Теорія бернули. Найімовірніше число події у незалежних випробуваннях

Теорема 13.3 (теорема Бернуллі).Якщо у кожному з пнезалежних дослідів ймовірність рпояви події Апостійна, то при достатньо великому числівипробувань імовірність того, що модуль відхилення відносної частоти появи Ав пдослідах від рбуде як завгодно малим, як завгодно близька до 1:

Доведення. Введемо випадкові величини Х 1 , Х 2 , …, Х п, де X i –кількість появи Ав i-му досвіді. При цьому X iможуть приймати лише два значення: 1(з ймовірністю р) та 0 (з ймовірністю q = 1 – p). З іншого боку, аналізовані випадкові величини попарно незалежні та його дисперсії рівномірно обмежені (оскільки D(X i) = pq, p + q = 1, звідки pq≤ ¼). Отже, до них можна застосувати теорему Чебишева при Mi = p:

.

Але , так як X iприймає значення, що дорівнює 1, при появі Ав даному досвіді, і значення, що дорівнює 0, якщо Ане відбулося. Таким чином,

що і потрібно було довести.

Зауваження.З теореми Бернуллі не слід, що Мова йделише про ймовірностітого, що різниця відносної частоти та ймовірності по модулю може стати як завгодно малою. Різниця полягає в наступному: при звичайній збіжності, що розглядається в математичний аналіз, для всіх п, Починаючи з деякого значення, нерівність виконується завжди; у нашому випадку можуть знайтись такі значення п, у яких ця нерівність неправильна. Цей вид збіжності називають збіжністю за ймовірністю.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теореми Чебишева та Бернуллі

На сайті сайт читайте: "закон великих чисел. нерівність чебишева. теореми чебишева та бернуллі"

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теореми Чебишева та Бернуллі
Вивчення статистичних закономірностей дозволило встановити, що за певних умов сумарна поведінка великої кількості випадкових величинмайже втрачає випадковий характер і стає

Нерівність Чебишева
Нерівність Чебишева, використовуване на підтвердження подальших теорем, справедливо як безперервних, так дискретних випадкових величин. Доведемо його дискретних випадкових величин.

Теореми Чебишева та Бернуллі
Теорема 13.2 (теорема Чебишева). Якщо Х1, Х2, ..., Хп - попарно незалежні випадкові величини, дисперсії яких рівномірно

Центральна гранична теорема Ляпунова. Гранична теорема Муавра-Лапласа
Закон великих чисел не досліджує вигляду граничного закону розподілу суми випадкових величин. Це питання розглянуто групи теорем, званих центральної граничної теореми. Про

Полігон частот. Вибіркова функція розподілу та гістограма
Для наочного уявлення про поведінку досліджуваної випадкової величини вибірці можна будувати різні графіки. Один із них – полігон частот: ламана, відрізки якої з'єднують

Двовимірний випадковий вектор
При статистичному дослідженніДвовимірних випадкових величин основним завданням є зазвичай виявлення зв'язку між складовими. Двовимірна вибірка є набір

Способи побудови оцінок
1. Метод найбільшої правдоподібності. Нехай Х - дискретна випадкова величина, яка в результаті п випробувань прийняла значення х1, х

Побудова довірчих інтервалів
1. Довірчий інтервалдля оцінки математичного очікування нормального розподілупри відомій дисперсії. Нехай досліджувана випадкова величина Х розподілена

Бернуллі теорема

одна з найважливіших теорем теорії ймовірностей; є найпростішим випадком т.з. закону великих чисел (див. Великих чисел закон). Б. т. була вперше опублікована у праці Я. Бернуллі «Мистецтво припущень», виданому в 1713. Перші докази Б. т. вимагали складних математичних засобів, лише у середині 19 в. П. Л. Чебишев знайшов надзвичайно витончений і короткий її доказ. Точне формулювання Б. т. таке: якщо при кожному з nнезалежних випробувань ймовірність деякої події дорівнює р,то ймовірність того, що частота m/nпоява події задовольняє нерівності | m/n - p| n випробувань. З доказу Чебишева випливає проста кількісна оцінкацієї ймовірності:

В. І. Бітюцков.

Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Бернуллі теорема" в інших словниках:

Великий Енциклопедичний словник

Одна з граничних теорем теорії ймовірностей; найпростіший випадокзакону великих чисел, відноситься до розподілу відхилень частоти появи деякого випадкової подіївід його ймовірності при незалежних випробуваннях. Встановлено Я. Бернуллі. Енциклопедичний словник

Історично перша форма великих чисел закону. Б. т. наведена в четвертій частині книги Я. Бернуллі (J. Bernoulli) Ars conjeсtandi (Мистецтво припущень). Цю частину можна вважати першою серйозною працею з теорії ймовірностей. Книга видана у… Математична енциклопедія

Одна з граничних теорем теорії ймовірностей; найпростіший випадок закону великих чисел, відноситься до розподілу відхилень частоти появи деякої випадкової події від його ймовірності при незалежних випробуваннях. Встановлено Я. Бернуллі. Природознавство. Енциклопедичний словник

- (Bernoulli) родина швейцарських вчених, родоначальник якої Якоб Б. (помер 1583) був вихідцем із Голландії. Якоб Б. (27.12.1654, Базель, 16.8.1705, там-таки), професор математики Базельського університету (1687). Ознайомившись у…

Незалежні випробування з двома результатами кожне (успіхом та невдачею) і такі, що ймовірності результатів не змінюються від випробування до випробування. Б. в. є однією з основних схем, що розглядаються в теорії ймовірностей. Нехай р ймовірність успіху та … Математична енциклопедія

- (названа на ім'я Я. Бернуллі одна з основних математичних моделейдля опису незалежних повторень дослідів, що використовуються в ймовірності теорії. Би. с. припускає, що є деякий досвід S та пов'язаний з … Велика Радянська Енциклопедія

теорема Бернуллі- - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN Bernoulli theorem … Довідник технічного перекладача

Багаточлен виду де Bs Бернуллі числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 Би. м. можна обчислювати за рекурентної формулиДля натурального Би. м. вперше розглядалися Я. Бернуллі (J. Bernoulli, 1713) у зв'язку з обчисленням суми При довільному ХБ. м. вперше … Математична енциклопедія

Теорема Жуковського теорема про підйомну силу тіла, що обтікає плоскопаралельним потоком ідеальної рідини або газу. Сформульована Н. Є. Жуковським у 1904 році. Формулювання теореми: Підйомна сила крила нескінченного розмаху ... Вікіпедія

Книги

• , Р. Н. Бончківський. Збірник Математичне Просвітництво випуск 6 складено за зразком попередніх випусків та має відділи: елементарна математика, вища математика, методика, задачі розв'язання задач. В кінці…
• Математичне просвітництво. Випуск 6, Бончковського Р. Н.. Ця книга буде виготовлена ​​відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. Збірник «Математичне Просвітництво» випуск 6 складений за зразком попередніх випусків і має…

Відома теорема Я. Бернуллі, яка встановлює зв'язок між частотою події та її ймовірністю, може бути доведена як прямий слідствозакону великих чисел.

Нехай проводиться незалежних дослідів, у кожному з яких може з'явитися чи не з'явитися певна подія, ймовірність якої у кожному досвіді дорівнює. Теорема Я. Бернуллі стверджує, що при необмеженому збільшенні числа дослідів частота події сходиться за ймовірністю його ймовірності.

Позначимо частоту події у дослідах через та запишемо теорему Я. Бернуллі у вигляді формули

, (13.5.1)

де, - скільки завгодно малі позитивні числа.

Потрібно довести справедливість цієї формули за досить великого.

Доведення. Розглянемо незалежні випадкові величини:

Число появи події у першому досвіді;

Число появи події у другому досвіді, і т.д.

Всі ці величини перервні і мають той самий закон розподілу, що виражається поруч виду:

де. Математичне очікування кожної з величин дорівнює , А її дисперсія (див. 10.3).

Частота є не що інше, як середнє арифметичне величин :

і, згідно із законом великих чисел, сходиться ймовірно до загального математичного очікування цих випадкових величин. Звідси й випливає справедливість нерівності (13.5.1).

Теорема Я. Бернуллі стверджує стійкість частоти за постійних умов досвіду. Але за умов досвіду аналогічна стійкість також існує. Теорема, що встановлює властивість стійкості частот при змінних умовахдосвіду, називається теоремою Пуассона і формулюється так:

Якщо виробляється незалежних дослідів і ймовірність появи події у досвіді дорівнює, то при збільшенні частота події сходиться по ймовірності до середнього арифметичного ймовірностей.

Теорема Пуассона виводиться з узагальненої теореми Чебишева точно так, як і теорема Бернуллі була виведена із закону великих чисел.

Теорема Пуассона має велике важливе значення для практичного застосуваннятеорії ймовірностей. Справа в тому, що часто імовірнісні методизастосовуються для дослідження явищ, які в одних і тих же умовах не мають шансів повторитися досить багато разів, але повторюються багаторазово при дуже різноманітних різних умовах, причому ймовірності подій, що цікавлять нас, сильно залежать від цих умов. Наприклад, ймовірність поразки мети в повітряному бою істотно залежить від дальності стрільби, ракурсу мети, висоти польоту, швидкості літака, що стріляє, і мети тощо. повітряного боюсаме у даних фіксованих умовах. І все ж, незважаючи на це, в даному явищіочевидна певна стійкість частот, саме частота поразки мети в реальних повітряних боях, здійснюваних у різних умовах, наближатися до середньої ймовірності поразки мети, характерної цієї групи умов. Тому ті методи організації стрілянини, які засновані на максимальній ймовірності поразки мети, будуть виправдані і в даному випадкунезважаючи на те, що не можна очікувати справжньої масовості дослідів у кожному певному комплексі умов.

Аналогічним чином є справа в галузі дослідної перевірки ймовірнісних розрахунків. Насправді дуже часто зустрічається випадок, коли потрібно перевірити досвіді відповідність обчисленої ймовірності будь-якого події його фактичної частоті. Найчастіше це робиться у тому, щоб перевірити правильність тій чи іншій теоретичної схеми, покладеної основою методу обчислення ймовірності події. Найчастіше при такій експериментальній перевірці не вдається відтворити досить багато разів ті самі умови досвіду. І все ж ця перевірка може бути здійснена, якщо порівняти спостерігану в досвіді частоту події не з його ймовірністю для фіксованих умов, а з середнім арифметичним ймовірностей, обчислених для різних умов.

Тому ваш найближчий час буде вкрай корисним. Крім того, я розповім, в чому помиляється переважна більшістьучасників лотерей та азартних ігор. ...Нієї, віра або слабка надія «зірвати куш» тут зовсім не до чого;-) Не встигнувши і оком моргнути, поринаємо в тему:

Що таке незалежні випробування ? Практично все зрозуміло вже із самої назви. Нехай провадиться кілька випробувань. Якщо ймовірність появи якоїсь події у кожному з них не залежитьвід результатів інших випробувань, то ... закінчуємо фразу хором =) Молодці. При цьому під словосполученням «незалежні випробування» часто мають на увазі повторнінезалежні випробування - коли вони здійснюються один за одним.

Найпростіші приклади:
- Монета підкидається 10 разів;
- Гральна кістка підкидається 20 разів.

Цілком зрозуміло, що можливість випадання орла чи решки у кожному випробуванні залежить від результатів інших кидків. Аналогічне твердження, звісно, ​​справедливе й у кубика.

А ось послідовне вилучення карт з колоди не є серією незалежних випробувань – як ви пам'ятаєте, це ланцюжок залежних подій. Однак якщо карту щоразу повертати назад, то ситуація стане «такою, якою треба».

Поспішаю порадувати – у нас в гостях черговий Термінатор, який абсолютно байдужий до своїх удач/невдач, і тому його стрілянина є зразком стабільності =):

Завдання 1

Стрілець робить 4 постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі постійна і рівна. Знайти ймовірність того, що:

а) стрілок потрапить лише один раз;
б) стрілок потрапить двічі.

Рішення: умова сформульована в загальному вигляді і можливість попадання в ціль при кожному пострілі вважається відомою. Вона дорівнює (якщо дуже важко, привласніть параметру якесь конкретне значеннянаприклад,) .

Якщо ми знаємо, то легко знайти ймовірність промаху в кожному пострілі:
тобто «ку» - це теж відома нам величина.

а) Розглянемо подію «Стрілок потрапить лише один раз»і позначимо його ймовірність через (Індекси розуміються як «одне потрапляння з чотирьох»). Ця подія полягає в 4 несумісних наслідках: стрілок потрапить у 1-й абоу 2-й абоу 3-й абоу 4-й спробі.

Знайти ймовірність того, що при кидку 10 монет орел випаде на 3 монетах.

Тут випробування не повторюються, а скоріше, проводяться одночасно, але, тим не менш, працює та сама формула: .

Рішення відрізнятиметься сенсом та деякими коментарями, зокрема:
способами можна вибрати 3 монети, на яких випаде орел.
- ймовірність випадання орла на кожній із 10 монет
і т.д.

Однак на практиці подібні завданнязустрічаються не так часто, і, мабуть, з цієї причини формула Бернуллі мало не стереотипно асоціюється лише з повторними випробуваннями. Хоча, як щойно було показано, повторюваність зовсім не є обов'язковою.

Наступне завдання для самостійного рішення:

Завдання 3

Гральна кісткакидають 6 разів. Знайти ймовірність того, що 5 очок:

а) не випадуть (випадуть 0 разів);
б) випадуть 2 рази;
в) випадуть 5 разів.

Результати заокруглити до 4 знаків після коми.

Коротке рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Очевидно, що в прикладах, що розглядаються, деякі події більш ймовірні, а деякі – менш ймовірні. Так, наприклад, при 6 кидках кубика навіть без будь-яких розрахунків інтуїтивно зрозуміло, що ймовірності подій пунктів «а» і «бе» значно більше ймовірності того, що «п'ятірка» випаде 5 разів. А тепер поставимо завдання знайти

НАЙВІРЯТНІШЕ число події у незалежних випробуваннях

Знову ж таки на рівні інтуїції в Задачі №3 можна дійти невтішного висновку у тому, що найімовірніша кількість появ «п'ятірки» дорівнює одиниці – адже всього граней шість, і за 6 кидках кубика кожна їх повинна випасти загалом по одному разу. Бажаючі можуть обчислити ймовірність і подивитися, чи буде вона більшою за «конкуруючі» значень і .

Сформулюємо строгий критерій: для відшукання найімовірнішого числа появ випадкової події в незалежних випробуваннях (З ймовірністю в кожному випробуванні)керуються наступною подвійною нерівністю:

, причому:

1) якщо значення - дробове, то існує єдине найімовірніше число;
зокрема, якщо - ціле, то воно і є найімовірніше число: ;

2) якщо ж – ціле, то є дванайімовірніших числа: і .

Найімовірніше число появи «п'ятірки» при 6 кидках кубика підпадає під окремий випадокпершого пункту:

З метою закріплення матеріалу вирішимо пару завдань:

Завдання 4

Імовірність того, що при кидку м'яча баскетболіст потрапить до кошика, дорівнює 0,3. Знайти найбільш імовірне число попадань при 8 кидках і відповідну ймовірність.

А це вже якщо і не Термінатор, то як мінімум холоднокровний спортсмен =)

Рішення: для оцінки найімовірнішого числа влучень використовуємо подвійна нерівність . В даному випадку:

- Усього кидків;
- можливість попадання в кошик при кожному кидку;
- Можливість промаху при кожному кидку.

Таким чином, найімовірніша кількість потраплянь при 8 кидках знаходиться в таких межах:

Оскільки ліва межа – дробове число (Пункт №1), то існує єдине найбільш ймовірне значення, і, очевидно, що воно дорівнює .

Використовуючи формулу Бернуллі , обчислимо ймовірність того, що при 8 кидках буде рівно 2 влучення:

Відповідь: – найімовірніша кількість потраплянь при 8 кидках,
- Відповідна ймовірність.

Аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Завдання 5

Монета підкидається 9 разів. Знайти ймовірність найімовірнішого числа появ орла

Приблизний зразок рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після захоплюючого відступу розглянемо ще кілька завдань, а потім я поділюся секретом правильної грив азартні ігри та лотереї.

Завдання 6

Серед виробів, виготовлених на верстаті-автоматі, загалом буває 60% виробів першого сорту. Яка ймовірність того, що серед 6 удачу відібраних виробів буде:

а) від 2 до 4 виробів першого гатунку;
б) щонайменше 5 виробів першого сорту;
в) хоча б один виріб нижчого сорту.

Імовірність виробництва першосортного виробу залежить від якості інших вироблених виробів, тому йдеться про незалежні випробування. Намагайтеся не нехтувати аналізом умови, а то може статися – події залежніабо завдання взагалі про інше.

Рішення: ймовірність зашифрована під відсотки, які, нагадую, потрібно розділити на сто: – ймовірність того, що вибраний виріб буде 1-го ґатунку.
Тоді: - Імовірність того, що воно не буде першосортним.

а) Подія «Серед 6 навмання відібраних виробів буде від 2 до 4 виробів першого сорту»складається в трьох несумісних наслідках:

серед виробів буде 2 першосортних або 3 першосортних або 4 першосортних.

З наслідками зручніше обробитися окремо. Тричі використовуємо формулу Бернуллі :

- Імовірність того, що протягом дня безвідмовно працюватимуть, як мінімум, 5 комп'ютерів з шести.

Це значеннянас теж не влаштує, тому що воно менше необхідної надійності роботи обчислювального центру:

Таким чином, шести комп'ютерів теж мало. Додаємо ще один:

3) Нехай у обчислювальному центрі комп'ютерів. Тоді безвідмовно мають працювати 5, 6 чи 7 комп'ютерів. Використовуючи формулу Бернуллі та теорему складання ймовірностей несумісних подійЗнайдемо ймовірність того, що протягом дня безвідмовно працюватимуть, як мінімум, 5 комп'ютерів із семи.

Закон великих чисел (теорема Чебишева).

У цьому n° ми доведемо одну з найпростіших, але водночас найбільше важливих формзакону великих чисел-теорему Чебишева Ця теорема встановлює зв'язок між середнім арифметичним спостережених значень випадкової величини та її математичним очікуванням.

Попередньо вирішимо наступне допоміжне завдання.

Є випадкова величина з математичним очікуванням та дисперсією. Над цією величиною виробляється я незалежних дослідів і обчислюється середнє арифметичне всіх спостережених значень величини. Потрібно знайти числові характеристикицього середнього арифметичного - математичне очікування та дисперсію-і дізнатися, як вони змінюються зі збільшенням .

Позначимо:

Значення величини у першому досвіді;

Значення величини у другому досвіді, тощо.

Очевидно, сукупність величин являє собою незалежних випадкових величин, кожна з яких розподілена за тим самим законом, що і сама величина. Розглянемо середнє арифметичне цих величин:

Випадкова величина є лінійна функція незалежних випадкових величин . Знайдемо математичне очікування та дисперсію цієї величини. Відповідно до властивостей математичного очікування та дисперсії для визначення числових характеристик лінійних функцій отримаємо:

Отже, математичне очікування величини не залежить від кількості дослідів і одно математичного очікуванняспостережуваної величини. Що стосується дисперсії величини, то вона необмежено зменшується зі збільшенням числа дослідів і при досить великому повинна бути зроблена як завгодно малою. Ми переконуємося, що середнє арифметичне є випадкова величина зі якою завгодно малою дисперсією і при великій кількості дослідів поводиться майже не випадкова.

Теорема Чебишева і встановлює у точній кількісній форміце властивість стійкості середнього арифметичного. Вона формулюється так:

При досить великому числі незалежних дослідів середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини сходяться ймовірно до її математичного очікування .

Запишемо теорему Чебишева як формули. Для цього роз'яснимо сенс терміна «сходить за ймовірністю». Кажуть, що випадкова величина сходиться по ймовірності до величини, якщо при збільшенні ймовірність того, що і будуть скільки завгодно близькі, необмежено наближається до одиниці, а це означає, що при досить великому

де-довільно малі позитивні числа.

Запишемо в аналогічній формі теорему Чебишева. Вона стверджує, що при збільшенні середнє арифметичне

Сходить ймовірно до , тобто.

(6.7)

Доведемо цю нерівність.

Доведення. Вище було показано, що величина

має числові характеристики

Застосуємо до випадкової величини Y нерівність Чебишева, вважаючи:

Як би мало не було число, можна взяти таким великим, щоб виконувалася нерівність

де - скільки завгодно мале число.

звідки, переходячи до протилежній події, маємо:

що і потрібно було довести.

Відома теорема Я.Бернуллі, яка встановлює зв'язок між частотою події та її ймовірністю, має бути доведена як прямий наслідок закону великих чисел.

Нехай проводиться n незалежних дослідів, у кожному з яких може з'явитися чи не з'явитися подія А, Імовірність появи якого в кожному досвіді дорівнює р . Теорема Я. Бернуллі стверджує, що при необмеженому числіДослідів n частота події А сходиться за ймовірністю до його ймовірності нар.

Позначимо частоту події А в n дослідах через Р та запишемо теорему Бернуллі у вигляді формули

де і - скільки завгодно малі позитивні числа.

Потрібно довести справедливість цієї формули за досить великого n .

Доведення. Розглянемо незалежні випадкові величини:

Х 1 - Число появи події Ау першому досвіді;

Х 2- Число появи події Ау другому досвіді, і т.д.

Всі ці величини дискретні і мають один і той же закон розподілу, що виражається поряд виду

Тут q = 1 - p. Математичне очікування кожної із цих величин Х i дорівнює р, та її дисперсія pq (див Л3-п3.2).

Частота Р є нічим іншим, як середнє арифметичне величин Х 1 , Х 2 , ... , Х n:

Р = i /n ,

і, згідно із законом великих чисел, сходиться ймовірно до загального математичного очікування цих випадкових величин. Звідси й випливає справедливість нерівності (6. 1) .

Теорема Бернуллі. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Теорема Бернуллі." 2017, 2018.