Нескінченні множини та дійсні числа. Справжні числа

Безліч дійсних чисел- це сукупність доповнення раціональних чисел ірраціональними. Позначається це безліч буквою R, а символом прийнято використовувати запис (-∞, +∞) або (-∞,∞).

Описати безліч дійсних чисел можна так: це безліч кінцевих і нескінченних десяткових дробів, кінцеві десяткові дробита нескінченні десяткові періодичні дроби- раціональні числа, а нескінченні десяткові та неперіодичні дроби- Ірраціональні числа.
Будь-яке дійсне число можна вказати на координатній прямій. Також доречно та зворотне затвердження: Будь-яка точка на координатній прямій має дійсну координату. на математичною мовоюце звучить так: між безліччю точок координатної прямої та безліччю R дійсних чисел можна встановити взаємно однозначне співвідношення. Для самої координатної прямої часто використовують термін «числова пряма», оскільки координатна пряма є геометричною моделлю множини дійсних чисел.
Виявилося, що ваше знайомство з координатною прямою було давно, але користуватись нею ви почнете тільки зараз. Чому? Відповідь ви зможете знайти у прикладі з відеоуроку.

Відомо, що для дійсних чисел a і b виконуються вже добре відомі вам закони складання та множення: комунікативний закон складання, комутативний закон множення, асоціативний закон складання, дистрибутивний закон множення щодо складання та інші. Проілюструємо деякі з них:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b) c = ac + bc
Також виконуються наступні правила:
1. В результаті добутку (приватного) двох негативних чисел виходить число позитивне.
2. В результаті твору (приватного) негативного та позитивного числа виходить число негативне.
Порівняти дійсні числа один з одним можна, спираючись на визначення:
Справжнє число a більше чи менше дійсного числа b, у разі, коли різниця a - b є позитивним чи негативним числом.
Записується це так: a > b, a< b.
Це означає, що є позитивним числом, а b - негативне.
Тобто, у разі коли a > 0 => a позитивно;
a< 0 =>a негативне;
a > b, то a - b позитивно => a - b > 0;
a< b, то a - b отрицательное =>a - b< 0.
Крім знаків (<; >) суворих нерівностей, використовуються та знаки нестрогих нерівностей - (≤;≥).
Наприклад, для будь-якого числа b виконується нерівність b2 ≥ 0.
Приклади порівняння чисел та розташування їх у порядку зростання Ви можете у відеоуроці.
Завдяки геометричній моделі безлічі дійсних чисел - числової прямої, операція порівняння виглядає особливо наочно.

Основна властивість алгебраїчного дробу

Ми продовжуємо знайомство з дробами алгебри. Якщо на попередньому уроцімова йшла про основні поняття, то на цьому уроці ви дізнаєтеся про основну властивість дробу алгебри. Визначення основної властивості дробу відоме з курсу математики 6 класу (скорочення дробів). У чому воно полягає? Часто під час вирішення завдань, рівнянь виникає необхідність перетворити одну «незручну» для обчислень дріб в іншу, «зручну». Саме для виконання таких перетворень необхідно знати її основну властивість і правила зміни знаків, з якими ви познайомитеся, переглянувши відеоурок.

Значення звичайного дробу залишиться незмінним при множенні чи розподілі чисельника та знаменника на те саме число (крім нуля). У цьому полягає основна властивість дробу.
Розглянемо приклад:
7/9 = 14/18
Маємо два дроби, тотожно рівні другдругові. Чисельник і знаменник у даному випадкупомножили на 2, при цьому значення дробу не змінилося.
Що відбувається з дробом при розподілі чисельника і знаменника на те саме число, ви дізнаєтеся з відеоуроку.
Алгебраїчна дріб - це, в принципі, той самий звичайний дріб, Над нею можна виконувати ті ж дії, що і над звичайною.
Вираз, що стоїть у чисельнику, і вираз, що стоїть у знаменнику дробу, можна примножити або розділити на один і той же буквенно-цифровий вираз (багаточлен або одночлен), те саме число (крім нуля: якщо вираз або число, що стоїть у знаменнику) дроби, помножити на нуль, він набуде нульового значення, а, як відомо, на нуль ділити не можна). Таке перетворення дробу алгебри називають її скороченням. У цьому полягає основна властивість алгебраїчної дробу. Як воно реалізується на практиці – ви можете дізнатися з відеоуроку.
Перетворення дробів на дроби з однаковими знаменникаминазивають приведенням дробів до спільного знаменника. Для виконання даної діїнеобхідно виконати певну послідовністьдій, яка полягає в наступному:

Розклавши всі знаменники на множники, визначаємо НОК для числових коефіцієнтів.
. Записуємо твір, з урахуванням НОК коефіцієнтів та всіх буквених множників. Якщо множники однакові, беремо множник один раз. З усіх ступенів, у яких однакові підстави, беремо множник з максимальним показникомступеня.
. Знаходимо значення, які є додатковими множниками для чисельника кожного дробу.
. Для кожного дробу визначаємо новий чисельник - як добуток старого чисельника на додатковий множник.
. Записуємо дроби з новим чисельником, який визначили, та спільним знаменником.

Приклад 1: Привести такі дроби a/4b2 b a2/6b3 до спільного знаменника.
Рішення:
Для початку визначимо спільний знаменник. (Він дорівнює 12b2).
Потім, дотримуючись алгоритму, визначимо додатковий множник для кожного дробу. (Для першої – 3b, для другої – 2).
Виконавши множення, отримаємо результат.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 та (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2 .
Приклад 2: Привести дроби c/(c - d) та c/(c + d) до спільного знаменника.
Рішення:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c * (c + d) / (c - d) (c + d) = (c2 + cd) / (c2 - d2)
c * (c - d) / (c + d) (c - d) = (c2 - cd) / (c2 - d2)

Більше докладне рішенняаналогічних прикладів ви знайдете у відеоуроці.
Основна властивість дробу алгебри має слідство у вигляді правила зміни знаків:
a - b/c - d = b - a/d - c
У цьому випадку чисельник та знаменник дробу помножили на -1. Аналогічні дії можна робити не з усім дробом, а лише з чисельником або лише із знаменником. Як зміниться результат, якщо, наприклад, лише чисельник чи тільки знаменник помножити на -1, ви дізнаєтеся, переглянувши відеоурок.
Тепер, вивчивши основну властивість алгебраїчного дробу і правило, що випливає з нього, нам під силу вирішувати більше складні завдання, А саме: віднімання та складання дробів. Але це вже тема наступного уроку.

Якщо безліч раціональних чисел доповнити безліччю ірраціональних чисел, то разом вони становитимуть безліч дійсних чисел. Багато дійсних чисел зазвичай позначають буквою R; використовують також символічний запис (-оо, +оо) або (-оо, оо).

Багато дійсних чисел можна описати так: це безліч кінцевих і нескінченних десяткових дробів; кінцеві десяткові дроби та нескінченні десяткові періодичні дроби - раціональні числа, а нескінченні десяткові неперіодичні дроби - ірраціональні числа.

Кожне дійсне число можна зобразити точкою координатної прямої. Правильне і зворотне: кожна точка координатної прямої має дійсну координату. Математики зазвичай говорять так: між безліччю R дійсних чисел і безліччю точок координатної прямої встановлено взаємно однозначну відповідність. Координатна пряма є геометрична модель безлічі дійсних чисел; тому для координатної прямої часто використовують термін числова пряма.

Вдумайтесь у цей термін: чи не здається він вам неприродним? Адже число – об'єкт алгебри, а пряма – об'єкт геометрії. Чи немає тут «змішування жанрів»? Ні, все логічно, все продумано. Цей термін вкотре наголошує на єдності різних областейматематики, дає можливість
ототожнення понять «дійсне число» та «точка на координатній (числовій) прямій».

Зверніть увагу: координатної прямої ви користувалися починаючи з 5-го класу. Але, виявляється, у ваших знаннях була цілком виправдана прогалина: не для будь-якої точки координатної прямої ви зуміли б знайти координату - просто вчитель оберігав вас від такої неприємності.

Розглянемо приклад. Дано координатну пряму, на її одиничному відрізкупобудований квадрат (рис. 100), діагональ квадрата ОВ відкладена на координатній прямій від точки Про вправо, вийшла точка D. Чому дорівнює координата точки D? Вона дорівнює довжині діагоналі квадрата, тобто . Це число, як
ми тепер знаємо, що не ціле і не дріб. Значить, ні в 5-му, ні в 6-му, ні в 7-му класі координату точки D ви знайти не змогли.

Тому ми й досі говорили «координатна пряма», а не «числова пряма».

Зауважимо, що був ще один виправданий прогалину у ваших знаннях з алгебри. Розглядаючи вирази зі змінними, ми завжди мали на увазі, що змінні можуть приймати будь-які допустимі значення, Але тільки раціональні, адже інших не було. Насправді змінні можуть приймати
будь-які допустимі дійсні значення. Наприклад, у тотожності
(а + Ь)(а-b) = а 2 -b 2 у ролі а та b можуть виступати будь-які числа, не обов'язково
раціональні. Цим ми вже користувалися наприкінці попереднього параграфу. Цим же ми користувалися і в § 18, зокрема, у прикладах 6, 7, 8 із зазначеного параграфу.

Для дійсних чисел а, b, с виконуються звичні закони:
а + b = b + а;
аЬ = bа;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc і т.д.
Виконуються і звичні правила: добуток (приватний) двох позитивних чисел — додатне число;
добуток (приватний) двох негативних чисел - позитивне число;
твір (приватний) позитивного та негативного числа від'ємне число.

Дійсні числа можна порівнювати один з одним, використовуючи таке визначення.

Визначення . Кажуть, що дійсне число а більше (менше) дійсного числа b, якщо їхня різниця а - b - позитивне (негативне) число. Пишуть а > b (а< b).

З цього визначення випливає, що будь-яке позитивне число а більше нуля(оскільки різниця а - 0 = а - позитивне число), а всяке від'ємне число b менше нуля (оскільки різниця b - 0 = b - від'ємне число).

Отже, а> 0 означає, що а - позитивне число;
а< 0 означает, что а — отрицательное число;
а>b означає, що а -b - позитивне число, тобто а - b> 0;
a тобто. а - b< 0.
Поряд зі знаками суворих нерівностей (<, >) використовують знаки нестрогих нерівностей:
а 0 означає, що а більше за нуль або дорівнює нулю, тобто а — невід'ємне число (позитивне або 0), або що а не менше за нуль;
а 0 означає, що а менше за нуль або дорівнює нулю, тобто а - непозитивне число (негативне або 0), або що а не більше за нуль;
а b означає, що а більше або дорівнює b, тобто а - b - Невід'ємне число, або що а не менше b; а - b0;
а b означає, що а менше або дорівнює b, тобто а - b - Непозитивне число, або що а не більше Ь; а – b 0.
Наприклад, для будь-якого числа а правильна нерівність а 2 0;
для будь-яких чисел а і b правильна нерівність (а - b) 20.
Втім, для порівняння дійсних чисел необов'язково щоразу складати їхню різницю і з'ясовувати, позитивна вона чи негативна. Можна зробити відповідний висновок, порівнюючи запис чисел у вигляді десяткових дробів.

Геометрична модель безлічі дійсних чисел, тобто числова пряма, робить операцію порівняння чисел особливо наочною: з двох чисел а, b більше те, яке розташовується на числовій прямій правіше.

Таким чином, до порівняння дійсних чисел потрібно підходити досить гнучко, що ми використовуємо в наступному прикладі.

приклад 1.Порівняти числа:

приклад 2.Розташувати у порядку зростання числа

Історично першими виникли натуральні числа$N$, як результат перерахунку пердметів. Безліч цих чисел нескінченно і утворює натуральний ряд $ N = \ (1, 2, 3, ..., n, ... \) $. У цьому множині здійсненні операції складання і множення. Для виконання операції віднімання знадобилися нові числа, що призвело до появи множини цілих чисел: $ Z $. $Z=N_+\cup N_- \cup \(0\)$. Таким чином у багатьох цілих чисел завжди виконуються операції складання, множення, віднімання.

Раціональні числа

Необхідність виконання поділу призвела до багатьох раціональних чисел $Q$. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

Визначення.Два раціональних числа рівні: $ \ frac (m_1) (n_1) = \ frac (m_2) (n_2) $ - якщо $ m_1 \ cdot n_2 = n_1 \ cdot m_2 $. Це означає, що всяке раціональне числоможна уявити єдиним чином як несократмой дробу $\frac(m)(n)$. $НОД(m, n)=1$.

Властивості безлічі раціональних чисел

1. У результаті арифметичних операцій над раціональними числами (додавання, множення, віднімання, розподіл, крім розподілу на нуль) виходить раціональне число.

2. Безліч раціональних чисел упорядковано, тобто для будь-якої пари раціональних чисел $a$ і $b$ або $a b$.

3. Безліч раціональних чисел щільно, тобто для будь-якої пари раціональних чисел $a$ і $b$ існує таке раціональне число $c$, що $a

Будь-яке позитивне раціональне число завжди можна подати у вигляді десяткового дробу: або кінцевого, або нескінченного періодичного. Наприклад: $ frac (3) (5) = 0,6 $, $ frac (1) (3) = 0,333 ... = 0, (3) $.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - називається періодом десяткового дробу, де все $b_i=0$.

Зауважимо, що кінцевий дріб може бути записаний у вигляді нескінченного періодичного з нулем у періоді. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Проте, частіше зустрічається інше уявлення раціональних чисел як десяткового дробу: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Негативні раціональні числа $-\frac(m)(n)$ записуються у вигляді десяткового розкладання раціонального числа виду $\frac(m)(n)$, взятого з протилежним знаком.

Кількість $0$ представляється як $0,000...$.

Таким чином, будь-яке раціональне число завжди представимо у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу, що не містить $0$ в періоді, крім самого числа $0$. Така вистава єдина.

Ірраціональні числа

Безліч раціональних чисел замкнено щодо чотирьох арифметичних операцій. Однак у безлічі раціональних чисел який завжди має місце рішення найпростішого рівняння виду $x^2-n=0$. Тому виникає потреба введення нових чисел.

Покажемо, що серед раціональних чисел немає числа, квадрат якого дорівнює трьом. Доказ проведемо шляхом протилежного.

Припустимо, що є раціональне число $\frac(m)(n)$ таке, що його квадрат дорівнює трьом: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\;( 1) $.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Права частина рівності (2) ділиться на 3. Отже $m^2$ ділиться на 3, отже $m$ ділиться на 3, а це означає, що $m=3k$. Підставимо в рівність (2), отримаємо:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Ліва частина рівності $(3)$ ділиться на $3$, отже права частина ділиться на $3$. Отже $n^2$ ділиться на $3$, отже $n$ ділиться на $3$, звідки $n=3p$. В результаті отримуємо: $ frac (m) (n) = frac (3k) (3p) $, тобто дріб $ frac (m) (n) $ виявилася скоротливою, що суперечить припущенню. Отже, серед раціональних чисел немає такого числа, квадрат якого дорівнює трьом.

Але число, квадрат якого дорівнює трьом, існує. Воно представимо у вигляді нескінченного неперіодичного дробу. І ми набули нового вигляду чисел. Назвемо їх ірраціональними.

Визначення.Ірраціональним числом називається будь-яка нескінченна неперіодична дріб.

Безліч нескінченних неперіодичних дробів називається безліччю ірраціональних чисел і позначається $I$.

Справжні числа

Об'єднання безлічі раціональних чисел $Q$ і ірраціональних чисел $I$ дає безліч дійсних чисел $R$: $Q\cup I=R$.

Таким чином будь-яке дійсне число представимо у вигляді нескінченного десяткового дробу: періодичного у разі раціонального числа і неперіодичного у разі ірраціонального числа.

Порівняння дійсних чисел

Для дійсних чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ порівняння здійснюється таким чином:

1) Нехай $a$ і $b$ обидва позитивні: $a>0$, $b>0$, тоді:

$a=b$, якщо для будь-якого $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$, якщо $\exists s$ $\forall k b_s $.

2) Нехай $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) Нехай $a$ і $b$ обидва негативні: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, якщо $-a=-b$;

Є одним із основних невизначених понять математики. Під безліччю розуміють сукупність (збори, клас, сімейство...) деяких об'єктів, об'єднаних за якоюсь ознакою. Так можна говорити про безліч студентів інституту, про безліч риб у Чорному морі, про безліч коренів рівняння х 2+2х+2=0, безлічівсіх натуральних чисел і т.д.

Об'єкти, у тому числі складається безліч, називаються його елементами. Безліч прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту А, В,..., X, Y,..., які елементи - малими літерами a, b,... ...,х,у,...

Якщо елемент х належить множині X, то записують х X; запис хÏ Х або х Î X означає, що елемент х не належить множині X.

Наприклад, запис А=(1,3,15) означає, що безліч А складається з трьох чисел 1, 3 та 15; запис А=(х:0≤х≤2) означає, що множина А складається з усіх дійсних (якщо не обумовлено інше) чисел, що задовольняють нерівності 0 ≤ х ≤ 2.

БезлічА називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В. Символічно це позначають так А? В («А включено в В») або ВÉ А («множина В включає безліч А»).

Кажуть що безлічі A і В рівні або збігаються, і пишуть А=В, якщо А В і В А. Іншими словами, безлічі, Що складаються з тих самих елементів, називаються рівними.

Об'єднанням(або сумою) множин A і В називається безліч, що складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з цих множин. Об'єднання (суму) множин позначають AUB (або A+B). Стисло можна записати АUВ=(х:хеА або хеВ).

Перетином (або твором) множин А і В називається множина, що складається з елементів, кожен з яких належить множині А і множині В. Перетин (твір) множин позначають А∩В (або А*В). Коротко можна записати А∩В=(х:хєА та хєВ)

Надалі для скорочення записів будемо використовувати деякі найпростіші логічні символи:

ΑÞ ß - означає «з пропозиції α слідує пропозиція ß»;

Α ß - «пропозиції α і ß рівносильні», тобто з α слід ß і з ß слід α;

"- означає "для будь-якого", "для всякого";

$ - «існує», «знайдеться»;

: - «має місце», «таке що»;

→ - "відповідність".

Наприклад:
1) запис "xÎ А:α означає: «для будь-якого елемента хÎ А має місце пропозиція α»;
2) (х є A U В)<==>(х є А або х є); цей запис визначає об'єднання множин А і В.

13.2. Числові безлічі. Безліч дійсних чисел

Безліч, елементами яких є числа, називаються числовими. Прикладами числових множин є:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - безліч натуральних чисел;

Zo = (0; 1; 2; ...; n; ...) - безліч цілих невід'ємних чисел;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - безліч цілих чисел;

Q=(m/n: mÎ Z,nÎ N) - безліч раціональних чисел.

R-множина дійсних чисел.

Між цими множинами існує співвідношення

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Безліч R містить раціональні та ірраціональні числа. Будь-яке раціональне число виражається або кінцевим десятковим дробом або нескінченним періодичним дробом. Так, 1/2 = 0,5 (= 0,500 ...), 1 / 3 = 0,333 ... - Раціональні числа.

Дійсні числа, які не є раціональними, називаються ірраціональними.

Теорема 13.1.

Немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює числу 2.

▼Допустимо, що існує раційне число, представлене нескоротним дробом m/n, квадрат якого дорівнює 2. Тоді маємо:

(m/n) 2 =2, тобто m2 = 2n 2 .

Звідси випливає, що m 2 (отже, і m) - парне число, тобто m=2k. Підставивши m=2k у рівність m 2 =2n 2 отримаємо 4k 2 = 2n 2 , тобто 2k 2 =n 2 ,

Звідси випливає, що число n-парне, тобто n = 2l. Це суперечить припущенню, що m/n дріб нескоротний. Отже, немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює числу 2. ▲

Ірраціональне число виражається нескінченним неперіодичним дробом. Так, √2 = 1,4142356 ... - ірраціональні числа. Можна сміливо сказати: безліч дійсних чисел є безліч всіх нескінченних десяткових дробів. І записати

R=(х: х=α,α 1 α 2 α 3 ...), де аеZ, а i є(0,1,...,9).

Безліч R дійсних чисел має такі властивості.

1. Воно впорядковане: для будь-яких двох різних чисел α і b має місце одне із двох співвідношень а

2. Безліч R щільне: між будь-якими двома різними числами a і b міститься безліч дійсних чисел х, тобто чисел, що задовольняють нерівності a<х

Так, якщо a

(a

3. Безліч R безперервне. Нехай безліч R розбито на два непусті класи А і В таких, що кожне дійсне число міститься тільки в одному класі і для кожної пари чисел aєА та bєВ виконано нерівність a

Властивість безперервності дозволяє встановити взаємно-однозначну відповідність між безліччювсіх дійсних чисел і безліччю всіх точок прямої. Це означає, що кожному хеR відповідає певна (єдина) точка числової осі і, навпаки, кожній точці осі відповідає певне (єдине) дійсне число. Тому замість слова «число» часто кажуть «крапка».