Ковбой джон стріляє в муху з ймовірністю. Тренувальні завдання

Привіт, друзі! Ця стаття є продовженням статті« » . У ній ми розглянули основи необхідної теоріїта вирішили кілька завдань. Тут на вас чекає ще чотири.Розглянемо їх:

Приміщення висвітлюється ліхтарем із двома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,2. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.

Тобто нам необхідно знайти ймовірність події, коли не перегорять обидві лампи, або не перегорить лише перша лампа, або не перегорить лише друга лампа.

За умовою можливість перегорання лампи 0,2.Значить ймовірність справності лампи протягом року дорівнює 1-0,2 = 0,8(Це протилежні події).

Імовірність події:

«не перегорять обидві» дорівнюватиме 0,8∙0,8 = 0,64

"не перегорить перша, але перегорить друга" дорівнює 0,8 ∙ 0,2 = 0,16

"перегорить перша, але не перегорить друга" дорівнює 0,2 ∙ 0,8 = 0,16

Таким чином, ймовірність того, що протягом року хоча б одна лампа не перегорить дорівнюватиме 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96

Можна вирішити так:

Імовірність того, що перегорять обидві лампи, дорівнює 0,2∙0,2 = 0,04

Ці події є незалежними, але при одночасному (спільному) їх здійсненні ймовірності перемножуються. Тобто ймовірність того, що перегорять обидві, дорівнює добутку ймовірностей.

Подія «не перегорить хоча бодна лампа» протилежно події «перегорять обидві лампи», отже вона дорівнюватиме 1 – 0,04 = 0,96.

Відповідь: 0,96

Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,8, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 20 револьверів, із них лише 8 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Джон промахнеться, якщо схопить пристріляний револьвер (1 із 8) і промахнеться з нього, або якщо схопить непристріляний револьвер (1 із 12) і промахнеться з нього.

*Вірогідність промахнутися з пристріляного револьвера дорівнює 0,2.Імовірність промахнутися з непристріляного револьвера дорівнює 0,8.

1. Імовірність взяти пристріляний пістолет і при цьому промахнутися з нього дорівнює (8/20) 0,2 = 0,08.

2. Імовірність взяти непристріляний пістолет і при цьому промахнутися з нього дорівнює (12/20) 0,8 = 0,48.

Ці дві події несумісні, отже шукана ймовірність дорівнюватиме сумі ймовірностей: 0,08+0,48 = 0,56

Відповідь: 0,56

На фабриці керамічного посуду 5% виготовлених тарілок мають дефект. Під час контролю якості продукції виявляється 90% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Відповідь округліть до сотих.

*Кількість різноманітних і сприятливих результатів явно не задано (оскільки про кількість тарілок в умові немає інформації).

Нехай n – кількість тарілок, які виробив завод. Тоді у продаж надійдуть якісні тарілки (це 0,95n) та 10% невиявлених дефектних тарілок (це 0,1 від 0,05n).

Тобто 0,95n+0,1∙0,05n=0,955n тарілок, це кількість різноманітних результатів. Оскільки якісних їх лише 0,95n (це число сприятливих результатів), то можливість купити якісну тарілку дорівнюватиме:

Округлюємо до сотих, отримаємо 0,99

Відповідь: 0,99

У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,2. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).

Нам необхідно знайти можливість події, коли зайнятий перший продавець, у своїй зайнятий другий, і навіть (зайнятості першого і другого) ще зайнятий і третій. Використовується правило множення.

*Вірогідність твору незалежних подійпри спільному та скоєнні дорівнює добутку ймовірностей подій. Значить ймовірність того, що всі три продавці зайняті буде рівна:

0,2∙0,2∙0,2 = 0,008

Відповідь: 0,008

Вирішити самостійно:

Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,7, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, то ймовірність того, що він потрапить, дорівнює 0,3. На столі лежать 10 револьверів, з яких лише 2 пристріляні. Ковбой Джон бере перший револьвер, що трапився, і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Рішення

Ковбой Джон промахнеться тільки при виникненні однієї з таких подій:

• подія A - ковбой Джон промахнеться з пристріляного револьвера
• подія B - ковбой Джон промахнеться з непристріляного револьвера

Подія A виникає у разі, коли Джон схопить пристреленный револьвер, тобто. ймовірність дорівнює \frac(2)(10)і якщо Джон промахнеться із нього, тобто. ймовірність дорівнює 1 - 0,7.

Отже, ймовірність виникнення події A дорівнює:

P(A)=\frac(2)(10)\cdot(1-0,7)=\frac(2)(10)\cdot\frac(3)(10)=\frac(6)(100) =0,06

Подія B виникає у разі, коли Джон схопить пристреленный револьвер, тобто. ймовірність дорівнює \frac(8)(10)і якщо Джон промахнеться із нього, тобто. ймовірність дорівнює 1 - 0,3.

Отже, ймовірність виникнення події B дорівнює:

P(B)=\frac(8)(10)\cdot(1-0,3)=\frac(8)(10)\cdot\frac(7)(10)=\frac(56)(100) =0,56

Джон промахнеться, якщо станеться подія A чи подія B , отже відповіддю буде сума цих подій:

P=P(A)+P(B)=0,06+0,56=0,62

Дві фабрики випускають однакові скла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 30% цього скла, друга - 70%. Перша фабрика випускає 3% бракованого скла, а друга - 4%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.

Рішення. Перекладаємо % у дроби.

Подія А - "Куплене скло першої фабрики". Р(А)=0,3

Подія В - "Куплене скло другої фабрики". Р(В)=0,7

Подія Х - "Скло браковане".

Р(А та Х) = 0.3 * 0.03 = 0.009

Р(В і Х) = 0.7 * 0.04 = 0.028

За формулою повної ймовірності:

Р = 0.009 +0.028 = 0.037

Відповідь: 0,037

Ковбой Джон потрапляє у мухуна стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє із пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,2.

На столі лежить 10 револьверів, з них лише 4 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Рішення.

Імовірність того, що пристріляний пістолет дорівнює 0,4, що ні - 0,6.

Імовірність потрапити в муху з пістолета, якщо він пристріляний, дорівнює 0,4 * 0,9 = 0,36.

Імовірність потрапити в муху, якщо непристріляний пістолет, дорівнює 0,6 * 0,2 = 0,12.

Імовірність потрапити: 0,36 +0,12 = 0,48.

Можливість промаху Р=1-0,48=0,52

За артилерійської стрільбиавтоматична система робить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення деякої мети при першому пострілі дорівнює 0,4, а за кожним наступним - 0,6. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,98?

Рішення. Імовірність вразити мету дорівнює сумі ймовірностей вразити її при першому чи другому або... k-му пострілі.

Обчислюватимемо ймовірність знищення при k-му пострілі, задаючи значення k=1,2,3... І підсумовуючи отримані ймовірності

k=1 P=0,4 S=0,4

k=2 P=0,6*0,6=0,36 - при першому пострілі промах, при другому мета знищена

S = 0,4 +0,36 = 0,76

k=3 P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 - ціль знищена при третьому пострілі

S = 0,76 +0,144 = 0,904

k = 4 P = 0,6 * 0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,0576 - при 4-му

S = 0,904 +0,0576 = 0,9616

k = 5 P = 0,6 * 0,4 3 * 0,6 = 0,02304

S=0,9616+0,02304=0,98464 - досягли необхідної ймовірності при k=5.

Відповідь: 5.

Щоб пройти до наступного кола змагань, футбольній команді потрібно набрати хоча б 4 очки у двох іграх. Якщо команда виграє, вона отримує 3 очки, у разі нічиєї – 1 очко, якщо програє – 0 очок. Знайдіть ймовірність, що команді вдасться вийти в наступне коло змагань. Вважайте, що у кожній грі ймовірності виграшу та програшу однакові та дорівнюють 0,4.

Рішення. 4 очки та більше у двох іграх можна набрати такими способами:

3+1 виграла, нічия

1+3 нічия, виграла

3+3 обидва рази виграла

Імовірність виграшу дорівнює 0,4, програшу - 0,4, ймовірність нічиєї дорівнює 1-0,4-0,4 = 0,2.

Р = 0,4 * 0,2 + 0,2 * 0,4 + 0,4 * 0,4 = 2 * 0,08 +0,16 = 0,32

Відповідь: 0,32

Спробуйте вирішити самі:

У партії із 800 цегли є 14 бракованих. Хлопчик вибирає навмання одну цеглу з цієї партії і кидає її з восьмого поверху будівництва. Яка ймовірність, що покинута цегла виявиться бракованою?

Екзаменаційна збірка з фізики для 11 класу складається з 75 квитків. У 12 їх зустрічається питання лазерах. Яка ймовірність, що учень Степа, вибираючи квиток навмання, натрапить на запитання про лазери?

На чемпіонаті з бігу на 100 м виступають 3 спортсмени з Італії, 5 спортсменів з Німеччини та 4 - з Росії. Номер доріжки для кожного спортсмена визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що на другій доріжці стоятиме спортсмен із Італії?

На Київському вокзалі в Москві працюють 28 вікон квиткових кас, поряд з якими юрмляться 4000 пасажирів, які бажають купити квитки на поїзд. За статистикою, 1680 із цих пасажирів неадекватні. Знайти ймовірність того, що касиру, що сидить за 17 вікном, трапиться неадекватний пасажир (враховуючи, що пасажири вибирають касу навмання).

У Владивостоці відремонтували школу та поставили 1200 нових пластикових вікон. Учень 11-го класу, який не хотів здавати ЄДІ з математики, знайшов на газоні 45 бруківок і почав кидати їх у вікна навмання. У результаті він розбив 45 вікон. Знайти ймовірність того, що вікно у кабінеті директора виявиться не розбитим.

Бабуля зберігає на горищі свого заміського будинку 2400 банок із огірками. Відомо, що 870 із них давно протухли. Коли до бабусі приїхав онучок, вона подарувала йому одну банку зі своєї колекції, вибираючи її навмання. Яка ймовірність того, що онучок отримав банку з тухлими огірками?

Бригада із 7 будівельників-мігрантів пропонує послуги з ремонту квартир. За літній сезонвони виконали 360 замовлень, причому у 234 випадках не прибрали будівельне сміття з під'їзду. Комунальні служби обирають одну квартиру навмання та перевіряють якість ремонтних робіт. Знайти ймовірність того, що співробітники комунальних служб не натраплять під час перевірки на будівельне сміття.

Умова

Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 4 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Рішення

Розглянемо подію А: "Джон візьме зі столу пристріляний револьвер і промахнеться". По теоремі про умовної ймовірності(імовірність твору двох залежних подій дорівнює твору ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, знайденого у припущенні, що перша подія вже настала)

$=\frac(4)(10)\cdot (1-0,9)=0,04$,

де $=\frac(m)(n)=\frac(4)(10)$ - це можливість взяти зі столу пристріляний пістолет, а можливість промахнутися з нього ( протилежної подіїпотрапити в ціль) дорівнює \

Розглянемо подію: «Джон візьме зі столу непристріляний револьвер і промахнеться». Аналогічно першому, порахуємо ймовірність

$ = \ frac (10-4) (10) \ cdot (1-0,2) = 0,48 $.

Події А і В несумісні (не можуть відбутися одночасно), отже, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Наведемо інше рішення

Джон потрапляє в муху, якщо схопить пристріляний револьвер і потрапить із нього, або якщо схопить непристріляний револьвер і влучає з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно і. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,36 + 0,12 = 0,48. Подія, що полягає в тому, що Джон схибне, протилежна. Його ймовірність дорівнює 1 - 0,48 = 0,52.