Довести, що вектори утворюють лінійний підпростір. Векторний простір

В будь-якому лінійному просторі можна виділити таку підмножину векторів, яке щодо операцій із самого себе є лінійним простором. Це можна робити у різний спосіб, і структура таких підмножин несе важливу інформацію про лінійному просторі .

Визначення 2.1.Підмножина лінійного простору називають лінійним підпростором, якщо виконано такі дві умови:

Визначення 2.1 фактично свідчить, що лінійне подпространство - це будь-яке підмножина даного лінійного простору, замкнуте щодо лінійних операцій, тобто. застосування лінійних операцій до векторів, що належать до цього підмножини, не виводить результат за межі підмножини. Покажемо, що лінійний підпростір Н як самостійний об'єкт є лінійним простором щодо операцій, заданих в об'ємному лінійному просторі. Насправді ці операції визначені для будь-яких елементів множини, а значить, і для елементів підмножини. Н. Визначення 2.1 фактично вимагає, щоб для елементів з Нрезультат виконання операцій також належав H. Тому операції, задані в , можна розглядати як операції і на більш вузькій множині H. Для цих операцій на безлічі Наксіоми лінійного простору а)-б) та д)-з) виконані в силу того, що вони справедливі в . Крім того, виконані і дві аксіоми, що залишилися, оскільки, згідно з визначенням 2.1, якщо то:

1) та 0- нульовий вектор в Н;

2) .

У будь-якому лінійному просторі завжди є два лінійні підпростори: сам лінійний простір і нульовий підпростір {0}, що складається з єдиного елемента 0. Ці лінійні підпростори називають невласними, у той час як всі інші лінійні підпростори називають власними. Наведемо приклади власних лінійних підпросторів.

приклад 2.1.У лінійному просторі вільних векторів тривимірного простору лінійний підпростір утворюють:

а) всі вектори, паралельні даній площині;

б) всі вектори, паралельні даній прямій.

Це випливає з таких міркувань. З визначення суми вільних векторів випливає, що два вектори та їх сумакомпланарні (рис. 2.1, а). Тому, якщо паралельні даній площині, то цій же площині буде паралельна та їх сума. Тим самим було встановлено, що з випадку а) виконано умову 1) визначення 2.1. Якщо вектор помножити на число, вийде вектор, що колінеарний вихідному (рис. 2.1,6). Це засвідчує виконання умови 2) визначення 2.1. Випадок б) обґрунтовується аналогічно.

Лінійний простір дає наочне уявлення про те, що таке лінійне підпростір. Справді, фіксуємо деяку точку у просторі. Тоді різним площинам і різним прямим, що проходять через цю точку, будуть відповідати різні лінійні підпростори (рис. 2.2).

Не настільки очевидно, що немає інших власних підпросторів. Якщо в лінійному просторі Н якщо немає ненульових векторів, то Н - нульовий лінійний підпростір, що є невласним. Якщо в Н є ненульовий вектор, а будь-які два вектори з Нколінеарні, всі вектори цього лінійного підпростору паралельні деякої прямої, що проходить через фіксовану точку. Отже, Н збігається з одним із лінійних підпросторів, описаних у разі б). Якщо в Н є два неколлінеарних вектори, а будь-які три вектори компланарні, всі вектори такого лінійного підпростору паралельні деякій площині, що проходить через фіксовану точку. Це випадок а). Нехай у лінійному підпросторі Ніснують три некомпланарні вектори. Тоді вони утворюють базис в. Будь-який вільний вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації цих векторів. Отже, всі вільні вектори потрапляють у лінійний підпростір Н, і тому воно збігається із . У цьому випадку ми отримуємо невласний лінійний підпростір. Отже, у всі власні підпростори можна подати у вигляді площин або прямих, що проходять через фіксовану точку.

приклад 2.2.Будь-яке рішення однорідної системилінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) від п змінних можна розглядати як вектор лінійному арифметичному просторі . Багато таких векторів є лінійним підпростором в . Насправді рішення однорідної СЛАУ можна покомпонентно складати і множити на дійсні числа, тобто. за правилами складання векторів. Результат операції буде рішенням однорідної СЛАУ. Отже, обидві умови визначення лінійного підпростору виконані.

Рівняння має безліч рішень, які є лінійним підпросторомАле це ж рівняння можна розглядати як рівняння площини в деякій прямокутній системі координат. Площина проходить через початок координат, а радіус-вектори всіх точок площини утворюють двовимірне підпростір у лінійному просторі.

Безліч рішень однорідної СЛАУ

також утворює лінійний підпростір в . У той самий час цю систему можна як загальні рівняння прямої у просторі, задані в деякій прямокутній системі координат .. Ця пряма проходить через початок координат, а безліч радіус-векторів всіх її точок утворює одновимірне підпростір в .

приклад 2.3.У лінійному просторі квадратних матриць порядку п лінійне підпростір утворюють:

а) усі симетричні матриці;

б) усі кососиметричні матриці;

в) усі верхні (нижні) трикутні матриці.

При додаванні таких матриць або множенні на число ми отримуємо матрицю того ж виду. Навпаки, підмножина вироджених матриць не є лінійним підпростором, оскільки сума двох вироджених матриць може бути невиродженою матрицею:

Приклад 2.4.У лінійному просторі безперервних функцій на відрізку , можна виділити наступні лінійні підпростори:

а) безліч функцій, безперервних на відрізку і безперервно диференційованих в інтервалі (0,1) (в основі цього твердження лежать властивості функцій, що диференціюються: сума диференційованих функцій є диференційована функція, твір диференційованої функції на число є диференційована функція);

б) безліч усіх багаточленів;

в) безліч всіх багаточленів ступеня не вище n.

Непорожнє підмножина L лінійного простору V називається лінійним підпросторомпростору V , якщо

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(Підпростір замкнуто по відношенню до операції додавання);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lі будь-якого числа \lambda (підпростір замкнутий по відношенню до операції множення вектора на число).

Для вказівки лінійного підпростору будемо використовувати позначення Ltriangleleft V , а слово "лінійне" опускати для стислості.

Зауваження 8.7

1. Умови 1, 2 у визначенні можна замінити однією умовою: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lі будь-яких чисел \lambda та \mu. Зрозуміло, що тут і у визначенні мова йдепро довільних числахз того числового поля, над яким визначено простір V .

2. У будь-якому лінійному просторі V є два лінійні підпростори:

а) саме простір V, тобто. V\triangleleft V;

б) нульовий підпростір \(\mathbf(o)\) , що складається з одного нульового векторапростору V, тобто. . Ці підпростори називаються невласними, проте інші - власними.

3. Будь-яке підпростір L лінійного простору V є його підмножиною: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, але не всяке підмножина M \ subset V є лінійним підпростором, так як воно може виявитися незамкнутим по відношенню до лінійних операцій.

4. Підпростір L лінійного простору V є лінійним простором з тими ж операціями складання векторів і множення вектора на число, що і в просторі V , оскільки для них виконуються аксіоми 1-8. Тому можна говорити про розмірність підпростору, його базис і т.п.

5. Розмірність будь-якого підпростору L лінійного простору V не перевищує розмірності простору V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Якщо ж розмірність підпростору L triangleleft V дорівнює розмірності кінцевого простору V (Dim (L) = Dim (V)), то підпростір збігається із самим простором: L=V .

Це випливає з теореми 8.2 (доповнення системи векторів до базису). Справді, взявши базис підпростору L, доповнюватимемо його до базису простору V. Якщо це можливо, \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Для будь-якого підмножини M лінійного простору V лінійна оболонка є підпростором V і M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Справді, якщо M=\varnothing (порожня множина), то за визначенням \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), тобто. є нульовим підпростором та \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Нехай M\ne\varnothing. Потрібно довести, що безліч \operatorname(Lin)(M)замкнуто по відношенню до операцій складання його елементів та множення його елементів на число. Нагадаємо, що елементами лінійної оболонки \operatorname(Lin)(M)служать лінійні комбінації векторів з M. Так як лінійна комбінація лінійних комбінацій векторів є їх лінійною комбінацією, то, враховуючи пункт 1, робимо висновок, що \operatorname(Lin)(M)є підпростором V, тобто. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Увімкнення M\subset \operatorname(Lin)(M)- очевидне, оскільки будь-який вектор \mathbf(v)\in M можна як лінійну комбінацію 1\cdot\mathbf(v) , тобто. як елемент множини \operatorname(Lin)(M).

7. Лінійна оболонка \operatorname(Lin)(L)підпростору L triangleleft V збігається з підпростором L , тобто. .

Справді, так як лінійний підпростір L містить усі можливі лінійні комбінації своїх векторів, то \operatorname(Lin)(L)\subset L. Протилежне включення (L\subset \operatorname(Lin)(L))випливає з пункту 6. Отже, \operatorname(Lin)(L)=L.

Приклади лінійних підпросторів

Вкажемо деякі підпростори лінійних просторів, приклади яких розглядалися раніше. Перелічити всі подпространства лінійного простору неможливо, крім виняткових випадків.

1. Простір \(\mathbf(o)\) , Що складається з одного нульового вектора простору V є підпростором, тобто. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Нехай, як і раніше, V_1,\,V_2,\,V_3 - множини векторів (спрямованих відрізків) на прямій, на площині, у просторі відповідно. Якщо пряма належить до площини, то V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Навпаки, безліч одиничних векторів не є лінійним підпростором, тому що при множенні вектора на число, що не дорівнює одиниці, отримуємо вектор, що не належить множині.

3. У n-вимірному арифметичному просторі \mathbb(R)^n розглянемо безліч L "напівнульових" стовпців виду x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^Tз останніми (n-m) елементами, рівними нулю. Сума " напівнульових " стовпців є стовпцем тієї самої виду, тобто. операція додавання замкнута в L . Множення "напівнульового" стовпця на число дає "напівнульовий" стовпець, тобто. операція множення на число замкнута L . Тому L\triangleleft \mathbb(R)^n, причому \ dim (L) = m. Навпаки, підмножина ненульових стовпців \mathbb(R)^n не є лінійним підпростором, так як при множенні на нуль виходить нульовий стовпець, який не належить множині, що розглядається. Приклади інших підпросторів \mathbb(R)^n наводяться у наступному пункті.

4. Простір \(Ax=o\) розв'язків однорідної системи рівнянь з n невідомими є підпростором n-мірного арифметичного простору \mathbb(R)^n. Розмірність цього підпростору визначається матрицею системи: \dim\(Ax=o\)=n-\operatorname(rg)A.

Безліч \(Ax=b\) рішень неоднорідної системи (при b\ne o ) не є підпростором \mathbb(R)^n, так як сума двох рішень неоднорідної; системи не буде рішенням тієї самої системи.

5. У просторі M_(n\times n) квадратних матриць порядку л розглянемо два підмножини: безліч симетричних матриць і безліч M_(n\times n)^(\text(kos))кососиметричних матриць. Сума симетричних матриць є симетричною матрицею, тобто. операція додавання замкнута в M_(n\times n)^(\text(sim)). Множення симетричної матриці число також не порушує симетричність, тобто. операція множення матриці на число замкнута в M_(n\times n)^(\text(sim)). Отже, безліч симетричних матриць під простором простору квадратних матриць, тобто. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Неважко знайти розмірність цього підпростору. Стандартний базис утворюють: л матриць з єдиним ненульовим (рівним одиниці) елементом на головній діагоналі: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, а також матриці з двома ненульовими (рівними одиниці) елементами, симетричними щодо головної діагоналі: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1,\ldots, n. Загалом у базисі буде (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2))матриць. Отже, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Аналогічно отримуємо, що M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n)і \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Безліч вироджених квадратних матриць n-го порядку не є підпростором M_(n\times n) , оскільки сума двох вироджених матриць може виявитися невиродженою матрицею, наприклад, у просторі M_(2\times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)!.

6. У просторі багаточленів P(\mathbb(R)) з дійсними коефіцієнтами можна вказати природний ланцюжок підпросторів

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Безліч парних багаточленів (p(-x)=p(x)) є лінійним підпростором P(\mathbb(R)) , оскільки сума парних багаточленів і добуток парного багаточлена на число будуть парними багаточленами. Безліч непарних многочленів (p(-x)=-p(x)) також є лінійним простором. Багато багаточленів, що мають дійсне коріння, не є лінійним підпростором, оскільки при складанні таких двох багаточленів може вийти багаточлен, який не має дійсних коренів, наприклад, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. У просторі C(\mathbb(R)) можна вказати природний ланцюжок підпросторів:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Багаточлени з P(\mathbb(R)) можна розглядати як функції, визначені на \mathbb(R). Оскільки багаточлен є безперервною функцією разом зі своїми похідними будь-якого порядку, можна записати: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))і P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Простір тригонометричних двочленів T_(\omega) (\mathbb(R))є підпростором C^m(\mathbb(R)) , так як похідні будь-якого порядку функції f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tбезперервні, тобто. T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Безліч безперервних періодичних функцій не є підпростором C(\mathbb(R)) , оскільки сума двох періодичних функцій може виявитися неперіодичною функцією, наприклад, \sin(t)+\sin(\pi t).

Векторне(або лінійне) простір- Математична структура, яка є набором елементів, званих векторами, для яких визначені операції складання один з одним і множення на число - скаляр. Ці операції підпорядковані восьми аксіом. Скаляри можуть бути елементами речового, комплексного або будь-якого іншого поля чисел. Приватним випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклідове простір, вектори якого використовуються, наприклад, для подання фізичних сил. При цьому слід зазначити, що вектор як елемент векторного простору не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка. Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішування термінів, а й дозволяє усвідомити або навіть передбачити низку результатів, справедливих просторів довільної природи.

Векторні простори є предметом вивчення лінійної алгебри. Однією з головних характеристик векторного простору є його розмірність. Розмірність являє собою максимальну кількість лінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубої геометричної інтерпретації, кількість напрямків, невимовних один через одного за допомогою тільки операцій складання та множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад, нормою або скалярним твором. Подібні простори природно з'являються в математичному аналізі, переважно у вигляді нескінченномірних. (англ.), де ролі векторів виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до цього вектора. Розгляд таких питань можливий у векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - відповідною топологією, що дозволяє визначити поняття близькості та безперервності. Такі топологічні векторні простори, зокрема, банахові та гільбертові, допускають глибше вивчення.

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII століття. Саме тоді свій розвиток отримали аналітична геометрія, вчення про матриці, системи лінійних рівнянь, евклідові вектори.

Визначення [ | ]

Лінійне, або векторний простір V (F) (\displaystyle V\left(F\right))над полем F (\displaystyle F)- це впорядкована четвірка (V, F, +, ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), де

• V (\displaystyle V)- Непорожня безліч елементів довільної природи, які називаються векторами;
• F (\displaystyle F)- поле , елементи якого називаються скалярами;
• Визначено операцію додаваннявекторів V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), зіставляє кожній парі елементів x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )безлічі V (\displaystyle V) V (\displaystyle V), званий їх сумоюі позначається x + y (\displaystyle \mathbf(x) +\mathbf(y) );
• Визначено операцію множення векторів на скалярі F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), що співставляє кожному елементу λ (\displaystyle \lambda)поля F (\displaystyle F)і кожному елементу x (\displaystyle \mathbf (x) )безлічі V (\displaystyle V)єдиний елемент множини V (\displaystyle V), що позначається λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )або λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Векторні простори, задані на тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел R 2 (\displaystyle \mathbb(R) ^(2))може бути двовимірним векторним простір над полем дійсних чисел або одномірним - над полем комплексних чисел).

Найпростіші властивості[ | ]

1. Векторний простір є абелевою групою по додаванню.
2. Нейтральний елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf(x) =\mathbf(0) )для будь-якого.
4. Для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V)протилежний елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)є єдиним, що випливає із групових властивостей.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf(x) =\mathbf(x) )для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
6. (−α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot(-\mathbf(x))=- \alpha \mathbf (x)))для будь-яких і x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf(0) =\mathbf(0) )для будь-кого α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Пов'язані визначення та властивості[ | ]

Підпростір[ | ]

Алгебраїчне визначення: Лінійний підпростірабо векторний підпростір― непуста підмножина K (\displaystyle K)лінійного простору V (\displaystyle V)таке, що K (\displaystyle K)саме є лінійним простором по відношенню до певних V (\displaystyle V)діям складання та множення на скаляр. Багато підпространств зазвичай позначають як Lat (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

Останні два твердження еквівалентні наступному:

Для будь-яких векторів x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf(x) +\beta \mathbf(y) )також належав K (\displaystyle K)для будь-яких α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Зокрема, векторний простір, що складається з лише нульового вектора, є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є підпростором самого себе. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

Властивості підпросторів[ | ]

Лінійні комбінації[ | ]

Кінцева сума виду

Лінійна комбінація називається:

Базис. Розмірність[ | ]

Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))називаються лінійно залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нулю:

В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з V (\displaystyle V)називається лінійно залежнимякщо лінійно залежно деяке кінцевейого підмножина, і лінійно незалежнимякщо будь-яке його кінцевепідмножина лінійно незалежно.

Властивості базису:

Лінійна оболонка[ | ]

Лінійна оболонкапідмножини X (\displaystyle X)лінійного простору V (\displaystyle V)- перетин усіх підпросторів V (\displaystyle V), що містять X (\displaystyle X).

Лінійна оболонка є підпростором V (\displaystyle V).

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X (\displaystyle X). Говорять також, що лінійна оболонка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- простір, натягнуте набезліч X (\displaystyle X).

Лінійна оболонка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))складається з всіляких лінійних комбінацій різних кінцевих підсистем елементів з X (\displaystyle X). Зокрема, якщо X (\displaystyle X)- кінцеве безліч, то V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))складається з усіх лінійних комбінацій елементів X (\displaystyle X). Таким чином, нульовий вектор завжди належить лінійній оболонці.

Якщо X (\displaystyle X)- лінійно незалежне безліч, воно є базисом V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. – 454 с.

Непорожнє підмножина L лінійного простору V називається лінійним підпросторомпростору V , якщо

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(Підпростір замкнуто по відношенню до операції додавання);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in Lі будь-якого числа \lambda (підпростір замкнутий по відношенню до операції множення вектора на число).

Для вказівки лінійного підпростору будемо використовувати позначення Ltriangleleft V , а слово "лінійне" опускати для стислості.

Зауваження 8.7

1. Умови 1, 2 у визначенні можна замінити однією умовою: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in Lі будь-яких чисел \lambda та \mu. Вочевидь, що у визначенні йдеться про довільні числа з того числового поля, з якого визначено простір V .

2. У будь-якому лінійному просторі V є два лінійні підпростори:

а) саме простір V, тобто. V\triangleleft V;

б) нульовий підпростір \(\mathbf(o)\) , що складається з одного нульового вектора простору V, тобто. . Ці підпростори називаються невласними, проте інші - власними.

3. Будь-яке підпростір L лінійного простору V є його підмножиною: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, але не всяке підмножина M \ subset V є лінійним підпростором, так як воно може виявитися незамкнутим по відношенню до лінійних операцій.

4. Підпростір L лінійного простору V є лінійним простором з тими ж операціями складання векторів і множення вектора на число, що і в просторі V , оскільки для них виконуються аксіоми 1-8. Тому можна говорити про розмірність підпростору, його базис і т.п.

5. Розмірність будь-якого підпростору L лінійного простору V не перевищує розмірності простору V\colon\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Якщо ж розмірність підпростору L triangleleft V дорівнює розмірності кінцевого простору V (dim (L) = dim (V)), то підпростір збігається з самим простором: L = V .

Це випливає з теореми 8.2 (доповнення системи векторів до базису). Справді, взявши базис підпростору L, доповнюватимемо його до базису простору V. Якщо це можливо, \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Для будь-якого підмножини M лінійного простору V лінійна оболонка є підпростором V і M\subset \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V.

Справді, якщо M=\varnothing (порожня множина), то за визначенням \operatorname(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), тобто. є нульовим підпростором та \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Нехай M\ne\varnothing. Потрібно довести, що безліч \operatorname(Lin)(M)замкнуто по відношенню до операцій складання його елементів та множення його елементів на число. Нагадаємо, що елементами лінійної оболонки \operatorname(Lin)(M)служать лінійні комбінації векторів з M. Так як лінійна комбінація лінійних комбінацій векторів є їх лінійною комбінацією, то, враховуючи пункт 1, робимо висновок, що \operatorname(Lin)(M)є підпростором V, тобто. \operatorname(Lin)(M)\triangleleft V. Увімкнення M\subset \operatorname(Lin)(M)- очевидне, оскільки будь-який вектор \mathbf(v)\in M можна як лінійну комбінацію 1\cdot\mathbf(v) , тобто. як елемент множини \operatorname(Lin)(M).

7. Лінійна оболонка \operatorname(Lin)(L)підпростору L triangleleft V збігається з підпростором L , тобто. .

Справді, так як лінійний підпростір L містить усі можливі лінійні комбінації своїх векторів, то \operatorname(Lin)(L)\subset L. Протилежне включення (L\subset \operatorname(Lin)(L))випливає з пункту 6. Отже, \operatorname(Lin)(L)=L.

Приклади лінійних підпросторів

Вкажемо деякі підпростори лінійних просторів, приклади яких розглядалися раніше. Перелічити всі подпространства лінійного простору неможливо, крім виняткових випадків.

1. Простір \(\mathbf(o)\) , Що складається з одного нульового вектора простору V є підпростором, тобто. \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Нехай, як і раніше, V_1,\,V_2,\,V_3 - множини векторів (спрямованих відрізків) на прямій, на площині, у просторі відповідно. Якщо пряма належить до площини, то V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Навпаки, безліч одиничних векторів не є лінійним підпростором, тому що при множенні вектора на число, що не дорівнює одиниці, отримуємо вектор, що не належить множині.

3. У n-вимірному арифметичному просторі \mathbb(R)^n розглянемо безліч L "напівнульових" стовпців виду x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^Tз останніми (n-m) елементами, рівними нулю. Сума " напівнульових " стовпців є стовпцем тієї самої виду, тобто. операція додавання замкнута в L . Множення "напівнульового" стовпця на число дає "напівнульовий" стовпець, тобто. операція множення на число замкнута L . Тому L\triangleleft \mathbb(R)^n, причому \ dim (L) = m. Навпаки, підмножина ненульових стовпців \mathbb(R)^n не є лінійним підпростором, так як при множенні на нуль виходить нульовий стовпець, який не належить множині, що розглядається. Приклади інших підпросторів \mathbb(R)^n наводяться у наступному пункті.

4. Простір \(Ax=o\) розв'язків однорідної системи рівнянь з n невідомими є підпростором n-мірного арифметичного простору \mathbb(R)^n. Розмірність цього підпростору визначається матрицею системи: \dim\(Ax=o\)=n-\operatorname(rg)A.

Безліч \(Ax=b\) рішень неоднорідної системи (при b\ne o ) не є підпростором \mathbb(R)^n, так як сума двох рішень неоднорідної; системи не буде рішенням тієї самої системи.

5. У просторі M_(n\times n) квадратних матриць порядку л розглянемо два підмножини: безліч симетричних матриць і безліч M_(n\times n)^(\text(kos))кососиметричних матриць. Сума симетричних матриць є симетричною матрицею, тобто. операція додавання замкнута в M_(n\times n)^(\text(sim)). Множення симетричної матриці число також не порушує симетричність, тобто. операція множення матриці на число замкнута в M_(n\times n)^(\text(sim)). Отже, безліч симетричних матриць під простором простору квадратних матриць, тобто. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Неважко знайти розмірність цього підпростору. Стандартний базис утворюють: л матриць з єдиним ненульовим (рівним одиниці) елементом на головній діагоналі: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, а також матриці з двома ненульовими (рівними одиниці) елементами, симетричними щодо головної діагоналі: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1,\ldots, n. Загалом у базисі буде (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2))матриць. Отже, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Аналогічно отримуємо, що M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n)і \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

Безліч вироджених квадратних матриць n-го порядку не є підпростором M_(n\times n) , оскільки сума двох вироджених матриць може виявитися невиродженою матрицею, наприклад, у просторі M_(2\times2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)!.

6. У просторі багаточленів P(\mathbb(R)) з дійсними коефіцієнтами можна вказати природний ланцюжок підпросторів

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Безліч парних багаточленів (p(-x)=p(x)) є лінійним підпростором P(\mathbb(R)) , оскільки сума парних багаточленів і добуток парного багаточлена на число будуть парними багаточленами. Багато непарних многочленів (p(-x)=-p(x)) також є лінійним простором. Багато багаточленів, що мають дійсне коріння, не є лінійним підпростором, оскільки при складанні таких двох багаточленів може вийти багаточлен, який не має дійсних коренів, наприклад, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. У просторі C(\mathbb(R)) можна вказати природний ланцюжок підпросторів:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Багаточлени з P(\mathbb(R)) можна розглядати як функції, визначені на \mathbb(R). Оскільки багаточлен є безперервною функцією разом зі своїми похідними будь-якого порядку, можна записати: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R))і P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Простір тригонометричних двочленів T_(\omega) (\mathbb(R))є підпростором ×

Визначення 6.1. Підпростором L n-мірного простору Rназивається безліч векторів, що утворюють лінійний простір по відношенню до дій, які визначені в R.

Іншими словами, Lназивається підпростором простору R, якщо з x, y∈Lвипливає, що x+y∈Lі якщо x∈L, то λ x∈L, де λ - Будь-яке речове число.

Найпростішим прикладом підпростору є нульовий підпростір, тобто. підмножина простору R, Що складається з єдиного нульового елемента Підпростором може бути і весь простір R. Ці підпростори називаються тривіальнимиабо невласними.

Підпростір n-мірного простору звичайно і його розмірність не перевищує n: dim L≤ dim R.

Сума та перетин підпросторів

Нехай Lі M- два простори простору R.

Сумою L+Mназивається безліч векторів x+y, де x∈Lі y∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L+Mналежить L+M, отже L+Mє підпростором простору R(може збігатися з простором R).

Перетином L∩Mпідпросторів Lі Mназивається безліч векторів, що належать одночасно підпросторам Lі M(може складатися лише з нульового вектора).

Теорема 6.1.Сума розмірностей довільних підпросторів Lі Mкінцевого лінійного простору Rдорівнює розмірності суми цих підпросторів та розмірності перетину цих підпросторів:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доведення. Позначимо F=L+Mі G=L∩M. Нехай G g-мірне підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G⊂Lі G⊂M, отже базис Gможна доповнити до базису Lі до базису M. Нехай базис підпростору Lі нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

належить підпростору G=L∩M. З іншого боку, вектор vможна уявити лінійною комбінацією базисних векторів підпростору G:

З рівнянь (6.4) та (6.5) маємо:

З огляду на лінійну незалежність базису підпростору Lмаємо:

лінійно незалежні. Але будь-який вектор zз F(за визначенням суми підпросторів) можна подати сумою x+y, де x∈L, y∈M. В свою чергу xє лінійною комбінацією векторів а y- Лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) породжують підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F=L+M.

Вивчаючи базиси підпросторів Lі Mта базис підпростору F=L+M(6.10), маємо: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Отже:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Пряма сума підпросторів

Визначення 6.2.Простір Fявляє собою пряму суму підпросторів Lі Mякщо кожен вектор xпростору Fможе бути єдиним способом представлений у вигляді суми x=y+z, де y∈ L і z∈M.

Пряма сума позначається L⊕M. Кажуть, що якщо F=L⊕M, то Fрозкладається у пряму суму своїх підпросторів Lі M.

Теорема 6.2.Для того щоб n-мірний простір Rявляло собою пряму суму підпросторів Lі M, достатньо, щоб перетин Lі Mмістило тільки нульовий елемент і щоб розмірність R дорівнювала сумі розмірностей підпросторів Lі M.

Доведення. Виберемо деякий базис у підпросторі L та деякий базис у підпросторі M. Доведемо, що

Оскільки ліва частина (6.13) є вектором підпростору Lа права частина - вектором підпростору Mі L∩M=0 , то