Теорема коші для числових послідовностей. Ознака порівняння для рядів з позитивними членами ознака даламбера ознака коші критерій коші збіжності ряду
Тут пропонується розглянути загальну ознаку існування кінцевої межі для послідовності 
.
Визначення 3.5.
Послідовність 
,
, називається фундаментальною, якщо для довільного числа 
знайдеться такий номер 
, що для всіх 
виконується нерівність 
.
Визначення фундаментальної послідовності часто зручно використовувати у наступному вигляді.
Визначення 3.6.
Послідовність 
є фундаментальною, якщо для довільного числа 
знайдеться такий номер 
, що для всіх 
та будь-якого натурального числа 
виконується нерівність 
.
Теорема 3.13 (Критерій Коші). Для того щоб послідовність сходилася, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.
Доведення. Необхідність.
Нехай послідовність 
,
, сходиться, тобто існує
. Виберемо 
. Тоді знайдеться такий номер 
, що для всіх 
виконується нерівність: 
.
Нехай 
і 
тоді
=
,
що означає фундаментальність послідовності.
Достатність.
Нехай послідовність 
є фундаментальною. Доведемо, що вона сходиться. Складність полягає у виявленні такого числа а, що є її межею.
Розіб'ємо міркування на кілька кроків.
а) Доведемо, що з фундаментальності послідовності випливає її обмеженість. Розглянемо ε =1, тоді знайдеться такий номер n 1 , що за всіх
n,
m
≥
n 1
виконується нерівність 
. При всіх n≥
n 1
справедливо:
.
Нехай , а, тоді для кожного натурального 
виконані нерівності 
, тобто 
обмежена.
б) Виберемо натуральне n.
Розглянемо безліч 
- безліч значень членів послідовності, номери яких не менші від обраного n. За доведеним в а) безліч X 1
обмежено. А з очевидних вкладень 
слід, що з цих множин обмежено.
в) Розглянемо дві нові послідовності. З цією метою для кожної множини 
позначимо: 
,
. З наведених у б) вкладень випливає, що послідовність 
зростає ( 
), а послідовність 
убуває ( 
). Тому 
тобто послідовності монотонні і обмежені і, отже, сходяться. Зазначимо також, що за всіх натуральних nочевидні нерівності 
.
г) Доведемо, що різниця цих двох послідовностей прагне нуля: 
. Скористаємося умовою фундаментальності. Для довільного числа 
знайдеться такий номер 
, що для всіх k
≥
n ε
виконуються нерівності 
. Ці нерівності дозволяють зробити висновок про те, що
при n≥
n ε
. Отже, 
.
д) За доведеним у частині в) послідовність 
сходиться, нехай 
. Так як 
і, то з нерівностей 
і з леми про двох міліціонерів випливає, що 
. Достатність доведено. Теорему доведено.
3.9. Підпослідовності. Часткові межі
Визначення 3.7.
Нехай 
,
, - деяка числова послідовність і нехай 
,
- Суворо зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді послідовність виду 
,
, називається підпослідовністю послідовності 
.
Якщо послідовність не має межі, то це не виключає можливості існування межі для будь-якої підпослідовності.
Визначення 3.8. Частковою межею послідовності називається межа якої-небудь підпослідовності, що збігається.
Приклад 3.18.
Нехай 
. Ця послідовність розходиться (див. розділ 3.2), але її підпослідовність 
і 
сходяться відповідно до 1 та -1. Таким чином, ці числа є частковими межами послідовності 
.
Теорема 3.14.
Нехай послідовність 
,
, сходиться до a.
Тоді будь-яка її підпослідовність також сходить до a.
Доведення.Нехай 
,
, - підпослідовність послідовності 
,
. Так як 
строго зростаюча послідовність натуральних чисел, то 
при всіх 
(Це легко довести по індукції). Виберемо 
. За визначенням збіжності 
до aдля всіх 
буде виконано нерівність 
.Теорему доведено.
Завдання 3.14 Доведіть, що для збіжності послідовності необхідно і достатньо, щоб сходилася кожна підпослідовність.
Завдання 3.15.
Доведіть, що з умов 
a
і
a
випливає, що 
a.
Завдання 3.16. Наведіть приклад послідовності, що має рівно десять часткових меж.
Завдання 3.17. Наведіть приклад послідовності, для якої кожне дійсне число є частковою межею.
Розглянемо питання існування часткових меж у разі обмеженої послідовності.
Теорема 3.15 (Больцано-Вейєрштрас). Будь-яка обмежена послідовність містить схожу підпослідовність.
Доведення.
Через обмеженість послідовності можна вказати такі числа 
, що для будь-кого 
виконуються нерівності 
. Розділимо відрізок 
навпіл. Тоді хоч би в одній половині буде утримуватися безліч членів послідовності. Це випливає з того, що послідовність складається з біс кінцевого числачленів, а половин лише дві. Виберемо цю половину і позначимо через 
якщо обидві такі - то будь-яку з них.
Далі, відрізок 
знову розділимо навпіл і виберемо половину, що містить безліч членів послідовності. Позначимо її через 
. Продовжуючи цей процес, на
-ом кроці отримаємо відрізок 
, В якому міститься нескінченно багато членів даної послідовності. Кожен із побудованих відрізків міститься у попередньому. Довжина відрізка 
дорівнює 
тобто прагне до нуля зі зростанням 
. Застосовуючи лему Кантора про вкладені відрізки, отримаємо, що послідовності 
і 
прагнуть спільної межі, позначимо його через а.
Побудуємо тепер схожу до апідпослідовність. В якості 
виберемо будь-який із членів послідовності 
, що містяться в 
. В якості 
виберемо такий член послідовності 
, який міститься в 
та номер 
якого більше 
(тут використовується те, що відрізок 
містить багато членів послідовності). Розмірковуючи аналогічно, на
-ом кроці як 
виберемо такий член послідовності 
, який міститься в 
та номер 
якого більше 
. Нагадаємо, що кожен із побудованих відрізків містить нескінченно багато членів послідовності, що й обумовлює можливість такого вибору. Так як 
, а 
, то по лемі про двох міліціонерів 
.Теорему доведено.
Безліч всіх часткових меж послідовності позначимо через 
. Доведену теорему Больцано-Вейєрштраса можна переформулювати так:
у всякої обмеженої послідовності безліч 
часткових меж не пусто.
Додатково зазначимо, що з обмеженості послідовності з теореми про граничний перехід у нерівностях випливає і обмеженість безлічі 
. Значить, безліч 
має точні верхню та нижню грані.
Визначення 3.9.
Нехай 
,
, - обмежена послідовність, і нехай 
- безліч її часткових меж. Значення 
,
називаються відповідно нижньою та верхньою межами послідовності 
.
З цього визначення безпосередньо не випливає, що числа 
,
належать безлічі 
, але, проте, справедлива
Теорема 3.16. Верхній та нижній межі обмеженої послідовності є її частковими межами.
Доведення.Покажемо, що існує така підпослідовність 
, що 
. Так як 
<
, то за визначенням точної верхньої грані знайдеться 
з 
,для котрого 
. Далі знайдеться 
, для котрого 
, і взагалі, для будь-кого 
знайдеться 
, що задовольняє нерівності:
.
Бо кожне 
- часткова межа, то будь-яка околиця 
містить нескінченно багато членів послідовності 
. Тому існує номер 
, для котрого 
; існує номер 
, для котрого
і 
.
Продовжуючи міркування, для кожного 
розглянемо 
, що задовольняє умовам
і 
.
Побудована таким чином підпослідовність 
задовольняє нерівностям
і по лемі про двох міліціонерів прагне 
.
Аналогічно будується підпослідовність, що сходить до 
.Теорему доведено.
З доведеної теореми, зокрема, випливає, що немає такої послідовності, безліччю всіх часткових меж якої є обмежений інтервал.
Будемо позначати верхню і нижню межі послідовності через 
і 
відповідно. Як одну з характерних властивостей цих величин доведемо наступну теорему.
Теорема 3.17
.
Нехай 
- Обмежена послідовність, 
;
. Тоді для будь-якого позитивного числа 
кожній з нерівностей 
і 
задовольняє лише кінцеве безліч членів послідовності.
Доведення.
Припустимо неприємне. Нехай безліч номерів 
членів послідовності, які задовольняють нерівності 
, нескінченно. Розташуємо ці номери у порядку строгого зростання: 
Тоді підпослідовність 
задовольняє нерівностям 
. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса з неї можна виділити схожу підпослідовність, межу 
якої більше ніж 
. Ясно що 
, а це суперечить тому, що 
- Верхня грань. Отримана суперечність доводить теорему.
Визначення. Послідовність (x n ) називається фундаментальної (послідовністю Коші), якщо для будь-якого e> 0 знайдеться номер Nтакий, що для всіх номерів n, що задовольняють умові n>=N, і для будь-якого натурального числа p(p=1,2,3…) справедлива нерівність:
| x n + p – x n |< e.
Теорема. (Критерій Коші) . Для того щоб послідовність (x n ) була схожою необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.
Доведення.
1) Необхідність. Нехай x n à a. Фіксуємо довільне e > 0. Оскільки послідовність (x n ) сходить до межі адля числа рівного e/2 знайдеться номер Nтакий, що за всіх n >= N:
| x n – a|< e/2. (1)
Якщо pбудь-яке натуральне число, то за всіх n>=N і поготів буде:
| x n + p – a| < e/2. (2)
Так як модуль суми двох чисел не перевищує суми їх модулів, то з нерівностей (1) і (2) ми отримаємо за всіх n >= N і для будь-якого натурального числа pми отримаємо:
| x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – a| + | x n - a|< e, Þ | x n + p - x n | < e - це означає, що це фундаментальна послідовність.
2) Достатність. Нехай тепер (xn) - фундаментальна послідовність. Наприклад для e = 1 існує n 1 такий, що n > n 1 і m > n 1 має | x n - x m |< 1.
Фіксуючи m o > n 1 маємо | x n - x m o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xm o |
Þ |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xm o |) всім nÎN, тобто. (x n) - обмежена.
Значить, за теоремою Больцано - Вейєрштрасса існує послідовність, що збігається ( x n k), x n k –> a. Покажемо, що (x n ) сходить до a.
Для цього e > 0:
"e > 0 $K(e)Î N:"k>K(e) Þ
|x n k – a| < e;
Крім того, через фундаментальність (x n ), $n e = n(e): n k ,n > n e
Þ |x n – x n k |< e/2
Покладемо n e = max(n e , n k (e) ) і фіксуємо n ko > n e. тоді за n > n e маємо:
| x n – a |<= |x n – xn ko | + | x n ko - a |< e. А это и означает, что lim x n = a #
15. Два визначення межі функції у точці та їх еквівалентність.
Опр.1. (По Коші). Нехай задана функція y=f(x): X à Y та точка aє граничною для множини X. Число Aназивається межею функції y=f(x) у точціa якщо для будь-якого e > 0 можна вказати таке d > 0, що для всіх xÎX, що задовольняють нерівності 0< |x-a| < d, выполняется |f(x) – A| < e.
Опр.2. (за Гейном). Число Aназивається межею функції y=f(x) у точці a, якщо для будь-якої послідовності (x n )Ì X, x n ¹a "nÎN, що сходить до a, послідовність значень функції (f(x n)) сходиться до A.
Теорема. Визначення межі функції по Коші та Гейні еквіваленти.
Доведення.Нехай A = lim f (x) - межа функції y = f (x) по Коші
і (x n )Ì X, x n ¹a "nÎN – послідовність, що сходить до a, x n à a.
За цим e > 0 знайдемо d > 0 таке, що за 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,
а тому d знайдемо номер n d =n(d) такий, що при n>n d маємо 0< |x n -a| < d.
Але тоді | f (x n) - A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.
Нехай тепер число Aє тепер межа функції за Гейном, але Aне є межею по Коші. Тоді знайдеться e o > 0 таке, що для всіх nN існують x n ÎX,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o. Це означає, що знайдено послідовність (x n )Ì X, x n ¹a "nÎN, x n à aтака, що
послідовність (f(x n)) не сходить до A. #
Єдиність межі функції у точці. Локальна обмеженість функції, що має кінцеву межу. Локальне збереження знака функції, що має нульову межу.
Теорема 1. Якщо $ lim f(x) = b Î Rпри x à a, то ця межа єдиний.
Доведення: Нехай це не так
lim f(x) = b 1 і lim f(x) = b 2 за x à a. b 1 ¹b 2
"(x n )Î D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (визначення за Гейном)
"(x n )Î D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (визначення за Гейном)
Для конкретної послідовності (x n) D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ') à b 1 і f(x n ')à b 2. Тоді за теоремою про єдиність межі послідовності b 1 =b 2 . #
Опр. Функція f(x) називається локально обмеженою при x à a, якщо є числа d > 0 і М > 0 такі, що з 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Теорема 1 (про локальну обмеженість). Якщо функція f(x) має межу в точці a, вона локально обмежена при x à a.
Доведення:Якщо існує lim f(x) = A при x a a, то, наприклад, для e=1 існує d>0 таке, що при 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Теорема 2 (про локальне збереження знака). Якщо lim f(x) = A при x à a і A¹0, то існує таке d>0, що при
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 маємо f(x)>A/2, а при 0< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
Доведення:Візьмемо e=|A|/2. Знайдеться d>0 таке, що за
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 При A>0 з лівої нерівності одержуємо f(x) > A/2, а при A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # Критерія Коші для збіжності послідовності випливає найзагальніший критерій збіжності числового ряду. Теорема 4 (Критер Коші). Для того, щоб числовий ряд Y1 ап сходився, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа е > Про існував номер N = N(e) такий, що за будь-якого п> N нерівність виконувалася для всіх Використовуючи часткові суми 5П+Р і Sn-\ Розглянутого ряду J2 вп> нерівність (1) можна записати у вигляді З критерію Коші випливає необхідна ознака збіжності числового ряду. Теорема 5. Якщо ряд Ознак порівняння для рядів з позитивними членами Ознака Даламбера Ознака Коші Критерій Коші збіжності ряду сходиться, то Вважаючи в теоремі 4, отримаємо нерівність яка виконується для всіх. Якщо lim ап відмінний від нуля чи немає, то ряд Приклад 1. Числовий ряд розходиться, оскільки Приклад 2. Ряд розходиться, оскільки немає. Зауваження. Теорема 5 дає необхідну умову збіжності ряду, але вона не є достатньою, тобто умова lim о„ = 0 може виконуватися і для ряду, що розходиться Приклад 3. Розглянемо числовий ряд який називається гармонійним рядом. Для гармонійного ряду виконано необхідну умову збіжності, оскільки, скориставшись критерієм Коші, покажемо, що цей ряд розходиться. Покладемо р-п. Тоді Отримана нерівність виконується для будь-якого як завгодно великого п. Звідси випливає, що для е ^ 5 і р = п нерівність (1) не виконується. Тим самим, через критерій Коші гармонійний ряд розходиться. Важливе зауваження. У певному сенсі ряд є узагальненням кінцевої суми. Однак на відміну від останньої, доданки в якій можна довільно групувати і переставляти місцями, чому сума, як відомо, не змінюється, дії з членами довільного ряду потрібно проводити обачно - наслідки можуть бути не передбачуваними. Якщо в розбіжному ряді (не виконана необхідна ознака збіжності) попарно згрупувати сусідні групи то вийде ряд Члени ряду, що сходиться (див. приклад з § 8) можна переставити так, що він буде сходитися до будь-якого числа і навіть розходитися. Зокрема, ряд отриманий перестановкою його членів, сходиться до напівсуми вихідного (приклад § 9). Те, що у цих прикладах члени низки мають різні знаки, суттєво. Наведемо ознаки, що дають змогу встановити збіжність чи розбіжність деяких числових рядів шляхом порівняння їх з іншими рядами, збіжність чи розбіжність яких відома заздалегідь. Теорема 6 (ознака порівняння). Нехай дані два ряди члени яких ап і 6„ позитивні. Якщо всім номерів п виконується нерівність то зі збіжності ряду Y1 6п слід збіжність ряду ап, та якщо з розбіжності ряду Y1 On слід розбіжність ряду Y1 6„. М Складемо часткові суми рядів (1) і (2) З умови (3) теореми випливає, що 5П ^ Sn для всіх 1) Припустимо, що ряд (2) сходиться, тобто існує межа його n-х часткових сум як усі члени цих рядів позитивні, то, звідки з нерівності (3) випливає, що таким чином, всі часткові суми 5П ряду (1) обмежені і зростають при зростанні п, оскільки. Отже, послідовність часткових сум є збіжною, що означає збіжність ряду ап При цьому при переході до межі в нерівності отримаємо, що В силу нерівності отримаємо Ознаку порівняння для рядів з позитивними членами Ознака Даламбера Ознака Коші Критерій Коші збіжності ряду т. е. розходиться. Зауваження. Теорема 6 залишається справедливою у разі, коли нерівність an ^ Ьп виконується задля всіх n, а починаючи лише з деякого номера А:, т. е. всім п ^ Jfc, оскільки зміна кінцевого числа членів ряду не порушує його збіжності. приклади. Дослідити на збіжність такі ряди: Маємо Оскільки числовий ряд сходиться, то за ознакою порівняння вихідний ряд (також сходиться. Теорема 6 залишається справедливою і в разі більш загальної нерівності Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд 4 Використовуючи нерівність sin х ^ х, справедлива для всіх, знайдемо, що для. сходиться і цей ряд (5) Наслідок Якщо існує кінцева відмінна від нуля межа то ряди (1) і (2) сходяться або розходяться одночасно. такий, що для всіх п > N буде виконуватися нерівність або Звідси Якщо ряд (2) сходиться, то сходиться і ряд Але оскільки те в силу теореми 6 буде сходитися і ряд (1) Якщо ж ряд (2) розходиться, то розходиться і ряд (не вважаємо настільки м червоним, що. Так як n для всіх по теоремі 6 ряд (1) розходиться. Зауваження. Умова леми рівнозначна тому, що послідовності сц, і Lbn при еквівалентні або, що те У випадку I = 0 зі збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1). Назад неправильно. У разі L = +оо із розбіжності ряду (1) слід розбіжність ряду (2). Назад неправильно. приклади. Дослідити на збіжність такі числові ряди: 4 Порівняємо цей ряд з гармонійним рядом Маємо Оскільки гармонійний ряд розходиться, то розходиться і цей ряд. Тоді Початковий ряд сходиться. §5. Ознака Даламбера о Теорема 7 (ознака Даламбера). Нехай дано ряд ап, де всі ап > 0. Якщо існує п=\ межа то при ряд сходиться, а при ряд розходиться. Тоді для будь-якого числа наприклад, для е = , знайдеться номер N такий, що для всіх n ^ N буде виконуватися нерівність Зокрема, будемо мати звідки для всіх З цієї нерівності, надаючи п послідовно значення N, отримаємо який сходиться як ряд, складений з членів геометричної прогресії зі знаменником За ознакою порівняння ряд сходиться, а значить, сходиться і вихідний ряд ап- У випадку починаючи з деякого номера N, буде виконуватися нерівність, або Отже, ап розходиться, оскільки не виконано - моя ознака збіжності. Зауваження. Якщо або немає, то ознака Даламбера відповіді про збіжність або розбіжності ряду не дає. приклади. Дослідити на збіжність такі ряди: Для даного ряду маємо Ознака порівняння для рядів з позитивними членами Ознака Даламбера Ознака Коші Критерій Коші збіжності ряду За ознакою Даламбера ряд сходиться. Маємо цей ряд розходиться. . Ознака Коші Теорема 8 (ознака Коші). Нехай дано ряд оо Візьмемо число q таке, що. Оскільки існує межа де, то, починаючи з деякого номера N, виконуватиметься нерівність. Насправді, з граничної рівності випливає, що для будь-якого з, у тому числі і для, знайдеться такий номер N, починаючи з якого буде виконуватися нерівність звідки А або, що те саме, Звідси отримуємо для. Таким чином, всі члени ряду, починаючи, менше відповідних членів про схожого ряду £ 0я- За ознакою порівняння ряд сходиться, а значить сходиться і ряд (1). Нехай. Тоді, починаючи з деякого номера N для всіх п > N, виконуватиметься нерівність > 1, або, отже, і ряд (1) розходиться. Зауваження. Якщо А = 1, то ряд (I) може сходитися, так і розходитися. приклади. Дослідити на збіжність такі ряди: Маємо Ряд сходиться. ^ м Тут Ряд розходиться. ^ КІШІ КРИТЕРІЙ 1) К. до. збіжності числової послідовності: для того, щоб чисел (дійсних або комплексних) х n , n= 1, 2, . . ., мала межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер N, що для всіх збіжності числової послідовності узагальнюється в критерій збіжності точок повного метрич. простору. Послідовність точок (х п)повного метрич. простору сходиться в тому і тільки в тому випадку, коли для будь-кого існує таке N,що для всіх виконується нерівність 2) До. до. існування межі функцій n змінних Нехай f визначено на множині Xre-мірного простору R nі приймає числові (дійсні чи комплексні) значення, а -гранична точка множини X(або символ , у цьому випадку Xнеобмежено). Кінцева межа існує тоді і лише тоді, коли для будь-кого знайдеться така U=U(a) .
крапки а,що для будь-яких і виконується нерівність Цей критерій узагальнюється більш загальні відображення: нехай X -топологіч. , а -його гранична точка, в якій виконується рахунковості, Y -повне метрич. простір і f - Xв Y.Для того, щоб існувала межа 3) До. до. рівномірної збіжності сімейства функцій. Нехай X -кілька, Y -топологіч. простір, що задовольняє в граничній точці першої аксіомі лічильності, R-повне метрич. простір, f( x, у).
- Відображення множини Сімейство відображень f( x, у),
що відображають при фіксованому безлічі Xв Я, є рівномірно схожим на Xпри якщо для будь-якого існує така околиця U=U(y 0).точки y 0, що для всіх Зокрема, якщо Y -безліч натуральних чисел та 4) До. к. збіжності ряду: числовий сходиться тоді і лише тоді, коли для будь-кого існує такий номер N,що для всіх і всіх цілих виконується нерівність Для кратних рядів аналогічний критерій збіжності зв. критерієм Коші- Штольца. Напр., щоб сходився за прямокутними частковими сумами необхідно і достатньо, щоб будь-кому знайшлося таке N,що за всіх і всіх цілих Ці критерії узагальнюються на ряди у банахових просторах (замість абсолютної величини беруться норми відповідних елементів). 5) До. до. рівномірної збіжності ряду: нехай - функції, визначені на деякій множині Xі приймають числові значення. Для того, щоб ряд поступово сходився на безлічі X,необхідно та достатньо, щоб для будь-кого існував такий номер N,що для всіх цілих Цей критерій також переноситься на кратні ряди, причому не тільки на числові, але і на ряди, члени яких належать банаховим просторам, тобто коли і п(х). є відображення множини Xв деяке. 6) К. до. збіжності невласних інтегралів: нехай функція f визначена на напівінтервалі приймає на ньому числові значення і за будь-якого інтегрована (за Ріманом або Лебегом) на відрізку [ а, з].
Для того щоб сходився, необхідно і достатньо, щоб для будь-кого існувало таке, що для всіх, хто задовольняє умові, виконувалася нерівність Аналогічним чином критерій формулюється й у невласних інтегралів інших типів, і навіть узагальнюється у разі, коли функція f залежить від кількох змінних і його значення лежать у банаховом просторі. 7) До. до. рівномірної збіжності невласних інтегралів: нехай функція f( x, у).при кожному фіксованому де Y -деяка множина, визначена на напівінтервалі, приймає числові значення і при будь-якому інтегрована по хна відрізку [ а, з].
Для того щоб рівномірно сходився на безлічі У, необхідно, і достатньо, щоб для будь-кого знайшлося таке що для будь-яких умов, що задовольняють, і всіх виконувалася нерівність Цей критерій також переноситься на невласні інтеграли інших типів, на випадок функцій багатьох змінних і на функції, значення яких лежать у банахових просторах. Літ.: С а u з h у A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Дьєдонне Ж., Основи сучасного аналізу, пров. з англ., М., 1964; І л ь ин Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, т. 1, М., 1971, т. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Курс математичного аналізу, т .
1 - 2, М., 1981; 16] Микільський С. М., Курс математичного аналізу, 2 видавництва, т. 1-2, М., 1975; Уіттекер Е.- Т., Ватсон Дж. - Н., Курс сучасного аналізу, пров. з англ., 2 видавництва, ч. 1, М., 1963. Л. Д. Кудрявцев. Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985. Критерій збіжності позитивних рядів (критерій Коші) – основна ознака збіжності числових рядів, встановлений Огюстеном Коші. Позитивний ряд сходиться тоді і лише тоді, коли послідовність його часткових сум обмежена зверху. Критерій стійкості Найквіста Михайлова одне із способів будувати висновки про стійкості замкнутої системи управління з її розімкнутої АФЧХ. Є одним із частотних критеріїв стійкості. За допомогою цього критерію оцінити стійкість. Критерій стійкості Найквіста Михайлова одне із способів будувати висновки про стійкості замкнутої системи управління з амплітудно фазової частотної характеристиці її розімкнутого стану. Є одним із частотних критеріїв… … Вікіпедія Критерій Коші ряд тверджень у математичному аналізі: Критерій збіжності послідовності (див. Фундаментальна послідовність) у якому грунтується визначення повного простору. Критерій збіжності знакопозитивних ... Вікіпедія Критерій подібності - безрозмірна величина, складена з розмірних фізичних параметрів, що визначають розглянуте фізичне явище. Рівність усіх однотипних критеріїв подібності для двох фізичних явищ і систем необхідна і ... Вікіпедія Критерій стійкості Найквіста Михайлова одне із способів будувати висновки про стійкості замкнутої системи управління з її розімкнутої АФЧХ. Є одним із частотних критеріїв стійкості. За допомогою цього критерію оцінити стійкість дуже ... - (Ca) критерій подібності в механіці суцільних середовищ, що виражає ставлення кінетичної енергії до енергії стиснення середовища. Його використовують при вивченні коливань пружних тіл та перебігу пружних рідин. Число Коші виражається наступним чином: , Де ... ... Вікіпедія Цей термін має й інші значення, див. Ознака Коші. Інтегральна ознака Коші Маклорена – ознака збіжності спадного позитивного числового ряду. Ознака Коші Маклорена дає можливість звести перевірку збіжності ряду до … Термін «ознака Коші» може стосуватися одного з наступних тверджень: Радикальна ознака Коші Інтегральна ознака Коші Маклорена Критерій Коші Див. також Теорема Коші … Вікіпедія Послідовність ( x n )задовольняє умові Кошіякщо для будь-якого позитивного дійсного числа ε > 0
існує таке натуральне число N ε, що Послідовності, що задовольняють умові Коші, також називають фундаментальними послідовностями. Умову Коші можна уявити і в іншому вигляді. Нехай m>n. Якщо m< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Тоді умову Коші можна сформулювати так: Послідовність задовольняє умові Кошіякщо для будь-кого існує таке натуральне число, що Число , що фігурує за умови Коші, залежить від ε . Тобто є функцією від дійсної змінної ε , областю значень якої є безліч натуральних чисел. Число також можна записати у вигляді , як це прийнято для позначення функцій. Критерій Коші збіжності послідовності Для того щоб послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші. Нехай послідовність сходиться до кінцевої межі a: Покажемо, що послідовність задовольняє . Для цього нам потрібно знайти таку функцію, при якій для будь-якого виконуються нерівності: Замінимо на . Тоді для будь-кого маємо: Необхідність доведена. Нехай послідовність задовольняє. Доведемо, що вона сходить до кінцевого числа. Доказ розділимо на три частини. Спочатку доведемо, що послідовність обмежена. Потім застосуємо , згідно з якою у обмеженої послідовностііснує підпослідовність, що сходить до кінцевого числа. І нарешті, покажемо, що до цього сходиться вся послідовність. Доведемо, що послідовність, що задовольняє, обмежена. Для цього, за умови Коші, покладемо . Тоді існує таке натуральне число, при якому виконуються нерівності: Візьмемо будь-яке натуральне число і зафіксуємо член послідовності. Позначимо його як , щоб підкреслити, що це постійне, яке не залежить від індексу n число. Підставляємо (2.1.1) і виконуємо перетворення. При маємо: Застосуємо теорему Больцано - Вейєрштрасса. Відповідно до цієї теореми, у обмеженої послідовності, існує підпослідовність, що сходить до деякого кінцевого числа a . Позначимо таку підпослідовність як . Тоді Покажемо, що до a сходиться вся послідовність. Зафіксуємо n. Тоді (2.3.1) є нерівністю, що містить послідовність , яка виключає кінцеве число перших членів з . Кінцеве число перших членів впливає збіжність (див. Вплив кінцевого числа членів збіжність послідовності). Тому межа при усіченій послідовності як і дорівнює a . Застосовуючи властивості меж, пов'язані з нерівностямиі арифметичні властивості меж, при , з (2.3.1) маємо: Тобто для будь-кого існує натуральне число, тож Теорема доведена Використана література: 
виконувалося 
необхідно і достатньо, щоб для будь-кого існувала околиця U=U(a).точки атакуючи, що для всіх виконувалася нерівність 
і всіх виконується нерівність
то послідовність рівномірно сходиться на множині Xпри тоді і тільки тоді, коли для будь-кого існує такий номер N,що для всіх і всіх номерів і виконується нерівність
виконувалася нерівність
виконувалася нерівність 
Дивитись що таке "КОШІ КРИТЕРІЙ" в інших словниках:
Книги
(1)
| x n - x m |< ε
при n >N ε , m > N ε .
;
.
Тут p – натуральне число.
(2)
при будь-яких натуральних p .Доказ критерію Коші збіжності послідовності
Доказ необхідності
.
Це означає, що є деяка функція, так що для будь-якого виконуються нерівності:
(1.1)
при .
Визначення межі послідовності.
при .
Скористаємося властивостями нерівностей та застосуємо (1.1):
.
Остання нерівність виконується при .
при ,
де.Доказ достатності
(2.1.1)
при .
;
;
;
;
.
Звідси видно, що з , члени послідовності обмежені. Оскільки, при , є лише кінцеве число членів, і вся послідовність обмежена.
.
Оскільки послідовність задовольняє , то є деяка функція , коли для будь-якого виконуються нерівності:
при .
Як візьмемо член схожої підпослідовності і замінимо ε 1
на ε /2
:
(2.3.1)
при .
при .
Скористаємося очевидною нерівністю: . Тоді
при .
при .
Це означає, що число a є межею всієї послідовності (а не лише її підпослідовності).
О.В. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.
