Що називають координатами точки координатної площині. Відеоурок «Координатна площина

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

У промові дорослих ви могли чути таку фразу: «Залишіть мені ваші координати». Цей вислів означає, що співрозмовник повинен залишити свою адресу або номер телефону, за яким його можна знайти. Ті з вас, хто грав у морський бій, користувалися при цьому відповідною системою координат. Аналогічна система координат використовується у шахах. Місця в залі для глядачів кінотеатру задають двома числами: першим числом позначають номер ряду, а другим — номер крісла в цьому ряду. Ідея задавати положення точки на площині за допомогою чисел зародилася ще в давнину. Система координат пронизує все практичне життя людини та має величезне практичне застосування. Тому ми вирішили створити цей проект, щоб розширити свої знання на тему « Координатна площина»

Завдання проекту:

ознайомитись з історією виникнення прямокутною системою координат на площині;

видатними діячами, які займаються цією темою;

знайти цікаві історичні факти;

добре сприймати на слух координати; чітко та акуратно виконувати побудови;

підготувати презентацію.

ГлаваI. Координатна площина

Ідея задавати положення точки на площині за допомогою чисел зародилася ще в давнину - насамперед у астрономів та географів при складанні зоряних та географічних карт, календарів.

§1. Зародження координат. Система координат у географії

За 200 років до нашої ери грецький вчений Гіппарх запровадив географічні координати. Він запропонував намалювати на географічної картипаралелі та меридіани і позначити числами широту та довготу. За допомогою цих двох чисел можна точно визначити положення острова, селища, гори або колодязя в пустелі і нанести їх на карту або глобус. відкритому світішироту та довготу місцезнаходження корабля, моряки отримали можливість вибирати потрібний їм напрямок.

Східну довготу та північну широту позначають числами зі знаком «плюс», а західну довготу та південну широту — зі знаком «мінус». Таким чином, пара чисел зі знаками однозначно визначає точку на земній кулі.

Географічна широта? - Кут між прямовисною лінієюу цій точці і площиною екватора, що відраховується від 0 до 90 в обидві сторони від екватора. Географічна довгота? - Кут між площиною меридіана, що проходить через дану точку, та площиною початку меридіана (див. Грінвіцький меридіан). Довготи від 0 до 180 на схід від початку меридіана називають східними, на захід - західними.

Щоб знайти деякий об'єкт у місті, у більшості випадків достатньо знати його адресу. Труднощі виникають, якщо потрібно пояснити, де знаходиться, наприклад, Дачна ділянка, місце у лісі. Універсальним засобомвказівки розташування служать географічні координати.

При попаданні в аварійну ситуацію, людина насамперед має вміти орієнтуватися біля. Іноді необхідно визначити географічні координати свого місця розташування, наприклад, щоб передати рятувальній службі або для інших цілей.

У сучасній навігації стандартно використовується всесвітня системакоординат WGS-84. У цій системі координат працюють усі GPS навігатори та основні картографічні проекти в Інтернеті. Координати в системі WGS-84 настільки ж загальновживані та зрозумілі всім, як всесвітній час. Загальнодоступна точність при роботі з географічними координатамистановить 5 - 10 метрів біля.

Географічні координати є числа зі знаком (широта від -90° до +90°, довгота від -180° до +180°) і можуть записуватися в різних формах: у градусах (ddd.ddddd°); градусах і хвилинах (ddd° mm.mmm"); градусах, хвилинах і секундах (ddd° mm" ss.s"). Форми запису можуть бути елементарно перераховані одна в одну (1 градус = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд) .Для позначення знака координат часто використовуються літери, за назвою сторін світла: N і E - Північна широтаі східна довгота - позитивні числа, S і W - південна широтаі західна довгота – негативні числа.

Форма запису координат у ГРАДУСАХ найбільш зручна для ручного введення та збігається з математичним записомчисла. Форма запису координат у ГРАДУСАХ І ХВИЛИНАХ є переважною у багатьох випадках, такий формат встановлений за замовчуванням у більшості GPS навігаторіві стандартно використовується в авіації та на морі. Класична формазаписи координат у ГРАДУСАХ, ХВИЛИНАХ І СЕКУНДАХ насправді не знаходить великого практичного застосування.

§2. Система координат астрономії. Міфи про сузір'я

Як було сказано вище, ідея задавати положення точки на площині за допомогою чисел зародилася в давнину у астрономів при складанні зіркових карт. Людям треба було рахувати час, передбачати сезонні явища(Припливи, відливи, сезонні дощі, затоплення), потрібно було орієнтуватися біля під час подорожей.

Астрономія - це наука про зірки, планети, небесних тілах, їх будову та розвиток.

Пройшли тисячі років, наука зробила крок далеко вперед, а людина, як і раніше, не може відірвати захопленого погляду від краси нічного неба.

Сузір'я - ділянки зоряного неба, характерні фігури, утворені яскравими зірками Все небо поділено на 88 сузір'їв, що полегшують орієнтування серед зірок. Більшість назв сузір'їв прийшло з давніх-давен.

Найвідоміше сузір'я – Велика Ведмедиця. У Стародавньому Єгиптійого називали "Гіпопотам", а казахи називали "Кінь на прив'язі", хоча зовні сузір'я не нагадує жодної, ні іншої тварини. Яке воно?

У стародавніх греків існувала легенда про сузір'ї Великої та Малої Ведмедиць. Всемогутній бог Зевс вирішив взяти собі за дружину прекрасну німфу Калісто, одну зі служниць богині Афродіти, всупереч бажанню останньої. Щоб позбавити Калісто переслідувань богині, Зевс звернув Калісто в Велику ведмедицю, її улюблений собака - Малої Ведмедиці і взяв їх на небо. Перенести сузір'я Великої та Малої Ведмедиць із зоряного неба на координатну площину. . Кожна зі зірок великої ведмедиці” має свою назву.

ВЕДМЕДИЦЮ ВЕЛИКУ

Дізнаюся по КОВШУ я!

Сім зірок сяють тут,

А ось як їх звуть:

ДУБХЕ висвітлює морок,

Поруч із ним горить МЕРАК,

Збоку ФЕКДА з МЕГРЕЦЕМ,

Розудалим молодцем.

Від МЕГРЕЦЯ на відліт

Розташований АЛІОТ,

А за ним – МІЦАР з АЛЬКОРОМ

(Ці двоє світять хором).

Замикає ковшик наш

Незрівнянний БЕНЕТНАШ.

Він показує оку

Шлях у сузір'ї ВОЛОПАСА,

Де АРКТУР прекрасний світить,

Усяк тепер його помітить!

Не менш красива легенда про сузір'я «Цефея», «Кассіопеї» та «Андромеди».

Колись Ефіопією правив цар Цефей. Якось його дружина, цариця Кассіопея, мала необережність похвалитися своєю красою перед мешканками моря - нереїдами. Останні, образившись, поскаржилися богу моря Посейдону, і розгніваний зухвалістю Кассіопеї володар морів напустив на береги Ефіопії морське чудовисько - Кита. Щоб позбавити своє царство від руйнувань, Цефей, за порадою оракула, вирішив принести жертву чудовисько і віддати йому на поживу свою улюблену дочку Андромеду. Він прикував Андромеду до прибережної скелі і залишив її в очікуванні на вирішення своєї долі.

А в цей час на іншому краю світу міфічний герой Персей здійснив сміливий подвиг. Він проник на відокремлений острів, де жили горгони - дивовижні чудовиська в образі жінок, у яких на головах замість волосся кишили змії. Погляд горгон був такий жахливий, що кожен на кого вони дивилися, миттєво перетворювався на камінь.

Скориставшись сном цих чудовиськ, Персей відтяв голову однієї з них - Горгоні Медузі. У цей момент із відрубаного тіла Медузи випурхнув кінь Пегас. Персей схопив голову медузи, скочив на Пегаса і по повітрі помчав до себе на батьківщину. Коли він пролітав над Ефіопією, то побачив прикуту до скелі Андромеду. У цей момент Кіт вже виринув із морських безодень, готуючись проковтнути свою жертву. Але Персей, кинувшись у смертельний бій із Кітом, переміг чудовисько. Він показав Кіту голову медузи, що ще не втратила силу, і чудовисько скам'яніла, перетворившись на острів. Що ж до Персея, то, розкувавши Андромеду, він повернув її батькові, а зворушений від щастя Цефей віддав Андромеду за дружину Персею. Так успішно закінчилася ця історія, головні герої якої були вміщені давніми греками на небо.

на зірковій картіможна знайти не тільки Андромеду з її батьком, матір'ю та чоловіком, а й чарівного коня пегаса та винуватця всіх бід - чудовиська Кіта.

Сузір'я Кита розташоване нижче Пегаса та Андромеди. На жаль, воно не відзначено якими характерними яскравими зіркамиі тому належить до другорядних сузір'їв.

§3. Використання ідеї прямокутних координат у живописі.

Сліди застосування ідеї прямокутних координат у вигляді квадратної сітки (палетки) зображені на стіні однієї з похоронних камер Стародавнього Єгипту. У похоронній камері піраміди батька Рамсеса на стіні є мережа квадратиків. З їх допомогою перенесено зображення у збільшеному вигляді. Прямокутною сіткою користувалися художники Відродження.

Слово «перспектива» у перекладі з латинської означає «ясно бачу». У образотворчому мистецтвілінійна перспектива — це зображення предметів на площині відповідно до змін їх величини. Основу сучасної теоріїперспективи заклали великі художники епохи Відродження - Леонардо да Вінчі, Альбрехт Дюрер та інші. На одній із гравюр Дюрера (рис. 3) зображений спосіб малювання з натури через скло з квадратною сіткою, що нанесена на нього. Цей процес можна описати так: якщо стати перед вікном і, не змінюючи точки зору, обвести на склі все, що видно за ним, то отриманий малюнок і буде перспективним зображенням простору.

Єгипетські методи проектування, які, схоже, ґрунтувалися на схемах квадратної сітки. У єгипетському мистецтві є численні приклади, що показують, що художники і скульптори спочатку малювали сітку на стіні, яку треба було розписати чи вирізати, щоб зберегти встановлені пропорції. Прості числові відносини цих сіток є серцевиною всіх великих. художніх творівєгиптян.

Той самий метод використовувався багатьма художниками Відродження, зокрема і Леонардо да Вінчі. У Стародавньому Єгипті це знайшло своє втілення у Великій піраміді, що й підкріплюється її тісним зв'язкомз візерунком на Марлборо Даун.

Приступаючи до роботи, єгипетський художник розкреслював стіну сіткою прямих ліній, а потім ретельно переносив на неї фігури. Але геометрична впорядкованість не заважала йому відтворювати вдачу з детальною точністю. Зовнішність кожної риби, кожного птаха передана з такою правдивістю, що сучасні зоологи легко визначають їх види. На рис.4 дано деталь композиції з ілюстрації-дерево з птахами, схопленими мережею Хнумхотепа. Рух руки художника прямував як запасами його навичок, а й оком, чутливим до обрисів натури.

Рис.4 Птахи на акації

Розділ II. Метод координат у математиці

§1. Застосування координат у математиці. Заслуги

французького математика Рене Декарта

Довгий часлише географія "землеопис" - користувалася цим чудовим винаходом, і лише у 14 столітті французький математик Нікола Орем (1323-1382) спробував додати його до "землевимірювання" - геометрії. Він запропонував покрити площину прямокутною сіткою і називати широтою та довготою те, що ми тепер називаємо абсцисою та ординатою.

На основі цього вдалого нововведення виник метод координат, що зв'язав геометрію з алгеброю. Основна заслуга у створенні цього методу належить великому французькому математику Рене Декарту (1596 – 1650). На його честь така система координат називається декартовою, що позначає місце будь-якої точки площини відстанями від цієї точки до "нульової широти" - осі абсцис "і "нульового меридіана" - осі ординат.

Однак цей геніальний французький вчений і мислитель XVII століття (1596 – 1650) далеко не відразу знайшов своє місце у житті. Народившись у дворянській родині, Декарт отримав хороша освіта. 1606 року батько відправив його в єзуїтську колегію Ла Флеш. Враховуючи не дуже міцне здоров'я Декарта, йому робили деякі послаблення у суворому режимі цього навчального закладу, наприклад, дозволяли вставати пізніше за інших. Придбавши в колегії чимало знань, Декарт в той же час перейнявся антипатією до схоластичної філософії, яку він зберіг на все своє життя.

Після закінчення колегії Декарт продовжив освіту. У 1616 році в університеті Пуатьє він отримав ступінь бакалавра права. У 1617 році Декарт вступає на службу в армію і багато подорожує Європою.

1619 рік науковому відношеннівиявився ключовим для Декарта.

Саме в цей час, як він сам писав у щоденнику, йому відкрилися підстави нової найдивовижнішої науки». Швидше за все, Декарт мав на увазі відкриття універсального наукового методу, який він згодом плідно застосовував у різних дисциплінах.

У 1620-ті роки Декарт знайомиться з математиком М. Мерсенном, яким він довгі роки«тримав зв'язок» з усім європейським науковим співтовариством.

У 1628 році Декарт більш ніж на 15 років обгрунтовується в Нідерландах, але не поселяється в якомусь одному місці, а близько двох десятків разів змінює місце проживання.

У 1633 році, дізнавшись про засудження церквою Галілея, Декарт відмовляється від публікації натурфілософської роботи «Мир», в якій викладалися ідеї природного виникненнявсесвіту по механічним законамматерії.

У 1637 на французькою мовоювиходить робота Декарта «Міркування про метод», з якою, як багато хто вважає, і почалася новоєвропейська філософія.

Великий вплив на європейську думку зробила і остання філософська роботаДекарта «Пристрасті душі», опублікована 1649 р. У тому року на запрошення шведської королевиХристини Декарт вирушив до Швеції. Суворий клімат і незвичний режим (королева змушувала Декарта вставати о 5-й ранку, щоб давати їй уроки і виконувати інші доручення) підірвали здоров'я Декарта, і, підхопивши застуду, він

помер від пневмонії

За традицією, запровадженою Декартом, "широта" точки позначаються буквою x, "довгота" - буквою y

На цій системі засновано багато способів вказівки місця.

Наприклад, на квитку в кінотеатр стоять два числа: ряд і місце їх можна розглядати як координати місця в залі.

Подібні координати прийняті у шахах. Замість одного з чисел береться буква: вертикальні ряди клітин позначаються буквами латинського алфавіту, а горизонтальні - цифрами. Таким чином, кожній клітині шахівниціставиться у відповідність пари з літери та числа, і шахісти отримують можливість записувати свої партії. Про застосування координат пише у своєму вірші "Син артилериста" Костянтин Симонов.

Усю ніч, крокуючи, як маятник,

Око майор не стуляв,

Поки що радіо вранці

Долинув перший сигнал:

"Все в порядку, дістався,

Німці лівіше за мене,

Координати (3; 10),

Скоріше давайте вогню!

Знаряддя зарядили,

Майор розрахував усе сам.

І з ревом перші залпи

Вдарили по горах.

І знову сигнал по радіо:

"Німці правіше за мене,

Координати (5; 10),

Скоріше ще вогню!

Летіли земля та скелі,

Стовпом здіймався дим.

Здавалося, тепер звідти

Ніхто не піде живим.

Третій сигнал по радіо:

"Німці навколо мене,

Координати (4; 10),

Не шкодуйте вогню.

Майор зблід, почувши:

(4;10) - саме

Те місце, де його Льонька

Мушу сидіти зараз.

Костянтин Симонов "Син артилериста"

§2. Легенди про винахід системи координат

Існує кілька легенд про винахід системи координат, що зветься Декарта.

Легенда 1

До нашого часу дійшла така історія.

Відвідуючи паризькі театри, Декарт не втомлювався дивуватися плутанині, лайкам, а часом і викликам на дуель, що викликаються відсутністю елементарного порядку розподілу публіки в залі для глядачів. Запропонована ним система нумерації, у якій кожне місце отримувало номер ряду та порядковий номервід краю, відразу зняла всі приводи для чвар і справила справжній фурор у паризькому вищому суспільстві.

Легенда2. Якось РенеДекарт весь день пролежав у ліжку, думаючи про щось, а муха дзижчала навколо і не давала йому зосередитися. Він почав міркувати, як би описати становище мухи в будь-який момент часу математично, щоб мати можливість прихлопнути її без промаху. І...придумав, декартові координати, одне з найбільших винаходівісторія людства.

Марківцев Ю.

Якось у незнайоме місто

Приїхав молодий Декарт.

Його страшенно мучив голод.

Стояв вогкий місяць березень.

Вирішив до перехожої звернутися

Декарт, намагаючись, тремтіння вгамувати:

Де тут готель, скажіть?

І жінка стала пояснювати:

- Ідіть до молочної крамниці,

Потім до булочної, за нею

Циганка продає шпильки

І отрута для щурів і для мишей,

Знайдете у них напевно

Сири, бісквіти, фрукти

І різнокольорові шовки.

Усі пояснення ці слухав

Декарт, від холоду тремтячи.

Йому хотілося дуже їсти,

- За магазинами – аптека

(аптекар там - вусатий швед),

І церква, де на початку століття

Вінчався, здається, мій дід.

Коли на мить замовкла дама,

Раптом промовив її слуга:

- Ідіть три квартали прямо

І два праворуч. Вхід із кута.

Це третя небилиця про випадок, який підказав Декарту ідею координат.

Висновок

Створюючи свій проект ми дізналися про застосування координатної площини в різних областяхнауки та повсякденному житті, деякі відомості з історії виникнення координатної площини та математиків, які зробили великий внесок у цей винахід. Матеріал, який ми зібрали під час написання роботи, може бути використаний на заняттях шкільного гуртка, як додаткового матеріалудо уроків. Все це може зацікавити школярів та скрасити навчальний процес.

А закінчити нам хотілося б такими словами:

«Уяви своє життя координатною площиною. Ось у твоє становище в суспільстві. Ось х – просування вперед, до мети, до твоєї мрії. І як ми знаємо, вона нескінченна ... ми можемо падати вниз, все далі заглиблюючись в мінус, можемо залишатися на нулі і нічого не робити абсолютно нічого. Можемо підніматися вгору, можемо падати, можемо йти вперед або повертатись назад, а все через те, що все наше життя це координатна площина і найголовніше тут, яка у тебе координата…»

Список використаної літератури

Глейзер Г.І. Історія математики в школі: - М: Просвітництво, 1981. - 239 с, іл.

Ляткер Я. А. Декарт. М.: Думка, 1975. - (Думки минулого)

Матвієвська Г. П. Рене Декарт, 1596-1650. М: Наука, 1976.

А. Савін. Координати. квант. 1977. №9

Математика - додаток до газети «Перше вересня», №7, №20, №17, 2003р., №11, 2000р.

Зігель Ф.Ю. Зірка абетка: Посібник для учнів. - М: Просвітництво, 1981. - 191 с., іл

Стів Паркер, Ніколас Харріс. Ілюстрована енциклопедія для дітей. Таємниці всесвіту. Харків Білгород. 2008

Матеріали із сайту http://istina.rin.ru/

Якщо побудувати на площині дві взаємно перпендикулярні числові осі: OXі OY, то вони будуть називатися осями координат. Горизонтальна вісь OXназивається віссю абсцис(віссю x), вертикальна вісь OY - віссю ординат(віссю y).

Крапка O, що стоїть на перетині осей, називається початком координат. Вона є нульовою точкою для обох осей. Позитивні числазображуються на осі абсцис точками вправо, але в осі ординат - точками вгору від нульової точки. Негативні числазображуються точками вліво та вниз від початку координат (точки O). Площина, на якій лежать осі координат, називається координатною площиною.

Осі координат ділять площину на чотири частини, які називають чвертямиабо квадрантами. Ці чверті прийнято нумерувати римськими цифрами в тому порядку, в якому вони пронумеровані на кресленні.

Координати точки на площині

Якщо взяти на координатній площині довільну точку Aі провести від неї перпендикуляри до осей координат, то підстави перпендикулярів ляжуть на два числа. Число, на яке вказує вертикальний перпендикуляр, називається абсцисою точки A. Число, на яке вказує горизонтальний перпендикуляр, - ординатою точки A.

На кресленні абсцису крапки Aдорівнює 3, а ордината 5.

Абсцисса та ордината називаються координатами даної точки на площині.

Координати точки записуються в дужках праворуч від позначення точки. Першою записується абсциса, а за нею ордината. Так запис A(3; 5) позначає, що абсцис точки Aдорівнює трьом, а ордината – п'яти.

Координати точки - це числа, що визначають її положення на площині.

Якщо точка лежить на осі абсцис, її ордината дорівнює нулю (наприклад, точка Bз координатами -2 та 0). Якщо точка лежить на осі ординат, її абсцис дорівнює нулю (наприклад, точка Cз координатами 0 та -4).

Початок координат - точка O- має і абсцису та ординату рівні нулю: O (0; 0).

Ця система координат називається прямокутноїабо декартовий.

Основні відомості про координатну площину

Кожен об'єкт (наприклад, будинок, місце в залі для глядачів, точка на карті) має свою впорядковану адресу (координати), яка має числове або буквене позначення.

Математики розробили модель, яка дозволяє визначати положення об'єкта та називається координатною площиною.

Щоб побудувати координатну площину, потрібно провести $2$ перпендикулярні прямі , на кінці яких вказуються за допомогою стрілок напряму «вправо» і «вгору». На прямі наносяться поділки, а точка перетину прямих є нульовою позначкою обох шкал.

Визначення 1

Горизонтальна пряма називається віссю абсцисі позначається х, а вертикальна пряма називається віссю ординаті позначається у.

Дві перпендикулярні осі х і поділками становлять прямокутну, або декартову, систему координат, яку запропонував французький філософ та математик Рене Декарт.

Координатна площина

Координати точки

Крапка на координатній площині визначається двома координатами.

Щоб визначити координати точки $A$ на координатній площині, потрібно через неї провести прямі, які будуть паралельні координатним осям (на малюнку виділено пунктирною лінією). Перетин прямий з віссю абсцис дає координату $x$ точки $A$, а перетин з віссю ординат дає координату у точки $A$. При записі координат точки спочатку записується координата $x$, потім координата $y$.

Точка $A$ малюнку має координати $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесення точки на координатну площину діють у зворотному порядку.

Побудова точки за заданими координатами

Приклад 1

На координатній площині побудувати точки $A (2; 5) $ і $ B (3; -1).

Рішення.

Побудова точки $A$:

• відкладемо число $2$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
• на осі у відкладемо число $5$ і проведемо перпендикулярну до осі$y$ прямий. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $A$ з координатами $(2; 5)$.

Побудова точки $B$:

• відкладемо на осі $x$ число $3$ і проведемо перпендикулярну до осі х пряму;
• на осі $y$ відкладемо число $(-1)$ і проведемо перпендикулярну до осі $y$ пряму. На перетині перпендикулярних прямих отримаємо точку $ B $ з координатами $ (3; -1) $.

Приклад 2

Побудувати на координатній площині точки з заданими координатами$ C (3; 0) $ і $ D (0; 2) $.

Рішення.

Побудова точки $C$:

• відкладемо число $3$ на осі $x$;
• координата $y$ дорівнює нулю, тож точка $C$ лежатиме на осі $x$.

Побудова точки $D$:

• відкладемо число $2$ на осі $y$;
• координата $x$ дорівнює нулю, отже, точка $D$ лежатиме на осі $y$.

Зауваження 1

Отже, при координаті $x=0$ точка лежатиме на осі $y$, а за координати $y=0$ точка лежатиме на осі $x$.

Приклад 3

Визначити координати точок A, B, C, D.$

Рішення.

Визначимо координати точки $A$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий із віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий із віссю ординат дає координату $y$. Таким чином, отримуємо, що точка $A (1; 3).

Визначимо координати точки $B$. Для цього проведемо через цю точку $2$ прямі, які будуть паралельними координатним осям. Перетин прямий із віссю абсцис дає координату $x$, перетин прямий із віссю ординат дає координату $y$. Виходить, що точка $B (–2; 4).$

Визначимо координати точки $C$. Т.к. вона розташована на осі $ y $, то координата $ x $ цієї точки дорівнює нулю. Координата дорівнює $-2$. Таким чином, точка $ C (0; -2) $.

Визначимо координати точки $D$. Т.к. вона знаходиться на осі $x$, то координата $y$ дорівнює нулю. Координата $x$ цієї точки дорівнює $-5$. Таким чином, точка $ D (5; 0).

Приклад 4

Побудувати точки $E(-3; -2), F (5; 0), G (3; 4), H (0; -4), O (0; 0).

Рішення.

Побудова точки $E$:

• відкладемо число $(–3)$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму;
• на осі $y$ відкладемо число $(–2)$ та проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
• на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $E (-3; -2).

Побудова точки $F$:

• координата $ y = 0 $, отже, точка лежить на осі $ x $;
• відкладемо на осі $x$ число $5$ і отримаємо точку $F(5; 0).$

Побудова точки $G$:

• відкладемо число $3$ на осі $x$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $x$;
• на осі $y$ відкладемо число $4$ і проведемо перпендикулярну пряму до осі $y$;
• на перетині перпендикулярних прямих отримуємо точку $G(3; 4).$

Побудова точки $H$:

• координата $x=0$, отже, точка лежить на осі $y$;
• відкладемо на осі $y$ число $(–4)$ і отримаємо точку $H(0; –4).$

Побудова точки $O$:

• обидві координати точки дорівнюють нулю, отже, точка лежить одночасно і осі $y$, і осі $x$, отже є точкою перетину обох осей (початком координат).

Що таке координатна площина?

Термін «координати» у перекладі з латинської мовиозначає слово «упорядкований».

Допустимо, нам потрібно позначити положення точки на площині. Для цього ми беремо 2 перпендикулярні прямі, які називаються осями координат, де Х буде віссю абсцис, У- віссю ординат, а початком координат буде точка О. Утворені за допомогою осей координат прямі кути будуть називатися координатними кутами.

Так ми підійшли до визначення і тепер знаємо, що координатною площиною є площина заданою системоюкоординат.

А тепер давайте подивимося, нумерацію координатних кутів:

Тепер давайте з вами відобразимо прямокутну системукоординат та відзначимо в ній точку M.

Далі нам потрібно прокреслити через точку М пряму, яка буде паралельна осі У. Тепер дивимося, що в нас вийшло. Як бачимо, що пряма перетинає вісь Х у тій точці, в якій координата дорівнюватиме −2. Дана координатає абсцисою точки M.

Тепер нам потрібно прокреслити через точку М пряму, яка буде паралельна осі Х.

Ми з вами бачимо, що ця пряма перетинає вісь Х у тій точці, координата якої дорівнює трьом. Ось ця координата буде ординатою точки М.

Запис координат струму М виглядатиме так:

У такому записі завжди на перше місце ставлять абсцису, а на друге – ординату. Якщо розглянути з прикладу координат точки М(-2;3), то -2 виступає ролі абсциси точки М, а ординатою цієї точки буде число 3.

З цього випливає, що на координатній площині кожної точки М відповідає така пара чисел, як її абсцису та ординату. Вірним буде і твердження навпаки, тобто кожній такій парі чисел відповідає одна точка площини, для якої ці числа є координатами.

Завдання:

Координатна площина у житті

Як на вашу думку, чи знадобиться в повсякденному житті знання про координатну площину? І чи доводилося вам чути таку фразу, як «залишіть свої координати» чи «за якими координатами вас можна знайти»? І чи замислювалися ви з того, що може означати ці висловлювання?

Виявляється все дуже просто і банально і це означає місцезнаходження того чи іншого об'єкта, яким легко знайти людину чи якесь певне місце. Можна впевнено стверджувати, що системи координат необхідні в практичного життялюдину повсюдно.

Такою системою координат може бути домашня адреса, так і номер телефону, місце роботи і т.д.

Адже навіть при покупці квитків на поїзд, ви знаєте не тільки його номер та місце призначення, а й обов'язково має бути зазначений номер вагона та місця.

Щоб піти в гості до однокласника, недостатньо знати лише будинок, де він живе, а потрібно ще й знати номер квартири.

Завдання

1. Якими відомостями ви повинні мати, щоб зайняти місце в театрі?
2. Які дані необхідно мати, щоб визначити точки на земній поверхні?
3. За якими координатами можна визначити місце у кінотеатрі?
4. Що потрібно знати, щоб визначити положення фігури на шахівниці?
5. Якими координатами ви користуєтесь при грі у морський бій?

Історична довідка

Ідея використання координат з'явилася ще в давнину. Спочатку їх застосовувати почали астрономи для визначення небесних світилта географи – для визначення місцезнаходження та об'єктів на поверхні Землі.

Завдяки працям давньогрецького астронома Клавдія Плотомея вже у другому столітті вчені навчилися визначати довготу та широту.

А чи відомо вам, чому в математиці існує таке поняття, як Декартова системакоординат»? Виявляється метод координат, який має загальноматематичне значення, був відкритий французькими математиками П'єром Ферма та Рене Декартом у XVII ст., а у 1637 році Рене Декарт вперше описав його у книзі з геометрії.

А ось терміни «абсцису», «ордината» та «координати» були вперше запроваджені Вільгельмом Лейбніцем у сімнадцятому столітті.

Домашнє завдання:

Математика – наука досить складна. Вивчаючи її, доводиться як вирішувати приклади і завдання, а й працювати з різними фігурами, і навіть площинами. Однією з найбільш використовуваних у математиці є система координат на площині. Правильної роботиз нею дітей навчають не один рік. Тому важливо знати, що це таке та як правильно з нею працювати.

Давайте ж розберемося, що є дана система, які дії можна виконувати з її допомогою, а також дізнаємося про її основні характеристики та особливості.

Визначення поняття

Координатна площина – це площина, на якій задана певна системакоординат. Така площина задається двома прямими, що перетинаються під прямим кутом. У точці перетину цих прямих знаходиться початок координат. Кожна точка на координатній площині визначається парою чисел, які називають координатами.

У шкільному курсіматематики школярам доводиться досить тісно працювати з системою координат - будувати на ній фігури та точки, визначати, якій площині належить та чи інша координата, а також визначати координати точки та записувати чи називати їх. Тому поговоримо докладніше про всі особливості координат. Але перш зачепимо історію створення, а потім уже поговоримо про те, як працювати на координатній площині.

Історична довідка

Ідеї ​​створення системи координат були ще за часів Птоломея. Вже тоді астрономи та математики думали про те, як навчитися задавати положення точки на площині. На жаль, тоді ще не було відомої нам системи координат, і вченим доводилося користуватися іншими системами.

Спочатку вони задавали точки за допомогою вказівки широти та довготи. Довгий час це був один із найбільш використовуваних способів нанесення на карту тієї чи іншої інформації. Але в 1637 Рене Декарт створив власну систему координат, названу згодом на честь "декартової".

Вже у наприкінці XVIIв. поняття «координатна площина» почало широко використовуватися у світі математики. Незважаючи на те, що з моменту створення цієї системи пройшло вже кілька століть, вона досі широко використовується в математиці і навіть у житті.

Приклади координатної площини

Перш ніж говорити про теорію, наведемо кілька наочних прикладівкоординатної площині, щоб ви змогли уявити її собі. В першу чергу координатна системавикористовується у шахах. На дошці кожен квадрат має свої координати – одну координату літерну, другу – цифрову. З її допомогою можна визначити положення тієї чи іншої фігури на дошці.

Другим найбільш яскравим прикладомможе служити улюблена багатьма гра Морський бій». Згадайте, як, граючи, ви називаєте координату, наприклад, В3, вказуючи, куди саме цілитеся. При цьому, розставляючи кораблі, ви задаєте крапки на координатній площині.

Ця система координат широко застосовується у математиці, логічних іграх, але й у військовій справі, астрономії, фізиці та багатьох інших науках.

Осі координат

Як мовилося раніше, у системі координат виділяють дві осі. Поговоримо трохи про них, оскільки вони мають велике значення.

Перша вісь – абсцис – горизонтальна. Вона позначається як ( Ox). Друга вісь - ординат, яка проходить вертикально через точку відліку і позначається як ( Ой). Саме ці дві осі утворюють систему координат, розбиваючи площину чотири чверті. Початок відліку знаходиться в точці перетину цих двох осей і набуває значення 0 . Тільки якщо площина утворена двома осями, що перетинаються перпендикулярно, що мають точку відліку, це координатна площина.

Також зазначимо, що кожна з осей має свій напрямок. Зазвичай при побудові системи координат прийнято вказувати напрямок осі у вигляді стрілочки. Крім того, при побудові координатної площини кожна осі підписується.

Чверть

Тепер скажемо пару слів про таке поняття, як чверть координатної площини. Площина розбивається двома осями чотири чверті. Кожна має свій номер, при цьому нумерація площин ведеться проти годинникової стрілки.

Кожна із чвертей має свої особливості. Так, у першій чверті абсцису та ординату позитивна, у другій чверті абсцису негативна, ордината – позитивна, у третій і абсциса, і ордината негативні, у четвертій же позитивною є абсциса, а негативною – ордината.

Запам'ятавши ці особливості, можна легко визначити, до якої чверті належить та чи інша точка. Крім того, ця інформація може стати в нагоді вам і в тому випадку, якщо доведеться робити обчислення, використовуючи декартову систему.

Робота з координатною площиною

Коли ми розібралися з поняттям площини та поговорили про її чверті, можна перейти до такої проблеми, як робота з цією системою, а також поговорити про те, як наносити на неї точки, координати фігур. На координатній площині зробити це не так важко, як здається на перший погляд.

Насамперед будується сама система, на неї наносяться всі важливі позначення. Потім уже йде роботабезпосередньо з точками чи фігурами. При цьому навіть при побудові фігур спочатку на площину наносять крапки, а потім уже промальовуються фігури.

Правила побудови площини

Якщо ви вирішили почати позначати на папері фігури та крапки, вам знадобиться координатна площина. Координати точок наносяться саме на неї. Для того, щоб побудувати координатну площину, знадобиться тільки лінійка та ручка або олівець. Спочатку малюється горизонтальна вісьабсцис, потім вертикальна – ординат. У цьому важливо пам'ятати, що осі перетинаються під прямим кутом.

Наступним обов'язковим пунктом є нанесення розмітки. На кожній осі в обох напрямках відзначаються і підписуються одиниці-відрізки. Це робиться для того, щоб потім можна було працювати з площиною з максимальною зручністю.

Відзначаємо точку

Тепер поговоримо про те, як завдати координати точок на координатній площині. Це основа, яку слід знати, щоб успішно розміщувати на площині різноманітні фігури і навіть відзначати рівняння.

При побудові точок слід пам'ятати, як правильно записуються їх координати. Так, зазвичай задаючи крапку, у дужках пишуть дві цифри. Перша цифра означає координату точки по осі абсцис, друга - по осі ординат.

Будувати крапку слід у такий спосіб. Спочатку відзначити на осі Oxзадану точку, потім відзначити точку на осі Ой. Далі провести уявні лінії від даних позначень і знайти місце їх перетину - це буде задана точка.

Вам залишиться лише відзначити її та підписати. Як бачите, все досить просто і не потребує особливих навичок.

Розміщуємо фігуру

Тепер перейдемо до такого питання, як побудова фігур на координатній площині. Для того, щоб побудувати на координатній площині будь-яку фігуру, слід знати, як розміщувати на ній точки. Якщо ви вмієте це робити, то розмістити фігуру на площині не так вже й складно.

Насамперед вам знадобляться координати точок фігури. Саме за ними ми і будемо наносити на нашу систему координат обрані вами Розглянемо нанесення прямокутника, трикутника та кола.

Почнемо із прямокутника. Наносити його досить легко. Спочатку на площину наносяться чотири точки, що позначають кути прямокутника. Потім усі точки послідовно з'єднуються між собою.

Нанесення трикутника нічим не відрізняється. Єдине – кутів у нього три, а значить, на площину наносяться три точки, що позначають його вершини.

Щодо кола тут слід знати координати двох точок. Перша точка - центр кола, друга - точка, що позначає її радіус. Ці дві точки наносяться на площину. Потім береться циркуль, вимірюється відстань між двома точками. Вістря циркуля ставиться в точку, що позначає центр, і описується коло.

Як бачите, тут також немає нічого складного, головне, щоб під рукою завжди були лінійка та циркуль.

Тепер ви знаєте, як наносити координати фігур. На координатній площині це робити не так і складно, як може здатися на перший погляд.

Висновки

Отже, ми розглянули з вами одне з найцікавіших і найбагатших для математики понять, з яким доводиться стикатися кожному школяру.

Ми з вами з'ясували, що координатна площина – це площина, утворена перетином двох осей. З її допомогою можна задавати координати точок, наносити на неї фігури. Площина розділена на чверті, кожна з яких має особливості.

Основна навичка, яку слід виробити під час роботи з координатною площиною, - вміння правильно наносити на неї задані точки. Для цього слід знати правильне розташуванняосей, особливості чвертей, і навіть правила, якими задаються координати точок.

Сподіваємося, що викладена нами інформація була доступна та зрозуміла, а також була корисною для вас і допомогла краще розібратися в цій темі.