Неявне завдання функції двох змінних. Обчислення похідних неявних функцій, заданих системою рівнянь

Нехай функція задана неявним чином за допомогою рівняння
(1) .
І нехай це рівняння, при певному значенні, має єдине рішення. Нехай функція є функцією, що диференціюється в точці , причому
.
Тоді, при цьому значенні, існує похідна, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Для доказу розглянемо функцію як складну функцію від змінної:
.
Застосуємо правило диференціювання складної функції та знайдемо похідну по змінній від лівої та правої частинрівняння
(3) :
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю і , то
(4) ;
.

Формулу доведено.

Похідні вищих порядків

Перепишемо рівняння (4), використовуючи інші позначення:
(4) .
При цьому і є складними функціями від змінної:
;
.
Залежність визначає рівняння (1):
(1) .

Знаходимо похідну за змінною від лівої та правої частини рівняння (4).
За формулою похідної складної функції маємо:
;
.
За формулою похідної твори:

.
За формулою похідної суми:


.

Оскільки похідна правої частини рівняння (4) дорівнює нулю, то
(5) .
Підставивши сюди похідну, отримаємо значення похідної другого порядку у неявному вигляді.

Диференціюючи, аналогічно, рівняння (5), ми отримаємо рівняння, що містить похідну третього порядку :
.
Підставивши сюди знайдені значення похідних першого та другого порядків, знайдемо значення похідної третього порядку.

Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідну будь-якого порядку.

Приклади

Приклад 1

Знайдіть похідну першого порядку від функції, заданої неявно рівнянням:
(П1) .

Рішення за формулою 2

Знаходимо похідну за формулою (2):
(2) .

Перенесемо всі змінні в ліву частинущоб рівняння набуло вигляду.
.
Звідси.

Знаходимо похідну за вважаючи постійною.
;
;
;
.

Знаходимо похідну за змінною, вважаючи змінну постійною.
;
;
;
.

За формулою (2) знаходимо:
.

Ми можемо спростити результат, якщо зауважимо, що відповідно до вихідного рівняння (П.1), . Підставимо:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Рішення другим способом

Вирішимо цей приклад другим способом. Для цього знайдемо похідну змінної лівої та правої частин вихідного рівняння (П1).

Застосовуємо:
.
Застосовуємо формулу похідного дробу:
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Диференціюємо вихідне рівняння (П1).
(П1) ;
;
.
Помножуємо на та групуємо члени.
;
.

Підставимо (з рівняння (П1)):
.
Помножимо на:
.

Відповідь

Приклад 2

Знайти похідну другого порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П2.1) .

Рішення

Диференціюємо вихідне рівняння, за змінною , вважаючи, що є функцією від :
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.

Диференціюємо вихідне рівняння (П2.1):
;
.
З вихідного рівняння (П2.1) випливає, що . Підставимо:
.
Розкриваємо дужки та групуємо члени:
;
(П2.2) .
Знаходимо похідну першого порядку:
(П2.3) .

Щоб знайти похідну другого порядку, диференціюємо рівняння (П2.2).
;
;
;
.
Підставимо вираз похідної першого порядку (П2.3):
.
Помножимо на:

;
.
Звідси знаходимо похідну другого порядку.

Відповідь

Приклад 3

Знайти похідну третього порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П3.1) .

Рішення

Диференціюємо вихідне рівняння за змінною вважаючи, що є функцією від .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Диференціюємо рівняння (П3.2) по змінній.
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Диференціюємо рівняння (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

З рівнянь (П3.2), (П3.3) та (П3.4) знаходимо значення похідних при .
;
;
.

Як відомо, неявно задана функція однієї змінної визначається так: функція незалежної змінної x називається неявною, якщо вона задана рівнянням, не дозволеним щодо y:

приклад 1.11.

Рівняння

неявно ставить дві функції:

А рівняння

не ставить жодної функції.

Теорема 1.2 (існування неявної функції).

Нехай функція z =f(х,у) та її приватні похідні f"x і f"y визначені і безперервні в околиці UM0 точки M0(x0y0). Крім того, f(x0,y0)=0 і f"(x0,y0)≠0, тоді рівняння (1.33) визначає в околиці UM0 неявну функцію y= y(x), безперервну і диференційовану в деякому інтервалі D з центром точці x0, причому y(x0)=y0.

Без підтвердження.

З теореми 1.2 слід, що у цьому інтервалі D:

тобто має місце тотожність по

де "повна" похідна знаходиться згідно (1.31)

Тобто (1.35) дає формулу знаходження похідної неявно заданої функції однієї змінної x .

Аналогічно визначається і неявна функція двох і більше змінних.

Наприклад, якщо в деякій області V простору Oxyz виконується рівняння:

то за деяких умов на функцію F воно неявно задає функцію

При цьому за аналогією з (1.35) її похідні приватні знаходяться так:

приклад 1.12. Вважаючи, що рівняння

неявно задає функцію

знайти z"x, z"y.

тому згідно (1.37) отримуємо відповідь.

11.Використання приватних похідних у геометрії.

12. Екстремуми функції двох змінних.

Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної (див. п. 25.4).

Нехай функцію z = ƒ(х;у) визначено в деякій ділянці D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) називається точкою максимуму функції z=ƒ(х;у), якщо існує така d-околиця точки (х0;у0), що для кожної точки (х;у), відмінної від (хо;уо), з цієї околиці виконується нерівність ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

А податково визначається точка мінімуму функції: всім точок (х; у), відмінних від (х0;у0), з d-околиці точки (хо;уо) виконується нерівність: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

На малюнку 210: N1 - точка максимуму, а N2 - точка мінімуму функції z = f (x; у).

Значення функції у точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум та мінімум функції називають її екстремумами.

Зазначимо, що, з визначення, точка екстремуму функції лежить усередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції у точці (х0; у0) порівнюється з її значеннями у точках, досить близьких до (х0; у0). В області D функція може мати кілька екстремумів або не мати жодного.

46.2. Необхідні та достатні умовиекстремуму

Розглянемо умови існування екстремуму функції.

Теорема 46.1 (необхідні умови екстремуму). Якщо точці N(x0;y0) диференційована функція z=ƒ(х;у) має екстремум, її приватні похідні у цій точці дорівнюють нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0 ) = 0.

Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад, у = у0. Тоді отримаємо функцію ƒ(х;у0)=φ(х) однієї змінної, яка має екстремум при х = х0. Отже, згідно з необхідною умовою екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), φ "(х0) = 0, тобто ƒ" x (х0; y0) = 0.

Аналогічно можна показати, що ƒ"y(х0; у0) = 0.

Геометрично рівності ƒ"x(х0;у0)=0 і ƒ"y(х0;у0)=0 означають, що в точці екстремуму функції z=ƒ(х;у) дотична площина до поверхні, що зображує функцію ƒ(х;у ), паралельна площині Оху, тому що рівняння дотичної площини є z = z0 (див. формулу (45.2)).

З мітка. Функція може мати екстремум у точках, де хоча б одна з приватних похідних не існує. Наприклад, функція має максимум у точці О(0;0) (див. рис. 211), але не має у цій точці приватних похідних.

Точка, в якій окремі похідні першого порядку функції z ≈ ƒ(х; у) дорівнюють нулю, тобто f"x=0, f"y=0, називається стаціонарною точкою функції z.

Стаціонарні точки та точки, в яких хоча б одна приватна похідна не існує, називаються критичними точками.

У критичних точках функція може мати екстремум, а може не мати. Рівність нуля приватних похідних є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію z = ху. Для неї точка О(0; 0) є критичною (у ній z"x=у та z"y - х звертаються в нуль). Однак екстремуму в ній функція z=ху не має, тому що в досить малій околиці точки О(0; 0) знайдуться точки для яких z>0 (точки I та III чвертей) і z< 0 (точки II и IV четвертей).

Таким чином, для знаходження екстремумів функції в цій галузі необхідно кожну критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.

Теорема 46.2 (достатня умова екстремуму). Нехай у стаціонарній точці (хо;уо) та деякому її околиці функція ƒ(х;у) має безперервні приватні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці (х0; у0) значення A = f "xx (x0; y0), В = ƒ" xy (х0; у0), С = """ y (х0; у0). Позначимо

1. якщо Δ > 0, то функція ƒ(х;у) у точці (х0;у0) має екстремум: максимум, якщо А< 0; минимум, если А > 0;

2. якщо Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

У випадку Δ = 0 екстремум у точці (х0; у0) може бути, може не бути. Потрібні додаткові дослідження.

ЗАВДАННЯ

1.

приклад.Знайти проміжки зростання та зменшення функції . Рішення.Першим кроком є знаходження обросту визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, . Переходимо до похідної функції: Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2, а знаменник звертається в нуль при x = 0. Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі. Таким чином, і . У точці x = 2функція визначена та безперервна, тому її слід додати і до проміжку зростання та до проміжку спадання. У точці x = 0функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються. Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів. Відповідь:функція зростає при , зменшується на інтервалі (0; 2] .

2.

Приклади.

Встановити інтервали опуклості та увігнутості кривої y = 2 – x 2 .

Знайдемо yі визначимо, де друга похідна позитивна і де негативна. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Так як y"" = e x > 0 за будь-яких x, то крива всюди увігнута.

y = x 3 . Так як y"" = 6x, то y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 при x> 0. Отже, при x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 увігнута.

3.

4. Дано функцію z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j і точка А(3,2). Знайти dz/dl (я так зрозумів похідна функції у напрямку вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Знайдемо приватні похідні: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Знайдемо значення похідних у точці А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+ 5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Звідки, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Похідна функції z у напрямку вектора l: dz/dl=z(х)*cosa+z(у)*cosb, a,b-кути вектора l з осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Неявні функції, задані системою рівнянь

Дана система рівнянь

або коротко F(x,y)= 0. (6.7)

Визначення. Система(6.7)визначає неявно задану функцію y=f(x)на DÌR n

якщо " xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Теорема (існування та єдиність відображення, неявно заданого системою рівнянь).Нехай

1) F i(x,y)(6.4) визначені та мають безперервні приватні похідні першого порядку, (i= 1, ..., p, k = 1, ..., n, j = 1,…,p) в околиці U(M 0)точки M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Тоді у деякій околиці U(x 0)існує єдина функція (відображення), визначена в цій околиці y = f(x), така, що

"xÎ U(x 0) :F(x, f(x))=0та y 0 = f(x 0).

Ця функція безперервно диференційована в околиці точки x 0 .

Дана система

Припускатимемо, що виконані умови теореми існування та єдиності неявної функції, заданої цією системою рівнянь. Позначимо цю функцію y=f(x) . Тоді в деякій околиці точки x 0 справедливі тотожності

Диференціюючи ці тотожності щодо x jотримаємо

= 0.(6.9)

Ці рівності можна записати в матричному вигляді

або у розгорнутому вигляді

Зазначимо, що перехід від рівності F(x, f(x)) = 0к , відповідає правилам диференціювання для випадку, коли xі yє точками одновимірного простору. Матриця за умовою не вироджена, тому матричне рівняннямає рішення. Таким чином, можна знайти приватні похідні першого порядку неявних функцій. Для знаходження диференціалів позначимо

dy = , dx =, диференціюючи рівності (6.8), отримаємо

або в матричному вигляді

У розгорнутому вигляді

Так само як і у випадку приватних похідних, формула (6.10) маємо такий самий вигляд, як і для випадку одновимірних просторів n= 1, p= 1. Вирішення цього матричного рівняння запишеться у вигляді. Для знаходження приватних похідних другого порядку необхідно диференціювати тотожності (6.9)(для обчислення диференціалів другого порядку потрібно диференціювати тотожності (6.10)). Таким чином, отримаємо

де через Aпозначені доданки, які не містять шукані.

Матрицею коефіцієнтів цієї системи визначення похідних служить матриця Якобі.

Аналогічну формулу можна одержати для диференціалів. У кожному з цих випадків виходитиме матричне рівняння з тією ж матрицею коефіцієнтів у системі рівнянь для визначення похідних, що шукаються, або диференціалів. Те саме відбуватиметься і при наступних диференціюваннях.

приклад 1.Знайти, у точці u= 1,v= 1.

Рішення. Диференціюємо задані рівності

Зазначимо, що з умови завдання випливає, що незалежними змінними ми маємо вважати x, y.Тоді функціями будуть z, u, v.Таким чином, систему (6.11) слід вирішувати щодо невідомих du, dv, dz.У матричному вигляді це виглядає так

Вирішимо цю систему, використовуючи правило Крамера. Визначник матриці коефіцієнтів

Третій «заміщений» визначник для dzбуде дорівнює (його обчислюємо розкладанням за останнім стовпцем)

dz = ,і, .

Диференціюємо (6.11) ще раз ( x, y –незалежні змінні)

Матриця коефіцієнтів системи та сама, третій визначник

Вирішуючи цю систему, отримаємо вираз для d 2 zзвідки можна буде знайти необхідну похідну.

6.3. Відображення, що диференціюються

Похідні відображення. Регулярне відображення. Необхідні та достатні умови функціональної залежності.

Вчимося знаходити похідні функцій, заданих неявно, тобто заданих деякими рівняннями, що зв'язують між собою змінні xі y. Приклади функцій, заданих неявно:

,

,

Похідні функцій, заданих неявно, або похідні неявних функцій, досить просто. Зараз розберемо відповідне правило і приклад, а потім з'ясуємо, для чого взагалі це потрібно.

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно продиференціювати обидві частини рівняння по иксу. Ті доданки, в яких присутній тільки ікс, звернуться до звичайної похідної функції від іксу. А доданки з греком потрібно диференціювати, користуючись правилом диференціювання складної функції, оскільки ігрок - це функція від ікса. Якщо дуже просто, то в отриманій похідній доданку з іксом має вийти: похідна функції від ігрека, помножена на похідну від ігрека. Наприклад, похідна доданку запишеться як , похідна доданку запишеться як . Далі з цього потрібно висловити цей " гравець штрих " і буде отримана шукана похідна функції, заданої неявно. Розберемо це з прикладу.

приклад 1.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння по іксу, вважаючи, що гравець - функція від ікса:

Звідси отримуємо похідну, яка потребує завдання:

Тепер дещо про неоднозначну властивість функцій, заданих неявно, і чому потрібні особливі правила диференціювання. У частині випадків можна переконатися, що підстановка в задане рівняння(Див. Приклади вище) замість грека його виразу через ікс призводить до того, що це рівняння звертається в тотожність. Так. наведене вище рівняння неявно визначає такі функції:

Після підстановки висловлювання ігрека в квадраті через ікс початкове рівняння отримуємо тотожність:

.

Вирази, які ми підставляли, вийшли шляхом розв'язання рівняння щодо гравця.

Якби ми стали диференціювати відповідну явну функцію

то отримали відповідь як у прикладі 1 - від функції, заданої неявно:

Але не будь-яку функцію, задану неявно, можна уявити у вигляді y = f(x) . Так, наприклад, задані неявно функції

не виражаються через елементарні функціїтобто ці рівняння не можна дозволити щодо грека. Тому і існує правило диференціювання функції, заданої неявно, яке ми вже вивчили і далі послідовно застосовуватимемо в інших прикладах.

приклад 2.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Виражаємо гравець штрих і - на виході - похідна функції, заданої неявно:

приклад 3.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

приклад 4.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

Виражаємо та отримуємо похідну:

.

Приклад 5.Знайти похідну функції, заданої неявно:

Рішення. Переносимо доданки в правій частині рівняння в ліву частину і праворуч залишаємо нуль. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса.