогою формули Піка можна знаходити площу фігури, побудованої на аркуші клітини (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник).

У завданнях, які будуть на ЄДІ, є ціла група завдань, в яких дано багатокутник, збудований на аркуші в клітинку і стоїть питання про знаходження площі. Масштаб клітини – один квадратний сантиметр.

Перегляд вмісту презентації

Георг Пік

Георг Олександр Пік,

австрійський математик

(10.08.1859 - 13.07.1942)

Формула було відкрито 1899 р.

Площу шуканої фігури можна знайти за формулою:

• М – кількість вузлів на межі трикутника (на сторонах та вершинах):
• N – кількість вузлів усередині трикутника;

* Під «вузлами» мається на увазі перетин ліній.

Знайдемо площу трикутника:

Зазначимо вузли:

1 клітка = 1 см

• M = 15 (позначені червоним)
• N = 34 (позначені синім)

Знайдемо площу паралелограма:

Зазначимо вузли:

• M = 18 (позначені червоним)
• N = 20 (позначені синім)

Знайдемо площу трапеції:

Зазначимо вузли:

• M = 24 (позначені червоним)
• N = 25 (позначені синім)

Знайдемо площу багатокутника:

Зазначимо вузли:

• M = 14 (позначені червоним)
• N = 43 (позначені синім)

Зазначимо вузли:

• M = 11 (позначені червоним)
• N = 5 (позначені синім)

Вирішіть самостійно:

1. Знайдіть площу чотирикутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1см х 1 см. Відповідь дайте в квадратних сантиметрах.

4. Знайдіть площу чотирикутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1см х 1 см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах .

Опишемо біля неї прямокутник:

• З площі прямокутника (у даному випадкуце квадрат) віднімемо площі отриманих простих фігур:

Відповіді:

№ завдання

Варіант 1

Варіант 2

Варіант 3

Варіант 4

Старкова Христина, учениця 8Б класу

У роботі розглянуто теорему Піка та її доказ.

Розглянуто завдання на знаходження площі багатокутників

Завантажити:

Попередній перегляд:

УПРАВЛІННЯ ЗАГАЛЬНОЇ ТА ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

АДМІНІСТРАЦІЇ ЧАЙКІВСЬКОГО МУНІЦИПАЛЬНОГО РАЙОНУ

ПЕРМСЬКОГО КРАЮ

VI МУНІЦИПАЛЬНА КОНФЕРЕНЦІЯ ДОСЛІДНИХ РОБІТ
УЧНІВ

Муніципальний автономний загальноосвітній заклад

«середня загальноосвітня школа№11»

СЕКЦІЯ: МАТЕМАТИКА

Застосування формули Піка

Учня 8 «Б» класу

МАОУ ЗОШ №11Чайковський

Керівник: Батуєва Л, Н.,

Вчитель математики МАОУ ЗОШ №11

м. Чайківський

2012 рік

I. Введення……………………………………………………. 2

ІІ. Формула Піка

2.1.Решетки.Вузлы………………………………………… .4

2.2.Тріангуляція багатокутника………………………5

2.3. Доказ теореми Піка………………………6

2.4 Дослідження площ багатокутників…………9

2.5. Висновок…………………………………………………..12

III.Геометричні завдання з практичним змістом ... 13

IV. Заключение………………………………………………..14

V. Список використаної літератури………………………..16

1. Вступ

Захоплення математикою часто починається з роздумів над завданням. Так щодо теми «Площі багатокутників» постало питання чи є завдання, відмінні від завдань розглянутих у підручники геометрії. Це завдання на папері. У нас виникали питання: у чому полягає особливість таких завдань, чи існують спеціальні методиі прийоми розв'язання завдань на папері. Побачивши такі завдання у контрольно- вимірювальних матеріалахЄДІ та ДІА, вирішила обов'язково дослідити завдання на папері, пов'язані зі знаходженням площі зображеної фігури.

Я приступила до вивчення літератури, Інтернет-ресурсів на цю тему. Здавалося б, що цікавого можна знайти на картатій площині, тобто, на нескінченному аркуші паперу, розкресленому на однакові квадратики? Чи не судіть поспішно. Виявляється, завдання, пов'язані з папером у клітинку, досить різноманітні. Я навчилася обчислювати площі багатокутників, намальованих картатим листком. Для багатьох завдань на папері в клітину немає загального правила рішення, конкретних способів та прийомів. Ось ця їхня властивість зумовлює їх цінність для розвитку не конкретного навчального вмінняабо навички, а взагалі вміння думати, розмірковувати, аналізувати, шукати аналогії, тобто ці завдання розвивають розумові навички в найширшому їхньому розумінні.

Ми визначили:

Об'єкт дослідження: завдання на папері.

Предмет дослідження: задач на обчислення площі багатокутника на папері, методи та прийоми їх вирішення.

Методи дослідження: моделювання, порівняння, узагальнення, аналогії, вивчення літературних та Інтернет-ресурсів, аналіз та класифікація інформації.

1. Мета дослідження:Вивести та перевірити формули обчислення площ геометричних фігурза допомогою формули Піка

Для досягнення поставленої мети передбачаємо рішення наступнихзавдань:

1. Підібрати необхідну літературу
2. Відібрати матеріал для дослідження, вибрати головну, цікаву, зрозумілу інформацію
3. Проаналізувати та систематизувати отриману інформацію
4. Знайти різні методи та прийоми вирішення завдань на папері.
5. Створити електронну презентаціюроботи для подання зібраного матеріалуоднокласникам

різноманіття завдань на папері в клітину, їхня «цікавість», відсутність загальних правилта методів рішення викликають у школярів труднощі при їх розгляді

1. Гіпотеза:. Площа фігури, обчислена за формулою Піка, дорівнює площі фігури, обчисленої за формулою планіметрії.

При розв'язанні завдань на папері для паперу нам знадобиться геометрична уява і досить прості геометричні відомості, які відомі всім.

ІІ. Формула Піка

2.1.Решітки.Вузли.

Розглянемо на площині два сімейства паралельних прямих, що розбивають площину на рівні квадрати; безліч всіх точок перетину цих прямих називається точковою решіткою або просто ґратами, а самі точки – вузлами ґрат.

Внутрішні вузли багатокутника.червоний.

Вузли на гранях багатокутника.сині.

Щоб оцінити площу багатокутника на папері, достатньо підрахувати, скільки клітин покриває цей багатокутник (площу клітини ми приймаємо за одиницю). Точніше, якщо S – площа багатокутника, В – число клітин, які цілком лежать усередині багатокутника, та Г – число клітин, які мають з начинкою багатокутника хоч одну загальну точку.

Розглядатимемо лише такі багатокутники, всі вершини яких лежать у вузлах картатого паперу – у таких, де перетинаються лінії сітки.

Площа будь-якого трикутника, намальованого на папері, легко порахувати, представивши її як суму або різницю площ прямокутних трикутників і прямокутників, сторони яких йдуть по лініях сітки, що проходять через вершини намальованого трикутника.

2.2.Тріангуляція багатокутника

Будь-який багатокутник з вершинами у вузлах сітки може бути тріангульований – розбитий на «прості» трикутники.

Нехай на площині заданий деякий багатокутник і деяка кінцева множинаДо точок, що лежать усередині багатокутника і на його межі (причому всі вершини багатокутника належать безлічіК).

Тріангуляція з вершинамиДо називається розбиття даного багатокутника на трикутники з вершинами у множиніДо таке, що кожна точка зДо служить вершиною кожному з тих трикутників тріангуляції, яким ця точка належить (тобто точки зДо не потрапляють усередину чи боку трикутників, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2 . а) Будь-який n -кутник можна розрізати діагоналями на трикутники, причому кількість трикутників дорівнюватиме n - 2 (це розбиття - тріангуляція з вершинами у вершинах n-кутника).

Розглянемо невироджений простий цілочисленний багатокутник (тобто він зв'язковий - будь-які дві його точки можуть бути з'єднані безперервною кривою, що повністю в ньому міститься, і всі його вершини мають цілі координати, його межа - зв'язкова ламана без самоперетинів, і він має ненульову площу) .

Для обчислення площі такого багатокутника можна скористатися такою теоремою:

2.3. Доказ теореми Піка.

Нехай В - число цілих точок всередині багатокутника, Г - кількість цілих точок на його межі,- Його площа. Тоді справедливаформула Піка: S = В + Г2-1

приклад. Для багатокутника на малюнку=23 (жовті точки), Г=7, (сині точки, не забудемо про вершини!), томуквадратних одиниць.

Спочатку зауважимо, що формула Піка правильна для одиничного квадрата. Справді, у разі ми маємо В=0, Г=4 і.

Розглянемо прямокутник із сторонами, що лежать на лініях решітки. Нехай довжини його сторін дорівнюютьі . Маємо в цьому випадку В=(а-1)(b-1) , Г=2a+2b, тоді за формулою Піка,

Розглянемо тепер прямокутний трикутник із катетами, що лежать на осях координат. Такий трикутник виходить із прямокутника зі сторонамиі , Розглянутого в попередньому випадку, розрізанням його по діагоналі Нехай на діагоналі лежатьцілих точок. Тоді для цьоговипадки В=а-1)b-1 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 і отримуємо, що4) Тепер розглянемо довільний трикутник. Його можна отримати, відрізавши від прямокутника кілька прямокутних трикутників і, можливо, прямокутник (див. малюнки). Оскільки і для прямокутника, і для прямокутного трикутника формула Піка вірна, ми отримуємо, що вона буде справедливою для довільного трикутника.

Залишається зробити останній крок: перейти від трикутників до багатокутників. Будь-який багатокутник можна розбити на трикутники (наприклад, діагоналями). Тому потрібно просто довести, що при додаванні будь-якого трикутника до будь-якого багатокутника формула Піка залишається вірною. Нехай багатокутникта трикутник мають спільну сторону. Припустимо, що дляформула Піка справедлива, доведемо, що вона буде вірна і для багатокутника, отриманого здодаванням. Так як і мають загальну сторону, всі цілочисленні точки, що лежать на цій стороні, крім двох вершин, стають внутрішніми точками нового багатокутника. Вершини будуть граничними точками. Позначимо кількість загальних точок черезта отримаємо B=MT=BM+BT+c-2 - Число внутрішніх цілочисельних точок нового багатокутника, Г = Г (М) + Г (T) -2 (с-2) -2 - число граничних точок нового багатокутника. З цих рівностей отримуємо: BM+BT+c-2 , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Оскільки ми припустили, що теорема вірна дляі для окремо, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+ГМ2 -1)+В(T)+ ГT2 -1)=(В(М)+ В(T))+( ГМ2+ГT2)-2 =Г(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= Г(MT)+ B(MT)2-1 . Тим самим, формула Піка доведена.

2.4 Дослідження площ багатокутників.

Висновок

1. Порівнявши результати в таблицях і довівши теорему Піка, я дійшла висновку, що площа фігури, обчислена за формулою Піка, дорівнює площі фігури, обчисленої за виведеною формулою планіметрії

Отже, моя гіпотеза виявилася вірною

III.Геометричні завдання із практичним змістом.

Допоможе нам формула Піка і для вирішення геометричних завдань із практичним змістом.

Завдання 9 . Знайдіть площу лісового масиву (в м²), зображеного на плані з квадратною сіткою 1 × 1(см) у масштабі 1 см – 200 м (рис. 10)

Рішення.

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200 м²; S = 40000 · 10,5 = 420000 (м²)

Відповідь: 420 000 м²

Завдання 10 . Знайдіть площу поля (в м²), зображеного на плані з квадратною сіткою 1 × 1(см) у масштабі 1 см – 200 м. (рис. 11)

Рішення. Знайдемо S площу чотирикутника, зображеного на картатому папері за формулою Піка: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 - 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² - 200 м²; S = 40000 · 8 = 320000 (м²)

Відповідь: 320 000 м²

Висновок

У процесі дослідження я вивчила довідкову науково-популярну літературу, навчилася працювати в програмі Notebook. Дізналася, що

Завдання на знаходження площі багатокутника з вершинами у вузлах сітки з спонукало австрійського математика Піка в 1899 довести чудову формулу Піка.

В результаті моєї роботи я розширила свої знання про вирішення завдань на папері, визначили для себе класифікацію досліджуваних завдань, переконалися в їх різноманітті.

Я навчилася обчислювати площі багатокутників, намальованих на картатому листку. Розглянуті н завдання мають різний рівень труднощі – від простих до олімпіадних. Кожен може знайти серед них завдання посильного рівня складності, відштовхуючись від яких, можна буде переходити до більш важких рішень.

Я дійшла висновку, що тема, яка мене зацікавила, досить багатогранна, завдання на папері паперу різноманітні, методи і прийоми їх вирішення також різноманітні. Тому наша я вирішила продовжити роботу у цьому напрямі.

Література

1.Геометрія на картатому папері. Малий МЕХмат МДУ.

2.Жарковська Н. М., Рісс Є. А. Геометрія картатий папір. Формула Піка // Математика, 2009 № 17, с. 24-25.

3. Завдання відкритого банку завдань з математики ФІПД, 2010 – 2011

4.В.В.Вавілов, А.В.Устинов.Многоугольники на решітках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематичні етюди.etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев та ін.Геометрія.7-9 класи.М. Освіта,2010