Що прямокутна система координат площини. Декартова система координат: основні поняття та приклади

Якщо через точку Про в просторі ми проведемо три перпендикулярні пря-мі, назвемо їх, виберемо направлі ня, по-зна-чим поодинокі від-різ-ки, то ми по-лучимо пря-мо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат у просторі. Осі ко-ор-ді-нат на-зи-ва-ють-ся так: Ох - вісь абс-цис, Оy - вісь ор-ді-нат і Оz - вісь ап-плі-кат. Вся си-сте-ма ко-ор-ді-нат про-зна-ча-є-ся - Oxyz. Таким чином, по-яв-ля-ють-ся три ко-ор-ді-нат-ні плос-ко-сті: Оxy, Оxz, Оyz.

При-ведемо приклад побудови точки В (4; 3; 5) в прямокутній системі коор-динат (див. Рис. 1 ).

Рис. 1. Побудова точки B в просторі

Перша ко-ор-ді-на-та точки B - 4, по-це-му від-кла-ди-ва-єм на Ox 4, про-во-дим пря-му па-рал-лель-но осі Oy до пе-ре-се-че-ня з пря-мою, про-хо-дя-щої через у=3. Таким об-разом, ми по-лу-ча-ємо точку K. Ця точка лежить в плос-ко-сті Oxy і має ко-ор-ді-на-ти K(4; 3; 0). Тепер потрібно провести пряму паралельно осі Oz. І пряму, ко-то-рая про-хо-дить через точку з ап-плі-ка-тою 5 і парал-лель-на діа-го-на-лі парал-ле-ло-грам -ма в плоскості Oxy. На їх пе-ре-се-че-ні ми по-лучимо іс-ко-му точку B.

Рас-смот-рим роз-по-ло-же-ня точок, у ко-то-рих одна або дві ко-ор-ді-на-ти рівні 0 (див. мал. 2).

Наприклад, точка A(3;-1;0). Потрібно про-дов-жити вісь Oy вліво до зна-чення-1, знайти точку 3 на осі Ox, і на пе-ре-се-че-ні ліній, що проходять через ці зна-че -ня, по-лу-ча-єму точку А. Ця точка має ап-плі-ка-ту 0, а значить, вона лежить в плоскості Oxy.

Точка C(0;2;0) має абс-цис-су і ап-плі-ка-ту 0 - не від-ме-ча-ю. Ор-ді-на-та дорівнює 2, зна-чит точка C лежить тільки на осі Oy, ко-то-рая яв-ля-ет-ся пе-ре-се-че-ні-єм плос-ко- стей Oxy та Oyz.

Щоб от-ло-жити точку D(-4;0;3) про-дов-жа-ем вісь Ox тому за на-ча-ло ко-ор-ди-нат до точки -4. Тепер вос-ста-нав-ли-ва-ємо з цієї точки пер-пен-ді-ку-ляр - пряму, паралельну осі Oz до пе-ре-се-че-ня з прямий, паралельної осі Ox і проходить через зна-чення 3 на осі Oz. По-лу-ча-ю струму D(-4;0;3). Так як ор-ді-на-та точки дорівнює 0, зна-чит точка D лежить у плос-ко-сті Oxz.

Слі-ду-ю-ю точка E (0; 5; -3). Ор-ді-на-та точки 5, ап-плі-ка-та-3, про-во-дим пря-мі про-хо-дя-щі через ці зна-чення на со-від-віт-ству -ю-щих осях, і з їхньої пе-ре-се-че-нии по-лу-ча-ему точку E(0;5;-3). Ця точка має першу ко-ор-ді-на-ту 0, зна-чит вона лежить у плос-ко-сті Oyz.

2. Координати вектора

На-чер-тим прямо-вуголь-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат в просторі Oxyz. За-да-дим у просторі-прямо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат Oxyz. На кожній з по-ло-жи-тель-них по-лу-осей від-ло-жим від на-ча-ла ко-ор-ди-нат одиничний вік-тор, тобто. вік-тор, довжина ко-то-ро-го дорівнює одиниці. Озна-чим одиничний вік-тор осі абс-цис, одиничний вік-тор осі ор-ди-нат, і одиничний вік-тор осі ап-плі-кат (см .рис.1). Ці вік-то-ри со-на-прав-ле-ни з на-прав-ле-ні-я-ми осей, мають оди-ну довжину і ор-то-го-наль-ни - по-пар -але пер-пен-ді-ку-ляр-ни. Такі вік-то-ра на-зи-ва-ють ко-ор-ді-нат-ни-ми вік-то-ра-миабо ба-зі-сом.

Рис. 1. Раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік-то-рам

Візь-мемо век-тор, по-мі-стимо його на почат-ко-ор-ди-нат, і роз-кладемо цей век-тор по трьом неком-пла-нар-ним - ле-жа -Щим у різних площинах - вік-то-рам. Для цього опустимо про-ек-цію точки M на плоскість Oxy, і знайдемо ко-ор-ді-на-ти вік-то-рів, і . По-лу-ча-єм: . Розглянь-рим по від-дель-но-сті кожен з цих вік-то-рів. Век-тор лежить на осі Ox, значить, згід-но влас-ності розумно-же-ня вік-то-ра на число, його можна пред-ставити як якесь число x розумно- жен-ное на ко-ор-ді-нат-ний вік-тор . , А довжина вік-то-ра рівно в x разів більше довжини. Так само по-сту-пим і з вік-то-ра-ми і , і по-про-лу-ча-ем раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік -то-рам:

Ко-еф-фі-ці-ен-ти цього раз-ло-же-ня x, y і z на-зи-ва-ють-ся ко-ор-ді-на-та-ми вік-то-ра в просторі.

Роз-смот-рим прав-ві-ла, ко-то-рие поз-во-ля-ють по ко-ор-ді-на-там даних вік-то-рів знайти ко-ор-ді-на- ти їх суми і різн-ності, а також ко-ор-ді-на-ти про-з-ве-де-ня дан-ного вік-то-ра на дане число.

1) Сло-же-ня:

2) Ви-чи-та-ня:

3) Розумно-же-ня на число: ,

Век-тор, на-ча-ло ко-то-ро-го сов-па-да-є з початком ко-ор-ди-нат, на-зи-ва-є-ся ра-ді-ус-вік-то-ром.(Мал. 2). Век-тор - ра-ді-ус-век-тор, де x, y і z - це ко-еф-фі-ці-ен-ти раз-ло-же-ня цього вік-то-ра по ко-ор -ді-нат-ним вік-то-рам , , . У даному випадку x - це перша ко-ор-ді-на-та точки A на осі Ox, y - ко-ор-ді-на-та точки B на осі Oy, z - ко-ор -ді-на-та точки C на осі Oz. По ри-сун-ку видно, що ко-ор-ді-на-ти ра-ді-ус-вік-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ють-ся ко-ор-ді -на-та-ми точки М.

Візьмемо точку A(x1; y1; z1) і точку B (x2; y2; z2) (див. рис. 3). Пред-став-вим вік-тор як раз-ність вік-то-рів і по-своєму вік-то-рів. Причому, і - ра-ді-ус-вік-то-ри, і їх ко-ор-ді-на-ти сов-па-да-ють з ко-ор-ді-на-та-ми кон- ців цих вік-то-рів. Тоді ми можемо пред-ставити ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра як раз-ність со-від-віт-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат вік-то-рів і : . Таким чином, ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра ми можемо ви-ра-зити через ко-ор-ді-на-ти кінця і на-ча-ла вік-то-ра .

Роз-смот-рим при-ме-ри, іл-лю-стри-ру-ю-щі свої властивості вік-то-рів та їх ви-ра-же-ня через ко-ор-ді-на-ти. Візьмемо вік-то-ри , , . Нас спра-ши-ва-ють век-тор. У даному випадку знайти це означає знайти ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра, ко-то-ри повністю його визна-де-ля-ють. Під-став-ля-ємо у ви-ра-же-ня вме-сто вік-то-рів со-від-вет-ствен-но їх ко-ор-ді-на-ти. По-лу-ча-єм:

Тепер розумно-жа-ємо число 3 на кожну ко-ор-ді-на-ту в скоб-ках, і те ж саме ді-ла-єм з 2:

У нас по-лу-чи-лась сума трьох вік-то-рів, скла-ди-ва-єм їх по вивче-но-му вище за своє-ство:

Відповідь:

Приклад №2.

Дано: Трикутна пі-ра-мі-да AOBC (див. рис. 4). Площини AOB, AOC і OCB - по-пар-но пер-пен-ді-ку-ляр-ни. OA = 3, OB = 7, OC = 4; M – сер.AC; N – сер.OC; P – сірий. CB.

Знайти: ,,,,,,,.

Рішення: Введемо прямокутну си-сте-му ко-ор-ді-нат Oxyz з початком від-рахунку в точці O. За умовою обо- зна-ча-єм точки A, B і C на осях і се-ре-ді-ни ребер пі-ра-мі-ди - M, P і N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор -ді-на-ти вершин пі-ра-мі-ди: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Якщо на площині або в тривимірному просторіввести систему координат, ми отримаємо можливість описувати геометричні фігурита їх властивості за допомогою рівнянь та нерівностей, тобто, ми зможемо використовувати методи алгебри. Тому поняття системи координат дуже важливе.

У цій статті ми покажемо, як задається прямокутна декартова система координат на площині і в тривимірному просторі і з'ясуємо, як визначаються координати точок. Для наочності наведемо графічні ілюстрації.

Навігація на сторінці.

Прямокутна декартова система координат на площині.

Введемо прямокутну систему координат на площині.

Для цього проведемо на площині дві взаємно перпендикулярні прямі, виберемо на кожній з них позитивний напрямок, вказавши його стрілочкою, і виберемо на кожній з них масштаб(одиницю виміру довжини). Позначимо точку перетину цих прямих буквою О і вважатимемо її початком відліку. Так ми отримали прямокутну систему координатна площині.

Кожну з прямих з обраним початком відліку О , напрямом та масштабом називають координатної прямоїабо координатною віссю.

Прямокутну систему координат на площині зазвичай позначають Oxy де Ox і Oy - її координатні осі. Вісь Ox називають віссю абсцис, а вісь Oy - віссю ординат.

Зараз умовимося із зображенням прямокутної системи координат на площині.

Зазвичай одиниця виміру довжини на осях Ox і Oy вибирається однакова і відкладається від початку координат на кожній координатній осі в позитивному напрямку (відзначається штрихом на координатних осях і поруч записується одиниця), вісь абсцис прямує праворуч, а вісь ординат - вгору. Всі інші варіанти напрямку координатних осей зводяться до озвученого (вісь Ox - вправо, вісь Oy - вгору) за допомогою повороту системи координат на деякий кут щодо початку координат і погляду на неї з іншого боку площини (за потреби).

Прямокутну систему координат часто називають декартовою, оскільки її на площині вперше запровадив Рене Декарт. Ще частіше прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат, збираючи все докупи.

Прямокутна система координат у тривимірному просторі.

Аналогічно задається прямокутна система координат Oxyz у тривимірному евклідовому просторі, тільки береться не дві, а три взаємно перпендикулярні прямі. Іншими словами, до координатних осей Оx та Oy додається координатна вісь Oz , яку називають віссю аплікат.

Залежно від напрямку координатних осей розрізняють праву та ліву прямокутні системи координат у тривимірному просторі.

Якщо дивитися з позитивного напрямку осі Oz та найкоротший поворот від позитивного напрямку осі Ox до позитивного напрямку осі Oy відбувається проти ходу годинної стрілки, то система координат називається правою.

Якщо дивитися з позитивного напрямку осі Oz та найкоротший поворот від позитивного напрямку осі Ox до позитивного напрямку осі Oy відбувається по ходу годинної стрілки, то система координат називається лівий.

Координати точки в системі декарт координат на площині.

Спочатку розглянемо координатну пряму Ox та візьмемо деяку точку M на ній.

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка M на цій координатній прямій. Наприклад, точці, розташованої на координатній прямій на відстані від початку відліку в позитивному напрямку, відповідає число , а числу -3 відповідає точка, розташована на відстані 3 від початку відліку в негативному напрямку. Число 0 відповідає початок відліку.

З іншого боку, кожній точці M координатної прямої Ox відповідає дійсне число . Це дійсне число є нуль, якщо точка M збігається з початком відліку (з точкою O). Це дійсне число є позитивним і дорівнює довжині відрізка OM в даному масштабі, якщо точка M віддалена від початку відліку в позитивному напрямку. Це дійсне число є негативним і дорівнює довжині відрізка OM зі знаком мінус, якщо точка M віддалена від початку відліку в негативному напрямку.

Число називається координатоюточки M на координатній прямій.

Тепер розглянемо площину із введеною прямокутною декартовою системою координат. Зазначимо у цій площині довільну точку М .

Нехай - проекція точки M на пряму Ox, а - проекції точки M на координатну пряму Oy (за потреби дивіться статтю). Тобто якщо через точку M провести прямі, перпендикулярні координатним осям Ox і Oy , то точками перетину цих прямих з прямими Ox і Oy є відповідно точки і .

Нехай точці на координатній осі Ox відповідає число, а точці на осі Oy - число.

Кожній точці М площини в заданій прямокутній декартовій системі координат відповідає єдина впорядкована пара дійсних чисел координатами точки Mна площині. Координату називають абсцисою точки М, а - ординатою точки М.

Правильно і зворотне затвердження: кожній упорядкованій парі дійсних чисел відповідає точка М площині заданій системікоординат.

Координати точки у прямокутній системі координат у тривимірному просторі.

Покажемо, як визначаються координати точки М у прямокутній системі координат, заданій у тривимірному просторі.

Нехай і проекції точки M на координатні осі Ox , Oy і Oz відповідно. Нехай цим точкам на координатних осях Ox, Oy та Oz відповідають дійсні числата .

Прямокутна системакоординат на площині задається двома взаємно перпендикулярними прямими. Прямі називають осями координат (або координатними осями). Точку перетину цих прямих називають початком відліку та позначають буквою O.

Зазвичай одна з прямих горизонтальна, інша вертикальна. Горизонтальну пряму позначають як вісь x (або Ox) і називають віссю абсцис, вертикальну вісь y (Oy), називають віссю ординат. Всю систему координат позначають xOy.

Точка O розбиває кожну осі на дві півосі, одну з яких вважають позитивною (її позначають стрілкою), іншу — негативною.

Кожній точці F площині ставиться у відповідність пари чисел (x; y) - її координати.

Координата x називається абсцисою. Вона дорівнює Ox, взятому з відповідним знаком.

Координата y називається ординатою і дорівнює відстані від точки F до осі Oy (з відповідним знаком).

Відстань до осей зазвичай (але не завжди) вимірюють однією і тією самою одиницею довжини.

Крапки, розташовані праворуч від осі y, мають позитивні абсциси. У точок, які лежать ліворуч від осіординат, абсциси негативні. Для будь-якої точки, що лежить на осі Oy, її координата дорівнює нулю.

Крапки з позитивною ординатою лежать вище за осі x, з негативною — нижче. Якщо точка лежить на осі Ox, то її координата y дорівнює нулю.

Координатні осі розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями (або координатними кутами чи квадрантами).

1 координатна чвертьрозташована у правому верхньому кутку координатної площини xOy. Обидві координати точок, розташованих у першій чверті, позитивні.

Перехід від однієї чверті в іншу ведеться проти годинникової стрілки.

2 координатна чвертьзнаходиться у лівому верхньому кутку. Крапки, що лежать у II чверті, мають негативну абсцису та позитивну ординату.

3 координатна чвертьлежить у лівому нижньому квадранті площини xOy. Обидві координати точок, що належать III координатному кутку, Негативні.

4 координатна чверть- Це правий нижній кут координатної площини. Будь-яка точка з IV чверті має позитивну першу координату та негативну другу.

Приклад розташування точок у прямокутній системі координат: