Н мерные пространства. N-мерное арифметическое пространство

Разговоры о возможности пространства большего, чем три числа измерений ведутся постоянно. Подобные мнения навеяны понятием абстрактных многомерных пространств в математике и физике. В физике это понятие используется в качестве удобного способа описания, когда к трем пространственным координатам добавляется время и ряд других параметров. Если число таких параметров вместе с пространственно-временными характеристиками - n, то считается, что они образуют n-мерное пространство. При достаточно большом количестве свойств и взаимосвязанных переменных можно прийти к понятию многомерного и даже бесконечного пространства, но это понятие будет носить довольно условный характер, так как оно будет применяться для характеристик совершенно других свойств.

Если взять, например, стопку листов бумаги (все, что находится в плоскости листа, есть пространство двух измерений) и проколоть эту стопку вилкой, то в каждом листе (пространстве двух измерений) останется след от вилки в виде четырех отверстий. Те, кто «живет» в пространстве двух измерений, никогда не сможет связать эти четыре отверстия в одно целое, т.е. представить, что они являются «следом» вилки, взаимодействия с ней. Таким образом, с позиций двухмерного пространства и его «обитателей», вилка недоступна представлению.

Другой пример. Если представить горизонтальную плоскость, пересекающую вершину дерева параллельно земле, то на этой плоскости разрезы ветвей покажутся отдельными и совершенно не связанными друг с другом. А в нашем пространстве - это разрез ветвей одного дерева, составляющих вместе одну вершину, питающихся от одного корня, имеющих одну тень. Так, может быть, трехмерные тела нашего пространства есть изображения в нашей сфере непостижимых для нас четырехмерных тел? Или, может, всевозможные аномальные явления - это «следы», оставленные в нашем трехмерном пространстве обитателями четырехмерного?

Мы ведь уже привыкли к понятию «четвертое измерение», или просто «иное измерение», откуда в наш скромный трехмерный мир иногда «вылезают» всякие «нечисти», включая «пришельцев» всех мастей, с одной стороны, а с другой исчезают, чаще всего безвозвратно, люди, корабли, самолеты.

История поиска «иных» измерений полна драматизма, имеет своих пророков и своих злых гениев. Пути науки странны и непредсказуемы, и то, что было отвергнуто в начале века как научное направление, вдруг вызвало пристальный интерес в конце века. Историю любого научного направления следует начинать с его корней. Первые намеки на существование «иных» пространств можно найти еще в работах Джордано Бруно. Но лишь в середине XIX в. физики и математики впервые робко поставили вопрос о возможности существования иных, более высоких измерений. Наиболее просто эта задача решалась математически, и первым вынес ее на обсуждение один из создателей новых неевклидовых геометрий Б. Риман в своей работе «О гипотезах, лежащих в

основе геометрий», посвященной, в частности, п-кратно протяженным величинам. Почти в то же время эта проблема стала задевать и физиков, и одним из первых ее коснулся Э. Мах: «Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов... Затруднения, с которыми я столкнулся при этом, навели меня в 1863 г. на мысль, что нечувствительные вещи не должны быть обязательно представляемы в нашем чувствительном пространстве трех измерений».

Теория относительности Эйнштейна, появившаяся в начале XX в., тогда дала громадный простор для развития физических идей, даже самых экстравагантных. Эйнштейн был одним из первых, кто покусился на незыблемые до сих пор понятия пространства и времени, показал их зависимость в СТО от системы отсчета, скорости движения, а затем в ОТО - и от напряженности гравитационного поля.

Позднее многие ученые стали задумываться над вопросом, почему у нашего пространства именно три измерения или, другими словами, какие особенности отличают геометрию и физику в трехмерном пространстве от геометрии и физики в многомерных пространствах?

В 1917 г. на основе ОТО Эйнштейн создал стационарную замкнутую сферическую модель Вселенной. Характерной чертой этой модели была конечность пространства, хотя, с точки зрения внутренней геометрии, пространство представляется тогда неограниченным. Никакого противоречия в этом нет. Например, поверхность надувного шарика, с нашей точки зрения, является конечной, а с точки зрения мухи, ползающей по ее внутренней поверхности, она будет неограниченной.

Однако при решении стандартных уравнений возникли определенные трудности. Для получения статистических решений Эйнштейн вынужден был ввести некий коэффициент, так называемый космологический член Я. Уравнения, выведенные Эйнштейном, интересны тем, что дают три варианта решения и соответственно три модели как Вселенной, так и пространства. Пространственно-временной мир Эйнштейна полностью статичен. Его можно представить как цилиндрический 4-мерный мир с неограниченной осью времени, т.е. по этой модели вре-

менное сечение пространственно-временного континуума в отличие от пространственного сечения является бесконечным.

В переводе на общедоступный язык мир Эйнштейна - это 3-мерное физическое пространство, искривленное и замкнутое само на себя благодаря присутствию в нем материи, т.е. 4-мерная сфера (гиперсфера), не имеющая ни начала, ни конца во времени. Искривить же трехмерный мир можно только в пространстве 4- и более высокого порядка измерений. Однозначно подразумевается полная равноправность этого четвертого измерения по отношению к трем существующим.

В годы жизни Эйнштейна и после многие ученые выдвигали идеи и представляли теории, связанные с n-мерностью пространства. То, что не удалось когда-то Эйнштейну, довольно успешно решается плеядой современных теоретиков, многие из которых уже стали лауреатами Нобелевских премий. Это А. Салаш, С. Вайнберг, Ш. Глэшоу. В пределах современных теорий Великого объединения им удалось собрать в рамках одной концепции три очень разных вида взаимодействий (гравитационные пока остались «за бортом»), которые могут быть описаны с помощью так называемых калибровочных полей. Основное свойство калибровочных полей состоит в существовании абстрактных симметрий, благодаря которым этот подход приобретает элегантность и открывает широкие перспективы. В возвращенной к жизни теории Калуцы - Клейна симметрии калибровочных полей приобретают конкретность геометрические симметрии, связанные с дополнительными измерениями пространства.

Как и в первоначальном варианте взаимодействия в теории вводятся путем присоединения к пространству-времени дополнительные пространственные измерения. Однако, так как теперь надо дать пристанище взаимодействиям трех типов, приходится вводить не одно, а несколько дополнительных измерений. Простой расчет количества операций, входящих в теорию Великого объединения, требует дополнительно еще 7 пространственных измерений; если же учесть время, то все пространство-время насчитывает 11 измерений. Таким образом, современный вариант теории Калуцы - Клейна постулирует 11-мерную Вселенную, 7 пространственных ко-

ординат которой свернуты и потому принципиально не наблюдаются.

Науке известны четыре фундаментальных взаимодействия в природе:

■ электромагнитное и гравитационное в масштабах мак
ромира;

■ слабое и сильное в масштабах микромира.
Однако в последние годы в научных трудах обсуж
дается возможность существования еще одного дистан
ционного взаимодействия в макромире - спинового, или
торсионного, фиксирующего и передающего информа
цию посредством торсионного поля. Физическая при
рода этого пятого взаимодействия, по-видимому, совер
шенно иная, чем у остальных четырех взаимодействий,
так как передача информации здесь осуществляется вроде
бы без затрат энергии.

Современные работы Дж. Уиллера, А. Пероуза, К. Прибрама, П. Дэвиса позволяют наличие этого пятого фундаментального взаимодействия в природе - спинторсион-ного взаимодействия. Связанные с ним поля (поля кручения) обладают способностью почти безэнергетически передавать информацию в любую часть Вселенной, а также обеспечивают «голографичность» информационных связей во Вселенной.

Соответственно изложенной парадигме вполне объяснимым становятся практически все явления, связанные с сенсорным восприятием феноменов и биоэнергетическим (точнее биоинформационным) воздействием целителей. Поэтому есть все основания считать, что торсионные поля ответственны за парапсихические феномены.

В наше время эта область деятельности перестала быть экзотической. Сейчас в нее вовлечены многие организации, предприятия, научно-исследовательские институты. Организовано производство синтетических противотор-сионных экранов из пленок для продажи населению, которые можно использовать в качестве защиты от геопатогенных излучений, излучений ЭВМ, компьютеров, телевизионных приемников и других радиоэлектронных приборов. Создаются новые конструкционные материалы с уникальными свойствами. Например, учеными России и Украины создана сталь в два раза прочнее и в

шесть раз пластичнее, чем обычная. Разрабатываются самые различные типы датчиков, реагирующих на торсионные поля.

Перспективы использования торсионных полей грандиозны. Достаточно упомянуть новые поколения компьютеров с элементной базой на микроуровне с поистине невероятными вычислительными способностями. Открытие пятого фундаментального взаимодействия перевернет наши представления о природе. Если наш век прошел под знаком электромагнетизма, то следующий будет веком торсионной энергии.

• Перевод

Привет, Хабр. Помните офигенную статью «Вы и ваша работа» (+219, 2222 в закладки, 350k прочтений)?

Так вот у Хэмминга (да, да, самоконтролирующиеся и самокорректирующиеся коды Хэмминга) есть целая книга , написанная по мотивам его лекций. Мы ее тут переводим, ведь мужик дело говорит.

Это книга не просто про ИТ, это книга про стиль мышления невероятно крутых людей. «Это не просто заряд положительного мышления; в ней описаны условия, которые увеличивают шансы сделать великую работу.»

Мы уже перевели 6 (из 30) глав.

Глава 9. N-мерное пространство

Когда я стал профессором после 30 лет активных исследований в Bell Telephone Laboratories главным образом в отделе математических исследований, я вспомнил, что профессора должны осмыслять и резюмировать прошлый опыт. Я положил ноги на стол и стал обдумывать свое прошлое. В ранние годы я занимался в основном вычислениями, то есть я был вовлечен во многие большие проекты, требующие вычислений. Думая о том, как были разработаны несколько больших инженерных систем, в которые я был частично вовлечен, я начал, находясь теперь на некотором расстоянии от них, видеть, что у них было много общих элементов. Со временем я начал понимать, что задачи проектирования находятся в n-мерном пространстве, где n - число независимых параметров. Да, мы создаем 3-мерные объекты, но их проектирование находится в многомерном пространстве, 1 измерение для каждого проектируемого параметра.

Многомерные пространства понадобятся для того, чтобы дальнейшие доказательства стали интуитивно понятны без строгой детализации. Поэтому мы будем сейчас рассматривать n-мерное пространство.

Вы думаете, что живете в трехмерном пространстве, но во многих случаях вы живете в двумерном пространстве. Например, в случайном ходе жизни, если вы встретите кого-то, то имеете разумный шанс встретить этого человека снова. Но в мире 3-х измерений этого шанса нет! Рассмотрим рыб в океане, которые потенциально живут в трех измерениях. Они двигаются по поверхности или по дну, ограничивая вещи до двух измерений, или они формируют косяки, или собираются в одном месте в одно и то же время, например таком как устье реки, пляж, Саргассово море и т.д. Они не могут ожидать встретить приятеля, если они будут странствовать в открытом океане в трех измерениях. Или, к примеру, если вы хотите, чтобы самолеты столкнулись вы должны собрать их рядом с аэропортом, поместить их в двумерные уровни полетов, или послать их группой; действительно случайные полеты имели бы меньше аварий, чем это происходит сейчас!

N-мерное пространство является математической конструкцией, которую мы должны исследовать, чтобы понять что случается с нами, когда мы бродим там при решении задач проектирования. В двух измерениях у нас есть теорема Пифагора, для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов других сторон. В трех измерениях нас интересует длина диагонали параллелепипеда, Рис. 9.1. Чтобы найти ее мы сначала проводим диагональ одной грани, применяем теорему Пифагора, затем берем ее как одну из сторон с другой стороной третьего измерения, которая перпендикулярна ей, и снова из теоремы Пифагора получаем, что квадрат диагонали ест сумма квадратов трех перпендикулярных сторон. Очевидно следует из этого доказательства и необходимой симметрии формулы, что если вы поднимаетесь к более высоким измерениям у вас все также квадрат диагонали будет равен сумме квадратов попарно взаимно перпендикулярных сторон,

Где x i длины сторон прямоугольного блока в n-мерном пространстве.

Рис. 9.I

Продолжая геометрический подход, плоскости в пространстве будут просто линейными комбинациями x i , а сфера вокруг точки будет всеми точками, находящимися на одном фиксированном расстоянии от заданной.

Нам понадобится объем n-мерной сферы, чтобы понять идею размера куска ограниченного пространства. Но сначала нам надо приближение Стирлинга для n!, которую я выведу, чтобы вы поняли большинство деталей и были уверены в правильности того, что последует, а не верили на слово.

С произведением типа n! трудно обращаться, поэтому мы возьмем log n!, который становится

Где, конечно, ln логарифм по основанию e. Суммы напоминают нам, что они связаны с интегралами, поэтому мы начнем с такого интеграла

Мы применяем интегрирование по частям (так как знаем, что ln x происходит из интегрирования алгебраической функции и, следовательно может быть исключен на следующем шаге). Пусть U=ln x, dV=dx, тогда

С другой стороны, если мы применим формулу трапеции к интегралу ln x мы получим, см. Рис. 9.II,

Так как ln 1 = 0, прибавляя (1/2) * ln n к обоим частям равенства мы в итоге получаем

Избавимся от логарифмов, возводя e в степень обеих частей.

Где С некая константа (близкая к e), не зависящая от n, так как мы аппроксимировали интеграл флрмулой трапеции, погрешность растет все медленнее и медленнее при увеличении n

Рис. 9.II

Все больше и больше, C имеет предел. Это первая форма формулы Стирлинга. Мы не будем тратить время на вычисление предела константы С при стремлении к бесконечности, который оказывается √(2*π)=2.5066… (e=2.71828...). Таким образом окончательно получаем формулу Стирлинга для факториала

Следующая таблица показывает погрешность приближения Стирлинга для n!

Обратите внимание, что при увеличении чисел коэффициент приближается к единице, но разница становится все больше и больше!

Если вы рассмотрите 2 функции

То предел отношения f(n)/g(n) при n, стремящемся к бесконечности, равен 1, но как и в таблице разница

Становится все больше и больше при возрастании n.

Нам надо расширить понятие факториала на множество всех положительных действительных чисел, для этого мы введем гамма функцию в форме интеграла

Который существует для всех n>0. Для n>1 мы снова интегрируем по частям, в этот раз используем dV=e^(-x)dx и U = x^(n-1). Для двух пределов интегрируемая часть равна 0 и мы имеем следующую приведенную формулу

Таким образом, гамма функция принимает значения (n-1)! для всех положительных целых n и естественным образом расширяет понятие факториала на все положительные числа, так как интеграл существует для всех n > 0.

Нам понадобится

Обозначим x=t^2, тогда dx=2t*dt, и получаем (используя симметрию на последнем шаге)

Теперь используем стандартный подход, чтобы вычислить этот интеграл. Мы получаем произведение двух интегралов, один по переменной x и один по переменной y.

X^2 + y^2 подразумевают полярные координаты, поэтому преобразуем к виду

Криволинейное интегрирование (angle integration) просто. Экспонентное интегрирование теперь тоже просто, и мы в итоге получаем.

Таким образом,

Теперь вернемся к объему n мерной сферы (или гиперсферы, если хотите). Ясно, что объем n-мерного куба со стороной x равен x^n. Немного подумав, вы поймете, что формула для объема n-мерной сферы должна иметь вид

Где C n соответствующая константа. Для случая n = 2, константа равна π, для случая n=1 равна 2 (если подумать). В трехмерном случае мы имеем C 3 = 4*π/3.

Мы начнем с того же трюка, который использовали для гамма функции от 1/2 за исключением того, что в этот раз мы возьмем произведение n интегралов, каждый со своей переменной x i . Объем сферы можно представить как сумму объемов поверхностей, каждое слагаемое этой суммы соответствует площади поверхности, умноженной на толщину dr. Для сферы значение площади поверхности можно получить дифференцированием объема сферы по отношению к радиусу r,

И следовательно слагаемые объема равны

Приравнивая r^2=t, имеем

Откуда получаем.

Легко видеть, что

И мы можем вычислить следующую таблицу.

Таким образом, мы видим, что коэффициент C n возрастает до n=5, а затем уменьшается до 0. Для сфер единичного радиуса это означает, что объем сферы стремится к нулю при увеличении размерности. Если радиус равен r, то для объема, обозначив n=2k для удобства (так как реальные числа изменяются гладко при увеличении n и сферы нечетных размерностей сложнее вычислять),

Рис. 9.III

Не важно насколько велик радиус r, увеличение количества измерений n рождает сферу сколь угодно маленького объема.

Теперь рассмотрим относительное количество объема, расположенное близко к поверхности n-мерной сферы. Пусть r - радиус сферы, а внутренний радиус поверхности r(1-ε), тогда относительный объем поверхности составляет

Для больших n независимо от того насколько тонка (по отношению к радиусу) поверхность внутри нее почти ничего нет. Как мы говорим объем почти весь на поверхности. Даже в 3 мерном пространстве единичная сфера имеет 7/8 объема внутри поверхности толщиной 1/2 радиуса. В n-мерном пространстве 1-(1/2)^n внутри половины радиуса от поверхности.

Это важно в проектировании; оказывается после вычислений и преобразований данных выше, что почти наверное оптимальное проектирование будет на поверхности, а не глубоко внутри как вы могли думать. Вычислительные методы обычно не годятся для поиска оптимума в многомерных пространствах. Это вовсе не странно; вообще говоря лучший дизайн - это привести один или более параметров к своему экстремуму - очевидно, что вы окажетесь на поверхности видимой области дизайна!

Следующим мы рассмотрим диагональ n-мерного куба, другими словами вектор из начала координат в точку с координатами (1,1,...,1). Косинус угла между этой линией и любой осью дается по определению как отношение значения координаты длины проекции на данную ось, которая очевидно равна 1 к длине вектора, которая равна √n. Следовательно

Отсюда следует, что при больших n диагональ почти перпендикулярна к каждой координатной оси!

Если мы рассмотрим точки с коодинатами (±1, ±1,..., ±1) тогда будет 2n таких диагоналей, которые все почти перепендикулярны к каждой оси координат. Для n=10, например, их количество составляет 1024 таких почти перпендикулярных линий.

Мне нужен угол между двумя векторами, и хотя вы может быть помните, что это скалярное произведение векторов, я предлагаю вывести это снова, чтобы лучше понимать то, что происходит. [Ремарка; Я обнаружил, что очень полезно в важных ситуациях пересматривать все базовые участвующие выведения, чтобы прочувствовать то, что происходит.] Возьмем две точки x и y, с соответствующими координатами x i и y i . Рис. 9.III. Применяя теорему косинусов в плоскости 3 точек x, y и начала координат, мы имеем

Где X и Y длины отрезков до точек x и y. Но C можно получить используя разницы координат по каждой оси

Приравнивая два выражения мы видим

Применим теперь эту формулу для двух отрезков, проведенных из начала координат к случайной точке из набора координат

(±1, ±1,..., ±1)

Скалярное произведение двух таких множителей, взятых случайно, снова равно ±1 и это должно быть просуммированно n раз, при этом длина каждого отрезка равна √n, следовательно (заметьте n в знаменателе)

И по слабому закону больших чисел это стремится к 0 с возрастанием n почти наверное. Но существует 2^n случайных векторов и для данного вектора все остальные из 2^n случайных векторов почти наверное почти перпендикулярны данному! n-мерность действительно обширна!

В линейной алгебре и других дисциплинах вы научились находить множество перпендикулярных осей и затем представлять все остальное в этой системе координат, но вы видите, что в n-мерном пространстве после того, как вы нашли n взаимно перпендикулярных координатных осей, существуют 2^n других направлений почти перпендикулярных тем, которые вы нашли! Теория и практика линейной алгебры совершенно разные!

Наконец, для дальнейшего доказательства, что ваша интуиция о n-мерном пространстве не очень хороша, я произведу еще один парадокс, который мне понадобится в следующих главах. Начнем с квадрата 4x4, поделенного на 4 единичных квадрата, в каждом из которых мы начертим единичную окружность, Рис. 9.IV. Далее мы начертим окружность с центром в центре квадрата, касающуюся остальных с внутренней стороны. Ее радиус должен быть из Рис. 9.IV,

В 3-хмерном пространстве мы имеем 4x4x4 куб и 8 сфер единичного радиуса. Внутренняя сфера касающаяся остальных в точке, лежащей на отрезках соединяющих центры, имеет радиус

Подумайте, почему ее радиус больше, чем для 2 измерений.

Двигаясь к n измерениям, имеем 4x4x...x4 куб и 2^n сфер, по одной в каждом углу, каждая касается остальных n соседних. Внутренняя сфера, касающаяся изнутри всех остальных, будет иметь радиус

Проверьте это внимательно! Вы уверенны? Если нет, почему нет? Где ошибка в рассуждениях?
Убедившись, что это правда, применим для случая n=10 измерений. Для внутренней сферы имеем радиус

Рис. 9.IV

И в 10 мерном пространстве внутренняя сфера вышла за пределы куба. Да, сфера выпуклая, да, она касается остальных 1024 изнутри, и при этом она выходит за пределы куба!

Это слишком для вашей чувствительной интуиции об n-мерном пространстве, но помните, что n-мерное пространство это то место, где обычно происходит проектирование сложных объектов. Вы должны стараться лучше почувствовать n-мерное пространство, размышляя о только что описанных вещах, пока вы не начнете видеть как они могут быть истинными, вернее почему они должны быть истинными. Иначе у вас будут проблемы, когда вы будете решать сложную задачу проектирования. Возможно вам стоит заново вычислить радиусы разных размерностей, а также вернуться к углам между диагоналями и осями координат и посмотреть как это получается.

Сейчас необходимо строго отметить, что я сделал все это в классическом Евклидовом пространстве, используя Пифагорово расстояние, где сумма квадратов разностей соответствующих координат равна квадрату расстояния между точками. Математики называют это расстояние L 2 .

Пространство L 1 использует не сумму квадратов разностей координат, а скорее сумму расстояний, как если вы путешествуете по городу с прямоугольно решеткой улиц. Это сумма разниц, между двумя пунктами, которая говорит вам, как далеко надо будет идти. В сфере вычислений это часто называют «расстояние Хэмминга» по причинам, которые станут понятны в последующих главах. В этом пространстве окружность в двух измерениях выглядит как квадрат, стоящий на вершине, рис. 9.V. В трехмерном пространстве это как куб, стоящий на вершине и т.д. Теперь вы можете лучше видеть как может парадоксальная внутренняя сфера из вышеприведенного примера выходить за пределы куба.

Существует третья, часто используемая, метрика (все они метрики = функции расстояния), называемая L ∞ , или расстояние Чебышева. Здесь за расстояние берется максимум разниц координат независимо от остальных разниц, рис. 9.VI. В этом пространстве окружность есть квадрат, 3-хмерная сфера есть куб, и вы видите, что в этом случае внутренняя сфера из парадокса имеет нулевой радиус во всех направлениях.

Это были примеры метрик, мер расстояния. Условия определения метрики D(x,y) между двумя точками x и у следующие:

1. D(x,y) ≥ 0 (неотрицательная)
2. D(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y (тождественность)
3. D(x,y) = D(y,x) (симметричность)
4. D(x,y) + D(y,z) ≥ D(x,z) (неравенство треугольника).

Рис. 9.V

Рис. 9.VI

Оставляю вам проверить, что три метрики L ∞ , L 2 и L 1 (Чебышева, Пифагора и Хэмминга) все удовлетворяют этим условиям.

Правда в том, что в сложном проектировании для различных координат мы можем использовать любую из этих метрик, перемешанных вместе, так что пространство проектирование это не целостная картинка, а смесь кусочков и частей. L 2 метрика очевидно связана с наименьшими квадратами, а остальные две L ∞ и L 1 более похожи на сравнения. При сравнениях в реальной жизни вы обычно используете либо максимальную разность L ∞ в какой-то одной характеристике как достаточное условие для различения двух предметов, или иногда, как в строках бит, это количество несовпадений, которое существенно, а сумма квадратов не подходит, значит, что используется L 1 метрика. Это в большей степени истинно для идентификации шаблонов в ИИ.

К сожалению, хотя все описанное выше истинно, оно редко открывается вам. Никто никогда не говорил мне об этом! Мне понадобится многое из результатов в последующих главах, но вообще говоря после этой демонстрации вы должны быть лучше подготовлены чем были до этого для сложного проектирования и для тщательного анализа пространства, в котором проектирование проводится, как я попытался сделать. Беспорядок, в основном то место где появляется проектирование, и вы должны найти приемлемое решение.

Так как L 1 и L ∞ не общеизвестны, позвольте несколько замечаний о трех метриках. L 2 естественная функция расстояния для использования в физических и геометрических случаях, включая извлечение данных из физических измерений. Поэтому в физике вы повсюду найдете L 2 . Но когда предмет касается интеллектуальных суждений, остальные 2 метрики более подходят, хотя это медленно воспринимается, поэтому мы часто видим частое использование оценки хи-квадрат, которая очевидно является мерой L 2 , там где должны использоваться другие более подходящие оценки.

Продолжение следует...

Кто хочет помочь с переводом - пишите в личку или на почту [email protected]

Лин.пространство – множество объектов(произвольной природы) для которых определены сложение друг с другом и умножение элемента на число. Линейное пространство часто называют векторным

При этом удовлетворяются следующие условия:

Элементы множества L называют векторами , а элементы поля P - скалярами .

Линейные операции над элементами однотипных множеств дают в результате элементы нового множества, обладающие теми же свойствами, что и исходные. Для прямой операции сложения определена обратная операция вычитания, а для прямой операции умножения - обратная операция деления. Как для прямой, так и для обратной операции одному элементу множества соответствует один и только один элемент множества Б. взаимнооднозначные множества. Примером взаимнооднозначных множеств служат векторные величины. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, векторное пространство. Примером ВП может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство . Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел:  1 ,  2 ,...,  n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

( 1 ,  2 , …,  n ) + ( 1 ,  2 , …,  n ) = ( 1 +  1 ,  2 +  2 , …,  n +  n );

( 1 ,  2 , …,  n ) = ( 1 ,  2 , …,  n ). Базисом в этом пространстве может служить следующая система из n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Множество R всех многочленов  0 +  1 u + … +  n u n (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами  0 ,  1 ,...,  n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u 2 ,..., u n (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное В. п. Любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми. Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u 2 ,..., u n .

11. Скалярное произведение векторов, его свойства.

Операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.Порядок записи сомножителей безразличен, то есть *=*. Если угол между векторамииобозначить через, то их скалярное произведение можно выразить формулой
.Если векторыизаданы своими координатами:,, то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле. Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов..

Чтобы найти угол между векторами можно использовать формулы:

,.

Для построения общей теории систем линейных уравнений мы будем использовать новое понятие - многомерного векторного пространства.

Определение. Упорядоченная система n чисел a=(a 1 ,a 2 ,...,a n) называется n-мерным вектором, a j ÎR - координаты вектора.

Определение. Два вектора a и b=(b 1 ,b 2 ,...,b n ) будут считаться равными, если a i =b i "i =1,2,...,n

Примеры : 1) множество векторов плоскости, пространства;

2) коэффициенты линейного уравнения с n неизвестными составляют n-мерный вектор;

3) любое решение системы линейных уравнений с n неизвестными будет n-мерным вектором;

4) в матрице размера n´n любая строка и любой столбец являются n- мерными векторами.

Определение. Суммой векторов a и b называется вектор

a+b=(a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,...,a n +b n ).

Роль нуля играет вектор 0=(0,0,...,0).

Определение . Вектор -a=(-a 1 ,-a 2 ,...,-a n) называется противоположным вектору a.

Определение. Произведением вектора a на число k называется вектор ka=ak=(ka 1 ,ka 2 ,...,ka n).

Свойства умножения вектора на число

Свойство 1 . "a,b "kÎR (k(a±b)=ka±kb)

Свойство 2. "a "k,l ÎR ((k ±l )a=k a±l a

Свойство 3. "a "k,l ÎR (k(l a)=(kl) a)

Свойство 4 . "a (1×a=a)

Доказать самостоятельно.

Следствие 1. "a (0×a=0)

Следствие 2 . " kÎR (k×0=0)

Следствие 3 . "a ((-1)×a=-a)

Доказать самостоятельно.

Определение. Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами с операциями сложения и умножения вектора на число называется n-мерным векторным пространством .

Определение . Вектор b из n-мерного пространства называется пропорциональным вектору a, если существует такое число k, что b= ka.

(Нулевой вектор пропорционален любому вектору.)

Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие линейной комбинации векторов.

Определение. Вектор b из n-мерного пространства называется линейной комбинацией векторов a 1 ,a 2 ,...,a s , если существуют такие числа t 1 ,t 2 ,...,t s , что b= t 1 a 1 + t 2 a 2 +...+t s a s . (1)

Определение. Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r (r³2) называется линейно зависимой , если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой в противном случае.

Можно определить иначе. Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r (r³2) называется линейно зависимой , если существуют такие числа t 1 ,t 2 ,...,t r , хотя бы одно из которых отлично от 0, что имеет место равенство t 1 a 1 + t 2 a 2 +...+t r a r =0

Система векторов a 1 ,a 2 ,...,a r называется линейно независимой , если такое равенство возможно лишь при всех t i равных 0.

Свойство . Если некоторая подсистема системы векторов a 1 ,a 2 ,...,a s линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство

Пусть дана система векторов а i1 .a i2 ,...,а s , и подсистема этой системы векторов а i1 .a i2 ,...,а ir , где r t i1 , t i2 ,..., t ir , не все равные 0, такие, что t i1 а i1 +t i2 a i2 +...+t ir a ir , отсюда получаем t 11 a 11 +t 22 a 22 +...+t i2 a i2 +...+t ir a ir +...+t s a s =0 и не все t i = 0, следовательно, система векторов a 1 ,a 2 ,...,a s линейно зависима.

Следствие 1. Система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

Следствие 2. Система векторов, содержащая два противоположных вектора, линейно зависима.

Следствие 3. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Следствие 4. Если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

Определение . Линейно независимую систему n-мерных векторов a 1 ,a 2 ,...,a s назовем максимальной линейно независимой системой, если добавление к этой системе любого n-мерного вектора b делает эту систему линейно зависимой.

Возникает вопрос: какое максимальное число векторов может составлять линейно независимую систему. Рассмотрим векторы

е 1 =(1,0,0,...,0),

………………(2)

е n =(0,0,0,...,1).

Эти векторы называются единичными векторами n-мерного пространства.

Предложение . Система единичных векторов (2) линейно независима.

Доказательство . Рассмотрим равенство

k 1 e 1 +k 2 e 2 +...+k n e n =0,

k 1 (1,0,0,...,0)+ k 2 (0,1,0,...,0)+ k n (0,0,0,...,1)=1,

(k 1 , 0,..., 0)+(0, k 2 ,0, ..., 0)+...+(0, 0, 0, ... , k n)=0,

(k 1 , k 2 , ... , k n)=0, то есть k i =0 " i =1, ... , n.

Таким образом, мы получили, что система единичных векторов (2) линейно независима.

Предложение . Любой вектор n-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов системы (2).

Доказательство - самостоятельно .

Определение . Будем говорить, что вектор b линейно выражается через систему векторов а 1 , а 2 , ... , а r , если b является линейной комбинацией векторов, входящих в систему а 1 , а 2 , ... , а r .

Определение . Система векторов b 1 , b 2 , ... , b s линейно выражается через систему векторов а 1 , а 2 , ... , а r , если всякий вектор b i является линейной комбинацией векторов системы a ("i =1,2,...,s).

Лемма . Если система векторов a линейно выражается через систему векторов b, а система векторов b линейно выражается через систему векторов g, то система векторов a линейно выражается через систему векторов g.

Доказательство

Пусть даны системы векторов

а 1 , а 2 , ... , а r ; b 1 , b 2 , ... , b s ; g 1 , g 2 ,..., g t .

По условию, система векторов a линейно выражается через систему векторов b, а система векторов b линейно выражается через систему векторов g, то есть

,

то есть любой вектор системы a линейно выражается через систему векторов g.

Теорема . Если в n-мерном векторном пространстве даны две системы векторов а 1 , а 2 , ... , а r иb 1 , b 2 , ... , b s и все векторы системы a линейно выражаются через векторы системы b, тогда если r>s, то система векторов a линейно зависима.

Доказательство

Докажем методом математической индукции по числу s.

1. s=1, тогда а 1 =с 1 b 1 , а 2 =с 2 b 1 , ... , а r =с r b 1 .

Если с 1 =0, то система векторов a линейно зависима, так как содержит нулевой вектор а 1 .

Если с 1 ¹0, то имеем линейную зависимость (-с 2)а 1 + с 1 а 2 +0 а 3 +...+0 а r =0, следовательно, система a линейно зависима.

2. Предположим, что утверждение верно для s-1 вектора, и докажем для s. Пусть

a 1 =с 11 b 1 +с 12 b 2 +...+c 1s b s

a 2 =c 21 b 1 +c 22 b 2 +...+c 2s b s

Теорема доказана.

Определение . Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.

Следствие 1 . Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.

Следствие 2 . Всякие s векторов n-мерного пространства составляют при s>n линейно зависимую систему.

Доказательство . Рассмотрим систему s векторов n-мерного пространства (s>n) a 1 =(a 11 , a 12 , ..., a 1n) ,

a 2 =(a 21 , a 22 , ..., a 2 n),

............................ (3)

a s =(a s 1 , a s 2 , ..., a sn).

По утверждению, эта система линейно выражается через систему (2), следовательно, по доказанной теореме она линейно зависима.

Следствие 3 . Всякая максимальная линейно независимая система векторов n-мерного пространства состоит из n векторов.

Следствие 4 . Если в данной линейно зависимой системе векторов взяты две в ней максимально линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов.

6 ответов

Размеры - это то, что вы хотите от них сделать. Например, глубина и время имеют смысл только тогда, когда вы имеете дело с этими концепциями.

Это не должно быть о пространстве и времени. Фактически, стандарт С++ называет их экстентами.

Скажем, у вас есть десять разных сыров, и вы хотите оценить вероятность того, что кто-то предпочтет их в определенном порядке. Вы можете сохранить это в своем int t; , имея в виду значение экстента: любимый сыр, второй любимый сыр, третий любимый сыр, четвертый любимый сыр, пятый любимый сыр и наименее любимый сыр. Вероятность того, что кто-то предпочитает сыры в порядке 5-4-6-3-2-1, будет выражаться как t .

Дело в том, что язык не прикрепляет семантику домена к экстентам. Это для вас, чтобы сделать это.

N-мерные массивы - это не просто С++. Он появляется повсюду в математике, физике, различных других науках и т.д.

Вот пример: скажем, вы хотите индексировать данные по положению (x, y, z), времени и "какой пользователь создал данные". Для точки данных, собранной в x1, y1, z1, time1 и сгенерированной пользователем1, вы сохраните ее в dataArray = myNewData .

В программировании не думайте о многомерных массивах в терминах традиционной геометрии, если вы не пытаетесь напрямую представлять мир. Лучше думать о каждом последующем "измерении" как о другом массиве, содержащем массивы. Существует несколько случаев использования, где это может появиться. Однако, если вы используете более трех измерений, я бы больше не рассматривал его как массивы или даже "массивы массивов", я предпочитаю, чтобы деревья были ближе к тому, как вы программируете то, что требует более трех уровней.

Одним из примеров является дерево, где у вас есть root node, который имеет узлы, которые также имеют узлы. Если вы хотите что-то сорвать, то дерево - прекрасный инструмент. Скажем, вы хотели отсортировать кучу чисел, которые приходили в случайном порядке. Вы бы сделали первый номер, который появился в корне. Если первое число равно 5, а следующее число равно 7, то вы должны поместить 7 в "правый" корень node 5. И если у вас есть 3, то 4, вы должны вставить 3 к "левому" из 5, а затем к 4 к "правильному" из 3. Если вы пересекаете это дерево в порядке (всегда идя влево вниз по дереву, возвращаемся только тогда, когда нет новых узлов, а затем вправо), вы получите отсортированный список: 3, 4, 5, 7.

5 / \ 3 7 \ 4

Здесь вы можете увидеть древовидную структуру. Если вы делали это на C, вы использовали бы структуры, которые выглядели бы так (я использую псевдокод):

Struct Node{ int val; Node left; Node right; }

Есть много материалов о бинарных деревьях (что я объясняю), но в первую очередь я хотел, чтобы вы отошли от концепции массивов, "как размеры в пространстве", и многое другое только из структуры данных, которая может хранить элементы. Иногда двоичное дерево или другая структура данных слишком сложна, и 5 или более размерный массив может быть более удобным для хранения данных. Я не могу сейчас придумать пример, но они были использованы раньше.

В качестве физических трехмерных существ мы не можем "визуализировать" то, что представляют 4, 5, 6 (или выше) физические размеры.

4-е измерение увеличило бы наше восприятие до 4-го направления , которое было бы ортогональным по направлениям высоты, ширины и глубины, которые мы естественно воспринимаем. Да - геометрия прошла странно!!

Чтобы дать нам ощущение этой идеи, в этом видео Карл Саган воображает, что бы он чувствовал как идеально ровное 2-метровое существо (маленький квадрат), живущий в 2-м мире, чтобы встретить таинственное трехмерное существо.
Это трехмерное существо (подозрительно похожее на яблоко) существует в основном в этом загадочном третьем измерении, которое маленький квадрат не может "видеть". Он воспринимает только точки яблока, которые пересекаются со своим 2d плоским миром, т.е. Его проекция ...

Видео выглядит старомодным по сегодняшним меркам, но с точки зрения физики/геометрии все еще лучшее объяснение, которое я видел там.