Еліптичний параболоїд рівняння. Властивості параболоїда обертання

Еліпсоїдом називається поверхня, рівняння якої в деякій прямокутній декартовій системікоординат Oxyz має вигляд де а ^ b ^ з > 0. Для того, щоб з'ясувати, як виглядає еліпсоїд, надійдемо таким чином. Візьмемо на площині Oxz еліпс і обертатимемо його навколо осі Oz (рис. 46). Рис.46 Отримана поверхня Еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Циліндри та конус другого порядку. - еліпсоїд обертання - вже дає уявлення про те, як влаштований еліпсоїд загального вигляду. Щоб отримати його рівняння, достатньо рівномсрносжать еліпсоїд обертання. вздовж осі Оу з коефіцієнтом J ^ !,т.с. замінити в його рівнянні у Jt/5). 10.2. Гіперболоїди Повертаючи гіперболу fl i! = а2 с2 1 навколо осі Oz (рис. 47), отримаємо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання. Його рівняння має вигляд *2+у; виходить тим самим способом, що й у разі еліпсоїда обертання. 5) Еліпсоїд рішення можна отримати рівномірним стиском сфери +yJ + *J = л" вздовж осі Oz з коефіцієнтом ~ ^ 1. Шляхом рівномірного стиснення цієї поверхні вздовж осі Оу з коефіцієнтом 2 ^ 1 отримаємо однопорожнинний гіперболоїд загального виду. Його рівняння Еліпсоїд Гі. Параболоїди Циліндри і конус другого порядку виходить тим же способом, що і в розібраному вище випадку еліпсоїда Шляхом обертання навколо осі Ог сполученої гіперболи отримаємо двопорожнинний гіперболоїд обертання (рис. 48) Його рівняння а2 С2 Шляхом рівномірного Оу з коефіцієнтом 2 ^ 1 приходимо до двопорожнинного гіперболоїда загального виду.Заміною у на -у отримуємо його рівняння. вращения уздовж осі Оу з коефіцієнтом yj* ^ 1 отримуємо еліптичний параболоїд. лоїд виду, вказаного на рис. 50. 10.4. Гіперболічний параболоїд Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, рівняння якої в деякій прямокутній декартовій системі координат Oxyz має вигляд де р > 0, q > 0. Вигляд цієї поверхні визначимо, застосувавши так званий метод перерізів, який полягає в наступному: паралельно координатним площинам проводяться площини, досліджувану поверхню, і зміни зміни виникаючих у результаті плоских кривих робиться висновок про структуру самої поверхні. Почнемо з перерізів площинами z = h = const, паралельними координатної площиниОху. При h > 0 отримуємо гіперболи при h - пов'язані гіперболи а при - пару псрссскающіхся прямих Зауважимо, що ці прямі є асимптотами для всіх гіпербол (тобто при будь-якому h Ф 0). Спроектуємо одержувані криві на площину Оху. Отримаємо наступну картину (рис. 51). Вже цей розгляд дозволяє зробити висновок про сідлоподібну будову поверхні (рис. 52). Рис.51 Рис.52 Розглянемо тепер перерізи площинами Замінюючи в рівнянні поверхні на Л, отримуємо рівняння парабол (рис.53). Аналогічна картина виникає при розсіченні заданої поверхніплощинами У цьому випадку також виходять параболи гілки яких спрямовані вниз (а не вгору як для перерізу площинами у = h) (рис. 54). Зауваження. Методом перерізів можна розібратися у будові та всіх раніше розглянутих поверхонь другого порядку. Однак шляхом обертання кривих другого порядку н наступного рівномірного стиску до розуміння їх структури можна прийти простіше і швидше. Поверхні другого порядку, що залишилися, по суті вже розглянуті раніше. Це циліндри: еліптинескій і гіперболічний Рис. 56 і параболічний і конус другого порядку уявлення про яке можна отримати шляхом обертання пари перетинаються прямих навколо осі Oz і подальшого стиснення, або методом перерізів. Звичайно, в обох випадках отримаємо, що поверхня, що досліджується, має вигляд, вказаний на рис. 59. а) обчисліть координати фокусів; , . б) обчисліть ексцентриситет; . в) напишіть рівняння асимптот та директрис; г) напишіть рівняння сполученої гіперболи та обчисліть її ексцентриситет. 2. Складіть канонічне рівнянняпараболи, якщо відстань від фокусу до вершини дорівнює 3. 3. Напишіть рівняння дотичної до еліпса ^ + = 1 вето точки М(4, 3). 4. Визначте вигляд та розташування кривої, заданої рівнянням: Відповіді еліпс, велика вісь паралельна Еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Циліндри та конус другого порядку. осі Ох; б) гіпербола центр О (-1,2), кутовий коефіцієнтвешаної осі Х дорівнює 3; в) парабола У2 = , вершина (3, 2), вектор осі, спрямований у бік увігнутості параболи, дорівнює (-2, -1); г) гіпербола з центром, асимптоти паралельні осям координат; д) пара прямих, що перетинаються е) пара паралельних прямих

Висота параболоїда може бути визначена за формулою

Об'єм параболоїда, що стосується дна, дорівнює половині об'єму циліндра з радіусом основи R і висотою Н, такий же об'єм займає простір W' під параболоїдом (рис.4.5а)

Рис.4.5. Співвідношення обсягів у параболоїді, що стосується дна.

Wп-об'єм параболоїда, W' - об'єм під параболоїдом, Hп - висота параболоїда

Рис.4.6. Співвідношення об'ємів у параболоїді, що стосується країв циліндра Hп - висота параболоїда., R - радіус судини, Wж-об'єм під висотою рідини в посудині до початку обертання, z 0 - положення вершини параболоїда, Н - висота рідини в посудині до початку обертання.

На рис.4.6а рівень рідини в циліндрі до початку обертання Н. Об'єм рідини Wж до і після обертання зберігається і дорівнює суміоб'єму Wц циліндра з висотою z 0 плюс об'єм рідини під параболоїдом, який дорівнює об'єму параболоїдаWп з висотою Нп

Якщо параболоїд стосується верхнього краюциліндра, висота рідини в циліндрі до початку обертання Н ділить висоту параболоїда Нп на дві рівні частини, нижня точка (вершина) параболоїда розташована по відношенню до основи (рис.4.6в)

Крім того, висота Н ділить параболоїд на дві частини (рис.4.6в), обсяги яких дорівнюють W 2 = W 1 . З рівності обсягів параболічного кільця W 2 і параболічної чашки W 1 , рис.4.6в

При перетині поверхнею параболоїда днища судини (рис.4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W кільця

Рис.4.7 Об'єми та висоти при перетині поверхнею параболоїда днища циліндра

Висоти на рис.4.6

обсяги на рис.4.6.

Розташування вільної поверхні в посудині

Рис.4.8. Три випадки відносного спокою при обертанні

1. Якщо посудина відкрита, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоїда при обертанні опускається нижче початкового рівня-Н, а краї піднімаються над початковим рівнем, положення вершини

2. Якщо посудина заповнена повністю, прикрита кришкою, не має вільної поверхні, знаходиться під надлишковим тиском Ро>Ратм, до обертання поверхня (П.П.), на якій Ро=Ратм перебуватиме над рівнем кришки на висоті h 0і =М/ ρg, H 1 =Н+ М/ρg.

3. Якщо посудина заповнена повністю, знаходиться під вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Обертання з великою кутовою швидкістю (рис.4.9)

При обертанні судини з рідиною з великою кутовою швидкістю силою тяжіння можна знехтувати порівняно з відцентровими силами. Закон зміни тиску в рідині можна отримати з формули

(4.22),

Поверхні рівня утворюють циліндри із загальною віссю, навколо якої обертається судина. Якщо посудина перед початком обертання не повністю заповнена, тиск Р 0 діятиме за радіусом r = r 0 замість виразу (4.22) будемо мати

в якому приймаємо g(z 0 - z) = 0,

Рис. 4.9 Розташування поверхонь обертання за відсутності сили тяжіння.

Радіус внутрішньої поверхні при відомих H і h

З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих додатків, але, незважаючи на зручність використання, ці програми погано вирішують важливе практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагу приділено техніці ручної побудови, і значна частина ілюстрацій сторінки є handmade-продуктом.

Чим відрізняється цей довідковий матеріал від аналогів?

Маючи пристойний практичний досвід, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних завданнях вищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші терміни поповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.

Що потрібно вміти зараз?

Найпростіше:

По-перше, необхідно вміти правильно будуватипросторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій) .

Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?

Пляшку Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.

Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.

Починаємо!

На практиці просторова поверхня зазвичай задається функцією двох зміннихабо рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більше притаманно математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданоюфункцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад з:

–рівняння площинивиду.

- функція площини в явному вигляді .

Давайте з неї і почнемо:

Поширені рівняння площин

Типові варіанти розташування площин у прямокутній системі координат детально розглянуті на початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають велике значення для практики.

Перш за все, ви повинні на повному автоматі пізнавати рівняння площин, які є паралельними координатним площинам . Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії:


Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.

– (лівий креслення)нерівність задає далекий від нас напівпростір, виключаючи саму площину;

– (Середній креслення)нерівність задає праве напівпростір, включаючи площину;

– (Правий креслення)подвійна нерівність задає «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.

Для самостійної розминки:

Приклад 1

Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.

З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед. Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.

Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕнавчальними завданнями, навіть якщо вони здаються надто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили биту годину, вимучуючи тривимірне креслення в якомусь реальному прикладі. Крім того, механічна робота допоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково у дитячому садку та початковій школі дітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторику пальців. Вибачте за відступ, не пропадати ж моїм двома зошитами за віковою психологією =)

Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:

2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;

3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.

Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:

Приклад 2

Побудувати площину

Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:

Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «Ігрек» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, тому для її побудови достатньо знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.

Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-якізначення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лінії та поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм:

Так як умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших або більших розмірів.

Ще раз повторимо зміст просторової лінійної нерівності на прикладі. Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належитьплощині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:

Отримано правильна нерівність, Отже, нерівність задає нижній (щодо площині) напівпростір, при цьому сама площина не входить у рішення.

Приклад 3

Побудувати площини
а);
б).

Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.

Насправді особливо поширені площини, паралельні осі . Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо загальне завдання:

Приклад 4

Побудувати площину

Рішення: в рівняння в явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.

Перепишемо рівняння площини у вигляді з якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоску» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.

Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину . Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини:

Готово.

Рівняння площини у відрізках

Найважливіший прикладний різновид. Якщо всікоефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді , який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:

Приклад 5

Побудувати площину

Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12:

Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:

Ця поверхня називається еліптичним циліндром. Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючоюциліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючимициліндра (які у буквальному значенні слова його і утворюють). Вісь є віссю симетріїповерхні (але не її частиною!).

Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння .

Просторовенерівність задає «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівність визначає безліч точок поза циліндром.

У практичних завданнях найбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючоюциліндра є коло:

Приклад 8

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, як правило, «обрізанням».

Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола ( напрямніциліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими ( утворюючимициліндра):

Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих ​​нам ліній.

Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння . Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівність , а нерівність задає безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміння рекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.

Приклад 9

Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину

Перепишемо рівняння у вигляді з якого випливає, що «ікс» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло- З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає всізначення, то побудоване коло породжує круговий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло ( спрямовуючуциліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими ( утворюючимициліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил:

Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.

Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.

Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку. Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Ця проекція – це точно область визначенняфункцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").

Давайте, до речі, прояснимо ситуацію і з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.

А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу. , з якої ми починали побудову.

Приклад 10

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини

Це завдання самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі наприкінці уроку.

Еліптичні та інші циліндричні поверхні можуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:

(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку) - Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.

Параболічні циліндри

Як випливає з назви, спрямовуючоютакого циліндра є парабола.

Приклад 11

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.

Не міг утриматись від цього прикладу =)

Рішення: йдемо второваною стежкою. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» може набувати будь-яких значень. Зафіксуємо і збудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає всізначення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (у площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими ( утворюючими циліндра):

Нагадую корисний технічний прийом: якщо спочатку немає впевненості як креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від наших очей, і тільки потім надаємо грифелю.

Проекції.

1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних- З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду .

2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь

3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.

Приклад 12

Побудувати параболічні циліндри:

а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;

б) на проміжку

У разі труднощів не поспішаємо та міркуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо, технологія досконально відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину. Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення;-)

Гіперболічні циліндри

Напрямнимитаких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежуся єдиним схематичним кресленням гіперболічного циліндра:

Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіперболаз площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.

Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхням 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:

Еліпсоїд. Сфера та куля

Канонічне рівняння еліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд , де - позитивні числа ( півосіеліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоїдом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю і координати будь-якої внутрішньої точки (а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин:

Походження терміна «еліпсоїд» теж очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (загалом)

Він являє собою порожнє ізометричне тіло, перерізами якого є еліпси та параболи. Еліптичний параболоїд задається виду:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Усі головні перерізи параболоїда є параболами. При перерізі площини XOZ та YOZ виходять лише параболи. Якщо провести перпендикулярний переріз щодо площини Xoy, можна отримати еліпс. Причому перерізи, що є параболами, задаються рівняннями виду:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Перерізи еліпса задаються іншими рівняннями:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Еліптичний параболоїд при a=b перетворюється на параболоїд обертання. Побудова параболоїда має низку деяких особливостей, які потрібно враховувати. Операцію почніть із підготовки - креслення графіка функції.

Щоб почати будувати параболоїд, потрібно спочатку побудувати параболу. Накресліть параболу в площині Oxz, як показано на малюнку. Задайте майбутньому параболоїду певну висоту. Для цього проведіть пряму таким чином, щоб вона торкалася верхніх точок параболи і була паралельна осі Ox. Потім накресліть параболу у площині Yoz та проведіть пряму. Ви отримаєте дві параболоїдні площини, перпендикулярні одна одній. Після цього в площині Xoy побудуйте паралелограм, який допоможе накреслити еліпс. У цей паралелограм впишіть еліпс таким чином, щоб він торкався всіх сторін. Після цих перетворень зітріть паралелограм і залишиться об'ємне зображення параболоїда.

Існує також гіперболічний параболоїд, який має увігнутішу форму, ніж еліптичний. Його перерізи також мають вид параболи, а в деяких випадках - . Головні перерізи Oxz і Oyz, як і у еліптичного параболоїда, являють собою параболи. Вони задаються рівняннями виду:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Якщо провести переріз щодо осі Oxy, можна отримати гіперболу. При побудові гіперболічного параболоїда керуйтеся наступним рівнянням:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - гіперболічного параболоїда

Спочатку збудуйте нерухому параболу в площині Oxz. У площині Oyz накресліть рухому параболу. Після цього встановіть висоту параболоїда h. Для цього позначте на нерухомій дві точки, які будуть вершинами ще двох рухомих . Потім зобразіть ще одну систему координат O"x"y", щоб нанести гіперболи. Центр цієї системи координат повинен збігатися з висотою параболоїда. Після всіх побудов зобразіть ті дві рухомі параболи, про які згадувалося вище, так щоб вони стосувалися крайніх точок гіпербол. результаті вийде гіперболічний параболоїд.

У процесі вивчення математики багато школярів і студентів стикаються з побудовою різних графіків, зокрема, парабол. Параболи є одними з найпоширеніших графіків, що використовуються на багатьох контрольних, перевірочних та тестових роботах. Тому знання найпростіших інструкцій щодо їх побудови надасть вам значну допомогу.

Вам знадобиться

• - лінійка і олівець;
• - Калькулятор.

Інструкція

Для початку накресліть на аркуші координатні осі: вісь абсцис і вісь ординат. Підпишіть їх. Після цього, попрацюйте над цією квадратичною функцією. Вона має бути такого виду: y=ax^2+bx+c. Найпопулярнішою функцією є y=x^2, тому її можна навести як приклад.

Після побудови осей, знайдіть координати вершини вашої параболи. Щоб знайти координату по осі X, підставте відомі дані в цю формулу: x=-b/2a, по осі Y - підставте отримане функцію. Що стосується функцією y=x^2, координати вершини збігаються з координат, тобто. у точці (0;0), оскільки значення змінної b дорівнює 0, отже і x=0. Підставивши значення x функцію y=x^2, неважко знайти її значення - y=0.

Після знаходження вершини, визначтеся з напрямком гілок параболи. Якщо коефіцієнт a із запису функції виду y=ax^2+bx+c позитивний, то спрямовані вгору, якщо негативний - вниз. Графік функції y=x^2 спрямований нагору, оскільки коефіцієнт a дорівнює одиниці.

Наступним кроком буде обчислення координат точок параболи. Щоб їх знайти, підставте значення аргументу -чи число і обчисліть значення функції. Для побудови графіка вистачить 2-3 пікселів. Для більшої зручності та наочності, накресліть таблицю зі значеннями функції та аргументу. Також не забувайте, що парабола має симетричність, отже це полегшує створення графіка. Часто використовувані точки параболи y=x^2 - (1;1), (-1;1) і (2;4), (-2;4).

Після нанесення точок на координатну площину з'єднайте їх плавною лінією, надаючи їй округлі . Не закінчуйте графік у верхніх точках, а продовжіть його, оскільки парабола нескінченна. Не забудьте підписати графік на , а також напишіть необхідні координати на осях, інакше це можуть за помилку і зняти певну кількість балів.

Джерела:

• як намалювати параболу

Парабола є графікомквадратичної функції виду y = A · x² + B · x + C. Перед побудовою графіка потрібно провести аналітичне дослідження функції. Зазвичай параболу малюють в прямокутній декартовій системі координат, яка представлена ​​двома перпендикулярними осями Ox і Oy.

Інструкція

Першим пунктом запишіть область визначення функції D(y). Парабола визначена на всій числовій прямій, якщо не встановлено жодних додаткових умов. Зазвичай це зазначається записом D(y)= R, де R- безліч всіх