Теорема порівняння рівняння дифузії з реакцією. Загальне рівняння перенесення

Для опису пасивного транспорту – дифузії іонів у біофізиці використовується електродифузійна теорія, відповідно до якої сумарний потік іонів через мембрану при пасивному транспорті визначається двома чинниками: нерівномірністю їх розподілу (градієнтом концентрації) і впливом електричного поля (електричним градієнтом). Щільність потоку іонів для розведених розчинів визначається за рівнянням Нернста-Планка:

де: Ф - потік речовини, u - рухливість іона, молекули, R - універсальна постійна газова (8,314 Дж/моль*К), Т - температура за шкалою К 0 , dC/dx - концентраційний градієнт, С - концентрація в молях, Z- величина заряду іона, F - число Фарадея (96 500 Кл/моль), d φ /dx – градієнт потенціалу.

Знаки мінус перед градієнтами показують, що градієнт концентрації викликає перенесення речовини від місць з більшою концентрацією місця з меншою; а градієнт потенціалу викликає перенесення позитивних зарядів від місць із більшим потенціалом до місць із меншим.

Для опису дифузії незаряджених частинок використовують рівняння Фіка:

У цьому виді рівняння Фіка визначає потік незаряджених частинок через одиничну площу у разі, якщо не існує перегородки (мембрани), яка може ускладнювати перенесення, де:

D D - коефіцієнт дифузії, - градієнт концентрації

DK/L = Р - називають ефективним коефіцієнтом проникності, тоді Ф = - Р (З e - Сi)

6. Механізм активного транспортуіонів К+ таNa+ через мембрану. Основні етапи роботиK, Na- АТФ-ази. Енерговитрати протиградієнтного перенесення (формула).

Іони Na ​​та К визначають водно-електролітний обмін організму. У нормі живих клітинах тварин існує асиметрія концентрацій цих іонів всередині (i) і зовні (e) клітини. Концентрація До більша всередині клітини, концентрація Na більша зовні. Клітинна мембрана однаково проникна обох іонів. Тому підтримки асиметрії здійснюється протиградієнтний перенесення з допомогою Na, К - АТФ-азы чи Na-К насоса, рахунок енергії, що звільняється при гидролизе АТФ.

АТФ + Н2О = АДФ + Ф н + ∆G, де Ф н - неорганічний фосфат.

Основні етапи роботи АТФ-ази:

1) Приєднання 3 іонів Na та фосфорилювання ферменту всередині клітини.

2) Транслокація №1 -перенесення центру зв'язування іонів Na назовні.

3) Від'єднання 3 іонів Na і заміна їх на 2 іони До.

4) Відщеплення залишків фосфорної кислоти.

5) Транслокація №2 – перенесення центру зв'язування іонів До внутрішньо клітини.

6) Від'єднання 2 іонів До і приєднання 3 іонів Na, потім фосфорилювання ферменту.

Перенесення 2 іонів До внутрішньо клітини і викид 3 іонів Na назовні призводить до перенесення одного додаткового позитивного заряду з цитоплазми на поверхню мембрани. Тому внутрішньоклітинний вміст має знак (-), а позаклітинний (+). В цілому, енергія, яка звільняється при гідролізі АТФ для здійснення активного транспорту Na + і К + визначається формулою:

де перше доданок визначає енергію для протиградієнтного перенесення двох іонів До друге - енергію для протиградієнтного перенесення трьох іонів Na, третє - енергію на подолання сил електричного поля, що виникає на мембрані за рахунок активного транспорту.

У приватних похідних. Буває нестаціонарним та стаціонарним.

У сенсі інтерпретації під час вирішення рівняння дифузії мова йдепро знаходження залежності концентрації речовини (або інших об'єктів) від просторових координат та часу, причому заданий коефіцієнт (у загальному випадкутакож залежить від просторових координат і часу), що характеризує проникність середовища для дифузії. При вирішенні рівняння теплопровідностімова йде про знаходження залежності температури середовища від просторових координат та часу, причому задана теплоємність та теплопровідність середовища (також у загальному випадку неоднорідного).

Фізично в тому та іншому випадку передбачається відсутність або зневажливість макроскопічних потоків речовини. Такі фізичні рамки застосування цих рівнянь. Також, представляючи безперервну межу зазначених завдань(тобто не більше, ніж деяке наближення), рівняння дифузії та теплопровідності загалом не описують статистичних флуктуацій і процесів, близьких за масштабом до довжини та часу вільного пробігу, також дуже відхиляючись від передбачуваного точного вирішення завдання в тому, що стосується кореляцій на відстанях, порівнянних (і великих) з відстанями, що проходять звуком (або вільними від опору середовища частинками при їх характерних швидкостях) в даному середовищі за час, що розглядається.

Це в переважній частині випадків відразу ж означає і те, що рівняння дифузії та теплопровідності по області застосування далекі від тих областей, де стають суттєвими квантові ефектиабо кінцівка швидкості світла, тобто у переважній частині випадків не лише за своїм висновком, але й принципово обмежуються областю класичної ньютонівської фізики.

• Найближчим формальним, а багато в чому і змістовним, аналогом рівняння дифузії є рівняння Шредінгера, що відрізняється від рівняння дифузії множником уявна одиницяперед похідною за часом. Багато теореми про рішення рівняння Шредінгера і навіть деякі види формального запису його рішень прямо аналогічні відповідним теорем про рівняння дифузії та його рішення, проте якісно їх рішення відрізняються дуже сильно.

Загальний вигляд

Рівняння зазвичай записується так:

Історія походження

Одновимірний випадок

У разі одновимірного дифузійного процесу з коефіцієнтом дифузії (теплопровідності) $D$рівняння має вигляд:

$\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; t)c(x,\backslash ;t)=\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x)D\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x)(c(x,\backslash ;);\; t))+f(x,\backslash ;t).$

При постійному $D$набуває вигляду:

$\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; t)c(x,\backslash ;t)=D\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash partial\; x^2)(c(x,\backslash ;t))+f(x\; ,\backslash ;t),$

де $c(x,\backslash ;t)$- концентрація дифузної речовини, a $f(x,\backslash ;t)$- Функція, що описує джерела речовини (тепла).

Тривимірний випадок

У тривимірному випадку рівняння набуває вигляду:

$\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; t)\; c(\backslash vec(r),\backslash ;t)=(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec(r),\backslash ;t))+f(\backslash \; vec(r),\backslash ;t),$

де $\backslash nabla=(\backslash partial\_x,\backslash ;\backslash partial\_y,\backslash ;\backslash partial\_z)$- Оператор набла, а $(\backslash ;,\backslash ;)$ - скалярний твір. Воно також може бути записано як

$\backslash partial\_t\; c=\backslash mathbf(div)\backslash ,(D\backslash ,\backslash mathbf(grad)\backslash ,c)+f,$

а при постійному $D$набуває вигляду:

$\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; t)\; c(\backslash vec(r),\backslash ;t)=D\backslash Delta\; c(\backslash vec(r),\backslash ;t)+f(\backslash vec(r),\backslash ;\; t),$

де $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash partial\; x^2)+\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash partial\; y^2)+\backslash frac(\backslash partial^2)(\backslash \; partial\; z^2)$- Оператор Лапласа.

n-мірний випадок

$n$-мірний випадок - пряме узагальненнянаведеного вище, тільки під оператором набла, градієнтом та дивергенцією, а також під оператором Лапласа треба розуміти $n$-мірні версії відповідних операторів:

$\backslash nabla=(\backslash partial\_1,\backslash ;\backslash partial\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash partial\_n),$ $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash partial\_1^2+\backslash partial\_2^2+\backslash ldots+\backslash partial\_n^2.$

Це стосується і двовимірного випадку $n=2$.

Мотивація

A.

Зазвичай рівняння дифузії виникає з емпіричного (або теоретично отриманого) рівняння, що стверджує пропорційність потоку речовини (або теплової енергії) різниці концентрацій (температур) областей, розділених тонким шаром речовини заданої проникності, що характеризується коефіцієнтом дифузії (або теплопровідності):

$\backslash Phi=-\backslash varkappa\backslash frac(\backslash partial\; c)(\backslash partial\; x)$(одномірний випадок), $\backslash mathbf\; j=-\backslash varkappa\backslash nabla\; c$(Для будь-якої розмірності),

у поєднанні з рівнянням безперервності, що виражає збереження речовини (або енергії):

$\backslash frac(\backslash partial\; c)(\backslash partial\; t)+\backslash frac(\backslash partial\backslash Phi)(\backslash partial\; x)=0$(одномірний випадок), $\backslash frac(\backslash partial\; c)(\backslash partial\; t)+\backslash mathrm(div)\backslash ,\backslash mathbf\; j=0$(Для будь-якої розмірності),

з урахуванням у разі рівняння теплопровідності ще теплоємності (температура = густина енергія / питома теплоємність).

• Тут джерело речовини (енергії) у правій частині опущено, але він, звичайно ж, може бути легко туди поміщений, якщо в задачі є приплив (відтік) речовини (енергії).

B.

Крім того, воно природно виникає як безперервна межа аналогічного різницевого рівняння, що виникає у свою чергу при розгляді задачі про випадкове блукання на дискретних гратах (одномірних або $n$-мірний). (Це найпростіша модель; у більш складних моделяхвипадкових блукань рівняння дифузії також виникає в безперервній межі). Найпростішою інтерпретацією функції $c$у цьому випадку служить кількість (або концентрація) частинок у цій точці (або поблизу неї), причому кожна частка рухається незалежно від інших без пам'яті (інерції) свого минулого (у дещо більше складному випадку- З обмеженою за часом пам'яттю).

Рішення

Фізичні зауваження

Так як наближення, що реалізується рівняннями дифузії та теплопровідності, принципово обмежується областю низьких швидкостей та макроскопічних масштабів (див. вище), то не дивно, що їх фундаментальне рішенняна великих відстаняхповодиться не надто реалістично, формально допускаючи нескінченне поширення впливу у просторі за кінцевий час; треба при цьому помітити, що величина цього впливу так швидко зменшується з відстанню, що цей ефект як правило в принципі неспостерігається (наприклад, мова йде про концентрації набагато менше одиниці).

Втім, якщо мова йде про ситуації, коли можуть бути експериментально виміряні такі маленькі концентрації, і це для нас суттєво, потрібно користуватися щонайменше не диференціальним, а різницевим рівнянням дифузії, а краще - і більш докладними мікрофізичними і фізичними. статистичною моделямищоб отримати більш адекватне уявлення про реальність у цих випадках.

Стаціонарне рівняння

У разі, коли ставиться завдання з знаходження встановленого розподілу щільності чи температури (наприклад, у разі, коли розподіл джерел залежить від часу), з нестаціонарного рівняння викидають члени рівняння, пов'язані з часом. Тоді виходить стаціонарне рівняннятеплопровідності, що відноситься до класу еліптичних рівнянь. Його загальний вигляд:

$-(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec(r)))\; =\; f(\backslash vec(r)).$

• При $D$, що не залежить від $\backslash vec(r)$стаціонарне рівняння дифузії стає рівнянням Пуассона (неоднорідне), або рівнянням Лапласа (однорідне, тобто при $f=0$):

Постановка крайових завдань

• Завдання з початковими умовами(завдання Коші) про розподіл температури на нескінченній прямій

Якщо розглядати процес теплопровідності в дуже довгому стрижні, то протягом невеликого проміжку часу вплив температур на межах практично відсутній, і температура на ділянці, що розглядається, залежить лише від початкового розподілу температур.

$$і $t\backslash geqslant\; t\_0$, що задовольняє умову

• Перше крайове завдання для напівнескінченного стрижня

Якщо ділянка стрижня, яка нас цікавить, знаходиться поблизу одного кінця і значно віддалена від іншого, то ми приходимо до крайового завдання, в якому враховується вплив лише однієї з крайових умов.

Знайти рішення рівняння теплопровідності в області $-\backslash infty\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; +\backslash infty$і $t\backslash geqslant\; t\_0$, що задовольняє умовам

$\backslash left\backslash (\backslash begin(array)(l)$

u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0 де $\backslash varphi(x)$і $\backslash mu(t)$- Задані функції.

• Крайове завдання без початкових умов

Якщо момент часу, який нас цікавить, досить віддалений від початкового, то має сенс знехтувати початковими умовами, оскільки їх вплив на процес з часом слабшає. Таким чином, ми приходимо до завдання, в якому задані крайові умови та відсутні початкові.

Знайти рішення рівняння теплопровідності в області $0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$і

$\backslash left\backslash (\backslash begin(array)(l)$

u(0,\;t)=\mu _1(t), \u(l,\;t)=\mu _2(t), \end(array)\right.де $\backslash mu\_1(t)$і $\backslash mu\_2(t)$- Задані функції.

• Крайові завдання для обмеженого стрижня

Розглянемо наступне крайове завдання:

Якщо $f(x,\backslash ;t)=0$, то таке рівняння називають однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.

$u(x,\backslash ;0)=\backslash varphi(x),\backslash quad\; 0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$- Початкова умова в момент часу $t=0$, температура в точці $x$задається функцією $\backslash varphi(x)$. $\backslash left.\backslash begin(array)(l)$

u(0,\;t)=\mu_1(t), \u(l,\;t)=\mu_2(t), \end(array)\right\)\quad 0\leqslant t\leqslant T- Крайові умови. Функції $\backslash mu\_1(t)$і $\backslash mu\_2(t)$задають значення температури в граничних точках 0 $l$у будь-який момент часу $t$.

Залежно від роду крайових умов завдання для рівняння теплопровідності можна розбити на три типи. Розглянемо загальний випадок ( $\backslash alpha\_i^2+\backslash beta\_i^2\backslash ne\; 0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$).

$\backslash begin(array)(l)$

\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t )=\mu_2(t). \end(array)

Якщо $\backslash \; alpha\_i\; =\; 0,\; \backslash ;\; (i\; =\; 1,\; \backslash ;\; 2)$, то таку умову називають умовою першого роду, якщо $\backslash beta\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$ - другого роду, а якщо $\backslash alpha\_i$і $\backslash beta\_i$відмінні від нуля, то умовою третього роду. Звідси отримуємо завдання для рівняння теплопровідності – першу, другу та третю крайову.

Принцип максимуму

Нехай функція $u(x,\backslash ;t)$в просторі $D\backslash times,\backslash ;D\backslash in\backslash R^n$, задовольняє однорідне рівняння теплопровідності $\backslash frac(\backslash partial\; u)(\backslash partial\; t)-a^2\backslash Delta\; u=0$, причому $D$- Обмежена область. Принцип максимуму стверджує, що функція $u(x,\backslash ;t)$може набувати екстремальних значень або в початковий момент часу, або на межі області $D$.

Щоб звикнути до теореми, розберемо з прикладу, як її застосовують. Звернемося знову до поширення тепла, скажімо у металі. Розглянемо простий випадок: все тепло було підведено до тіла заздалегідь, тепер тіло остигає. Джерел тепла немає, тому кількість тепла зберігається. Скільки ж тоді тепла має опинитися всередині певного обсягу в якийсь час? Воно має зменшуватися якраз на ту кількість, що йде з поверхні об'єму. Якщо цей об'єм - маленький кубик, то за формулою (3.17) можна написати

Але це має дорівнювати швидкості втрати тепла начинкою куба. Якщо кількість тепла в одиниці об'єму, то весь запас тепла в кубі , а швидкість втрат дорівнює

(3.20)

Порівнюючи (3.19) з (3.20), бачимо, що

(3.21)

Уважно вдивіться у форму цього рівняння; ця форма часто зустрічається у фізиці. Вона виражає закон збереження, у разі закон збереження тепла. У рівнянні (3.13) той самий фізичний факт було виражено інакше. Там була інтегральна форма рівняння збереження, а тут – диференціальна форма.

Рівняння (3.21) ми одержали, застосувавши формулу (3.13) до нескінченно малого куба. Можна піти і іншим шляхом. Для великого обсягу, обмеженого поверхнею, закон Гауса стверджує, що

(3.22)

Інтеграл у правій частині можна, використовуючи (3.21), перетворити якраз на вигляд, і тоді вийде формула (3.13).

Тепер розглянемо інший випадок. Уявімо, що в блоці речовини є маленька дірочка, а в ній йде хімічна реакція, що генерує тепло. Можна ще уявити, що до невеликого опору всередині блоку підведені тяганини, що нагрівають його електричним струмом. Припустимо, що тепло створюється практично в одній точці, a є енергією, що виникає в цій точці за секунду. В решті ж частини обсягу нехай тепло зберігається і, крім того, нехай генерація тепла почалася так давно, що зараз температура вже ніде більше не змінюється. Питання полягає в наступному: як виглядає вектор потоку тепла у різних точках металу? Скільки тепла перетікає через кожну точку?

Ми знаємо, що якщо ми інтегруватимемо нормальну складову по замкнутій поверхні, що оточує джерело, то завжди вийде . Все тепло, яке генерується в точковому джерелі, повинне протікати через поверхню, тому що передбачається, що потік постійний. Перед нами важке завдання відшукання такого векторного поля, яке після інтегрування довільної поверхні завжди давало б . Але ми порівняно легко можемо знайти це поле, вибравши поверхню спеціального вигляду. Візьмемо сферу радіусом із центром у джерелі та припустимо, що потік тепла радіальний (фіг. 3.6). Інтуїція нам підказує, що має бути спрямований по радіусу, якщо блок речовини великий і ми не наближаємося надто близько до його кордонів; крім того, величина у всіх точках сфери має бути однаковою. Ви бачите, що для отримання відповіді до наших викладок ми змушені додати певну кількість вигадок (зазвичай це називають «фізичною інтуїцією»).

Фігура 3.6. В області поблизу точкового джерела потік тепла направлений по радіусу назовні.

Коли радіально та сферично симетрично, інтеграл від нормальної компоненти за площею поверхні обчислюється дуже просто, тому що нормальна компонента точно дорівнює і постійна. Площа, якою інтегрується, дорівнює . Тоді ми отримуємо

, (3.23)

де - абсолютна величина. Цей інтеграл повинен дорівнювати - швидкості, з якою джерело генерує тепло. Виходить

де, як завжди, означає одиничний вектор у радіальному напрямку. Цей результат свідчить, що пропорційний і змінюється назад квадрату відстані від джерела.

Щойно отриманий результат застосовний до потоку тепла поблизу точкового джерела тепла. Тепер спробуємо знайти рівняння, які справедливі для теплового потоку найзагальнішого виду (дотримуючись єдиної умови, що кількість тепла має зберігатися). Нас цікавитиме лише те, що відбувається у місцях поза будь-якими джерелами чи поглиначами тепла.

Диференціальне рівняння поширення тепла було отримано гол. 2. Відповідно до рівняння (2.44),

(Пам'ятайте, що це співвідношення наближене, але для деяких речовин на кшталт металів витримується непогано.) Застосовується воно, звичайно, тільки в тих частинах тіла, де немає виділення, ні поглинання тепла. Вище ми вивели інше співвідношення (3.21), яке виконується тоді, коли кількість тепла зберігається. Якщо ми це рівняння скомбінуємо з (3.25), то отримаємо

якщо – величина стала. Нагадую, що – це кількість тепла в одиничному обсязі, a – лапласіан, тобто оператор

Якщо ми зробимо ще одне припущення, відразу виникне одне дуже цікаве рівняння. Припустимо, що температура матеріалу пропорційна вмісту тепла в одиниці об'єму, тобто, що у матеріалу є певна питома теплоємність. Коли це припущення вірне (а так буває часто), ми можемо писати і для температури.

Диференціальне рівняння (3.28) називається рівнянням дифузії тепла або рівнянням теплопровідності. Часто його пишуть як

де – постійна. Вона дорівнює.

Рівняння дифузії з'являється у багатьох фізичних завданнях: про дифузію газів, дифузію нейтронів та інших. Ми вже обговорювали фізику деяких таких явищ у вип. 4, гол. 43. Тепер перед вами повне рівняння, що описує дифузію у найзагальнішому вигляді. Трохи пізніше ми займемося рішенням рівняння дифузії, щоб подивитися, як температура розподіляється в деяких випадках. А зараз повернемося до розгляду інших теорем про векторні поля.

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ. ДИФУЗІЯ. РІВНЯННЯ ФІКА

Необхідною умовою життя є перенесення речовин через біологічні мембрани в клітину та з клітини. Мембрани при цьому виконують дві прямо протилежні функції: бар'єрну, завдяки якій клітина захищається від чужорідних речовин, і транспортну, що забезпечує всім необхідним процеси метаболізму, генерації біопотенціалів та нервових імпульсів, біоенергетики тощо.

У фізиці під терміном перенесення розуміють незворотні процеси, внаслідок яких у фізичній системі відбувається просторове переміщення (перенесення) маси, імпульсу, енергії, заряду або будь-якої іншої фізичної величини. Слід розуміти, що з місця на місце переходять частки, які переносять свої фізичні характеристики: масу, імпульс, енергію, заряд і т.д.

До явищ перенесення відносяться дифузія - перенесення маси; теплопровідність – перенесення енергії; в'язкість - перенесення імпульсу частинок середовища.

Найбільш суттєвими для життєдіяльності біологічних організмів є процеси перенесення маси та електричного заряду. У біофізиці як синонім терміну перенесення використовують термін «транспорт». Виведемо, виходячи з уявлень молекулярно-кінетичної теорії, загальне рівняння переносу. Насамперед, з цією метою визначимо кількість молекул, що переходять за проміжок часу Δt через деякий уявний майданчик ΔS, поміщену в речовину. Направимо вісь OX перпендикулярно S (рис.5). Т.к. рух частинок середовища хаотично, то умовно можна вважати, що вздовж кожної з просторових осей рухається третина від загальної кількості частинок. Причому, половина від цієї третини (М. 1/6) рухається вздовж OX зліва направо, а друга половина – справа наліво. Тоді, в один бік через майданчик ΔS за 1 секунду пройде 1/6 всіх частинок, що знаходяться в об'ємі прямокутного паралеле епіпеда з основою ΔS і висотою, що дорівнює середній швидкості руху частинок середовища: , де n - Число частинок в одиниці об'єму. За час Δt кількість частинок, що пройшли в даному напрямку:

. (1)

Будемо пам'ятати, що кожна частка при цьому перенесе через майданчик свої фізичні характеристики: масу, заряд, імпульс, енергію тощо.

. (2)

Зрозуміло, якщо середовище однорідне, то кількість частинок, що рухаються "зліва направо" і "справа наліво" буде однаковим, і результуючого перенесення фізичних величин не буде.

Припустимо, що середовище, що розглядається, неоднорідна за своїми фізичними властивостями. Це означає, що значення однієї й тієї ж характеристики у різних точках простору різні. У цьому випадку кількість фізичної величини перейшла "ліворуч направо" і "справа наліво" не буде однаковим. Оцінимо результуючий перенесення величини через майданчик ΔS.

Нехай значення зменшується в позитивному напрямку OX, дорівнюючи 1 ліворуч від майданчика ΔS і 2 – праворуч від неї (рис.6). Результуючий перенесення величини (φN) через майданчик ΔS за час Δt зліва направо, дорівнює:

Тепер залишається тільки дізнатися, на якій відстані від ΔS слід взяти значення φn 1 і φn 2 . Обмін значеннями величини і зміна концентрації n відбувається тільки при взаємодіях молекул. Це означає, що значення зберігається незмінним на відстані рівним довжині вільного пробігу - λ зліва і праворуч від майданчика. На цих відстанях від ΔS і братимемо значення (φn) для підстановки у формулу (3). Помноживши та розділивши праву частину (3) на 2λ, отримаємо:

Величину

(5)

називають градієнтом величини (n). 2λ = Δ x– відстань, на якій величина (φn) змінюється від значення (φn) 1 до (φn) 2 . Остаточно для результуючого перенесення маємо:

. (6)

Знак мінус обумовлений тим, що перенесення фізичної величини відбувається в напрямку протилежному градієнту величини (φn). Grad(φn) спрямований праворуч наліво, а перенесення (φn) – зліва направо (рис.3). Вираз (6) є загальним рівнянням перенесення.

Розглянемо його підставі явище дифузії, тобто. перенесення маси. Переносимої величиною буде маса молекули, тобто. φ = m. Тоді, m·n = ρ. Підставляючи в рівняння (6) замість φ – m, отримаємо

, (7)

де ΔM – маса газу, що переноситься шляхом дифузії за Δt через майданчик ΔS, перпендикулярну до напряму спадання щільності. Позначивши, отримаємо рівняння дифузії (закон Фіка) у вигляді:

, (8)

де константа D – коефіцієнт дифузії, розмірність якого (м2/с).

Кількість речовини, що переноситься через весь поперечний переріз ΔS за одиницю часу, прийнято називати потоком речовини:

. (9)

Рівняння Фіка має бути записано також через щільність потоку речовини (інтенсивність перенесення) – величину, під якою розуміють масу речовини, перенесену через одиницю площі поперечного перерізу потоку за одиницю часу:

. (10)

Явлення переносу вивчають як у живих клітинах, і на різного роду моделях. Перенесення речовини може відбуватися без витрати енергії (пасивний транспорт) та рахунок енергії АТФ (активний транспорт).

4. ТРАНСПОРТ РЕЧОВИН ЧЕРЕЗ БІОЛОГІЧНІ МЕМБРАНИ.

4.1 ПАСИВНИЙ ПЕРЕНОС. РІЗНОВИДНІ ПАСИВНОГО ТРАНСПОРТУ МОЛЕКУД І ІОНІВ ЧЕРЕЗ МЕМБРАНУ.

Важливим елементом функціонування біологічних мембран є їхня здатність пропускати або не пропускати молекули, атоми та іони. Ця здатність прийнято називати проникністю. Проблема мембранної проникності включає питання кінетики надходження частинок в клітину і з клітини, а також механізм розподілу речовини між клітиною і міжклітинним середовищем. Вивчення проникності біомембран має велике значення для медицини та, особливо, для фармакології та токсикології. Для лікування дуже важливо знати проникаючу здатність фармакологічних засобів та отрут через мембрану в нормі та при патології.

Перенесення речовини через мембрану є складним процесом і може здійснюватись багатьма способами. Враховуючи залежність від того, що є рушійною силою переміщення молекул, всі види перенесення можна розділити на пасивні та активні. Пасивний транспорт речовини здійснюється рахунок енергії, сконцентрованої у якому-небудь градієнті і пов'язані з витратою хімічної енергії гідролізу АТФ. Найбільш значущими для біологічних систем є градієнти концентрації – dc/dx, електричного потенціалу - dφ/dx та гідростатичного тиску – dр/dx.

Виділяють такі види пасивного перенесення через біологічні мембрани: проста дифузія, дифузія через пори, полегшена дифузія, осмос та фільтрація:

а )Проста дифузія - це мимовільне переміщення речовини з місць з більшою концентрацією в місця з меншою концентрацією внаслідок хаотичного теплового руху частинок. Розглянемо як приклад дифузію незаряджених частинок певного виду через біологічну мембрану завтовшки l. Запишемо рівняння Фіка через концентрацію речовини цього виду в розчині. Не важко бачити, що для розчину маса розчиненої речовини в одиниці об'єму є її масова концентрація (кг/м 3 ). Тепер щільність потоку речовини через поверхню мембрани в напрямку нормалі до неї, відповідно до (10), запишеться:

, (11)

де D - коефіцієнт дифузії, Δc/Δ x– градієнт масової концентрації вздовж напрямку перенесення. Будемо вважати, що концентрація частинок, що дифундують через мембрану, змінюється в мембрані за лінійним законом від значення з i,м всередині клітини, до значення про,м в міжклітинному середовищі (рис.7). Тоді градієнт концентрації можна виразити співвідношенням:

. (12)

Виміряти концентрації з о,м та с iм у прикордонних шарах мембрани практично неможливо. З цієї причини скористаємося співвідношенням:

, (13)

де з про і з i– концентрації даної речовини у міжклітинній рідині та цитоплазмі відповідно. Звідки, з урахуванням того, що з iм = k з i, a с о, м = k с о, отримаємо:

. (14)

З урахуванням (14) рівняння дифузії частинок через мембрану набуде вигляду:

-Рівняння Коллендера. (15)

Величина Р = Dk/l прийнято називати коефіцієнтом проникності . У живій клітині така дифузія забезпечує проходження кисню та вуглекислого газу, а також ряду лікарських речовин та отрут.

б) Дифузія може проходити через ліпідні та білкові пори або канали. які утворюють у мембрані прохід (рис.8). Такий механізм проникнення крізь мембрану характерний для молекул нерозчинних у ліпідах речовин та водорозчинних гідратованих іонів (цукор, спирт). Цей вид перенесення допускає проникнення через мембрану як малих молекул, наприклад, молекул води, а й великих частинок. Значення проникності у своїй визначає ється розмірами молекул: зі зростанням розмірів проникність молекул зменшується.

Дифузія через пори також описується рівнянням Фіка. При цьому, наявність пір збільшує коефіцієнт проникності Р. Канали можуть виявляти селективність або вибірковість по відношенню до різних іонів, це проявляється в різній величині проникності для різних іонів.

в) Полегшена дифузія відбувається за участю молекул-переносників. Було виявлено, що швидкість проникнення в клітину глюкози, гліцерину, амінокислот не має лінійної залежності від різниці концентрацій. Для певних концентрацій швидкість проникнення речовини через мембрану набагато більша, ніж слід очікувати для простої дифузії. При збільшенні різниці концентрацій швидкість дифузії зростає меншою мірою, ніж це випливає з рівняння Коллендера (15). У разі спостерігається полегшена дифузія.

Її механізм полягає в тому, що речовина A, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ самостійно погано проникає через мембрану, може утворити комплекс з молекулами X допоміжної речовини (рис.9), ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ розчинено в ліпідах. У поверхні мембрани молекули А утворюють комплекс AX, здатний розчинятися в ліпідах. Опинившись у результаті дифузії по інший бік мембрани, деякі з комплексів відщеплюють молекули A. Молекула X повертається до зовнішньої поверхні мембрани і може утворити новий комплекс з молекулою А. Зрозуміло транспорт речовини А у такий спосіб відбувається в один і інший бік. З цієї причини результуючий перенесення виникне лише за умови, що концентрація А з однієї та іншої сторони мембрани різна. У такий спосіб, наприклад, антибіотик валіноміцин переносить через мембрани іони калію. З'єднання, що мають здатність вибірково збільшувати швидкість переносу іонів через мембрану отримали назву іонофорів .

У разі якщо концентрація молекул А в середовищі така, що всі молекули речовини-переносника задіяні, то подальше підвищення концентрації речовини А більше не викликатиме зростання швидкості дифузії. Це означає, що полегшена дифузія має властивість.

вом насичення.

При полегшеній дифузії спостерігається конкуренція речовин, що переносяться в тих випадках, коли переносником виступає одне і теж з'єднання. Наприклад, глюкоза переноситься краще, ніж фруктоза; фруктоза краща, ніж ксилоза; ксилоза, краще, ніж арабінозу і т.д.

Відомі також з'єднання, здатні вибірково блокувати полегшену дифузію іонів через мембрану. Вони утворюють міцні комплекси з молекулами переносниками. Наприклад отрута риби фугу тетродотоксин блокує транспорт натрію, флоридин пригнічує транспорт цукрів тощо.

Різновидом полегшеної дифузії є транспорт за допомогою нерухомих переносників. Молекули X утворюють фіксовані ланцюжки упоперек мембрани, наприклад, вистилають зсередини пору (рис.10). Молекули речовини, що переноситься А передаються від однієї молекули переносника до іншої, як по естафеті. При цьому передбачається, що простір у порі недостатньо велике для проходження через неї частинок А, якщо вони не здатні до специфічної взаємодії з переносником Х.

Дифузія є головним видом пасивного транспорту речовин через мембрану клітини. Решта видів пасивного перенесення пов'язані переважно з транспортом води.

в) Осмос – дифузія розчинника через напівпроникну мембрану, що розділяє два розчини з різною концентрацією. Сила, яка викликає цей рух розчинника, називається осмотичним тиском. Воно виникає внаслідок теплового руху молекул води та розчиненої речовини. Деякі молекули води, векторишвидкості яких паралельні до каналів мембрани, проникають через неї. У той самий час для розчиненої речовини А мембрана непроникна. З цієї причини потік води з розчину, де концентрація А нижче буде більше (в даному розчині вище концентрація води). Процес призводить до зростання гідростатичного (водяного) тиску в розчині з більшою концентрацією А. Цей надлишковий тиск викликає фільтрацію води у зворотному напрямку. У певний момент настає стан динамічної рівноваги. Тиск, що відповідає цьому стану, прийнято називати осмотичним тиском. Розмір осмотичного тиску визначається рівнянням Ван-Гоффа:

р = i·c·R·T, (16)

де с – концентрація розчиненої речовини; Т – термодинамічна температура; R - Постійна газова; i – ізотонічний коефіцієнт, що показує у скільки разів зросла кількість частинок у розчині через дисоціацію молекул. Швидкість осмотичного перенесення води через мембрану визначається співвідношенням:

, (17)

де Р про – коефіцієнт проникності, S – площа мембрани, (р 1 – р 2) – різницю осмотичних тисків з одного й іншого боку мембрани.

г) Фільтрацією прийнято називати рух рідини через пори в мембрані під дією градієнта гідростатичного тиску. Об'ємна швидкість перенесення рідини у своїй підпорядковується закону Пуазейля:

де r – радіус пори; l- Довжина канальця пори; (Р 1 -Р 2) - Різниця тисків на кінцях канальця; η – коефіцієнт в'язкості рідини, що переноситься; – модуль градієнта тиску вздовж пори; - Гідравлічний опір. Це явище спостерігається при перенесенні води через стінки кровоносних судин (капілярів). Явище фільтрації відіграє важливу роль у багатьох фізіологічних процесах. Так, наприклад, утворення первинної сечі в ниркових нефронах відбувається в результаті фільтрації плазми під впливом тиску крові. При деяких патологіях фільтрація посилюється, що призводить до набряків.

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ. ДИФУЗІЯ. РІВНЯННЯ ФІКА - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ. ДИФУЗІЯ. РІВНЯННЯ ФІКА" 2017, 2018.

Розглянемо баланс нейтронів в одиниці об'єму dV при заданих Ф( r), S s.

Баланс нейтронів

До зміни числа нейтронів призводять поглинання, витік, народження. Тоді

Народження – витік – поглинання.

Народження нейтронів зумовлене джерелом : S( r) -кількість нейтронів, що народжуються в одиницю часу в одиниці обсягу поблизу r. Поглинання нейтронів визначається числом реакцій в одиницю часу в одиниці обсягу. Потрібно знайти вихід реакції в елементі об'єму

.

Знайдемо витік нейтронів, знаючи вектор густини J із закону Фіка

Якщо відомий вектор J у кожній точці поверхні елементарного об'єму dV, то витік дорівнює div J - Число нейтронів, що перетинають поверхню одиничного об'єму в одиницю часу. Причому

div /D= const/= – D D Ф

де

Таким чином, маємо рівняння

У стаціонарному випадку

Зауваження:

При виведенні даних рівнянь користувалися законом Фіка, який справедливий, якщо розподіл потоку координатами є лінійним на відстані в кілька . Отже, ці рівняння погано працюють поблизу кордону джерела. Коефіцієнт Dтут уже враховує можливу несферичність розсіювання (див. Раніше).

Граничні умови:

1) потік Ф нейтронів кінцевий і негативний в області, де застосовується рівняння дифузії;

2) на межі двох середовищ, що відрізняються хоча б однією характеристикою взаємодії нейтронів з ядрами.

Взаємодія нейтронів із ядрами

У точці а:

Нормаль до поверхні;

Струм нейтронів.

Оскільки сама межа не поглинає нейтрони, скільки нейтронів йде із середовища А, стільки й у середу У, тобто. проекції на нормаль

тобто потік на кордоні нерозривний.

З іншого боку, під час переходу через кордон потік нейтронів може бути безперервною функцією координат, тобто.

Отже, маємо умови на кордоні

Умови на кордоні

Умови на кордоні

3) на межі середовища з вакуумом (ця умова необхідна при вирішенні завдань про кінцевий реактор) немає потоку всередину середовища з вакууму. Цю умову можна висловити, якщо встановити функцію Ф(r , E, W) . На кордоні маємо:

функція Ф ( r , E, W ).

Видно, що цю граничну умову не можна записати, знаючи лише залежність Ф від r . Використовуємо наступний прийом: зобразимо Ф (r) у плоскому реакторі. Вочевидь, потік межі менше, ніж у центрі активної зони, але з дорівнює 0, тобто. . Рівняння найпростіше вирішується за нульових граничних умов.

Потік на кордоні

Рішення рівняння дифузії особливо просто, коли на будь-якій межі потік дорівнює 0. Вважатимемо, що потік утворюється в 0 не на фізичному, а на деякому екстраполірованому кордоні реактора (екстраполяція лінійна).

Довжина екстраполяції d- Величина невизначена, але вносить малу поправку до рівняння дифузії. Оцінка dбула зроблена як теоретично, і експериментально. Виявилося, що при d = 0,71λ tr спостерігається найкращий збіг теорії з досвідом.