Максимальна кількість усіх множин є векторними просторами. Векторний простір

1) х+у=у+х(перестановність додавання);

2)(х+у) +z=x+ (y+z) (асоціативність складання);

3) є нульовий вектор 0 (або нуль-вектор), що задовольняє умову x+ 0 =x:для будь-якого вектора x;

4) для будь-якого вектора хіснує протилежний йому вектор утакий, що х+у = 0 ,

5) 1 · х=х,

6) a(bx) = (ab)х(Асоціативність множення);

7) (a+b)х=ах+bх (розподільна властивістьщодо числового множника);

8) a(х+у) =ах+aу(розподільна властивість щодо векторного множника).

Векторним (або лінійним) простором називається безліч R,що складається з елементів будь-якої природи (званих векторами), у якому визначено операції складання елементів та множення елементів на дійсні числа, що задовольняють умовам А(Умови 1-3 виражають, що операція додавання, визначена в Векторний простір, перетворює його на комутативну групу). Вираз

a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n (1)

Називається лінійною комбінацією векторів e 1 , e 2 ,..., e nз коефіцієнтами a 1 , a 2,..., a n.Лінійна комбінація (1) називається нетривіальною, якщо хоча б один із коефіцієнтів a 1 , a 2 ,..., a nвідмінний від нуля. Вектори e 1 , e 2 ,..., e nназиваються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна комбінація (1), що є нульовим вектором. В іншому випадку (тобто якщо тільки тривіальна комбінація векторів e 1 , e 2 ,..., e nдорівнює нульовому вектору) вектори e 1 , e 2 ,..., e nназивається лінійно незалежними.

Вектори (вільні) тривимірного простору задовольняють наступній умові (умова В): існують три лінійно незалежні вектори; будь-які чотири вектори лінійно залежні (будь-які три ненульові вектори, що не лежать в одній площині, є лінійно незалежними).

Векторний простірназивається n-мерним (або має «розмірність n»), якщо в ньому існують nлінійно незалежних елементів e 1 , e 2 ,..., e n ,а будь-які n+ 1 елементів лінійно залежні (узагальнена умова). Векторний простірназиваються нескінченномірним, якщо в ньому для будь-якого натурального nіснує nлінійно незалежні вектори. Будь-які nлінійно незалежних векторів n-мерного Векторний простірутворюють базис цього простору. Якщо e 1 , e 2 ,..., e n- базис Векторний простір, то будь-який вектор хцього простору може бути представлений єдиним чином у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:

x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.

При цьому числа a 1 , a 2, ..., a nназиваються координатами вектора ху цьому базисі.

Приклади Векторний простір Багато векторів тривимірного простору утворює, очевидно, Векторний простірБільше складним прикладомможе служити так зване n-мірне арифметичний простір. Векторами цього простору є впорядковані системи з n дійсних чисел: l 1, l 2, ..., l n.Сума двох векторів та добуток на число визначаються співвідношеннями:

(l 1 , l 2 , …, l n) + (m 1 , m 2 , …, m n) = (l 1+m 1 , l 2+m 2 , …, l n+m n);

a(l 1 , l 2 , …, l n) = (al 1 , al 2 , …, al n).

Базисом у цьому просторі може служити, наприклад, наступна система з nвекторів e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Безліч Rвсіх багаточленів a 0+a 1 u+ … +a n u n(будь-яких ступенів n) від одного змінного з дійсними коефіцієнтами a 0 , a 1 ,..., a nіз звичайними алгебраїчними правиламискладання багаточленів та множення багаточленів на дійсні числа утворює Векторний простірБагаточлени 1, u, u 2 ,..., u n(за будь-якого n) лінійно незалежні в R,тому R -нескінченномірне Векторний простір

Багаточлени ступеня не вище nутворюють Векторний простіррозмірності n+ 1 ; його базисом можуть служити багаточлени 1, u, u 2, ..., u n .

Підпростору Векторний простір У . п. R"називається підпростором R,якщо R" Í R(тобто кожен вектор простору R"є і вектор простору R) і якщо для кожного вектора v Î r"та для кожних двох векторів v 1і v 2(v 1 , v 2 Î R") вектор lv(за будь-якого l) та вектор v 1+v 2той самий незалежно від того, чи розглядаються вектори. v, v 1 , v 2як елементи простору R"або R.Лінійна оболонка векторів x 1 , x 2 ,... x pназивається безліч різноманітних лінійних комбінацій цих векторів, тобто векторів виду a 1 x 1+a 2 x 2+ … +a p x p. У тривимірному просторі лінійною оболонкоюодного ненульового вектора x 1буде, очевидно, сукупність всіх векторів, що лежать на прямій, яка визначається вектором х 1 .Лінійною оболонкою двох не лежать на одній прямій векторі x 1і x 2буде сукупність всіх векторів, розташованих у площині, яку визначають вектори x 1і х 2 .У загальному випадкудовільного Векторний простір Rлінійна оболонка векторів x 1 , x 2 ,..., x pцього простору є підпростір простору Rрозмірності нар.У n-мірному Векторний простіріснують підпростори всіх розмірностей, менших нар.Будь-яке кінцеве (даної розмірності k) підпростір R" Векторний простір Rє лінійна оболонка будь-яких kлінійно незалежних векторів, що лежать у R".Простір, що складається з усіх багаточленів ступеня £ n(лінійна оболонка багаточленів 1, u, u 2 ,..., u n), є ( n+ 1 )- мерний підпростір простору Rвсіх багаточленів.

Евклідові простору.Для розвитку геометричних методівв теорії Векторний простірнеобхідно вказати шляхи узагальнення таких понять, як довжина вектора, кут між векторами тощо. Один з можливих шляхівполягає в тому, що будь-яким двом векторам хі уз Rставиться у відповідність число, що позначається ( х, у) і зване скалярним твором векторів хі у.При цьому потрібно, щоб виконувались такі аксіоми скалярного твору:

1) (х, у) = (у, х) (перестановність);

2) (x 1+x 2 , y) = (x 1 , y) + (x 2 , y) (розподільна властивість);

3) (ax, у) =a(х, у),

4) (х, х) ³ 0 для будь-кого х, причому ( х, х) = 0 тільки для х= 0 .

Звичайне скалярне твір у тривимірному просторі цим аксіомам задовольняє. Векторний простір, У якому визначено скалярне твір, що задовольняє перерахованим аксіомам, називається евклідовим простором; воно може бути як кінцевим (n-вимірним), так і нескінченним. Безкінемірний евклідовий простір зазвичай називають гільбертовим простором. довжина | x| вектора xта кут між векторами хі уевклідові простори визначаються через скалярний твір формулами

Прикладом евклідового простору може бути звичайне тривимірний простірзі скалярним твором, що визначається у векторному обчисленні. Евклідово n-мерний (арифметичний) простір E nотримаємо, визначаючи в n-мерному арифметичному Векторний простірскалярний добуток векторів x = (l 1 , …, l n)та y= (m 1 , …, m n) співвідношенням

(x, y) =l 1 m 1+l 2 m 2+… +l n m n . (2)

У цьому вимоги 1)-4), очевидно, виконуються.

У евклідових просторах вводиться поняття ортогональних (перпендикулярних) векторів. Саме вектори хі уназиваються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю: ( х, у) = 0. У розглянутому просторі E nумова ортогональності векторів x= (l 1 , …, l n) та y= (m 1 , …, m n), як це випливає із співвідношення (2), має вигляд:

l 1 m 1+l 2 m 2+… +l n m n= 0. (3)

Застосування Ст п. Концепція Векторний простір(і різні узагальнення) широко застосовується в математиці та її додатках до природознавства. Нехай, наприклад, R -безліч всіх рішень лінійного однорідного диференціального рівняння y n+a 1(x)y (n+ 1 ) + … +a n(x)y= 0 . Зрозуміло, що сума двох рішень та виконання рішення на число є рішеннями цього рівняння. Таким чином, Rзадовольняє умовам А. Доводиться, що для Rвиконано узагальнену умову В. Отже, Rє Векторний простірБудь-який базис у розглянутому Векторний простірназивається фундаментальною системоюрішень, знання якої дозволяє знайти всі рішення рівняння, що розглядається. Поняття евклідового простору дозволяє повністю геометризувати теорію систем однорідних лінійних рівнянь:

Розглянемо в евклідовому просторі E nвектори a i = (a i1 , a i2 , …, a in), i=1, 2,..., nта вектор-рішення u= (u 1 , u 2 ,..., u n). Користуючись формулою (2) для скалярного твору векторів E n ,надамо системі (4) наступний вигляд:

(a i , u) =0, i=1, 2, …, m. (5)

Зі співвідношень (5) і формули (3) випливає, що вектор-рішення uортогональний всім векторам a i .Іншими словами, цей вектор ортогональний лінійній оболонці векторів. a i ,тобто рішення uє будь-який вектор з ортогонального доповненнялінійної оболонки векторів a i. Важливу роль у математиці та фізиці відіграють і нескінченномірні лінійні простори. Прикладом такого простору може бути простір З безперервних функційна відрізку зі звичайною операцією додавання та множення на дійсні числа. Згаданий вище простір всіх багаточленів є підпростором простору З.

Літ.:Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії, М., 1968; Гельфанд І, М., Лекції з лінійної алгебри, М. – Л., 1948.

Е. Г. Позняк.

Стаття про слово Векторний простіру Великій Радянській Енциклопедії була прочитана 20502 разів

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР, лінійний простір, над полем K, - адитивно записана абелева група Е, в якій визначено множення елементів на скаляри, тобто відображення

К × Е → Е: (λ, х) → λх,

що задовольняє наступним аксіомам (х, y ∈ Е, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(х + у) = λх + λу,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = х.

З аксіом 1)-4) випливають такі важливі властивостівекторного простору (0 ∈ Е):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ х = 0,

Елементи Ст п. зв. точками Ст п., або векторами, а елементи поля K - скалярами.

Найбільше застосування в математиці та додатках мають Ст над полем ℂ комплексних чиселабо над полем ℝ дійсних чисел; вони зв. відповідно комплексними Ст п. або дійсними Ст п.

Аксіоми Ст п. виявляють деякі алгебраїч. властивості багатьох класів функцій, які часто зустрічаються в аналізі. З прикладів Ст п. найбільш фундаментальними і найбільш ранніми є n-мірні евклідові простори. Майже так само важливими прикладамиє багато функціональних просторів: простір безперервних функцій, простір вимірних функцій, простір сумованих функцій, простір аналітич. функцій, простір функцій обмеженої варіації.

Поняття Ст п. є окремий випадокпоняття модуля над кільцем, а саме В. п. є унітарний модуль над полем. Унітарний модуль над некомутативним тілом також зв. векторний простір над тілом; теорія таких Ст п. багато в чому складніше теоріїСт над полем.

Одною з важливих завдань, пов'язаних з Ст п., є вивчення геометрії Ст п., тобто вивчення прямих у Ст п., плоских і опуклих множин у Ст п., підпросторів Ст п. і базисів Ст Ст.

Векторним підпростором, або просто підпростором, Ст п. Е над полем До зв. підмножина F ⊂ E, замкнена щодо дій складання та множення на скаляр. Підпростір, що розглядається окремо від простору, що вміщає його, є Ст над тим же полем.

Прямою лінією, що проходить через дві точки х та y В. п. Е, зв. безліч елементів z ∈ E виду z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Безліч G ∈ E зв. плоским безліччю, якщо разом з будь-якими двома точками воно містить пряму, що проходить через ці точки. Кожна плоска множина виходить з деякого підпростору за допомогою зсуву ( паралельного перенесення): G = x + F; це означає, що кожен елемент z ∈ G представимо єдиним чином у вигляді z = x + y, y ∈ F, причому ця рівність здійснює взаємно однозначну відповідність між F і G.

Сукупність всіх зрушень F x = x + F даного підпростору F утворює Ст п. над K, зв. фактор-простором E/F, якщо визначити операції наступним чином:

F x F y = F x + y; λF x = F λx , λ ∈ До.

Нехай М = (х α) α∈A - довільна множина векторів з Е; лінійною комбінацією векторів х α ∈ Е зв. вектор х, визначений формулою

х = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в до-рой лише кінцеве число коефіцієнтів від нуля. Сукупність всіх лінійних комбінацій векторів даної множини М є найменшим підпростором, що містить М, і зв. лінійною оболонкою множини М. Лінійна комбінація зв. тривіальною, якщо всі коефіцієнти λ α дорівнюють нулю. Безліч М зв. лінійно незалежною безліччю, якщо всі нетривіальні лінійні комбінації векторів з М відмінні від нуля.

Будь-яке лінійно незалежне безліч міститься в деякому максимальному лінійно незалежному множині М 0 , тобто в такій множині, яке перестає бути лінійно незалежним після приєднання до нього будь-якого елемента з Е.

Кожен елемент х ∈ Е може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації елементів максимальної лінійно незалежної множини:

х = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

У зв'язку з цим максимальна лінійно незалежна безліч зв. базисом Ст п. (алгебраїчним базисом). Усі базиси даного Ст п. мають однакову потужність, к-раю зв. розмірністю Ст п. Якщо ця потужність кінцева, простір зв. кінцевомірним Ст п.; інакше воно зв. нескінченномірним Ст п.

Поле K можна розглядати як одновимірне Ст над полем K; базис цього Ст п. складається з одного елемента; ним може бути будь-який елемент, відмінний від нуля. Звичайномірне Ст п. з базисом з n елементів зв. n-мірним простором.

У теорії дійсних та комплексних Ст п. п. важливу рольграє теорія опуклих множин. Безліч М у дійсному Ст п. зв. опуклим безліччюякщо разом з будь-якими двома його точками х, у відрізок tx + (1 - t)y, t ∈ , також належить М.

Велике місце в теорії Ст п. займає теорія лінійних функціоналів на Ст п. n пов'язана з цим теорія двоїстості. Нехай Е є Ст над полем K. Лінійним функціоналом на Е зв. адитивне та однорідне відображення f: Е → К:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = f(x).

Безліч Е* всіх лінійних функціоналів на Е утворює Ст над полем K щодо операцій

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), х ∈ Е, Х ∈ К, f 1 , f 2 , f ∈ Е*.

Це Ст п. зв. пов'язаним (або двоїстим) простором (до Е). З поняттям пов'язаного простору пов'язаний ряд геометричних. термінів. Нехай D ⊂ E (відповідно Г ⊂ Е*); анулятором множини D, або ортогональним доповненням множини D (відповідно множини Г) зв. безліч

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 для всіх х ∈ D)

(відповідно Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 для всіх f ∈ Г)); тут D ⊥ і Г ⊥ - підпростори відповідно до просторів Е* і Е. Якщо f - ненульовий елемент з Е*, то (f) є максимальний власний лінійний підпростір в Е, зв. іноді гіперпідпростором; зсув такого підпростору зв. гіперплощиною в Е; всяка гіперплощина має вигляд

(x: f(x) = λ), де f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Якщо F - підпростір В. п. Е, то існують природні ізоморфізми між F * і

E*/F ⊥ та між (E/F)* та F ⊥ .

Підмножина Р ⊂ E* зв. тотальним підмножиною над Е, якщо його анулятор містить лише нульовий елемент: ⊥ = (0).

Кожній лінійно незалежній множині (х α ) α∈A ⊂ E можна зіставити пов'язану множину (f α ) α∈A ⊂ E*, тобто. така множина, що f α (x β) = δ αβ (Кронекера символ) для всіх α, β ∈ A. Безліч пap (х α , f α ) зв. при цьому біоортогональна система. Якщо безліч (х α) є базис в Е, то (f α) тотально над Е.

Значне місце в теорії Ст займає теорія лінійних перетвореньВ. п. Нехай Е 1 , Е 2 - два В. п. над одним і тим же полем К. Лінійним відображенням, або лінійним оператором, Т, що відображає В. п. Е 1 в Ст Е 2 (або лінійним оператором з Е 1 в Е 2), зв. адитивне та однорідне відображення простору Е 1 в Е 2:

Т(х + у) = Тх + Ту; Т(λх) = λТ(х); х, у ∈ Е 1 .

Приватним випадком цього поняття є лінійний функціонал, або лінійний операторз Е 1 в K. Лінійним відображенням є, напр., природне відображення В. п. Е на факторпростір E/F, що зіставляє кожному елементу х ∈ Е плоска множина F x ∈ E/F. Сукупність ℒ(Е 1 , Е 2) всіх лінійних операторів Т: Е 1 →Е 2 утворює Ст п. щодо операцій

(Т 1 + Т 2) х = Т 1 х + Т 2 х; (λТ)х = λТх; х ∈ Е 1; λ ∈ K; T 1 , T 2 , Т ∈ ℒ (Е 1, Е 2).

Два Ст п. Е 1 і Е 2 зв. ізоморфними Ст п., якщо існує лінійний оператор («ізоморфізм»), що здійснює взаємно однозначну відповідність між їх елементами. Е 1 і Е 2 ізоморфні тоді і лише тоді, коли їх базиси мають однакову потужність.

Нехай Т - лінійний оператор, що відображає Е 1 Е 2 . Сполученим лінійним оператором, або двоїстим лінійним оператором, стосовно Т, зв. лінійний оператор Т* з E* 2 до Е* 1 визначений рівністю

(Т*φ)х = φ(Тх) для всіх х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Мають місце співвідношення Т * -1 (0) = ⊥ , Т * (Е * 2) = [Т -1 (0)] ⊥ , звідки випливає, що Т * є ізоморфізм тоді і тільки тоді, коли Т є ізоморфізм.

З теорією лінійних відображень Ст п. тісно пов'язана теорія білінійних відображень і полілінійних відображень Ст п. п.

Важливу групу заданої теорії Ст п. утворюють завдання продовження лінійних відображень. Нехай F - підпростір В. п. Е 1 Е 2 - лінійний простір над тим же полем, що і Е 1 і нехай Т 0 - лінійне відображення F в Е 2 ; потрібно знайти продовження Т відображення T 0 , визначений усім Е 1 і є лінійним відображенням Е 1 в Е 2 . Таке продовження завжди існує, але додаткові обмеження на функції (пов'язані з додатковими структурами у Ст, наприклад, топологією або ставленням порядку) можуть зробити завдання нерозв'язним. Прикладами розв'язання задачі продовження є теорема Хана-Банаха і теореми про продовження позитивних функціоналів у просторах з конусом.

Важливим розділом теорії Ст є теорія операцій над Ст п., тобто способів побудови нових Ст п. за відомими. Приклади таких операцій - відомі операціївзяття підпростору та утворення факторпростору по підпростору. Інші важливі операції- Побудова прямої суми, прямого творута тензорного твору Ст п.

Нехай (Е α ) α∈I - сімейство В. п. над полем К. Безліч Е - добуток множин Е α - можна перетворити на В. п. над полем К, ввівши операції

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

отримане Ст п. Е зв. прямим твором Ст п. Е α і позначається П α∈I Е α . Підпростір В. п. Е, що складається з усіх тих наборів (х α), для кожного з яких брало безліч (α: х α ≠ 0) звичайно, зв. прямою сумою Ст п. Е α і позначається Σ α E α або Σ α + E α ; Для кінцевого числадоданків ці визначення збігаються; у цьому випадку використовуються позначення:

Нехай Е 1 Е 2 - два Ст п. над полем K; Е" 1, Е" 2-тотальні підпростори В. п. E * 1, Е * 2, і Е 1 □ Е 2 -В. п., що має своїм базисом сукупність всіх елементів простору Е1 × Е2. Кожному елементу x □ y ∈ E 1 □ E 2 зіставляється білінійна функція b = Т(х, у) на Е" 1 × Е 2 за формулою b(f, g) = f(x)g(y), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Це відображення базисних векторів x □ y ∈ E 1 □ E 2 можна продовжити до лінійного відображення Т В. п. Е 1 □ Е 2 у В. п. всіх білінійних функціоналів на Е" 1 × Е" 2 . Нехай E 0 = T -1 (0). Тензорним твором В. п. Е 1 і Е 2 зв. факторпростір Е 1 ○ Е 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; y позначається х ○ у.В.

Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраїчні структури. Лінійна та полілінійна алгебра, пров. з франц., М., 1962; Райков Д. А., Векторні простори, М., 1962; Дей М. М., Нормовані лінійні простори, пров. з англ., М., 1961; , Едварді Р., Функціональний аналіз, пров. з англ., М., 1969; Халмош П., Звичайні векторні простори, пров. з англ., М., 1963; Глазман І. М., Любіч Ю. І., Звичайномірний лінійний аналізу завданнях, М., 1969.

М. І. Кадець.

Джерела:

1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., « Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.

Нехай Р – поле. Елементи a, b, ... Î Рбудемо називати скалярами.

Визначення 1.Клас Vоб'єктів (елементів) , , , ... довільної природи називається векторний простір над полем Р, а елементи класу V називаються векторамиякщо V замкнуто щодо операції «+» та операції множення на скаляри з Р (тобто для будь-яких , ÎV +Î V;"aÎ Р aÎV), і виконуються такі умови:

А 1: алгебра - Абелева група;

А 2: для будь-яких a, bÎР, для будь-якого ÎV виконується a(b)=(ab)- узагальнений асоціативний закон;

А 3: для будь-яких a, bÎР, для будь-якого ÎV виконується (a+b)= a+ b;

А 4: для будь-якого a з Р, для будь-яких з V виконується a(+)=a+a(узагальнені дистрибутивні закони);

А 5: будь-якого з V виконується 1 = , де 1 – одиниця поля Р - властивість унітарності.

Елементи поля Р називатимемо скалярами, а елементи множини V - векторами.

Зауваження.Помноження вектора на скаляр не є бінарною операцією на множині V, оскільки це відображення PV®V.

Розглянемо приклади векторних просторів.

приклад 1.Нульовий (нуль-мірний) векторний простір - простір V 0 =() - що складається з одного нуль-вектора.

Для будь-якого aÎР a=. Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору.

Зауважимо, що нульовий векторний простір істотно залежить від поля Р. Так, нульмерний простір над полем раціональних чиселі над полем дійсних чисел вважаються різними, хоч складаються з єдиного нуль-вектора.

приклад 2.Поле Р саме векторним простором над полем Р. Нехай V=P. Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору. Так як Р - поле, то Р є адитивною групою і А1 виконується. З огляду на здійсненності в Р асоціативності множення виконується А 2 . Аксіоми А 3 і А 4 виконуються в силу здійсненності Р дистрибутивності множення щодо складання. Оскільки в полі Р існує одиничний елемент 1, виконується властивість унітарності А 5 . Таким чином, поле Р є векторним простір над полем Р.

приклад 3.Арифметичний n-вимірний векторний простір.

Нехай Р – поле. Розглянемо безліч V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Введемо на множині V операції складання векторів і множення вектора на скаляр по наступним правилам:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) Î V, "aÎ P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Елементи множини V називатимемо n-вимірними векторами. Два n-мірних векторназиваються рівними, якщо відповідні компоненти (координати) рівні. Покажемо, що V є векторним простір над полем Р. З визначення операцій складання векторів і множення вектора на скаляр випливає, що V замкнуто щодо цих операцій. Так як додавання елементів з V зводиться до складання елементів поля Р, а Р є адитивною абелевою групою, то і V є адитивною обелевою групою. Причому, = , де 0 - нуль поля Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). Таким чином, А1 виконується. Оскільки множення елемента V на елемент Р зводиться до множення елементів поля Р, то:

А 2 виконується з асоціативності множення на Р;

А 3 і А 4 виконуються з дистрибутивності множення щодо складання на Р;

А 5 виконується, тому що 1 Р - нейтральний елемент щодо множення на Р.

Визначення 2.Безліч V = P n з операціями, певними формулами(1) і (2) називається арифметичним n-вимірним векторним простором над полем Р.

Розглянемо послідовність, що складається з л елементів деякого простого поля GF(q) (a^, а......а п).Така послідовність називається л-по

слідчістюнад полем GF)