Вирішити диференціальне рівняння з початковими умовами онлайн. Вирішення найпростіших диференціальних рівнянь першого порядку

Або вже вирішені щодо похідної, або їх можна вирішити щодо похідної .

Загальне рішення диференціальних рівнянь типу на інтервалі X, Який заданий, можна знайти, взявши інтеграл обох частин цієї рівності.

Отримаємо .

Якщо подивитися на властивості невизначеного інтегралу, то знайдемо шукане загальне рішення:

y = F(x) + C,

де F(x)- одна з первісних функцій f(x)на проміжку X, а З- Довільна постійна.

Зверніть увагу, що в більшості завдань інтервал Xне вказують. Це означає, що рішення потрібно знаходити для всіх x, за яких і потрібна функція y, і вихідне рівняння мають сенс.

Якщо потрібно обчислити окреме рішення диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову y(x 0) = y 0, то після обчислення загального інтегралу y = F(x) + Cще необхідно визначити значення постійної C = C 0, використовуючи початкову умову. Тобто константу C = C 0визначають із рівняння F(x 0) + C = y 0, та шукане приватне рішення диференціального рівняння набуде вигляду:

y = F(x) + C0.

Розглянемо приклад:

Знайдемо загальне рішення диференціального рівняння, перевіримо правильність результату. Знайдемо приватне рішення цього рівняння, яке б задовольняло початковій умові .

Рішення:

Після того, як ми проінтегрували задане диференціальне рівняння, отримуємо:

.

Візьмемо цей інтеграл методом інтегрування частинами:

Т.о., є загальним рішенням диференціального рівняння.

Щоб переконатися у правильності результату, перевіримо. Для цього підставляємо рішення, яке ми знайшли. дане рівняння:

.

Тобто, при вихідне рівняння перетворюється на тотожність:

тому загальне рішення диференціального рівняння визначили правильно.

Рішення, яке ми знайшли, є загальним рішенням диференціального рівняння для кожного дійсного значення аргументу x.

Залишилося обчислити приватне рішення ОДУ, яке б задовольняло початковій умові . Іншими словами, необхідно обчислити значення константи З, при якому буде вірна рівність:

.

.

Тоді, підставляючи З = 2у загальне рішення ОДУ, отримуємо приватне рішення диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову:

.

Звичайне диференціальне рівняння можна вирішити щодо похідної, розділивши 2 частини рівності на f(x). Це перетворення буде рівнозначним, якщо f(x)не перетворюється на нуль ні за яких xз інтервалу інтегрування диференціального рівняння X.

Імовірні ситуації, коли за певних значень аргументу x ∈ Xфункції f(x)і g(x)одночасно перетворюються на нуль. Для таких значень xзагальним рішенням диференціального рівняння буде будь-яка функція y, що у них, т.к. .

Якщо для деяких значень аргументу x ∈ Xвиконується умова , отже, у разі у ОДУ рішень немає.

Для всіх інших xз інтервалу Xзагальне рішення диференціального рівняння визначається з перетвореного рівняння.

Розберемо на прикладах:

приклад 1.

Знайдемо загальне рішення ОДУ: .

Рішення.

З властивостей основних елементарних функцій ясно, що функція натурального логарифмувизначено для невід'ємних значень аргументу, тому областю визначення виразу ln(x+3)є інтервал x > -3 . Отже, задане диференціальне рівняння має сенс для x > -3 . При цих значеннях аргументу вираз x + 3не звертається в нуль, тому можна вирішити ОДУ щодо похідної, розділивши 2 частини на х + 3.

Отримуємо .

Далі проінтегруємо отримане диференціальне рівняння, вирішене щодо похідної: . Для взяття цього інтеграла користуємося шляхом підведення під знак диференціала.

I. Звичайні диференціальні рівняння

1.1. Основні поняття та визначення

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує між собою незалежну змінну x, шукану функцію yта її похідні чи диференціали.

Символічно диференціальне рівняння записується так:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо потрібна функція залежить від одного незалежного змінного.

Рішенням диференціального рівнянняназивається така функція, яка звертає це рівняння у тотожність.

Порядок диференціального рівнянняназивається порядок старшої похідної, що входить до цього рівняння

приклади.

1. Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку

Розв'язанням цього рівняння є функція y = 5 ln x. Справді, підставляючи y"на рівняння, отримаємо – тотожність.

І це отже, що функція y = 5 ln x– є розв'язання цього диференціального рівняння.

2. Розглянемо диференціальне рівняння другого порядку y" - 5y" +6y = 0. Функція – вирішення цього рівняння.

Справді, .

Підставляючи ці висловлювання на рівняння, отримаємо: , – тотожність.

А це і означає, що функція є рішенням цього диференціального рівняння.

Інтегруванням диференціальних рівняньназивається процес знаходження рішень диференціальних рівнянь.

Загальним рішенням диференціального рівнянняназивається функція виду , До якої входить стільки незалежних довільних постійних, який порядок рівняння.

Приватним розв'язком диференціального рівнянняназивається рішення, отримане із загального рішення при різних числових значеннях довільних постійних. Значення довільних постійних перебуває при певних початкових значеннях аргументу та функції.

Графік приватного розв'язання диференціального рівняння називається інтегральної кривої.

Приклади

1.Знайти приватне рішення диференціального рівняння першого порядку

xdx + ydy = 0, якщо y= 4 при x = 3.

Рішення. Інтегруючи обидві частини рівняння, отримаємо

Зауваження. Довільну постійну, отриману в результаті інтегрування, можна представляти в будь-якій формі, зручній для подальших перетворень. В даному випадку, з урахуванням канонічного рівняння кола довільну постійну З зручно подати у вигляді .

- загальне рішення диференціального рівняння.

Приватне рішення рівняння, що задовольняє початкові умови y = 4 при x = 3 виходить із загального підстановкою початкових умов у загальне рішення: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Підставляючи С=5 у загальне рішення, отримаємо x 2 +y 2 = 5 2 .

Це приватне рішення диференціального рівняння, отримане із загального рішення за заданих початкових умовах.

2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння

Рішенням цього рівняння є будь-яка функція виду , де З - довільна стала. Справді, підставляючи рівняння , отримаємо: , .

Отже, дане диференціальне рівняння має безліч рішень, так як при різних значеннях постійної С рівність визначає різні рішеннярівняння.

Наприклад, безпосередньою підстановкою можна переконатися, що функції є рішеннями рівняння.

Завдання, в якому потрібно знайти приватне рішення рівняння y" = f(x, y)що задовольняє початковій умові y(x 0) = y 0називається завданням Коші.

Вирішення рівняння y" = f(x, y), що задовольняє початковій умові, y(x 0) = y 0, Називається рішенням завдання Коші.

Розв'язання задачі Коші має просте геометричне значення. Справді, згідно з даними визначеннями, вирішити завдання Коші y" = f(x, y)за умови y(x 0) = y 0, означає знайти інтегральну криву рівняння y" = f(x, y)яка проходить через задану точку M 0 (x 0,y 0).

ІІ. Диференційне рівнянняпершого порядку

2.1. Основні поняття

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду F(x,y,y") = 0.

У диференціальне рівняння першого порядку входить перша похідна і входять похідні вищого порядку.

Рівняння y" = f(x, y)називається рівнянням першого порядку, дозволеним щодо похідної.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція виду, що містить одну довільну постійну.

приклад.Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку.

Рішенням цього рівняння є функція.

Справді, замінивши у цьому рівнянні, його значенням, отримаємо

тобто 3x = 3x

Отже, функція є загальним рішенням рівняння за будь-якого постійного С.

Знайти приватне рішення даного рівняння, що задовольняє початкову умову y(1)=1Підставляючи початкові умови x = 1, y = 1у загальне рішення рівняння, отримаємо звідки C = 0.

Таким чином, приватне рішення отримаємо із загального підставивши на це рівняння, отримане значення C = 0- Приватне рішення.

2.2. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду: y"=f(x)g(y)або через диференціали, де f(x)і g(y)– задані функції.

Для тих y, для яких рівняння y"=f(x)g(y)рівносильно рівнянню, в якому змінна yприсутня лише у лівій частині, а змінна x-тільки у правій частині. Кажуть, «у рівнянні y"=f(x)g(yрозділимо змінні».

Рівняння виду називається рівнянням із розділеними змінними.

Проінтегрувавши обидві частини рівняння по x, отримаємо G(y) = F(x) + C– загальне рішення рівняння, де G(y)і F(x)– деякі первісні відповідно до функцій та f(x), Cдовільна стала.

Алгоритм розв'язання диференціального рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.

Приклад 1

Вирішити рівняння y" = xy

Рішення. Похідну функції y"замінимо на

розділимо змінні

проінтегруємо обидві частини рівності:

Приклад 2

2yy" = 1-3x 2, якщо y 0 = 3при x 0 = 1

Це-рівняння з розділеними змінними. Представимо його у диференціалах. Для цього перепишемо дане рівняння у вигляді Звідси

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, знайдемо

Підставивши початкові значення x 0 = 1, y 0 = 3знайдемо З 9=1-1+C, тобто. З = 9.

Отже, шуканий приватний інтеграл буде або

Приклад 3

Скласти рівняння кривої, що проходить через точку M(2;-3)і має дотичну з кутовим коефіцієнтом

Рішення. Відповідно до умови

Це рівняння з змінними, що розділяються. Розділивши змінні, отримаємо:

Проінтегрувавши обидві частини рівняння, отримаємо:

Використовуючи початкові умови, x = 2і y = - 3знайдемо C:

Отже, шукане рівняння має вигляд

2.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y" = f(x)y + g(x)

де f(x)і g(x)- Деякі задані функції.

Якщо g(x)=0то лінійне диференціальне рівняння називається однорідним і має вигляд: y" = f(x)y

Якщо те рівняння y" = f(x)y + g(x)називається неоднорідним.

Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння y" = f(x)yзадається формулою: де З- Довільна постійна.

Зокрема, якщо =0,то рішення є y = 0Якщо лінійне однорідне рівняння має вигляд y" = kyде k- деяка стала, його загальне рішення має вид: .

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння y" = f(x)y + g(x)задається формулою ,

тобто. дорівнює сумі загального рішення відповідного лінійного однорідного рівняння та окремого рішення даного рівняння.

Для лінійного неоднорідного рівняння виду y" = kx + b,

де kі b- Деякі числа та приватним рішенням буде постійна функція. Тому загальне рішення має вигляд.

приклад. Вирішити рівняння y" + 2y +3 = 0

Рішення. Уявимо рівняння у вигляді y" = -2y - 3де k = -2, b = -3Загальне рішення задається формулою.

Отже, де С – довільна стала.

2.4. Вирішення лінійних диференціальних рівнянь першого порядку методом Бернуллі

Знаходження загального рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку y" = f(x)y + g(x)зводиться до розв'язання двох диференціальних рівнянь із розділеними змінними за допомогою підстановки y=uv, де uі v- ні відомі функціївід x. Цей метод рішення називається методом Бернуллі.

Алгоритм розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку

y" = f(x)y + g(x)

1. Ввести підстановку y=uv.

2. Продиференціювати цю рівність y" = u"v + uv"

3. Підставити yі y"на дане рівняння: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)або u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Згрупувати члени рівняння так, щоб uвинести за дужки:

5. Зі дужки, прирівнявши її до нуля, знайти функцію

Це рівняння з змінними, що розділяються:

Розділимо змінні та отримаємо:

Звідки . .

6. Підставити отримане значення vрівняння (з п.4):

і знайти функцію Це рівняння з змінними, що розділяються:

7. Записати загальне рішення у вигляді: , тобто. .

Приклад 1

Знайти окреме рішення рівняння y" = -2y +3 = 0якщо y =1при x = 0

Рішення. Вирішимо його за допомогою підстановки y=uv,.y" = u"v + uv"

Підставляючи yі y"у дане рівняння, отримаємо

Згрупувавши другий і третій доданок лівої частини рівняння, винесемо загальний множник u за дужки

Вираз у дужках прирівнюємо до нуля і, вирішивши отримане рівняння, знайдемо функцію v = v (x)

Здобули рівняння з розділеними змінними. Проінтегруємо обидві частини цього рівняння: Знайдемо функцію v:

Підставимо отримане значення vв рівняння Отримаємо:

Це рівняння з розділеними змінними. Проінтегруємо обидві частини рівняння: Знайдемо функцію u = u(x, c) Знайдемо спільне рішення: Знайдемо приватне рішення рівняння, що задовольняє початкові умови y = 1при x = 0:

ІІІ. Диференціальні рівняння вищих порядків

3.1. Основні поняття та визначення

Диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння, що містить похідні не вище за другий порядок. У загальному випадкудиференціальне рівняння другого порядку записується як: F(x,y,y",y") = 0

Загальним рішенням диференціального рівняння другого порядку називається функція виду, до якої входять дві довільні постійні C 1і C 2.

Приватним рішенням диференціального рівняння другого порядку називається рішення, отримане із загального за деяких значень довільних постійних C 1і C 2.

3.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами.

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтаминазивається рівняння виду y"+py" +qy = 0, де pі q- Постійні величини.

Алгоритм розв'язання однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами

1. Записати диференціальне рівняння у вигляді: y"+py" +qy = 0.

2. Скласти його характеристичне рівняння, позначивши y"через r 2, y"через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

Згадаймо завдання, яке стояло перед нами під час знаходження певних інтегралів:

чи dy = f(x)dx. Її рішення:

і зводиться до обчислення невизначеного інтеграла. На практиці частіше зустрічається більше складна задача: знайти функцію y, якщо відомо, що вона задовольняє співвідношення виду

Це співвідношення пов'язує незалежну змінну x, невідому функцію yта її похідні до порядку nвключно, називаються .

У диференціальне рівняння входить функція під знаком похідних (чи диференціалів) тієї чи іншої системи. Порядок найвищої називається порядком (9.1) .

Диференційне рівняння:

- першого порядку,

Другого порядку,

- п'ятого порядку і т.д.

Функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню, називається його розв'язком , або інтегралом . Вирішити його означає знайти всі його рішення. Якщо для шуканої функції yвдалося отримати формулу, яка дає всі рішення, то ми говоримо, що знайшли його спільне рішення , або загальний інтеграл .

Загальне рішення містить nдовільних постійних і має вигляд

Якщо отримано співвідношення, яке пов'язує x, yі nдовільних постійних, у вигляді, не дозволеному щодо y -

то таке співвідношення називається спільним інтеграломрівняння (9.1).

Завдання Коші

кожне конкретне рішення, т. е. кожна конкретна функція, яка задовольняє даному диференціальному рівнянню і залежить від довільних постійних, називається приватним рішенням , чи приватним інтегралом. Щоб отримати приватні рішення (інтеграли) із загальних, треба постійним надавати конкретні числові значення.

Графік приватного рішення називається інтегральною кривою. Загальне рішення, яке містить усі приватні рішення, є сімейством інтегральних кривих. Для рівняння першого порядку ця родина залежить від однієї довільної постійної, для рівняння n-го порядку - від nдовільних постійних.

Завдання Коші полягає у знаходженні приватного рішення для рівняння n-го порядку, що задовольняє nпочатковим умовам:

за якими визначаються n постійних з 1, з 2,..., c n.

Диференціальні рівняння 1-го порядку

Для невирішеного щодо похідної диференціальне рівняння 1-го порядку має вигляд

або для дозволеного щодо

Приклад 3.46. Знайти загальне рішення рівняння

Рішення.Інтегруючи, отримаємо

де С - довільна стала. Якщо надамо конкретні числові значення, то отримаємо приватні рішення, наприклад,

Приклад 3.47. Розглянемо зростаючу грошову суму, покладену в банк за умови нарахування 100 r складних відсотків на рік. Нехай Yo початкова грошова сума, а Yx - після закінчення xроків. При нарахуванні відсотків один раз на рік, отримаємо

де x = 0, 1, 2, 3, .... При нарахуванні відсотків двічі на рік, отримаємо

де x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... При нарахуванні відсотків nраз на рік і якщо xприймає послідовно значення 0, 1/n, 2/n, 3/n,... тоді

Позначити 1/n = h , тоді попередня рівність матиме вигляд:

При необмеженому збільшенні n(при ) у межі приходимо до процесу зростання грошової суми при безперервному нарахуванні відсотків:

таким чином видно, що при безперервній зміні xЗакон зміни грошової маси виражається диференціальним рівнянням 1-го порядку. Де Y x - невідома функція, x- незалежна змінна, r- Постійна. Вирішимо дане рівняння, для цього перепишемо його таким чином:

звідки , або де через P позначено e C .

З початкових умов Y(0) = Yo , знайдемо P: Yo = Pe o , звідки, Yo = P. Отже, рішення має вигляд:

Розглянемо другу економічне завдання. Макроекономічні моделі теж описуються лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку, що описує зміну доходу чи випуску продукції Y як функцій часу.

Приклад 3.48. Нехай національний дохід Y зростає зі швидкістю, пропорційною його величиною:

і нехай, дефіцит у витратах уряду прямо пропорційний доходу Y з коефіцієнтом пропорційності q. Дефіцит у витратах призводить до зростання національного боргу D:

Початкові умови Y = Yo та D = Do при t = 0. З першого рівняння Y = Yoe kt . Підставляючи Y отримуємо dD/dt = qYoe kt. Загальне рішення має вигляд
D = (q/k) Yoe kt +С, де С = const, що визначається з початкових умов. Підставляючи початкові умови, отримуємо Do = (q/k) Yo + С. Отже, остаточно,

D = Do + (q / k) Yo (e kt -1),

звідси видно, що національний боргзростає з тією ж відносною швидкістю k, як і національний дохід.

Розглянемо найвищі диференціальні рівняння n-го порядку, це рівняння виду

Його загальне рішення отримаємо за допомогою nразів інтегрувань.

Приклад 3.49.Розглянемо приклад y """ = cos x.

Рішення.Інтегруючи, знаходимо

Загальне рішення має вигляд

Лінійні диференціальні рівняння

В економіці велике застосуваннямають , розглянемо розв'язання таких рівнянь. Якщо (9.1) має вигляд:

воно називається лінійним, де рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - задані функції. Якщо f(x) = 0, то (9.2) називається однорідними, інакше - неоднорідним. Загальне рішення рівняння (9.2) дорівнює сумі будь-якого його приватного рішення y(x)та загального рішення однорідного рівняння відповідного йому:

Якщо коефіцієнти р o (x), р 1 (x), ..., р n (x) постійні, то (9.2)

(9.4) називається лінійним диференціальним рівнянням із постійними коефіцієнтами порядку n .

Для (9.4) має вигляд:

Можна покласти без обмеження спільності р o = 1 та записати (9.5) у вигляді

Шукатимемо рішення (9.6) у вигляді y = e kx , де k - константа. Маємо: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Підставимо отримані вирази в (9.6), матимемо:

(9.7) є алгебраїчне рівняння, його невідомим є k, Воно називається характеристичним. Характеристичне рівняння має ступінь nі nкоріння, серед яких можуть бути як кратні, так і комплексні. Нехай k 1 , k 2 ,..., k n - дійсні та різні, тоді - приватні рішення (9.7), а загальне

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

Його характеристичне рівняння має вигляд

(9.9)

його дискримінант D = р 2 – 4q залежно від знака D можливі три випадки.

1. Якщо D>0, то коріння k 1 і k 2 (9.9) дійсні та різні, і загальне рішення має вигляд:

Рішення.Характеристичне рівняння: k 2 + 9 = 0, звідки k = ± 3i, a = 0, b = 3, загальне рішення має вигляд:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку застосовуються щодо економічної моделіпавутиноподібного типу із запасами товарів, де швидкість зміни ціни P залежить від величини запасу (див. параграф 10). Якщо попит і пропозиція є лінійними функціямиціни, тобто

а - є постійна, що визначає швидкість реакції, процес зміни ціни описується диференціальним рівнянням:

За приватне рішення можна взяти постійну

що має сенс ціни рівноваги. Відхилення задовольняє однорідному рівнянню

(9.10)

Характеристичне рівняння буде таким:

У разі член позитивний. Позначимо . Коріння характеристичного рівняння k 1,2 = ± i w, тому загальне рішення (9.10) має вигляд:

де C і довільні постійні вони визначаються з початкових умов. Набули закону зміни ціни в часі: