Випадкові величини мають наступний спільний закон розподілу. §4

УРОК 19/ III-2 Віддзеркалення світла. Закони відбиття.

Відображення світла. Закони відбиття світла.

Пояснення нового матеріалу

Завдяки відображенню світла всі живі організми можуть бачити навколишні предмети. Чорні поверхні ми бачимо завдяки тому, що ці поверхні поглинають усі промені, що падають на цю поверхню, червоні – відбивають червоні промені, а інші – поглинають.

Вчених давно цікавило, як відбувається віддзеркалення світла та закони віддзеркалення були відкриті дуже давно.

Проведемо наступний досвід. (Демонструється відображення від плоского дзеркала за допомогою оптичного диска). У результаті учні повинні дійти висновків, що падаючий промінь, відбиваючись від дзеркала, повертається в тугіше середовище. Це і називається відбитком світла.

Досвідченим шляхом встановлюються закони відбиття світла.

Перший закон відбиття світла

Промінь світла направляють на поверхню дзеркала так, щоб промінь лежав у площині дзеркала. Закриваючи чверть диска, де проходить світловий промінь, листом щільного паперу встановлюють, що відбитий промінь є видимим лише тоді, коли папір щільно притиснутий до диска і площину паперу збігається з площиною диска. В результаті спостереження учні повинні переконатися, що падаючий і відбитий промені лежать в одній площині з перпендикуляром поверхні відображення, проведеним з точки падіння променя.

Другий закон відображення світла

Пересуваючи джерело світла по краю диска, змінюють напрямок падаючого променя. При цьому щоразу змінюється напрямок відбитого променя. Необхідно звернути увагу, що кути падіння та відображення при цьому завжди залишаються рівними. Для встановлення зв'язку між падаючим і відбитим променями, учні креслять у зошиті схему досвіду та записують визначення падаючого променя, відбитого та їх рівність між собою.

Оборотність світлових променів

Із законів відбиття світла випливає, що падаючий і відбиті промені оборотні. Якщо в результаті з дослідів з оптичним диском світловий промінь падатиме вздовж прямої, по якій поширювався промінь, що падає, то після відображення він буде поширюватися вздовж прямої по якій проходив падаючий промінь.

Ця властивість називається оборотністю світлових променів.

Побудова зображення у плоскому дзеркалі

Дзеркало – дуже звична річ у житті кожної людини. Найчастіше використовується у житті людини плоске дзеркало.

Дзеркало, поверхня якого є плоскою, називають плоским дзеркалом.

Якщо перед плоским дзеркалом розмістити предмет, наприклад свічку, то здається, що за дзеркалом розміщений такий самий предмет, який ми називаємо зображенням в плоскому дзеркалі.

Відомо, що людина бачить точку, що світиться, якщо промені, що виходять з неї, безпосередньо потрапляю в око. Промені світла (при відображенні від дзеркала, див. мал.) не потрапляють безпосередньо в око людини. Разом з тим,

12-Д. Відображення світла

Зробимо досвід. На дзеркало, що лежить на столі, поставимо напіввідкриту книгу. Зверху направимо пучок світла так, щоб він відбивався від дзеркала, але на книгу не потрапляв. У темряві ми побачимо падаючий і відбитий пучки світла. Накриємо тепер дзеркало папером. В цьому випадку ми будемо бачити пучок, що падає, а відбитого пучка не буде. Виходить, що світло від паперу не відбивається?

Придивимося до малюнків уважніше. Зауважте, коли світло падає на дзеркало, текст книги практично не можна прочитати через слабке освітлення. Але коли світло падає на аркуш паперу, текст книги стає видимим набагато виразніше, особливо у нижній своїй частині. Отже, книга висвітлюється сильніше. Але що її висвітлює?

При падінні світла різні поверхні можливі два варіанта. Перший. Пучок світла, що падає на поверхню, відбивається нею також у вигляді пучка. Таке віддзеркалення світла називається дзеркальним відбитком. Другий. Пучок світла, що падає на поверхню, відбивається нею у всіх напрямках. Таке віддзеркалення світла називають розсіяним відбитком чи просто розсіянням світла.

Дзеркальне відображення виникає на дуже гладких (полірованих) поверхнях. Якщо ж поверхня шорстка, то вона обов'язково буде розсіяти світло. Саме це ми й спостерігали, коли накривали дзеркало аркушем паперу. Вона відбивала світло, розсіюючи його за всілякими напрямами, в тому числі і на книгу, висвітлюючи її.

поверхні в точці зламу променя (кут b).

При відображенні світла виконуються дві закономірності: Перша. Промінь падаючий, промінь відбитий і перпендикуляр до поверхні, що відбиває в точці зламу променя завжди лежать в одній площині. Друга. Кут падіння дорівнює куту відбиття. Ці два твердження виражають суть закону відображення світла.

На лівому малюнку промені та перпендикуляр до дзеркала не лежать в одній площині. На правому малюнку кут відбиття не дорівнює куту падіння. Тому таке відображення променів не можна отримати з досвіду.

Закон відображення є справедливим як для дзеркального випадку, так і для випадку розсіяного відображення світла. Звернемося ще раз до креслень на попередній сторінці. Незважаючи на уявну безладність у відображенні променів на правому кресленні, всі вони розташовані так, що кути відбиття дорівнюють кутам падіння. Погляньте, шорстку поверхню правого креслення ми "розрізали" на окремі елементи і провели перпендикуляри в точках зламу променів:

Вирішення якісних завдань

Кут між падаючим променем та дзеркальною поверхнею становить 50 0 . Чому дорівнює кутпадіння, кут відбиття, кут між падаючим і відбитими променями. У скільки разів кут між падаючим і відбитими променями більший, ніж кут падіння? (Відповідь: 40 0, 40 0, 80 0, вдвічі).

Чому дорівнює кут падіння, якщо світловий промінь падає перпендикулярно до дзеркальної поверхні? (Відповідь: 0 0).

Кут падіння збільшився на 20°. На скільки збільшиться кут між падаючими та відбитими променями? (Відповідь: 40 0).

Кут падіння вдвічі більше, ніж кут між відбитим променем та дзеркальною поверхнею. Чому дорівнює кут падіння? (Відповідь: 30 0).

ПЕРЕВІР СЕБЕ - Закріплення нового матеріалу

Сформулюйте закон відбиття світла.

У чому полягає закон явища відображення світла?

Який кут називається кутом падіння; відображення?

Яку властивість падаючого та відбитого променя називають оборотним?

Чому іноді вдень вікна будинків нам здаються темними, а іноді світлими?

Якими темними чи світлими ми бачимо дорогу та калюжі на ній, якщо вночі за відсутності зовнішнього освітлення увімкнути фари автомобіля?

Відображення СВІТУ. ( записати до зошита)

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Відображення СВІТУ

(виконати завдання:

з 1 по 16 записати тільки відповідь,

Нехай простір елементарних результатів W випадкового експериментутаке, що кожному результату w i j ставитися у відповідність значення випадкової величини X, що дорівнює x i та значення випадкової величини Y, рівне y j.

1. Уявимо упаковку деталей, що характеризуються 2-га габаритними розмірами. Випадковий експеримент полягає у випадковому виборі однієї деталі. Ця деталь має довжину, яку позначатимемо X і товщину-Y

2. Якщо результат експерименту – вибір студента для подання до підвищеної стипендії. Тоді Х та Y – середні бали за останні дві сесії

У цьому випадку ми можемо говорити про спільний розподіл випадкових величин X і Y або про "двовимірну" випадкову величину.

Якщо X і Y дискретні і набувають кінцевого числа значень (X – nзначень, а Y – mзначень), то закон спільного розподілувипадкових величин X та Y можна задати, якщо кожній парі чисел x i, y j(де x iналежить безлічі значень X, а y j-Більшості значень Y) поставити у відповідність ймовірність p ij, рівну ймовірностіподії, що поєднує всі результати w ij(і що складається лише з цих результатів), які призводять до значень X = x i; Y = y j.

Такий закон розподілу можна поставити у вигляді таблиці:

а перший та останній рядки дають ряд розподілу випадкової величини Y. Таблиця є законом розподілу двовимірної дискретної випадкової величини, якщо сума ймовірностей в останньому рядку або в останньому стовпці (і відповідно, сума ймовірностей усередині таблиці) = 1.

Користуючись цією таблицею, за аналогією з одновимірним випадком можна визначити спільну функцію розподілу. Для цього необхідно підсумувати р ij по всіх i, j для яких x i< x, y j < y

Розглянемо приклад(«ТВ» МДТУ ім. Баумана)

Відповідно до схеми Бернуллі з ймовірністю успіху p, і ймовірністю невдачі q =1-p проводяться 2 випробування.

Розглянемо розподіл двовимірного вектора (Х1, Х2), кожна з яких може приймати 2 значення: 0 або 1 (число успіхів у відповідному досвіді). Число успіхів в обох випробуваннях дорівнює 0, коли відбудуться 2 невдачі, а це через незалежність дорівнює qq. Тому

і на перетині «0» стовпців пишемо q2.

Спільна функція розподілу F (x 1 , x 2) задає поверхню в тривимірному просторі.

Визначення. Умовним законом розподілу(X | Y = y j) (j зберігає те саме значення при всіх значеннях Х) називають сукупність умовних ймовірностей р (x 1 | y j), р (x 2 | y j), ... р (x n | y j), а умовні ймовірності обчислюються за формулами:

р (X = x i | Y = y j) = р (X = x i, Y = y j) / р (Y = y j)

приклад. Задано дискретну двовимірна величина

р(X = x 1 | Y = y 1) = р (X = x 1, Y = y 1) / р (Y = y 1) = 0,15/0,8 = 3/16

р(X = x 2 | Y = y 1) = р (X = x 2, Y = y 1) / р (Y = y 1) = 0,3/0,8 = 3/8

р(X = x 3 | Y = y 1) = р (X = x 3, Y = y 1) / р (Y = y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

Перевірка: сума ймовірностей дорівнює 1.

Зауваження. Отже, можна перевірити і незалежність випадкових величин. Аналогічно випадку незалежності подій, незалежність випадкових величин може бути визначена через умовні ймовірності. Залишається лише порівняти умовний та безумовний закони розподілу.

приклад.

Розглянемо коробку, в якій лежать дві картки з цифрою 1 та три картки з цифрою 2. Одна за одною виймаються дві картки. X – номер першої картці. Y – на другий. Знайти спільний закон розподілу (X, Y)

Використовуємо формулу добутку ймовірностей P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

Сума ймовірностей = 1.

Нехай простір елементарних результатів  випадкового експерименту такий, що кожному результату  i j ставиться у відповідність значення випадкової величини , що дорівнює x i та значення випадкової величини , рівне y j.

1. Уявімо велику сукупність деталей, що мають вигляд стрижня. Експеримент полягає у випадковому виборі одного стрижня. Цей стрижень має довжину, яку позначатимемо  і товщину- (можна вказати інші параметри-обсяг, вага, чистота обробки, виражена в стандартних одиницях).

2. Якщо розглянути акції двох різних корпорацій, то на цей день біржових торгів кожна з них характеризується певною прибутковістю. Випадкові величини  і  – це прибутковість акцій цих корпорацій.

У цих випадках ми можемо говорити про спільний розподіл випадкових величин  і  або про “двовимірну” випадкову величину.

Якщо  і  дискретні та набувають кінцевої кількості значень ( – nзначень, а  – kзначень), то закон спільного розподілу випадкових величин  і  можна задати, якщо кожній парі чисел x i , y j (де x iналежить безлічі значень , а y j-Більшості значень ) поставити у відповідність ймовірність p i j, що дорівнює ймовірності події, що об'єднує всі результати  i j(і що складається лише з цих результатів), які призводять до значень  = xi;  = y j.

Такий закон розподілу можна поставити у вигляді таблиці:

Очевидно

Якщо підсумувати все р i jв i–й рядку, то отримаємо –ймовірність того, що випадкова величина  набуде значення x i . Аналогічно, якщо підсумувати все р i jв j-м стовпці, то отримаємо

ймовірність того, що  набуває значення y j .

Відповідність x i  P i (i = 1,2,, n) визначає закон розподілу , також як відповідність y j  P j (j = 1,2,, k) визначає закон розподілу випадкової величини .

Очевидно,.

Раніше ми говорили, що випадкові величини  та  незалежні, якщо

pij = PiP j (i= 1,2, ,n;j= 1,2,, k).

Якщо це не виконується, то  та  залежні.

У чому проявляється залежність випадкових величин  та  та як її виявити з таблиці?

Розглянемо стовпець y 1 . Кожному числу x iпоставимо у відповідність число

p i / 1 = (1)

яке називатимемо умовною ймовірністю = x iпри = y 1 . Це не ймовірність P iподії = x i, і порівняйте формулу (1) із вже відомою формулою умовної ймовірності.

Відповідність

xiрi/ 1 , (i=1,2,, n)

називатимемо умовним розподілом випадкової величини  при = y 1 . Очевидно.

Аналогічні умовні закони розподілу випадкової величини  можна побудувати за всіх інших значень , рівних y 2 ; y 3 ,, y nставлячи у відповідність числу x iумовну ймовірність p i / j =().

У таблиці наведено умовний закон розподілу випадкової величини  при = y j

Можна запровадити поняття умовного математичного очікування  при  = y j

Зауважимо, що  та  рівноцінні. Можна ввести умовний розподіл  при = x i відповідністю

(j= 1,2,, k)

Також можна запровадити поняття умовного математичного очікування випадкової величини  при = x i :

З визначення випливає, що якщо  і  незалежні, то всі умовні закони розподілу однакові та збігаються із законом розподілу  (нагадуємо, що закон розподілу  визначається у таблиці (*) першим та останнім стовпцем). При цьому, очевидно, збігаються всі умовні математичні очікування М(/ = y j) при j = 1,2,, kякі рівні М.

Якщо умовні закони розподілу  при різних значеннях різні, то кажуть, що між  та  має місце статистична залежність.

Приклад I. Нехай закон спільного розподілу двох випадкових величин  та  заданий наступною таблицею. Тут, як говорилося раніше, перший та останній стовпці визначають закон розподілу випадкової величини , а перший та останній рядки – закон розподілу випадкової величини .

Полігони умовних розподілів можна зобразити на тривимірному графіку (рис. 1).

Приклад ІІ. (Вже зустрічався).

Нехай дані дві незалежні випадкові величини  і  із законами розподілу

Побудуємо таблицю закону спільного розподілу  та .

Щоб отримати =2 і =0, потрібно щоб  прийняла значення 0, а  набула значення 2. Оскільки  та  незалежні, то

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Очевидно також Р(=3; =0)=0.

Приклад ІІІ.

Розглянемо закон спільного розподілу  та , заданий таблицею

У цьому випадку виконується умова P(= x i ; =y j)=P(= x i)P(= y j), i, j =1,2,3

Побудуємо закони умовних розподілів

Закони умовних розподілів  не відрізняються один від одного при =1,2,3 і збігаються із законом розподілу випадкової величини . У даному випадку та  незалежні.

Характеристикою залежності між випадковими величинами  та  служить математичне очікування твору відхилень  і  від їхніх центрів розподілів (так іноді називають математичне очікування випадкової величини), яке називається коефіцієнтом коварації або просто підступністю.

cov(; ) = M((– M)(– M))

Нехай  =  x 1 , x 2 , x 3 ,, x n ,  =  y 1 , y 2 , y 3 ,, y k. Тоді

cov(; )=(2)

Цю формулу можна інтерпретувати так. Якщо при більших значеннях  більш ймовірні великі значення , а при малих значеннях  більш ймовірні малі значення , то у правій частині формули (2) позитивні доданки домінують, і коваріація набуває позитивних значень.

Якщо ж можливі твори ( x i – M)( y j – M), що складаються з співмножників різного знака, тобто результати випадкового експерименту, що призводять до великих значень  в основному призводять до малих значень  і навпаки, то коваріація набуває великих за модулем негативних значень.

У першому випадку прийнято говорити про прямий зв'язок: зі зростанням  випадкова величина  має тенденцію до зростання.

У другому випадку говорять про зворотний зв'язок : зі зростанням  випадкова величина  має тенденцію до зменшення чи падіння.

Якщо приблизно однаковий вклад у суму дають і позитивні та негативні твори ( x i – M)( y j – M)p i j, то можна сказати, що в сумі вони "гаситимуть" один одного і коваріація буде близька до нуля. І тут не проглядається залежність однієї випадкової величини з іншого.

Легко показати, що якщо P(( = x i)∩( = y j)) = P( = x i)P( = y j) (i = 1,2,, n; j = 1,2,, k), то cov(; )= 0.

Дійсно з (2) випливає

Тут використано дуже важлива властивістьматематичного очікування: математичне очікування відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю.

Доказ (для дискретних випадкових величин з кінцевим числомзначень).

Коваріацію зручно представляти у вигляді

cov(; )= M(– M–M+ M M)=M()– M( M)–M(M)+ M(M M)=

=M()– MM– M M+M M=M()– M M

Коваріація двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їхнього твору мінус добуток математичних очікувань.

Легко доводиться така властивість математичного очікування: якщо  і -незалежні випадкові величини, то М()= М М. (Довести самим, використовуючи формулу M() = )

Таким чином, для незалежних випадкових величин  та  cov(;)=0. Завдання. 1. Монету підкидають 5 разів. Випадкова величина  – число гербів, що випали, випадкова величина  – число гербів, що випали, в останніх двох кидках. Побудувати спільний закон розподілу випадкових величин, побудувати умовні закони розподілу  за різних значень . Знайти умовні математичні очікуваннята підступність  та .

2. Дві карти навмання витягуються з колоди в 32 листи. Випадкова величина  – число тузів у вибірці, випадкова величина  – число королів у вибірці. Побудувати спільний закон розподілу  та , побудувати умовні закони розподілу  за різних значень . Знайти умовні математичні очікування та підступність  та .

Багатокутник розподілу СВХ - випадання очок при киданні гральної кістки.

3Ряд розподілу, багатокутник розподілу

Способи або форми подання закону розподілу СВ можуть бути різними.

Найпростішою формою завдання закону розподілу ДСВ X є низка розподілу.

Поряд розподілу ймовірностей ДСВ X називають таблицю в якій перераховані всі можливі значення СВ та ймовірності того, що СB прийме ці значення.

Так як події несумісні, тому що може прийняти в результаті досвіду лише одне значення і утворюють повну групу подій, то.

Тому для перевірки правильності складання таблиці необхідно підсумувати всі ймовірності.

Для наочності ряд розподілу є графічно. Для цього всі можливі значення СВ відкладають по осі 0х, а по осі 0у- Відповідні ймовірності. Вершини одержаних ординат зазвичай з'єднують відрізками прямих.

З'єднання вершин ординат виробляється лише з метою наочності, т.к. у проміжках між і, і т.д. СВ X значень прийняти не може, тому ймовірності її появи в цих проміжках дорівнюють нулю.

Така постать називається багатокутником розподілу.

Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу є однією з форм завдання закону розподілу ДСВ Х.

Багатокутники розподілу можуть мати різну форму.

приклад- Імовірність того, що курсант здасть семестровий іспит у сесію з дисциплін А і В відповідно дорівнюють 0,7 та 0,8. Скласти ряд розподілу та побудувати багатокутник розподілу числа семестрових іспитів, які складає курсант.

РішенняМожливі значення С X - число зданих іспитів - 0, I, 2.

Нехай подія полягає в тому, що курсант здає i-й іспит ( i=1, 2).

Вважаючи інезалежними, матимемо ймовірність того,

що курсант не здасть іспити

що здасть один іспит

що здасть два іспити

Ряд розподілу та багатокутник розподілу матимуть вигляд

Закон розподілу ССВ може бути заданий у різних формах. Однією із форм завдання є таблиця розподілу СДСВ.

Нехай X і У - ДСВ, можливі значення яких де. Тоді розподіл системи таких СВ може бути охарактеризовано вказівкою ймовірностей того, що СВ X прийме значення і одночасно з цим СВ прийме значення. Імовірності зводяться до таблиці виду

Така таблиця називається таблицею (матрицею) розподілу СДСВ із кінцевим числом можливих значень. Усі можливі події становлять повну групу несумісних подійтому

Підсумкові стовпець або рядок таблиці розподілу представляють відповідно розподіл одновимірних складових або.

Дійсно, розподіл одновимірної СВХ можна отримати, обчисливши ймовірність події як суму ймовірностей несумісних подій

Аналогічно

Таким чином щоб по таблиці розподілу знайти ймовірність того, що одномірна СВ прийняла певне значення, треба підсумувати ймовірності з відповідного цього значення рядка (стовпця) даної таблиці.

Якщо зафіксувати значення одного аргументу, наприклад, покласти , отриманий розподіл СВХ називається умовним розподілом X за умови.

Імовірності цього розподілу будуть умовними ймовірностями події, знайденими за умови, що подія сталася.

З визначення умовної ймовірності

Аналогічно умовніший розподіл СВУ за умови дорівнює

Стандартні розподіли випадкових величин. Рівномірний розподілта її особливості.

Закон розподілу випадкової величини та випадкового вектора

При вивченні СВ не можна обмежуватися лише знанням множин їх можливих значень.

Необхідно також знати з якими ймовірностями СВ приймає ці значення, і більш загально, які ймовірності попадання СВ у ті чи інші інтервали безлічі точок осі 0х. Зазвичай розглядають інтервали

Якщо відомі всі можливі значення СВ, і якщо може знаходити ймовірності різних подій, пов'язаних зі СВ, тобто. знаходити ймовірності попадання у той чи мною інтервал, то з ймовірнісної точки зору про цю СВ відомо все.

Законом розподілу СВ називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями СВ та відповідними ймовірностями. Про СВ кажуть, що вона підпорядкована цьому закону розподілу. Його можна поставити аналітично, таблично, графічно.

Характеристикою випадкового вектора є її закон розподілу.

Законом розподілу ССВ називається співвідношення, що встановлює зв'язок між областями можливих значень ССВ та ймовірностями появи системи у цих областях.

Як і однієї СВ, закон розподілу ССВ може бути заданий у різних формах.

Спільний розподіл кількох випадкових величин

Для вивчення системи випадкових величин потрібно знати закон спільного розподілу їх ймовірностей. Розглянемо систему 2-х випадкових величин xі y, І.О. двовимірну випадкову величину. Систему двох випадкових величин сприймаємо як систему двох одновимірних величин. Кожну з величин xі yназивають компонентом двовимірної випадкової величини. Двовимірну випадкову величину називають дискретною, якщо її компоненти дискретні.

(x i; y j)– можливі

Випадкова величина представляє систему двох випадкових її величин декартових координат. Завдання закону її спільного розподілу величин xі yозначає завдання ймовірності влучення випадкової точки величини x, yв точку x i; y j. Ймовірність Р(x = x i; y = y j)=P i,j, i=1……n; j=1……..m. Ці можливості бувають будь-якими неотрицательными числами, сума яких дорівнює 1. Т.к. події x = x i; y=y jутворюють повну групу. Тобто. закон розподілу заданий у вигляді таблиці з двома входами. 1 стовпець містить усі можливі значення x, а перший рядок всі можливі значення компоненти y, кожну ймовірність P i,jможна розглядати як поєднання випадкових подій x = x i; y=y j.

	y 1	y 2 ……….	y m
x 1	P 11	P 12	P 1m
x 2	P 21	P 22	P 2n
x n	P n1	P n2	P nm

Дві дискретні величини x, yназиваються незалежними, якщо для всіх їх можливих значень x i; y jмає місце рівність

P i,j = Р(Х = x i) × P (Y = y j)

Це визначення розподілу і найбільша кількістьдискретні випадкові величини.

Приклад: У першому ящику 6 куль, у злодієм також 6 куль

I 1 куля з номером 1

2 кулі з номером 2 Х - № із I ящика

3 кулі з номером 3

II 2 кулі з номером 1

3 кулі з номером 2 Х - № із II ящика

1 куля з номером 3

З кожного ящика взяли по кулі, скласти таблицю закону розподілу системи випадкових величин. Знайти закони розподілу складових.

Нехай ( х, у)- Двовимірна безперервна випадкова величина. Двовимірну випадкову величину (х, у)– називають безперервною, якщо її компоненти безперервні. Крім того величини х, умають безперервною щільністюрозподілу.

P(x

Як диференційована функція

Функція задовольняє 2-ма основними властивостями f(x,y)³ 0 та подвійний інтеграл

Імовірність потрапляння випадкової точки в будь-яку область Dна площині х, у, має бути представлена ​​у вигляді подвійного інтеграла:

Функція розподілу повинна бути виражена, як:

F(x;y)=

Графік щільності розподілу називають поверхнею розподілу ймовірності.

Приклад: Знайти функцію розподілу двовимірної випадкової величини з щільністю розподілу:

f(x; y) = e-x-y (x 0, y 0)

P(0

Розподіл компонент безперервної випадкової величини (х; у).

Закон спільного розподілу величин хі уповністю визначає закони розподілу кожної з величин хі у. Нехай F(x;y)– щільність спільного розподілу величин хі у. Знайдемо щільність розподілу величини х. Розглянемо ймовірність влучення значення величини ху будь-який інтервал від х 1 до х 2 .

т.к. попадання абсциси в інтервалі рівносильне попаданню точки у вертикальну область D, то ймовірність цих подій рівні.

Цей інтеграл можна записати і таким чином

Порівняємо з іншою рівністю. Відповідно до визначення щільності розподілу слід, що потрібна щільність дорівнює

,

Аналогічно площа розподілу величини убуде рівна

Ці поняття узагальнюються для систем понад 2 величини.

Визначення: Безперервні випадкові величини хі уназиваються незалежними, якщо щільність спільного розподілу дорівнює добутку щільності цих величин

Умови незалежності.

Спільний розподіл кількох випадкових величин - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Спільний розподіл кількох випадкових величин" 2017, 2018.

Скористаємося викладеним вище загальним методом на вирішення однієї завдання, саме знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин. Є система двох випадкових величин (X,Y) із щільністю розподілу f(x,у).

Розглянемо суму випадкових величин X та Y: і знайдемо закон розподілу величини Z. Для цього побудуємо на площині хОу лінію, рівняння якої (Рис. 6.3.1). Це - пряма, що відсікає на осях відрізки, рівні z. Пряма ділить площину хоу на дві частини; правіше і вище за неї ; ліворуч і нижче

Область D у разі - ліва нижня частина площини хОу, заштрихована на рис. 6.3.1. Відповідно до формули (6.3.2) маємо:

Це загальна формула для щільності розподілу суми двох випадкових величин.

З міркувань симетричності задачі щодо X та Y можна написати інший варіант тієї ж формули:

Потрібно зробити композицію цих законів, т. е. визначити закон розподілу величини: .

Застосуємо загальну формулу для композиції законів розподілу:

Підставляючи ці висловлювання у формулу, що вже зустрічалася нам

а це є не що інше, як нормальний закон із центром розсіювання

До того ж висновку можна зробити значно простіше за допомогою наступних якісних міркувань.

Не розкриваючи дужок і не роблячи перетворень у підінтегральній функції (6.3.3), відразу приходимо до висновку, що показник ступеня є квадратний тричлен щодо їх виду

де коефіцієнт А величина z не входить зовсім, коефіцієнт Входить в першому ступені, а в коефіцієнт С - в квадраті. Маючи це на увазі і застосовуючи формулу(6.3.4), приходимо до висновку, що g(z) є показовою функцією, показник ступеня якої - квадратний тричлен щодо z, а щільність определения; такого виду відповідає нормальному закону. Таким чином, ми; приходимо до суто якісного висновку: закон розподілу величини z має бути нормальним. Щоб знайти параметри цього закону – і - скористаємося теоремою складання математичних очікувань та теоремою складання дисперсій.

За теоремою складання математичних очікувань . За теоремою складання дисперсій або звідки випливає формула (6.3.7).

Переходячи від середньоквадратичних відхилень до пропорційних їм можливих відхилень, отримаємо:
.

Таким чином, ми дійшли наступного правила: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон, причому математичні очікування та дисперсії (або квадрати ймовірних відхилень) підсумовуються.

Правило композиції нормальних законів може бути узагальнено у разі довільного числа незалежних випадкових величин.

Якщо є n незалежних випадкових величин: підпорядкованих нормальним законам з центрами розсіювання та середньоквадратичними відхиленнями, то величина також підпорядкована нормальному закону з параметрами

Якщо система випадкових величин (X, Y) розподілена за нормальним законом, але величини X, Y залежні, то неважко довести, як і раніше, з загальної формули (6.3.1), що закон розподілу величини є нормальний закон. Центри розсіювання, як і раніше, складаються алгебраїчно, але для середньоквадратичних відхилень правило стає більш складним: де r - коефіцієнт кореляції величин X і Y.

При додаванні кількох залежних випадкових величин, підпорядкованих у своїй сукупності нормальному закону, закон розподілу суми також виявляється нормальним з параметрами

де - коефіцієнт кореляції величин X i , X j , а підсумовування поширюється попри всі різні попарні комбінації величин .

Ми переконалися у дуже важливому властивості нормального закону: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон. Це – так зване «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким, якщо за композиції двох законів цього виходить знову закон тієї самої типу. Вище ми показали, що нормальний закон є стійким. Властивістю стійкості мають дуже небагато законів розподілу. Закон рівномірної густини нестійкий: при комбінації двох законів рівномірної густини на ділянках від 0 до 1 ми отримали закон Сімпсона.

Стійкість нормального закону - одне з істотних умов його поширення практично. Однак властивість стійкості, крім нормального, мають і деякі інші закони розподілу. Особливістю нормального закону є те, що при композиції досить великої кількості практично довільних законів розподілу сумарний закон виявляється як завгодно близький до нормального незалежно від того, якими були закони розподілу доданків. Це можна проілюструвати, наприклад, складаючи композицію трьох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1. Закон розподілу g(z), що при цьому приходить, зображений на рис. 6.3.1. Як очевидно з креслення, графік функції g(z) дуже нагадує графік нормального закону.