Формула приведення синусу. Формули наведення тригонометричних функцій
Формули приведення - це співвідношення, які дозволяють перейти від синус, косинус, тангенс і котангенс з кутами `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` до цих же функцій кута `\alpha`, який знаходиться в першій чверті одиничного кола. Таким чином, формули приведення «приводять» нас до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів, що дуже зручно.
Усіх разом формул приведення є 32 штуки. Вони безперечно знадобляться на ЄДІ, іспитах, заліках. Але відразу попередимо, що заучувати їх напам'ять немає необхідності! Потрібно витратити трохи часу і зрозуміти алгоритм їх застосування, тоді вам не складе труднощів потрібний моментвивести необхідну рівність.
Спочатку запишемо всі формули приведення:
Для кута (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) або (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \ alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \ alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`\pi \pm \alpha`) або (`180^\circ \pm \alpha`):
` sin (\pi - \ alpha) = sin \ \ alpha; `` sin (\pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Для кута (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) або (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`2\pi \pm \alpha`) або (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha; `` sin (2 \ pi + \ alpha) = sin \ \ alpha`
` cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha; `` cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \ alpha; `` ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha `
Часто можна зустріти формули приведення у вигляді таблиці, де кути записані в радіанах:
Щоб скористатися нею, потрібно вибрати рядок з потрібною функцією, і стовпець з потрібним аргументом. Наприклад, щоб дізнатися за допомогою таблиці, чому буде одно ` sin(\pi + \alpha)`, достатньо знайти відповідь на перетині рядка ` sin \beta` і стовпця ` \pi + \alpha`. Отримаємо `sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha`.
І друга, аналогічна таблиця, де кути записані у градусах:
Мнемонічне правило формул приведення або як їх запам'ятати
Як ми вже згадували, заучувати всі наведені вище співвідношення не потрібно. Якщо ви уважно на них подивилися, то, напевно, помітили деякі закономірності. Вони дозволяють нам сформулювати мнемонічне правило (мнемоніка - запам'ятовувати), за допомогою якого легко можна отримати будь-яку формулу приведення.
Відразу зазначимо, що для застосування цього правила потрібно добре вміти визначати (або запам'ятати) знаки тригонометричних функційу різних чвертях одиничного кола. 
Саме привил містить 3 етапи:
- Аргумент функції повинен бути представлений у вигляді `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, причому `\alpha` - обов'язково гострий кут(Від 0 до 90 градусів).
- Для аргументів `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрична функція перетворюваного виразу змінюється на кофункцію, тобто протилежну (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки). Для аргументів `\pi\pm\alpha`, `2\pi\pm\alpha` функція не змінюється.
- Визначається символ вихідної функції. Отримана функція у правій частині матиме такий самий знак.
Щоб подивитися, як на практиці можна застосувати це правило, змінимо кілька виразів:
1. ` cos (pi + \ alpha) `.
Функція на протилежну змінюється. Кут \pi + \alpha знаходиться в III чверті, косинус в цій чверті має знак "-", тому перетворена функція буде також зі знаком "-".
Відповідь: cos(\pi + \alpha) = - cos \alpha
2. `sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)`.
Згідно з мнемонічним правилом функція зміниться на протилежну. Кут `frac (3\pi)2 - \alpha` знаходиться в III чверті, синус тут має знак "-", тому результат також буде зі знаком "-".
Відповідь: `sin(\frac(3\pi)2 - \alpha) = - cos \alpha`
3. `cos(\frac(7\pi)2 - \alpha)`.
cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Представимо `3\pi` як `2\pi+pi`. `2\pi` - період функції.
Важливо: Функції `cos \alpha` та `sin \alpha` мають період `2\pi` або `360^\circ`, їх значення не зміняться, якщо на ці величини збільшити чи зменшити аргумент.
Виходячи з цього, наш вираз можна записати наступним чином: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`.) Застосувавши два рази мнемонічне правило, отримаємо: `cos (\pi+(\frac(\pi)) 2-\alpha) = - cos (\frac(\pi)2-\alpha) = - sin \alpha`.
Відповідь: ` cos (\ frac (7 \ pi) 2 - \ alpha) = - sin \ alpha `.
Кінське правило
Другий пункт вищеописаного мнемонічного правилаще називають кінським правилом формул приведення. Цікаво, чому кінським?
Отже, ми маємо функції з аргументами `frac(\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm alpha, точки frac (pi 2), pi, frac (3 pi2), 2 ключові, вони розташовуються на осях координат. `\pi` та `2\pi` на горизонтальної осіабсцис, а `\frac(\pi)2` і `\frac(3\pi)2` на вертикальної осіординат.
Запитуємо себе: «Чи змінюється функція на кофункцію?». Щоб відповісти на це питання, потрібно посунути головою вздовж осі, на якій розташована ключова точка.
Тобто для аргументів із ключовими точками, розташованими на горизонтальній осі, ми відповідаємо «ні», мотаючи головою убік. А для кутів із ключовими точками, розташованими на вертикальній осі, ми відповідаємо «так», киваючи головою зверху вниз, як кінь 🙂
Рекомендуємо подивитись відеоурок, у якому автор докладно пояснює, як запам'ятати формули приведення без заучування їх напам'ять.
Практичні приклади використання формул приведення
Застосування формул приведення починається ще 9, 10 класі. Чимало завдань із їх використанням винесено на ЄДІ. Ось деякі із завдань, де доведеться застосовувати ці формули:
- завдання на розв'язання прямокутного трикутника;
- перетворення числових та літерних тригонометричних виразів, обчислення їх значень;
- стереометричні задачі.
Приклад 1. Обчисліть за допомогою формул приведення: а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Рішення: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Приклад 2. Виразивши косинус через синус за формулами приведення, порівняти числа: 1) `sin frac (9 pi) 8 і cos frac (9 pi 8); 2) `sin \frac(\pi)8` та `cos\frac(3\pi)10`.
Рішення: 1) `sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac(\pi)8> -sin \frac(3\pi)8`
`sin frac (9 pi) 8> cos frac (9 pi) 8 `.
2) `cos \frac (3\pi)10 = cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Доведемо спочатку дві формули для синуса і косинуса аргументу `frac(\pi)2 + \alpha`: `sin(\frac(\pi)2 + \alpha) = cos \\alpha` і `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = - sin \ \ alpha`. Інші виводяться з них. Візьмемо одиничне коло і у ньому точку А з координатами (1,0). Нехай після повороту на Виходячи з визначення тангенсу і котангенсу, отримаємо `tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac(\pi)2 + \alpha))(cos(\frac(\pi)2) + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` і `stg(\frac(\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, що доводить формули приведення для тангенсу і котангенсу кута `frac (pi)2 + alpha`. Щоб довести формули з аргументом `frac(\pi)2 - \alpha`, досить уявити його, як `\frac(\pi)2 + (-\alpha)` і пройти той же шлях, що і вище. Наприклад, `cos(\frac(\pi)2 - \alpha) = cos(\frac(\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Кути `\pi + \alpha` і `\pi - \alpha` можна уявити, як `\frac(\pi)2+(\frac(\pi)2+\alpha)` і `\frac(\pi) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` відповідно. А `\frac(3\pi)2 + \alpha` і `\frac(3\pi)2 - \alpha` як `pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` і `pi +(\frac(\pi)2-\alpha)`. І ще одне завдання B11 на ту саму тему — із реального ЄДІ з математики. Завдання. Знайдіть значення виразу: У цьому короткому відеоуроці ми дізнаємося, як застосовувати формули приведеннядля вирішення реальних завдань B11 з ЄДІ з математики. Як ви бачите, перед нами — два тригонометричні вирази, кожний з яких містить синуси та косинуси, а також досить звірячі числові аргументи. Перш ніж розв'язувати ці завдання, давайте згадаємо, що таке формули приведення. Отже, якщо у нас є вирази виду: То ми можемо позбутися першого доданку (виду k · π/2) за спеціальними правилами. Накреслимо тригонометричне коло, відзначимо на ньому основні точки: 0, π/2; π; 3π/2 та 2π. Потім дивимося на перший доданок під знаком тригонометричної функції. Маємо: Таким чином, ми отримаємо тригонометричну функцію, що не містить доданків виду k · π/2. Однак на цьому робота з формулами наведення не закінчується. Справа в тому, що перед нашою новою функцією, отриманою після «відкидання» першого доданка, може стояти знак плюс чи мінус. Як визначити цей знак? Ось зараз і дізнаємось. Уявимо, що кут α, що залишився всередині тригонометричної функції після перетворень, має дуже малу градусний захід. Але що означає «малий захід»? Припустимо, α ∈ (0; 30 °) - цього цілком достатньо. Розглянемо для прикладу функцію: Тоді, дотримуючись наших припущень, що α ∈ (0; 30°), укладаємо, що кут 3π/2 − α лежить у третій координатній чверті, тобто. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Згадуємо символ вихідної функції, тобто. y = sin x у цьому інтервалі. Очевидно, що синус у третій координатній чверті негативний, оскільки за визначенням синус це ордината кінця рухомого радіусу (коротше синус це координата y). Ну, а координата y в нижній напівплощині завжди набуває негативних значень. Значить, і в третій чверті y теж негативний. На підставі цих роздумів ми можемо записати остаточний вираз: Ось ці самі прийоми цілком підходять для вирішення завдання B11 з ЄДІ з математики. Різниця лише в тому, що в багатьох реальних завданнях B11 замість радіанної міри (тобто чисел π, π/2, 2π тощо) використовується градусний захід (тобто 90°, 180°, 270° і і т.д.). Давайте подивимося на перше завдання: Спочатку розберемося з чисельником. cos 41 ° - це нетабличне значення, тому ми нічого не можемо зробити з ним. Поки що так і залишимо. Тепер дивимося на знаменник: sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41° Очевидно, що перед нами є формула приведення, тому синус замінився на косинус. З іншого боку, кут 41° лежить на відрізку (0°; 90°), тобто. у першій координатній чверті саме так, як потрібно для застосування формул приведення. Але тоді 90 ° + 41 ° - це друга координатна чверть. Вихідна функція y = sin x там позитивна, тому ми поставили перед косинусом на останньому етапі знак «плюс» (тобто не поставили нічого). Залишилося розібратися з останнім елементом: cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5 Тут бачимо, що 180° — це горизонтальна вісь. Отже, сама функція не зміниться: був косинус і залишиться теж косинус. Але знову постає питання: плюс чи мінус стоятиме перед отриманим виразом cos 60°? Зауважимо, що 180 ° - це третя координатна чверть. Косинус там негативний, отже, перед косинусом у результаті стоятиме знак «мінус». Отже, отримуємо конструкцію −cos 60° = −0,5 — це табличне значення, тому все легко вважається. Тепер підставляємо отримані числа у вихідну формулу та отримуємо: Як бачимо, число cos 41° у чисельнику та знаменнику дробу легко скорочується, і залишається звичайний вираз, який дорівнює -10. При цьому мінус можна або винести і поставити перед знаком дробу, або «тримати» поряд з другим множником до останнього кроку обчислень. Відповідь у будь-якому випадку вийде -10. Все, завдання B11 вирішено! Переходимо до другого завдання. Перед нами знову дріб: Ну, 27° у нас лежить у першій координатній чверті, тож тут нічого міняти не будемо. А ось sin 117 ° треба розписати (поки без жодного квадрата): sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27° Очевидно, перед нами знову формула приведення: 90 ° - це вертикальна вісь, отже, синус зміниться на косинус. Крім того, кут α = 117 ° = 90 ° + 27 ° лежить у другій координатній чверті. Вихідна функція y = sin x там позитивна, отже, перед косинус після всіх перетворень все одно залишається знак «плюс». Іншими словами, там нічого не додається - так і залишаємо: cos 27 °. Повертаємося до вихідного виразу, який потрібно обчислити: Як бачимо, у знаменнику після перетворень виникла основна тригонометрична тотожність: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Разом −4: 1 = −4 — ось ми і знайшли відповідь до другого завдання B11. Як бачите, за допомогою формул приведення такі завдання з ЄДІ з математики вирішуються буквально в кілька рядків. Жодних синусів суми та косінусів різниці. Все, що нам потрібно пам'ятати, — це лише тригонометричне коло. Як запам'ятати формули наведення тригонометричних функцій? Це легко, якщо використовувати асоціацію. Ця асоціація придумана не мною. Як мовилося раніше, хороша асоціація має «чіпляти», тобто викликати яскраві емоції. Не можу назвати емоції, викликані цією асоціацією, позитивними. Але вона дає результат — дає змогу запам'ятовувати формули наведення, а отже, має право на існування. Зрештою, якщо вона вам не сподобається, ви її можете не використовувати, правильно? Формули приведення мають вигляд: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запам'ятовуємо, що +α дає рух проти годинникової стрілки — α — рух за годинниковою стрілкою. Для роботи з формулами наведення потрібні два пункти: 1) ставимо знак, який має початкова функція (у підручниках пишуть: наведена. Але щоб не заплутатися, краще назвати її початковою), якщо вважати α кутом I чверті, тобто маленьким. 2) Горизонтальний діаметр – π±α, 2π±α, 3π±α… – загалом, коли немає дробу – назва функції не змінює. Вертикальний ? Тепер, власне, асоціація: вертикальний діаметр (є дріб) п'яний стоїть. Що з ним станеться рано чи пізно? Правильно, впаде. Назва функції зміниться. Якщо діаметр горизонтальний — п'яний вже лежить. Спить, мабуть. З ним уже нічого не станеться, він уже прийняв горизонтальне становище. Відповідно, назва функції не змінюється. Тобто sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) тощо. дають ±cosα, а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … – ±sinα. Як вже знаємо. Як це працює? Дивимось на прикладах. 1) cos(π/2+α)=? Стаємо на π/2. Оскільки +α — отже, йдемо вперед проти годинникової стрілки. Потрапляємо у ІІ чверть, де косинус має знак «-«. Назва функції змінюється («п'яний стоїть», отже – впаде). Отже, cos(π/2+α)=-sin α. Стаємо на 2π. Оскільки -α - йдемо назад, тобто за годинниковою стрілкою. Потрапляємо до IV чверть, де тангенс має знак «-«. Назва функції не змінюється (діаметр горизонтальний, п'яний вже лежить). Таким чином, tg(2π-α)=- tgα. 3) ctg²(3π/2-α)=? Приклади, у яких функція зводиться парний ступінь, вирішуються ще простіше. Четний ступінь «-» прибирає, тобто треба лише з'ясувати, змінюється назва функції чи залишається. Діаметр вертикальний (є дріб, «п'яний стоїть», впаде), назва функції змінюється. Отримуємо: ctg²(3π/2-α)= tg²α. Вони належать до розділу "тригонометрія" в математиці. Суть їх полягає у приведенні тригонометричних функцій кутів до «простішого» виду. Про важливість їхнього знання написати можна багато. Цих формул аж 32 штуки! Не лякайтеся, вчити їх не треба, як і багато інших формул в курсі математики. Зайвою інформацією голову забивати не потрібно, необхідно запам'ятовувати «ключики» чи закони, і згадати чи вивести потрібну формулу проблемою не буде. До речі, коли я пишу у статтях «… потрібно вивчити!» - Це означає, що дійсно, це необхідно саме вивчити. Якщо ви з формулами приведення не знайомі, то простота їх виведення вас приємно здивує – є «закон», за допомогою якого це легко зробити. І будь-яку із 32 формул ви напишіть за 5 секунд. Перелічу лише деякі завдання, які будуть на ЄДІ з математики, де без знання цих формул є велика ймовірність зазнати фіаско у вирішенні. Наприклад: - Завдання на рішення прямокутного трикутника, де йдеться про зовнішній вугіллі, та й завдання на внутрішні кути деякі з цих формул теж необхідні. - Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів; перетворення числових тригонометричних виразів; перетворення буквених тригонометричних виразів. - Завдання на дотичну та геометричний зміст дотичної, потрібна формула приведення для тангенсу, а також інші завдання. - стереометричні завдання, по ходу рішення нерідко потрібно визначити синус або косинус кута, що лежить в межах від 90 до 180 градусів. І це лише ті моменти, які стосуються ЄДІ. А в самому курсі алгебри є безліч завдань, при вирішенні яких без знання формул приведення просто не обійтися. То що ж до чого наводиться і як обумовлені формули полегшують для нас вирішення завдань? Наприклад, вам потрібно визначити синус, косинус, тангенс чи котангенс будь-якого кута від 0 до 450 градусів: кут альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів * * *
Отже, необхідно усвідомити «закон», який тут працює: 1. Визначте знак функції у відповідній чверті. Нагадаю їх: 2. Запам'ятайте наступне: функція змінюється на кофункцію
функція на кофункцію не змінюється
Що означає поняття – функція змінюється на кофункцію?
Відповідь: синус змінюється на косинус чи навпаки, тангенс на котангенс чи навпаки.
От і все! Тепер за поданим законом запишемо кілька формул приведення самостійно: Цей кут лежить у третій чверті, косинус у третій чверті негативний. Функцію на кофункцію не міняємо, тому що у нас 180 градусів, значить: Кут лежить у першій чверті, синус у першій чверті позитивний. Не змінюємо функцію на кофункцію, тому що у нас 360 градусів, значить: Ось вам ще додаткове підтвердження того, що синуси суміжних кутів рівні: Кут лежить у другій чверті, синус у другій чверті позитивний. Не змінюємо функцію на кофункцію, тому що у нас 180 градусів, значить: Пропрацюйте подумки чи письмово кожну формулу, і переконаєтеся, що нічого складного немає. ***
У статті на рішення було зазначено такий факт - синус одного гострого кута в прямокутному трикутнику дорівнює косинус іншого гострого кута в ньому. Тригонометрія. Формули приведення. Формули приведення не потрібно вивчати їх потрібно зрозуміти. Зрозуміти алгоритм їхнього виведення. Це дуже легко! Візьмемо одиничне коло і розставимо всі градусні заходи (0 °; 90 °; 180 °; 270 °; 360 °) на ній. Розберемо у кожній чверті функції sin(a) та cos(a). Запам'ятаємо, що функцію sin(a) дивимося по осі Y, а функцію cos(a) по осі X. У першій чверті видно, що функція sin(a)>0 У другій чверті видно, що функція sin(a)>0тому, що вісь Y позитивна в цій чверті. У третій чверті видно, що функції sin(a) Третю чверть можна описати через градусну міру, як (180+α) або (270-α).
У четвертій чверті видно, що функція sin(a) , тому що вісь Y є негативною в цій чверті. Тепер розглянемо формули приведення. Запам'ятаємо простий алгоритм: І так почнемо розбирати по чвертях цей алгоритм. З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(90-α) З'ясуй чому дорівнюватиме вираз sin(90-α) З'ясуй чому дорівнюватиме вираз cos(360+α) З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(360+α) З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(90+α) З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(90+α) З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(180-α) З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(180-α) Розмірковую про третю та четверту чверть подібним чином складемо таблицю: Підписуйтесь на канал на YOUTUBEі дивіться відео, підготуйтеся до іспитів з математики та геометрії з нами.
кут `\alpha` вона перейде в точку `А_1(х, у)`, а після повороту на кут `\frac(\pi)2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустивши перпендикуляри з цих точок на пряму ОХ, побачимо, що трикутники OA_1H_1 і OA_2H_2 рівні, оскільки рівні їх гіпотенузи і прилеглі кути. Тоді виходячи з визначень синуса і косинуса можна записати `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=x`, `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = -y `. Звідки можна записати, що `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` і `cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, що доводить формули приведення для синуса та косинуса кута `frac (pi)2 + alpha`.
Завдання B11 - 1 варіант
Завдання B14 - 2 варіант
І функція cos(a)>0
Першу чверть можна описати через градусну міру, як (90-α) або (360+α).
А функція cos(a) , тому що вісь X негативна у цій чверті.
Другу чверть можна описати через градусну міру як (90+α) або (180-α).
А функція cos(a)>0тому, що вісь X позитивна в цій чверті.
Четверту чверть можна описати через градусну міру як (270+α) або (360-α).
1. Чверть.(Завжди дивіться, у якій ви чверті знаходитесь).
2. Знак.(Щодо чверті дивіться позитивні або негативний функціїкосинуса чи синуса).
3. Якщо у вас є в дужках (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція змінюється.
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
Буде cos(90-α) = sin(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
Буде sin(90-α) = cos(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції косинуса позитивний.
Буде cos(360+α) = cos(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(360+α) = sin(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється з косинуса на синус.
Буде cos(90+α) = -sin(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється із синуса на косинус.
Буде sin(90+α) = cos(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції косинуса негативний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде cos(180-α) = cos(α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(180-α) = sin(α)
