Завдання про кулі. Приклади розв'язання задач

Приклад 1. У першій урні: три червоні, одна біла куля. У другій урні: одна червона, три білі кулі. Навмання кидають монету: якщо герб – вибирають із першої урни, інакше – із другої.
Рішення:
а) ймовірність того, що дістали червону кулю
A – дістали червону кулю
P 1 – випав герб, P 2 – інакше

b) Вибрано червону кулю. Знайти ймовірність того, що його взято з першої урни, з другої урни.
B 1 – з першої урни, B 2 – з другої урни
,

Приклад 2. У ящику 4 кулі. Можуть бути: лише білі, лише чорні чи білі та чорні. (Склад невідомий).
Рішення:
A – ймовірність появи білої кулі
а) Усі білі:
(ймовірність того, що попався один із трьох варіантів, де є білі)
(імовірність появи білої кулі, де всі білі)

б) Витягли, де всі чорні



в) витягли варіант, де всі білі або чорні

- хоча б один із них білий

P а + P б + P в =

Приклад 3 . В урні 5 білих та 4 чорні кулі. З неї виймають поспіль 2 кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Рішення:
5 білих, 4 чорні кулі
P(A 1) – вийняли білу кулю

P(A 2) – ймовірність того, що друга куля теж біла

P(A) – поспіль вибрали білі кулі

Приклад 3а. У пачці 2 фальшивих та 8 справжніх грошових купюр. З пачки витягли 2 купюри поспіль. Знайти ймовірність, що обидві вони фальшиві.
Рішення:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Приклад 4. Є 10 урн. У 9 урнах по 2 чорні та 2 білі кулі. У 1 урні 5 білих та 1 чорний. З урни, взятої навмання, вийняли кулю.
Рішення:
P(A) -? біла куля взята з урни, де 5 білих
B – ймовірність того, що вийняли з урни, де 5 білих
, - Вийняли з інших
C 1 – ймовірність появи білої кулі 9 ур.

З 2 – ймовірність появи білої кулі, де їх 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Приклад 5. 20 циліндричних валиків та 15 конусоподібних. Складальник бере 1 валик, а потім ще один.
Рішення:
а) обидва валики циліндричні
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – перший циліндр, Ц 2 – другий циліндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хоча б один циліндр
K 1 - перший конусообр.
K 2 - другий конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) перший циліндр, а другий ні
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Жоден циліндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Рівне 1 циліндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Приклад 6. У ящику 10 стандартних деталей та 5 бракованих.
Навмання витягують три деталі
а) З них одна бракована
P n (K) = C n · p k · q n-k ,
P – ймовірність бракованих виробів

q – ймовірність стандартних деталей

n=3, три деталі


б) дві із трьох деталей бракованих P(2)
в) хоча б одна стандартна
P(0)-немає бракованих

P = P (0) + P (1) + P (2) - ймовірність того, що хоча б одна деталь виявиться стандартною

Приклад 7 . У 1-й урні по 3 білі та чорні кулі, а у 2-й - 3 білі та 4 чорні. З 1-ї урни в 2-у не дивлячись перекладають 2 кулі, а потім з 2-ї витягують 2 кулі. Яка ймовірність, що вони різних квітів?
Рішення:
При перекладанні куль із першої урни можливі такі варіанти:
а) вийняли за поспіль 2 білі кулі
P ББ 1 =
На другому кроці завжди буде на одну кулю менше, оскільки на першому кроці вже вийняли одну кулю.
б) вийняли одну білу та одну чорну кулю
Ситуація, коли першими вийняли білу кулю, а потім чорну
P БЧ =
Ситуація, коли першими вийняли чорну кулю, а потім білу
P ЧБ =
Разом: P БЧ 1 =
в) вийняли за поспіль 2 чорні кулі
P ЧЧ 1 =
Оскільки з першої урни переклали у другу урну 2 кулі, то загальна кількість куль у другій урні буде 9 (7 + 2). Відповідно, шукатимемо всі можливі варіанти:
а) з другої урни вийняли спочатку білу, потім чорну кулю

P БЧ 2 P ББ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни за поспіль вийняли 2 білі кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли білу та чорну кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 4 (3+1), а чорних куль дорівнює п'яти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли за поспіль обидві чорні кулі. Саме тому кількість чорних куль у цьому випадку дорівнює 6 (4+2).

Імовірність того, що витягнуті 2 кулі виявляться різних кольорів, дорівнює:

Відповідь: P = 0.54

Приклад 7а. З 1-ої урни, що містить 5 білих і 3 чорних кулі навмання переклали 2 кулі в 2-у урну, що містить 2 білих і 6 чорних куль. Потім з другої урни навмання витягли 1 кулю.
1) Яка ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою?
2) Куля витягнута з другої урни виявилася білою. Обчисліть ймовірність того, що з 1-ої урни в 2-у були перекладені кулі різного кольору.
Рішення.
1) Подія А - витягнутий з другої урни куля виявилася білою. Розглянемо такі варіанти настання цієї події.
а) З першої урни до другої поклали дві білі кулі: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Усього в другій урні 4 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) З першої урни в другу поклали білу та чорну кулі: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Усього в другій урні 3 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) З першої урни в другу поклали дві чорні кулі: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Усього в другій урні 2 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тоді ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою дорівнює:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Куля витягнутий з другої урни виявився білим, тобто. повна ймовірністьдорівнює P(A)=13/32.
Імовірність того, що в другу урну були перекладені кулі різного кольору (чорний і білий) і був обраний білий: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Приклад 7б. У першій урні 8 білих та 3 чорних кулі, у другій 5 білих та 3 чорних. З першої навмання вибирають одну кулю, а з другої дві кулі. Після цього з вибраних трьох куль навмання беруть одну кулю. Ця остання куля виявилася чорною. Знайти ймовірність того, що з першої урни було обрано білу кулю.
Рішення.
Розглянемо всі варіанти події А – з трьох куль, вийнята куля виявилася чорною. Як могло статися, що серед трьох куль виявився чорний?
а) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві білі кулі.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
б) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
в) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
д) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Повна ймовірність дорівнює: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Імовірність того, що з білої урни була обрана біла куля, дорівнює:
Pб (1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тоді ймовірність того, що з першої урни була обрана біла куля за умови, що з трьох куль була обрана чорна, дорівнює:
Pч = Pб (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Приклад 7в. У першій урні 12 білих та 16 чорних куль, у другій 8 білих та 10 чорних. Одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі, перемішують і повертають по одному в кожну урну. Потім із кожної урни витягують по кулі. Вони виявились одного кольору. Визначити ймовірність того, що в 1-ій урні залишилося стільки ж білих куль, скільки було на початку.

Рішення.
Подія А - одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі.
Імовірність витягнути білу кулю з першої урни: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Імовірність витягнути чорну кулю з першої урни: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Імовірність витягнути білу кулю з другої урни: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Імовірність витягнути чорну кулю з другої урни: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Подія А сталася. Подія - з кожної урни витягують по кулі. Після перемішування, ймовірність повернення кулі в урну білої або чорної кулі дорівнює ½.
Розглянемо варіанти події В – вони виявилися одного кольору.

Для першої урни
1) у першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для другої урни
1) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Кулі виявилися одного кольору:
а) білі
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
б) чорний
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Приклад 7г. У першому ящику 5 білих і 4 синіх кульки, у другому 3 і 1, а в третій - 4 і 5 відповідно. Навмання обраний ящик і з нього витягнута кулька, виявилася синя. Яка ймовірність того, що ця кулька з другої скриньки?

Рішення.
A - подія вилучення синьої кульки. Розглянемо всі варіанти результату такої події.
H1 - витягнута кулька з першої скриньки,
H2 - витягнута кулька з другого ящика,
H3 - витягнута кулька з третього ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Відповідно до умови завдання умовні ймовірності події А дорівнюють:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Імовірність того, що ця кулька з другого ящика дорівнює:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Приклад 8 . У п'яти ящиках з 30 кулями в кожному міститься по 5 червоних куль (це ящик складу H1), у шести інших ящиках з 20 кулями в кожному - по 4 червоні кулі (це ящик складу H2). Знайти ймовірність того, що навмання взята червона куля міститься в одному з перших п'яти ящиків.
Рішення: Завдання застосування формули повної ймовірності.

Приклад 9 . В урні знаходяться 2 білі, 3 чорні та 4 червоні кулі. Навмання виймають три кулі. Яка ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору?
Рішення. Усього можливі три варіанти результату подій:
а) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві білі.
P б (2) = P 2б
Загальне числоможливих елементарних результатів для даних випробувань дорівнює числу способів, якими можна витягти 3 кулі з 9:

Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 білих.

Кількість варіантів вибору з 2 білих куль:

Кількість варіантів вибору з 7 інших куль третя куля:

б) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві чорні (тобто або 2 чорні або 3 чорні).
Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 чорні.

Кількість варіантів вибору з 3 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 6 інших куль однієї кулі:


P 2год = 0.214
Знайдемо ймовірність того, що всі вибрані чорні кулі.

P год (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві червоні (тобто або 2 червоні або 3 червоні).
Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 червоні.

Кількість варіантів вибору з 4 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 5 білих куль решта 1 білих:


Знайдемо ймовірність того, що всі вибрані червоні кулі.

P до (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тоді ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору дорівнює: P = P б (2) + P год (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Приклад 10 . У першій урні міститься 10 куль, їх 7 білих; у другій урні 20 куль, їх 5 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля.
Рішення. Імовірність того, що з першої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)1 = 7/10. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)1 = 3/10.
Імовірність того, що з другої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)2 = 5/20 = 1/4. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Подія А - з двох куль взята біла куля
Розглянемо варіанти результату події А.

1. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли чорну кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. з першої урни витягли чорну кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Приклад 11 . У ящику n тенісних м'ячів. З них граних m. Для першої гри навмання взяли два м'ячі і після гри їх поклали назад. Для другої гри також навмання взяли два м'ячі. Яка ймовірність того, що друга гра проводитиметься новими м'ячами?
Рішення. Розглянемо подію А – гра вдруге проводилася новими м'ячами. Подивимося, які події можуть призвести до цього.
Позначимо через g = n-m кількість нових м'ячів до витягування.
а) для першої гри витягли два нових м'ячі.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для першої гри витягли один новий м'яч і один уже граний.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для першої гри витягли два грані м'ячі.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Розглянемо події другої гри.
а) Витягли два нових м'ячі, за умови P1: оскільки раніше для першої гри вже витягли нові м'ячі, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Витягли два нових м'ячі, за умови P2: оскільки раніше для першої гри вже витягли один новий м'яч, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
в) Витягли два нових м'ячі, за умови P3: оскільки раніше для першої гри не використовували нових м'ячів, то для другої гри їхня кількість не змінилася g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Повна ймовірність P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Відповідь: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Приклад 12 . У першій, другій і третій ящиках знаходиться по 2 білих і 3 чорні кулі, в четвертій і п'ятій по 1 білій і 1 чорній кулі. Випадково вибирається ящик і з нього витягається куля. Яка умовна ймовірність, що обрано четверту або п'яту ящик, якщо вилучена куля - біла?
Рішення.
Імовірність вибору кожної скриньки дорівнює P(H) = 1/5.
Розглянемо умовні ймовірності події А – вилучення білої кулі.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Повна ймовірність вилучення білої кулі:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Умовна ймовірність, що обрано четверту скриньку
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрано п'яту скриньку
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрана четверта або п'ята скринька дорівнює
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Приклад 13 . В урні було 7 білих та 4 червоні кулі. Потім в урну поклали ще одну кулю білого або червоного або чорного кольору і після перемішування вийняли одну кулю. Він виявився червоним. Яка ймовірність, що була покладена а) червона куля? б) чорна куля?
Рішення.
а) червона куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали червону кулю. Імовірність того в урну була покладена червона куля P(H=K) = 1 / 3
Тоді P (A | H = K) = 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) чорна куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали чорну кулю.
Імовірність того в урну була покладена чорна куля P(H=Ч) = 1 / 3
Тоді P(A|H=Ч)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

Приклад 14 . Є дві урни з кулями. В одній 10 червоних та 5 синіх куль, у другій 5 червоних та 7 синіх куль. Яка ймовірність того, що з першої урни навмання буде вийнятий червона куля, а з другої синя?
Рішення.Нехай подія A1 - з першої урни вийнятий червоний шар; A2 - з другої урни вийнята синя куля:
,
Події A1 та A2 незалежні. Імовірність спільної появи подій A1 та A2 дорівнює

Приклад 15 . Є колода карток (36 штук). Виймаються навмання дві карти поспіль. Якою є ймовірність того, що обидві вийняті карти будуть червоною масті?
Рішення.Нехай подія A 1 – перша вийнята карта червоної масті. Подія A 2 – друга вийнята карта червоної масті. B - обидві витягнуті карти червоної масті. Оскільки мають відбутися і подія A 1 і подія A 2 , то B = A 1 · A 2 . Події A 1 і A 2 залежні, отже, P(B) :
,
Звідси

Приклад 16 . У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних та 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8, 6 куль. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?
Рішення.Нехай індекс 1 означає білий колір, індекс 2 – чорний колір; 3 – червоний колір. Нехай подія A i - з першої скриньки витягли кулю i-го кольору; подія B j - з другої урни витягли кулю j -го кольору; подія A - обидві кулі одного кольору.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . Події A i та B j незалежні, а A i · B i та A j · B j несумісні при i ≠ j . Отже,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Приклад 17 . З урни з трьома білими і двома чорними кулі витягуються по одному до появи чорного. Знайдіть ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі? 5 куль?
Рішення.
1) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі (тобто третя куля буде чорною, а перші дві - білими).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 5 куль
така ситуація неможлива, т.к. всього 3 білі кулі.
P = 0

приклад 13.У ящику 10 перенумерованих куль із номерами від 1 до 10. Вийняли одну кулю. Яка ймовірність того, що номер витягнутої кулі не перевищує 10?

Рішення.Оскільки номер будь-якої кулі, що у ящику, вбирається у 10, кількість випадків, сприятливих події , дорівнює кількості всіх можливих випадків, тобто.

І тут подія достовірно.

Приклад 14. В урні 15 куль: 5 білих та 10 чорних. Яка можливість вийняти з урни синю кулю?

Рішення. Синіх кульу урні немає, тобто. , а . Отже, . У даному випадкуподія – неможлива.

Приклад 15. В урні 12 куль: 3 білих, 4 чорних та 5 червоних. Яка можливість вийняти з урни чорну кулю?

Рішення. Тут, .

Приклад 16. В урні знаходяться 12 білих та 8 чорних куль. Знайти ймовірність того, що серед навмання вийнятих 5 куль 3 будуть чорними.

Рішення.Подія - з 5 вийнятих куль три будуть чорними. Застосуємо класичну формулу ймовірностей

Щоб обчислити загальне число результатів, необхідно обчислити кількість способів вибору 5 куль з усіх куль урни, тобто. з 20. Т.к. порядок вилучення куль не важливий, використовуємо формулу поєднань без повторень .

Визначимо кількість сприятливих результатів події.

З п'яти вийнятих куль 3 кулі би мало бути чорними, тобто. з 8-ми вибираємо 3. Число таких виборів дорівнює .

2 Кулі, що залишилися, повинні бути білими, тобто. . За правилом множення отримаємо.

.

Приклад 17Дано шість карток з літерами Н, М, І, Я, Л, О. Картки перемішують, беруть по одній та кладуть послідовно поряд.

Знайти ймовірність того, що:

а) вийде слово ЛОМ, якщо навмання одна одною вибираються три картки.

б) вийде слово Блискавка, якщо вибрано всі картки.

Рішення.

а) З 6-ти даних букв можна скласти трилітерних слів. Ми використовуємо розміщення, т.к. важливий порядок видобутих букв, . Слово ЛОМ з'явиться тільки в одному випадку.

б) Шестилітерні слова відрізняються тільки порядком їхнього розташування, тому Загальна кількістьваріантів розраховується за формулою перестановок. Слово Блискавка вийде лише одному з цих випадків, тобто. , отже,

Завдання для самостійного вирішення

1. Скільки існує парних п'ятизначних чисел, що починаються непарною цифрою?

2. Скільки способами можна оббити 8 стільців, якщо є 3 види тканини. Вважати, що всі стільці однакові.

3. Скільки можна вибрати набори, що складаються з 2 олівців і 3 ручок з п'яти різних олівців і шести різних ручок?

4. Кодовий замок може містити будь-які 4 цифри. Яких кодових номерів більше: у яких усі цифри різні або в яких є хоча б дві однакові цифри.

5. 9 команд беруть участь у спортивних змаганнях. Скільки способами можуть бути розподілені перші три місця.

6. 6 туристів хоче зупинитися в готелі, в якому 7 вільних номерів. Скільки способами їх можна розселити, якщо 4 бажають жити в окремих номерах і 2 в одному номері.

7. У ліфті їдуть 4 особи. При цьому кожен може зійти на 5 поверхів. Скільки різних комбінацій виходу з ліфта є.

8. У вагоні є 6 вільних місць по ходу руху та 5 - проти ходу. Увійшли 5 пасажирів. З них 3 бажають їхати по ходу руху, 2 – проти ходу. Скільки способами вони можуть розміститися.

9. Одночасно підкидаються дві монети. Перерахуйте все можливі результати. Яка ймовірність випадання двох гербів? Герба та решки?

10. Підкидаються три монети. Яка ймовірність випадання трьох гербів? Герба та двох решок? Хоч би одного герба?

11. Гральна кістка підкидається один раз. Яка ймовірність того, що кількість очок, що випали, кратно трьом?

12. Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що число очок, що випали, більше двох.

13. Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що кількість очок, що випали, дорівнює семи.

14. Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює п'яти, а твір чотирьом.

15. Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що твір очок, що випали, дорівнює шести.

16. На шести картках написані літери У, Т, Ф, Б, Л, О. Картки перемішують, беруть по одній і послідовно кладуть поруч. Якою є ймовірність того, що вийде слово ФУТБОЛ?

17. На кожній із шести однакових карток надруковано одну з наступних букв: В, М, Ч, Р, А, Т. Картки перемішують. Знайти ймовірність того, що на чотирьох вийнятих по одній та розташованих зліва направо картках можна прочитати слово ЛІКАР.

18. Фотограф розташовує до ряду одного хлопчика і двох дівчаток випадковим чином. Яка ймовірність того, що на фотографії дівчинки та хлопчики чергуватимуть?

19. У клітці 40 мишей, їх 12 білих. Знайти ймовірність того, що серед вилучених чотирьох мишей – половина білих.

20. У групі студентів 7 юнаків та 5 дівчат. Для чергування відібрано шістьох людей. Якою є ймовірність того, що серед відібраних виявляться четверо юнаків?

21. З партії у 1000 деталей контролер відібрав для перевірки 50. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей не виявиться бракованих, якщо у всій партії їх чотири.

22. З шести карток з літерами Л, І, Т, Е, Р, А навмання вибирають послідовно чотири. Яка ймовірність того, що при цьому вийде слово ТІРЕ?

23. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри, і пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібних цифр.

24. У фірмі працюють 6 чоловіків та 4 жінки. За табельними номерами навмання відібрано 7 осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявляться 3 жінки.

25. Збори, на яких присутні 25 осіб, у тому числі 5 жінок, обирають делегацію з 3 осіб. Вважаючи, що кожен із присутніх з однаковою ймовірністю може бути обраний, знайти ймовірність того, що до делегації увійдуть 2 жінки та 1 чоловік.

26. На полиці розставляють навмання 7 книг. Знайти ймовірність того, що дві певні книги виявляться поруч.

28. У групі 12 студентів, середа яких 8 відмінників. За списком навмання відібрано 9 студентів. Знайти ймовірність, що серед відібраних студентів 5 відмінників. Кидають 3 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на всіх випаде однакове числоокулярів.

29. Група з 10 чоловіків та 10 жінок ділиться випадковим чином на дві рівні частини. Знайти ймовірність того, що у кожній частині чоловіків та жінок однаково.

30. У кімнаті 15 місць. Знайти ймовірність того, що із 10 осіб 5 займуть певні місцяякщо місця займаються ними випадковим чином.

31. Для виробничої практикина 30 студентів надано 15 місць у Рязані, 8 – у Тамбові та 7 – у Воронежі. Яка ймовірність того, що два певні студенти потраплять на практику в одне місто?

32. Покинуті три однакові гральних кісток. Знайти ймовірність того, що цифра 6 з'явиться хоч би на одній грані.

33. У партії з 10 виробів є 4 браковані. Навмання вибирають 5 виробів. Визначити ймовірність того, що серед цих 5 виробів виявиться 3 браковані.

34. Три стрілки стріляють по меті. Імовірність влучення в ціль для першого стрілка дорівнює 0,75; для другого – 0,8; для третього – 0,9. Знайти ймовірність того, що: а) всі три стрілки попадуть у ціль; б) лише одні стрілок потрапить у ціль.

35. У ремонтній майстерні є 8 майстрів, з яких 5 вищої категоріїта 3 першої. Для виконання завдання випадково відібрали 4 майстри. Яка ймовірність, що серед них дві вищої категорії?

36. З коробки, в якій 20 деталей без дефектів в 5 з дефектами, 6єруть навмання 3 деталі. Чому дорівнює ймовірність того, що принаймні одна деталь без дефекту?

37. Слово "карета", складене з літер-кубиків, розсипане на окремі літери, які потім складені в коробці. З коробки навмання витягують літери одну за одною. Яка можливість отримати при такому витягу слово «ракета»?

38. Здійснюється стрілянина по мішені. Імовірність влучення при одному пострілі 0,7. Знайти ймовірність того, що по мішені буде зроблено не менше трьох пострілів, якщо після першого влучення стрілянина припиняється.

39. У готелі є 7 вільних номерів. У неї збирається оселитися 2 особи. Яка ймовірність, що вони житимуть у сусідніх номерах, якщо їх номери обираються випадково.

40. Ящик містить 10 деталей, серед яких 3 стандартні. Знайти ймовірність того, що з навмання відібраних 5 деталей виявиться не більше однієї стандартної.

41. Покинуті дві однакові гральні кістки. Знайти ймовірність того, що цифра 6 з'явиться хоч би на одній грані.

42. Для поразки мети достатньо влучення хоча б одного снаряда. Зроблено два залпи з двох гармат. Знайти ймовірність поразки мети, якщо ймовірність попадання в ціль за одного пострілу з першої зброї дорівнює 0,3, та якщо з другого - 0,4.

43. У урні лежить 12 білих та 8 червоних куль. Вийняли 8 куль. Якою є ймовірність того, що три з них червоні?

44. В економічному відділі фірми 7 менеджерів та 5 фінансистів. Для виконання завдання було відібрано 4 особи. Яка ймовірність, що серед них 3 менеджери?

1. ПРИКЛАДИ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ

ТИПОВОГО РОЗРАХУНКУ

Завдання.У ящику 10 пронумерованих куль із номерами від 1 до 10. Вийняли одну кулю. Яка ймовірність того, що номер витягнутої кулі не перевищує 10?

Рішення. Так як номер будь-якої кулі, що знаходиться в ящику, не перевищує 10, то число випадків, що сприяють події А, Так само числу всіх можливих випадків, тобто. m= n= 10 і P(A) = 1. У цьому випадку подія Адостовірно.

Завдання.В урні 15 куль: 5 білих та 10 чорних. Яка можливість вийняти з урни синю кулю?

Рішення. Синіх куль в урні немає, тобто. m= 0, а n= 15. Отже, P(A) = 0/15 = 0. У цьому випадку подія А- Неможливе.

Завдання.В урні 12 куль: 3 білих, 4 чорних та 5 червоних. Яка можливість вийняти з урни чорну кулю?

Рішення. Тут m= 4,n= 12 і P(A) = 4/12 = 1/3.

Завдання.В урні 10 куль: 6 білих та 4 чорних. Вийняли 2 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі – білі?

Рішення. Тут число всіх випадків Число ж випадків, що сприяють події А, визначається рівністю
Отже,

Завдання.У кошику 100 фруктів: 10 груш та 90 яблук. Навмання взято чотири фрукти. Знайти ймовірність того, що

а) взято чотири яблука;

б) взято чотири груші.

Рішення. Загальна кількість елементарних результатів випробування дорівнює числу поєднань зі 100 елементів по чотири, тобто.
.

а) Число результатів, сприятливих події (всі взяті навмання чотири фрукти є яблуками), дорівнює кількості поєднань з 90 елементів по чотири, тобто.
.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють розглянутій події, до загального числа

можливих елементарних результатів:

.

б) Число результатів, сприятливих події (всі взяті навмання чотири фрукти – груші), дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири груші з десяти наявних, тобто. .

Шукана ймовірність

.

Завдання 6.На відрізку ОАдовжини Lчислової осі Охнавмання нанесена точка У(х). Знайти ймовірність того, що відрізки ОВі ВАмають довжину більше, ніж L/4.

Рішення. Розіб'ємо відрізок ОАна чотири рівні частини крапками C,D,E(Мал. 7). Вимога завдання буде виконано, якщо точка Употрапить на відрізок ЗE, довжина якого дорівнює L/2.

Мал. 7

Отже, р= (L/2) :L= 1/2.

Завдання 9.З 10 відповідей до завдань, розміщених на цій сторінці, 2 мають помилки. Студент вирішує 5 завдань. Яка ймовірність того, що в одній із них відповідь дано з друкарською помилкою?

Рішення.

.

Такі завдання описуються загальною схемою. Є сукупність з N 1 елементів першого виду та N 2 елементи другого виду. Яка ймовірність того, що при виборі сукупності kелементів вона складається з k 1 елементів першого виду та k 2 елементів другого виду, де k=k 1 +k 2 ,k 1 N 1 ,k 2 N 2 ?

.

Завдання 10.В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль. Вийняли одну кулю. Знайти ймовірність того, що вийнята куля: біла; чорний; синій; червоний; білий чи чорний; синій чи червоний; білий, чорний чи синій.

Рішення. Маємо

Застосувавши теорему складання ймовірностей, отримаємо

Завдання 11.У першому ящику 2 білих та 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорні кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі білі?

Рішення. У даному випадку йдеться про поєднання подій Аі У, де подія А– поява білої кулі з першої скриньки, подія У- Поява білої кулі з другого ящика. При цьому Аі У– незалежні події. Маємо Р(А) = 2/12 = 1/6,Р(У) = 8/12 = 2/3. Застосувавши теорему множення ймовірностей, знаходимо

Завдання 12.В умовах попереднього завдання визначити ймовірність того, що одна з вийнятих куль біла, а інша – чорна.

Рішення. Нехай: подія А- Поява білої кулі з першого ящика; подія У- Поява білої кулі з другого ящика; подія З– поява чорної кулі з першої скриньки
подія D– поява білої кулі з другої скриньки
Тоді Р(А) = 1/6,Р(У) = 2/3,

Визначимо ймовірність того, що куля, вийнята з першої скриньки, біла, а з другої скриньки – чорна:

Визначимо ймовірність того, що куля, вийнята з першої скриньки, чорна, а з другої скриньки – біла:

Визначимо тепер ймовірність того, що куля, вийнята з одного ящика (байдуже з першого або другого), виявиться білою, а куля, вийнята з іншої ящика, - чорною. Застосовуємо теорему складання ймовірностей.