Нетроичные губки и пены. Понятие о фрактальной сети

Еще один пример простого самоподобного фрактала - ковер Серпинского (рис. 2.3.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 2.3.1. Ковер Серпинского

Пусть начальное множество S 0 - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S 0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S 1 (рис. 2.3.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S 2 . Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S n , чье пересечение образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = Ѕ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S - самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Рис. 2.3.2. Построение ковра Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n -1 * (1/4 n) + … .

Эта сумма равна 1 (доказательство в ). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

3. L -системы.

Понятие L -систем , тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Мы рассмотрим детерминированные L-системы и графикой на плоскости.

Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл -графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x , y , a ) , где (x , y ) - координаты черепашки, a - направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F - переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

b - переместиться вперед на один шаг, НЕ прорисовывая след.

[ - открыть ветвь (подробнее см. ниже)

] - закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

Увеличить угол a на величину q

Уменьшить угол a на величину q

Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита , слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором , и набора порождающих правил , указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2.1), задается следующим образом:

p =  /3

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: newf = F-F++F-F

Графическое представление аксиомы F++F++F - равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

и т.д. Причем, убедившись на собственном опыте программирования L-систем знаю, что для снежинки Коха на 20-й итерации порождающее правило занимает несколько мегабайт текста!

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

и его L-система:

p = /4

Аксиома: FX

Порождающее правило: newf = F

newx = X+YF+

newy = -FX-Y

Рис 3.2. Дерево после 5-ти итераций

и его L-система:

p = /7

Аксиома: F

Порождающее правило: newf = F[+F]F[-F]F

Рис. 3.3. Квадрат Госпера после 2-х итераций

и его L-система:

p = /2

Аксиома: -FX

Порождающее правило: newf = F

newx = +FYFY-FX-FX+FY+FYFX+FY-FXFX-FY-FX+FYFXFX-FY-FXFY+FY+FX-FX-FY+FY+FXFX

newy = FYFY-FX-FX+FY+FY-FX-FXFY+FX+FYFYFX-FY+FX+FYFY+FX-FYFX-FX-FY+FY+FXFX-

Году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность серединного треугольника . На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество - треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму:

1. Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.
2. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трёх вершин треугольника.
3. Отметить текущую позицию.
4. Повторить с шага 2.

Свойства

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Салфетка Серпинского" в других словарях:

Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпински … Википедия

Ковёр (квадрат) Серпинского Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вац … Википедия

Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

- (далее кривая) наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… … Википедия

Кривая Урысона (далее кривая) наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой… … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала … Википедия

Книги

• , Гашков С.Б.. В книге рассказывается о любопытной связи задачи о сложении чисел в двоичной записи с алгеброй логики, многочленами Жегалкина, треугольником Паскаля, салфеткой Серпинского и теоремой Куммера…
• Сложение однобитных чисел. Треугольник Паскаля, салфетка Серпинского и теорема Куммера , С. Б. Гашков. В книге рассказывается о любопытной связи задачи о сложении чисел в двоичной записи с алгеброй логики, многочленами Жегалкина, треугольником Паскаля, салфеткой Серпинского и теоремой Куммера…

«КОВЁР СЕРПИНСКОГО»

Оглавление

Введение

1. Понятие о фракталах.

О коврах

Вацлав Серпинский

Треугольник Серпинского

Ковёр Серпинского

Функции Серпинского

Виды и основные свойства фракталов

Построение фракталов

О применении фракталов

Заключение

Основные тезисы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7 (Презентация)

Литература

Если люди отказываются верить

в простоту математики,

то это только потому, что они

не понимают всю сложность жизни.

Джон фон Нейман

Введение

Работа посвящена теме исследование фрактала: Ковер Серпинского.

Как известно, данный фрактал является одним из классических фракталов во фрактальной геометрии.

Основная цель данной работы заключается в исследовании фрактала под названием Ковер Серпинского.

Необходимость появления понятия фрактал появилась сравнительно недавно, а именно около 40 лет назад. Тогда геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако стало очевидно, что этот классический набор, достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применим, для таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева и т.д. В связи с этим ученые стали вводить новые геометрические понятия. И одним из таких понятий стало понятие фрактала. Введено это понятие было французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в1975 году. И хотя в математике похожие конструкции в той или иной форме появились давно, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70 годы 20 столетия. Тогда немаловажную роль в распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также, как и на больших. Здесь определена разница между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна. Фрактальная же кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотичной. Для нее, в частности, не существует и понятия касательной в точке, так как функции, описывающие эти кривые, являются в общем случае недифференцируемыми.

Возможно, что наиболее убедительным аргументом в пользу изучения фракталов является их бросающаяся в глаза красота.

Фракталы удивительным образом соединили логический подход и познание природных явлений.

Многие крупные достижения в области фрактальной геометрии стали возможны с появлением современных компьютеров. Компьютерные эксперименты позволили получить достаточно полное представление о разнообразных фракталах и причинах их возникновения. Часто теоретическое моделирование этих структур подчас даже опережало экспериментальные методы изучения реальных природных объектов сложной формы.

С развитием фрактальной геометрии, для многих стало очевидно, что формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости.

В настоящее время можно сказать, что фрактальная геометрия обширно известна и достаточно актуальна. Все потому, что язык фрактальной геометрии применим для всей науки современного мира в целом. Например, в медицине для построения модели кровеносной системы человека или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

1. Понятие о фракталах.

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции.
Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер.

Геометрия, которую мы изучаем в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, как говорилось ранее, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности" , - этими словами начинается "Фрактальная геометрия природы", написанная Бенуа Мандельбротом. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта « The Fractal Geometry of Nature» . В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875 -1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" . Внутренние свойства фракталов удобно описывать числовой характеристикой, полу чившей название фрактальной размерности. Проведём несложный эксперимент. Возьмём лист чистой миллиметровой бумаги и начер тим на нём произвольный прямолинейный отрезок. Подсчитаем количество кле ток с длиной стороны 1 см и количество кле точек с длиной стороны 1 мм, через которые проходит этот отрезок. Во сколько раз одно число больше другого? Если эксперимент про водить аккуратно, то покрывающих отрезок миллиметровых клеток окажется в десять раз больше, чем сантиметровых.

Геометрия в природе не ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Основатель фрактальной геометрии.

Математики пренебрегли вызовом и

предпочли бежать от природы путём изобретения

всевозможных теорий, которые никак не

объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Бенуа Мандельброт

Бенуа Мандельброт (фр. Benoit Mandelbrot; род. 20 ноября 1924, Варшава) - французский математик.

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Бенуа Мaндельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».

После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет.

Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.

В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.

По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.

О коврах.

Немного о надкусывании

Практическое применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

Компьютерные системы

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Механика жидкостей

1. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

2. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

3. Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Физика поверхностей

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Медицина

1.Биосенсорные взаимодействия.

2.Биение сердца

Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Применение фракталов в антенной технике

На основе идей и алгоритмов, рассмотренных ранее в первом разделе, был предложен новый метод методы использования фрактальных элементов в антенных решетках. Его применение позволяет повысить плотность размещения и снизить взаимосвязи между элементами. Кроме того, на основе фрактальной теории были изучены свойства и вид излучения таких антенн. Использование фрактальной теории позволяет получить антенны, которые являются электрически длинными, но физически компактны и занимают малую площадь. Благодаря этому свойству можно добиться миниатюризации антенн.

От современных антенн требуется высокая точность и минимальные размеры. Для радиосвязи требуются системы, которые могут работать на максимальном количестве диапазонов частот. Бортовые антенные системы требуют от антенн максимально возможной миниатюризации. Для достижения этих целей были предложены различные методы применения фракталов в теории антенн. Покажем возможные области применения фракталов в антенной технике:

а) проволочные антенны, микрополосковые антенны – эти антенны имеют физическую фрактальную структуру;

б) антенны с фрактальной диаграммой направленности (ДН), решетки с фрактальным распределением тока – антенны построены на основе компьютерного моделирования фрактальных характеристик.

Приведем пример использования фрактальной структуры для простой кольцевой антенны .

Излечение решетки будет иметь вид:

Р – общее количество циклов; N =4 – количество элементов на одном кольце; – фаза (сдвиг) элемента, ; – масштабный фрактальный коэффициент.

12.Заключение

Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Но, кроме этого фракталы встречаются в объектах и невидимых человеческим глазом: это клетки различных живых тканей, трещины в земной коре и многое другое. Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Она используется не только в математике, но и в экономике, географии, астрономии, биологии, физике и даже в литературе. Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

Фрактальная наука очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и ещё подарит нам не мало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех которые доставляют истинное наслаждение разума.

В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.

Работая над темой исследования, я значительно углубила свои знания по математике, расширила математический кругозор.

В ходе изучения фракталов я выяснила, что многие из них обладают удивительными свойствами и широко используются в различных областях науки.

На основе результатов своего исследования я создала компьютерную презентацию, с помощью которой каждый, кто заинтересуется, может составить четкое представление о видах и необычных свойствах фракталов.

Я убедилась, что математика – уникальная и удивительная наука, методы которой позволяют описать закономерности и структуру самых необычных явлений окружающего мира. Кроме того, фрактальные рисунки, имеющие причудливые динамические формы, – один из символов единства математики и искусства. Созданные современными компьютерами фракталы формируют глубокие эстетические эмоции, которые вызывают уважение и интерес к математике.

Я считаю, что проведенная мной работа по исследованию фракталов очень полезна для меня самой, а ее результаты могут быть успешно использованы на уроках математики и во внеклассной работе. Потому что это действительно интересно!

13.Основные тезисы .

1.Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря Бенуа Мандельброту.

2. Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

3.Фракталы всё чаще используются в науке. Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии и других.

4.Сущетвует множество различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.

6. Фракталы позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

Приложение 1

Динамические и стохастические фракталы

Возьмем какую-нибудь начальную точку z 0 на комплексной плоскости. Теперь рассмотрим бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ... z n+1 = f(z n ), где f ( z ) – какая-либо функция комплексной переменной. В зависимости от начальной точки z 0 такая последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при n → ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты. При окрашивании различными цветами точек комплексной плоскости, ведущих себя по-разному, часто получаются фигуры, обладающие фрактальными свойствами.

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта - это множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность (z n ), где z 0 =0, z n+1 = z n 2 + c, конечна (то есть не уходит в бесконечность).

Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.

Доказано, что всё множество целиком расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции f c = z 2 + c с начальным значением z = 0 после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N , элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга.

Множество Жюлиа

Любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения (остается конечной, стремится к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты.

Приложение 2

Примеры фракталов и их удивительные свойства

Варианты снежинки Коха

а) Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

б) Линии Чезаро: вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

в) Квадратный вариант: достраиваются квадраты.

H -фрактал

Все начинается с фигуры в виде буквы Н, у которой вертикальные и горизонтальные отрезки равны. Затем к каждому из 4 концов фигуры пририсовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) пририсовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее.

В пределе получится фрактал, который заполняет некоторый квадрат, поэтому H -фрактал относится к линиям, заполняющим часть плоскости, однако суммарная длина всех отрезков, образующих H -фрактал, бесконечна.

Данное свойство Н-фрактала получило широкое применение при производстве электронных микросхем: если нужно, чтобы в сложной схеме большое число элементов получило один и тот же сигнал одновременно, то их можно расположить в концах отрезков подходящей итерации Н-фрактала и соединить соответствующим образом.

Существуют и другие фрактальные кривые, заполняющие часть плоскости. Впервые такой объект появился в статье итальянского математика Джузеппе Пеано в 1890 году. Пеано пытался найти наглядное объяснение того, что отрезок и квадрат равномощны (если рассматривать их как множества точек). Эта теорема была ранее доказана немецким математиком Георгом Кантором в рамках придуманной им теории множеств. Пример Пеано стал хорошим подтверждением правоты Кантора.

Иногда выражение кривая Пеано относят не к конкретному примеру, а к любой кривой, которая заполняет часть плоскости или пространства.

Кривая Гильберта была описана немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году.

Еще один пример - фрактал «Греческий крест»:

Кривая Госпера, или снежинка Госпера (описана американским математиком и программистом Биллом Госпером):

Дерево Пифагора

Этот фрактал называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный равнобедренный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна, но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема.

Если менять углы при основании треугольника в дереве Пифагора, то будут получаться немного другие формы дерева, называемые обдуваемыми деревьями Пифагора. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости:

Кривая Леви

Хотя этот объект изучал еще итальянец Эрнесто Чезаро в 1906 году, его самоподобие и фрактальные свойства исследовал в 1930-х годах француз Поль Пьер Леви.

За сходство с буквой «С», написанной витиеватым шрифтом, ее еще называют С-кривой Леви.

Если приглядеться, то можно заметить, что кривая Леви похожа на форму кроны дерева Пифагора.

Варианты кривой Леви

а) Скособоченная кривая получится, если вместо равнобедренного прямоугольного треугольника на каждом шаге использовать какой-нибудь другой прямоугольный треугольник.

б) Еще один вариант С-кривой Леви можно построить, если начать не с отрезка, а с буквы П. Ниже показаны первые три, восьмой и одиннадцатый шаги построения этой кривой:

в) Если взять за основу квадрат, то получится остров Леви:

Дракон Хартера – Хейтуэя

Считается, что такое название фрактал получил за сходство с традиционными китайскими драконами.

Фрактал Дракон так же обладает интересным свойством: если вырезать несколько плиток в форме фрактала дракона, то их можно так приложить друг к другу, что не останется промежутков. Если таких плиток много, то ими можно замостить часть плоскости:

Приложение 3

Фрактальная и топологическая размерности

Рассмотрим подробнее одно из свойств фрактального множества и введем понятия топологической и фрактальной размерностей. Топологическая размерность – это число координат, необходимых для задания положения точки внутри фигуры. Так, любая линия (например, окружность или прямая) одномерна - достаточно всего одной координаты, чтобы точно указать точку, а плоскость и поверхность шара двумерны. Теперь рассмотрим определение фрактальной размерности. Заметим, что если взять два квадрата со сторонами 1 и 2, то первый квадрат будет в 4 раза меньше второго. Итак, размерность квадрата равна D = 2, причем

Таким образом, фрактальную размерность можно определить также следующим образом: если при уменьшении исходной фигуры в N раз она помещается в себя M раз, то размерностью данной фигуры является число D , где

Найдем фрактальную размерность кривой Коха, используя данное определение. Заметим, что кривая Коха состоит из 4 частей (одна из них выделена на рисунке ниже), каждая из которых подобна всей кривой в целом, но при этом каждая из этих частей меньше кривой в 3 раза:

То есть в данном случае N = 3, M = 4. Решая данное уравнение:

находим, что D ≈ 1,261859...

Итак, так как рассмотренный выше фрактал – кривая, его топологическая размерность равна 1, а фрактальная размерность ≈ 1,261859... Таким образом, фрактальная размерность данной фигуры больше топологической и является дробной, как и говорилось в свойстве.

Приложение 4

Фракталы в природе и технике

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии и адсорбции, пламя, облака и так далее. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии.

Фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов - ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Также фракталы используются для создания фрактальной музыки и для шифрования данных.

В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала.

А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).

Но наиболее широко фракталы применяются в компьютерной живописи, так как фракталы – это удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, сочетающие в себе богатейшую цветовую палитру, многообразие и повторяемость геометрических форм.

Приложение 5

Игры с треугольником и ковром Серпинского

Рассматриваем треугольник Серпинского как подмножество комплексной плоскости и применяем к нему различные преобразования комплексной плоскости. Например, пусть треугольник Серпинского построен на единичном отрезке действительной оси.

И теперь применим к комплексной плоскости преобразование инверсии относительно центра треугольника: . Тогда получим следующую картинку.

Ниже приведены картинки для Преобразование инверсии относительно центра ковра имеет вид Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A 1 A 2 A 3 . Отмечают любую начальную точку B 0 . Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B 1 - середину отрезка с концами в этой вершине и в B 0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A 1 ). То же самое повторяют с точкой B 1 , чтобы получить B 2 . Потом получают точки B 3 , B 4 , и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности B i , то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.

Приложение 6.

Воспроизведение разработок математика Серпинского в домашних условиях

Красота математики имеет своеобразную природу, и оценить её неподготовленному обывателю непросто. Но можно - например, на эффектном и визуально очевидном примере фракталов, с которыми поупражнялась группа людей. Эти весельчаки перенесли составные геометрические фигуры со свойством самоподобия в домашние условия, в том числе и на кухню.

Они позаимствовали два знаменитых фрактала, названных в честь изобретателя: треугольник Серпинского и ковёр Серпинского. Используя тот факт, что в основе их построения лежат простые формы и понятный метод, ловкие руки энтузиастов взялись за глину и тесто. Результатом стали два продукта: глиняные скульптуры и печенье с шоколадом - всё с пошаговыми инструкциями типа «Сделай сам».

Как видите, в данном случае треугольник Серпинского лепится из глины двух цветов. Ничто не мешает использовать и более доступный пластилин, а также увеличить количество расцветок. Главное - внимательно измерять всё линейкой и быть аккуратным. А метод доступен и пониманию ребёнка, потому как состоит из повторения одинаковых операций. Теоретически процесс бесконечен, а в упражнении с глиной рекомендуется ограничиться шестью итерациями: так контраст ещё остаётся силён, а узор уже становится впечатляющ.

Что касается ковра Серпинского, то принцип его создания схож с показанным выше построением треугольника, но для реализации в домашних условиях ещё менее сложен. Поэтому целеустремлённая и любознательная домохозяйка может такой фрактал сделать не только для красоты, но и для пропитания - например, используя два вида теста.

Список литературы

А. Д. Морозов «Введение в теорию фракталов». Москва, 2002.

Е. Федер «Фракталы». «Мир», 1997.

Р. М. Кроновер «Фракталы и заос в динамических системах». Москва, 2000

А. И. Азевич «Фракталы: геометрия и искусство» // «Математика в школе». – 2005. – №4.

Божогин С. В. Фракталы и мультифракталы.

Шлык В.А. Через Фрактальную геометрию к новому восприятию мира.

Мандельброт Б.Б. «Фрактальная геометрия природы.»

Глобальная сеть Интернет .

Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Выкидывание центральных треугольников - не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.

Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.

Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A 1 A 2 A 3 . Отмечают любую начальную точку B 0 . Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B 1 - середину отрезка с концами в этой вершине и в B 0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A 1). То же самое повторяют с точкой B 1 , чтобы получить B 2 . Потом получают точки B 3 , B 4 , и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности B i , то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.

Некоторые свойства

Варианты

Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского. Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.

Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log 3 8, вычисляется аналогично размерности треугольника.

Пирамида Серпинского. Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log 2 5. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Губка Менгера. Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log 3 20. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.

В главе 6 мы рассматриваем плоские кривые Коха с размерностью , которые не содержат двойных точек, благодаря чему их можно назвать лишенными самопересечений или неразветвленными. А глава 7 посвящена кривым Пеано, неизбежным пределом для которых являются повсюду плотные двойные точки. В настоящей главе мы намерены сделать следующий шаг и исследовать некоторые примеры намеренно разветвленных самоподобных фигур: плоских кривых (), пространственных кривых () и поверхностей (). Количество двойных точек в разветвленной самоподобной кривой стремится к бесконечности.

Математический аппарат, используемый в этой главе, не нов (хотя и известен очень немногим специалистам) - новым является мое применение его для описания Природы.

САЛФЕТКА СЕРПИНСКОГО - ОЧЕРЕДНОЕ ЧУДОВИЩЕ

Я предложил термин салфетка Серпинского для обозначения фигуры, изображенной на рис. 205. На рис. 207 показан пространственный вариант той же фигуры. Процедуры их построения описаны в пояснениях к рисункам.

У Хана читаем: «Точка кривой называется точкой ветвления, если граница сколь угодно малой ее окрестности содержит более чем две точки, принадлежащие той же кривой... Здравый смысл, судя по всему, настаивает на том, что никакая кривая просто не может состоять из одних лишь... точек ветвления. Это очевидное убеждение опровергается... кривой Серпинского, все точки которой являются точками ветвления».

ЭЙФЕЛЕВА БАШНЯ: ПРОЧНОСТЬ И ИЗЯЩЕСТВО

И опять Хан со своими взглядами сел в лужу, хотя надо признать, что не характерный для него выбор слов («судя по всему») оказывается весьма мудр. Мой первый контраргумент позаимствован из достижений инженерной мысли. (Перед тем, как приступить к рассмотрению компьютерных структур в конце главы 12, я уже говорил о том, что не усматриваю ничего нелогичного во включении искусственных систем со сложной структурой в настоящий труд, посвященный феноменам Природы.)

Я утверждаю, что (задолго до Коха, Пеано и Серпинского) в построенной Гюставом Эйфелем в Париже башне была осознанно воплощена идея фрактальной кривой, содержащей множество точек ветвления.

В первом приближении Эйфелева башня состоит из четырех А-образных элементов. Согласно легенде, Эйфель выбрал букву А, чтобы выразить в своей башне слово Amour. Все четыре А-образных элемента имеют общую вершину, а соседние А - общее ребро. Кроме того, на верхушке возвышается еще одна, прямая, башня.

Заметьте, что и А-элементы, и верхняя башня сделаны не из цельных балок, а из колоссальных ферм. Фермой называется жестко скрепленная совокупность взаимосвязанных звеньев, каждое из которых не может быть деформировано без деформации, по крайней мере, одного из соседних звеньев. При одинаковой прочности фермы оказываются значительно легче цельных цилиндрических балок. А Эйфель сообразил, что фермы, звенья которых сами являются фермами, еще легче.

Бакминстер Фуллер открыл миру глаза на то, что секрет прочности скрыт в точках ветвления, однако умудренные опытом строители готических соборов знали об этом задолго до него. Чем дальше мы заходим в применении этого принципа, тем ближе подбираемся к идеалу Серпинского! Бывший ученик Безиковича Фримен Дайсон в поисках прочных и легких конструкций для своих межпланетных построек описал однажды бесконечно экстраполированную Эйфелеву башню (, с. 646).

КРИТИЧЕСКИЕ ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ КЛАСТЕРЫ

Вернемся снова к природе, вернее, к образу природы, описываемому статистической физикой. Я полагаю, что при изучении перколяции сквозь решетки нам просто не обойтись без кого-нибудь из родственников салфетки Серпинского. В главе 13, открывающей рассмотрение данного прецедента, утверждалось, что перколяционные кластеры фрактальны. Теперь я пойду дальше и скажу, что разветвленная структура салфетки Серпинского представляет собой весьма многообещающую модель структуры магистралей кластеров.

Физики оценят эту модель главным образом по тому факту, что она работает, и работает быстро: в статье показано, что с помощью такой модели можно выполнять обычные вычисления точно. Подробности слишком специальны для того, чтобы войти в настоящее эссе, а вот причины, благодаря которым я пришел к этим выводам, могут оказаться интересными. Впервые я задумался об этом, когда заметил сходство между салфеткой Серпинского и магистралями кластеров, показанными на следующем рисунке:

Наиболее явная причина заключена в тремах, оставшихся пустыми после удаления болтающихся связей (образовавшихся после сокращения кластера до магистрали) и кластеров, целиком содержащихся внутри заинтересовавшего меня кластера. Вторая причина: в главе 13 мы показали, что самоподобие является в высшей степени желательным свойством для геометрической модели перколяционного кластера, а ветвление салфетки Серпинского как раз самоподобно. И наконец, размерности этих двух структур настолько близки, что это едва ли может быть простым совпадением! Согласно оценке С. Киркпатрика, плоский кластер имеет размерность - поразительно близко к размерности салфетки Серпинского! Размерность же пространственного кластера почти совпадает с фрактальной размерностью асимметричной паутины на рис. 207. Кроме того, в показано, что идентичность размерности магистрали и размерности обобщенной салфетки сохраняется и в . Еще один аргумент в пользу «салфеточной» модели мы представим несколько позже в виде последнего приложения ветвления.

ТРОИЧНЫЙ КОВЕР СЕРПИНСКОГО

Перейдем от треугольных решеток к прямоугольным. Они демонстрируют большое разнообразие возможных конструкций - кривых на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве. Что касается кривых, то они, несмотря на внешнее сходство с салфеткой Серпинского, весьма отличны от нее с фундаментальной точки зрения на ветвление, к которой мы еще вернемся после определения этих кривых.

Буквальное распространение на плоскость канторова метода удаления средних третей описано в пояснении к рис. 205; инициатором такого построения служит квадрат. Фрактал, получаемый бесконечным повторением этого процесса, широко известен под непритязательным названием троичного ковра Серпинского. Его размерность .

НЕТРОИЧНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ КОВРЫ

Для построения «ковра с большим медальоном в центре» запишем, как обычно, , где - целое число, большее 3; в качестве инициатора возьмем квадрат, в качестве тремы - квадрат со стороной с центром в той же точке, а в качестве генератора - узкое кольцо из квадратов со стороной . Размерность такого ковра имеет вид . Если взять нечетное целое , в качестве тремы - один подквадрат со стороной г и с центром в той же точке, что и центр инициатора, а в качестве генератора - широкое кольцо из малых квадратов, то получится «ковер с малым медальоном в центре». Размерность такого ковра имеет вид . Таким образом, в центрированных коврах можно получить сколь угодно близкое приближение к любому значению в интервале от 1 до 2.

Нецентрированные ковры определяются при . Например, при и можно разместить трему, состоящую из одного подквадрата, в правом верхнем подквадрате. Соответствующее предельное множество оказывается салфеткой Серпинского, построенной из треугольника, образующего левую нижнюю половину квадрата.

ТРОИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ПЕНА

Буквальное распространение троичного ковра на пространство начинается с удаления из куба в качестве тремы среднего подкуба (27-й части объема исходного куба), после чего остается «оболочка» из 26 подкубов. Получаемый посредством такой процедуры фрактал я предлагаю назвать троичной фрактальной пеной. Ее размерность .

Каждая трема здесь со всех сторон окружена непрерывной границей, разделенной на бесконечное множество бесконечно тонких слоев бесконечной плотности. Для того, чтобы попасть из точки, расположенной в одной треме, в точку, расположенную в другой треме, необходимо пройти сквозь бесконечное количество слоев. Это напоминает «пространственно-временную пену», которая, согласно Дж. А. Уилеру и Дж. У. Хокингу, составляет тончайшую структуру материи. Вынужден, однако, признаться, что я не владею этой темой в достаточной степени, поэтому не решусь обсуждать ее здесь.

ТРОИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ГУБКА МЕНГЕРА

Карл Менгер предлагает в качестве тремы другую фигуру: крест, из центра которого спереди и сзади торчит по выступу. При этом от куба остается связанных друг с другом подкубов со стороной 1/3. Из этих подкубов двенадцать образуют «брусья» или веревки, а остальные восемь являются узлами или соединителями. Размерность предельного множества (см. рис. 208) составляет . Я называю эту структуру губкой, так как здесь и творог, и сыворотка представляют собой связные множества. Можно представить себе, как между двумя любыми точками области сыворотки свободно течет вода.

Чтобы получить комбинацию веревок и листов, возьмем в качестве тремы троичный крест всего лишь с одним выступом - спереди. А если при этом время от времени менять направление выступа, то листы в предельной конструкции получатся дырявыми. Возможно, здесь следует упомянуть и о том, что я размышлял обо всех этих формах, когда искал модели для описания турбулентной перемежаемости, - еще до того, как прочел о них у Менгера.

НЕТРОИЧНЫЕ ГУБКИ И ПЕНЫ

Для получения обобщенных губок Менгера с нетроичным основанием , трема должна представлять собой комбинацию из трех цилиндров с квадратными основаниями с соблюдением следующих условий: ось каждого из цилиндров должна совпадать с одной из осей единичного куба, длина каждого цилиндра должна быть равна 1, а стороны его основания должны быть параллельны другим осям куба. Чем больше длина стороны основания, тем «легче» получаемая губка. Наибольшая возможная длина стороны основания для случая составляет , генератор при этом имеет вид комбинации кубов со стороной . Отсюда размерность . Аналогичным образом получаем «плотную» губку (только при нечетном ) - длина стороны основания цилиндра в этом случае равна . При генератор имеет вид комбинации кубов со стороной . И размерность теперь равна .

Фрактальные пены обобщаются аналогичным образом. При «густые» пены дают размерность , а «разреженные» - . Если пустоты велики, а размерность близка к 2, то пена похожа на чрезмерно ноздреватый эмментальский сыр; при малых пустотах и пена напоминает другой изысканный сыр - аппенцелльский.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПУСТОТ

Тремы губок сливаются в одно целое, в то время как тремы ковров и пен представляют собой изолированные друг от друга пустоты, подобные паузам в канторовой пыли (см. главу 8). Распределение их линейного масштаба подчиняется правилу

,

где - константа. Это правило нам хорошо известно еще с рассмотрения пустот в канторовой пыли, а также островов и кластеров в главе 13.

ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ СЕТИ. РЕШЕТКИ

Решеткой в стандартной геометрии называется совокупность параллельных прямых, ограничивающих одинаковые квадраты, треугольники или другие регулярные фигуры. Этот же термин, судя по всему, применим и к правильным фракталам, любые две точки которых могут быть соединены одна с другой двумя различными путями, нигде более не пересекающимися. В случае неправильного - например, случайного - фрактала решетку я заменяю сетью.

При более внимательном сравнении стандартных и фрактальных решеток становятся заметны весьма значительные различия. Первое заключается в том, что стандартные решетки инвариантны при сдвигах, но не при масштабировании, тогда как для фрактальных решеток верно обратное. Второе различие: при уменьшении размера ячейки стандартной решетки решетка в пределе сходится в плоскость. Кроме того, некоторые стандартные решетки можно интерполировать, помещая дополнительные прямые посередине между уже существующими прямыми и продолжая этот процесс до бесконечности. В этом случае решетка также сходится в плоскость. Аналогичным образом, если возможна интерполяция стандартной пространственной решетки, то пределом ее становится все пространство. То есть предел стандартной решетки не является решеткой. В случае фракталов ситуация прямо противоположна: пределом приближенной фрактальной решетки является фрактальная же решетка.

Термин применим и к фрактальным пенам - их можно считать разветвленными фрактальными решетками.

ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Основное правило. Во многих случаях при изучении фракталов важно знать размерности линейных и плоских сечений. Основное наблюдение здесь (мы воспользовались им в главе 10 для того, чтобы показать, что размерность турбулентности ) касается сечения плоской фрактальной фигуры интервалом, «независимым от фрактала». Оказывается, если сечение непусто, то его размерность «почти наверняка» составляет величину .

Соответствующее значение для пространственного случая .

Исключения. К сожалению, этот результат весьма сложно проиллюстрировать, имея дело с неслучайными фракталами, обладающими осями симметрии. Интервалы, на которые мы первым делом обращаем внимание, параллельны этим осям и, как следствие, нетипичны, а почти любое простое сечение каким-либо другим интервалом принадлежит исключительному множеству, к которому общее правило не применимо.

Возьмем, например, ковер Серпинского, троичную губку Менгера и троичную пену. Значение , которое почти наверняка должно оказаться размерностью сечения плоской фигуры отрезком, будет, соответственно, равно:

Обозначим через х абсциссу интервала, параллельного оси у ковра Серпинского. Если число , записанное в троичной системе счисления, оканчивается на бесконечную последовательность нулей и двоек, то сечения сами представляют собой интервалы, а значит - больше, чем мы ожидали. Если же х оканчивается на бесконечную последовательность единиц, то сечения являются пылевидными канторовыми множествами с размерностью , которая слишком мала. А если оканчивается периодической последовательностью периода , включающей в себя единиц и нулей или двоек, то размерность сечений имеет вид . Ожидаемое значение получается лишь при . < То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . Таким образом, мы получаем три различных размерности - наибольшую, наименьшую и среднюю.

Очень похожие результаты получаются и в пространственном случае.

Что касается салфетки Серпинского, ее наиболее вероятная размерность , однако значения размерности «естественных» сечений варьируются от 1 до 0. Например, если короткий интервал, проходящий через середину одной из сторон салфетки, достаточно близок к перпендикуляру, то его пересечением с салфеткой будет одна-единственная точка (размерность сечения ).

Разнообразие этих особых сечений отчасти объясняется регулярностью исходных фигур. С другой стороны, наиболее экономичное сечение (причем необязательно прямой линией) неизбежно является основой понятий топологической размерности и степени ветвления, к которым мы сейчас и переходим.

РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ФРАКТАЛЫ КАК КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ

Как мы уже отмечали, термин «кривая» используется в настоящем эссе как эквивалент фразы «связная фигура с топологической размерностью ». Вообще говоря, математик сочтет такую формулировку не совсем удовлетворительной, точные же выражения для этого понятия весьма деликатны. К счастью, для того, чтобы объяснить, почему любая кривая Коха с инициатором заслуживает звания кривой, нам в главе 6 хватало одного простого соображения: как и сам интервал , кривая Коха связна, однако становится несвязной при удалении любой принадлежащей ей точки кроме 0 и 1. А граница снежинки похожа в этом отношении на окружность - она связна, но становится несвязной, если удалить любые две ее точки.

Выражаясь более педантично (как нам теперь и подобает), топологическая размерность определяется рекурсивно. Для пустого множества . Для любого другого множества значение на единицу больше, чем наименьшая размерность разъединяющего множество «сечения». Размерность конечных и канторовых пылевидных множеств , так как для их разъединения требуется удалить пустое множество. Следующие же связные множества становятся несвязными при удалении «сечения» с размерностью : окружность, интервал , граница снежинки Коха, салфетка и ковер Серпинского, губки Менгера. (В трех последних случаях достаточно избежать особых сечений, включающих в себя интервалы.) Следовательно, размерность всех перечисленных множеств .

Исходя из тех же соображений, фрактальная пена представляет собой поверхность с размерностью .

Рассмотрим еще один вариант доказательства того, что для салфетки, всех ковров и всех губок с топологическая размерность . Поскольку есть целое число , из неравенства следует, что должна быть равна либо 0, либо 1. Но рассматриваемые множества являются связными, значит размерность не может быть меньше 1. Единственное решение: .

СТЕПЕНЬ ВЕТВЛЕНИЯ КРИВОЙ

Топологическая размерность и соответствующие понятия пыли, кривой и поверхности дают нам лишь классификацию первого уровня.

В самом деле, два конечных множества, содержащих соответственно и точек, имеют одинаковую размерность , но различаются топологически. А канторова пыль отлична от любой конечной пыли.

Рассмотрим, как можно применить к кривым параллельное различие, основанное на количестве содержащихся в множестве точек (< его «мощности» ), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике - любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

В понятие степени ветвления входит сечение множества, содержащее наименьшее количество точек, которые следует удалить для разъединения множества . Кроме того, оно включает в себя и окрестности всех точек , принадлежащих множеству .

Окружность. Для плавного перехода от стандартной геометрии к фрактальной начнем с того, что назовем множеством окружность радиуса 1. Окружность с центром в точке пересекает в точках, за исключением тех случаев, когда радиус больше 2 - при этом . Диск, ограниченный окружностью , называется окрестностью точки . Таким образом, любая точка лежит в какой-либо произвольно малой окрестности, граница которой пересекает в точках. Вот, собственно, и все: если является границей некоторой общей окрестности точки , не обязательно круглой, но «не слишком большой», то равно, по меньшей мере, 2. Слова «не слишком большой» в предыдущем предложении могут, несомненно, внести путаницу, однако избежать их, к сожалению, не представляется возможным. Величина называется степенью ветвления окружности. Заметим, что для всех точек окружности эта величина неизменна.

Салфетка. Положим теперь, что множество - это салфетка Серпинского, построенная с помощью трем. Здесь уже не является одинаковым для всех точек . Позвольте мне, воспользовавшись рассуждениями Серпинского, показать, что во всех точках множества, за исключением вершин инициатора, значение может быть равным либо либо.

Значение относится к вершинам любого конечного приближения к с помощью треугольников. Вершина для аппроксимации порядка является общей вершиной для двух треугольников с длиной стороны 2 . Окружности с центром в точке и радиусом (при ) пересекают множество в 4 точках и ограничивают произвольно малые окрестности точки . А если ограничивает «достаточно малую» окрестность точки (при том, что вершины инициатора лежат вне ), то можно показать, что пересекает , по меньшей мере, в 4 точках.

Значение характеризует любую точку множества , являющуюся пределом бесконечной последовательности треугольников, каждый из которых содержится внутри предшествующего ему треугольника и имеет вершины, отличные от вершин своего предшественника. Окружности, описанные вокруг этих треугольников, пересекают множество в 3 точках, ограничивая при этом произвольно малые окрестности точки . В этом случае, если ограничивает достаточно малую окрестность точки (вершины инициатора здесь также должны лежать вне ), то можно показать, что пересекает , по меньшей мере, в 3 точках.

Ковры. Когда множество является ковром Серпинского, мы получаем радикально иной результат. Пересечение границы любой достаточно малой окрестности и представляет собой несчетно бесконечное множество точек, причем независимо от параметров , или .

Замечание. В этой дихотомии конечного/бесконечного салфетка немногим отличается от стандартных кривых, в то время как ковры неотличимы от плоскости.

Однородность. Единственность. Обозначив через и наименьшее и наибольшее значения , достижимые в точке, принадлежащей множеству , Урысон доказывает, что . Ветвление называется однородным, если выполняется равенство , так бывает, когда , как в простых замкнутых кривых, или когда .

Для других решеток, где , я предлагаю термин квазиоднородные. Самый простой и широкоизвестный пример таких решеток - самоподобная салфетка Серпинского. Другие неслучайные примеры входят в собранную Урысоном коллекцию (см. ) и не являются самоподобными. Таким образом, условиям квазиоднородности и самоподобности одновременно удовлетворяет только одно известное множество - салфетка Серпинского. Можно ли строго подтвердить эту, судя по всему, единственность?

Стандартные решетки. Здесь степень ветвления варьируется от минимального значения 2 для всех точек решетки, за исключением узлов, до переменного конечного максимального значения, достигаемого в узлах решетки: 4 (квадратная решетка), 6 (треугольная или кубическая решетка) или 3 (шестиугольная решетка). Однако по мере уменьшения размера ячейки стандартной решетки любого типа она трансформируется из кривой в область плоскости, и степень ее ветвления устремляется к бесконечности.

Последнее становится более очевидным, если заменить бесконечно малое на бесконечно большое в решетке с фиксированным размером ячеек. Для того, чтобы изолировать все увеличивающуюся область решетки, придется пересечь неограниченно большое количество точек.

Формальное определение. < См. и , с. 442.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕТВЛЕНИЯ

Зададим себе привычный вопрос. Как бы ни занимали математиков фигуры Серпинского, Менгера и им подобные, не очевидно ли, что для человека, изучающего Природу, степень ветвления не может представлять никакого интереса? Ответ так же привычен - для нас с вами! - как и вопрос. Степень ветвления обретает значимость уже в «реальном мире» конечных аппроксимаций, получаемых при остановке ведущей к фракталу интерполяции при некотором положительном конечном внутреннем пороге .

В самом деле, если дано приближение салфетки Серпинского, составленное из заполненных треугольников с длиной стороны , то можно разъединить область, линейный масштаб которой превышает , простым удалением трех или четырех точек, каждая из которых принадлежит границе между двумя соседними пустотами. Это число (3 или 4) не изменяется при улучшении приближения. Следовательно, с точки зрения ветвления, все приближения салфетки можно считать кривыми.

Все ковры, напротив, обладают общим свойством: никакая пара пустот не имеет общей границы. Для разъединения конечного приближения такой фигуры, при рассмотрении которой мы игнорируем пустоты, меньшие , необходимо удалять целые интервалы. И количество этих интервалов возрастает по мере того, как . Уайберн показал, что все фрактальные кривые, обладающие этим свойством, топологически идентичны (< гомеоморфны ) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

С учетом предыдущих замечаний неудивительно, что конечность ветвления находит столь явные и четко очерченные области применения в тех случаях, когда фрактальная геометрия оказывается призвана подробно определить, в какой пропорции плоская фрактальная кривая сочетает в себе два своих стандартных предела: прямую и плоскость. Обобщая, можно сказать, что знать фрактальную размерность кривой отнюдь не достаточно. Например, при исследовании критических феноменов для моделей Изинга на фрактальной решетке авторами работы было установлено, что наиболее важные результаты (< будь то при нулевой или при положительной температуре ) непосредственно зависят от конечности величины .

Вот и настало время дать объяснение, к которому мы ранее были не готовы. Причина, по которой магистраль кластера в критической бернуллиевой перколяции лучше моделируется салфеткой Серпинского, нежели ковром, проясняется следующим открытием Киркпатрика . Даже в чрезвычайно больших решетках критическую магистраль можно разъединить удалением некоторого, по существу неизменного, малого количества связей (величины порядка 2). Даже принимая во внимание всевозможные отклонения, это открытие представляется мне весьма убедительным свидетельством того, что .

АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМА ВЕТВЛЕНИЯ

Существуют два варианта снежинки Коха, которые достигают ветвления без образования петель. Первый - плоская кривая, инициатором которой является квадрат, а генератор выглядит следующим образом:

Как видно из рисунка, получаемая кривая ничуть не похожа на снежинку:

Другой пример - поверхность с нулевым объемом, бесконечной площадью и размерностью, равной . Инициатором служит правильный тетраэдр. К средней четверти каждой грани (т. е. к треугольнику, вершинами которого являются середины ограничивающих грань ребер) приставляется другой тетраэдр, линейные размеры которого уменьшены в два раза. Процедура повторяется с каждой гранью получающегося в результате правильного (асимметричного и невыпуклого) 24-гранника, а затем снова и снова до бесконечности. Начиная со второго этапа построения, добавляемые тетраэдры касаются друг друга гранями без самопересечений. В конце концов они заполняют всю поверхность инициатора. Назовем каждую четверть этой конструкции, выросшую на одной из граней инициатора, пирамидой Коха.

ТАЙНЫ ПИРАМИДЫ КОХА

Пирамида Коха воистину чудесна - если смотреть сверху, форма ее очень проста, однако в ней скрыто множество потаенных ходов и камер, потрясающих даже самое смелое воображение.

Если смотреть сверху, пирамида Коха - это тетраэдр, основанием которого служит равносторонний треугольник. Что касается трех остальных граней, то они представляют собой прямые равнобедренные треугольники, соединенные вершинами при прямых углах. Если приложить три пирамиды Коха к трем граням правильного тетраэдра, то получится простой куб.

А теперь поднимем нашу пирамиду вверх и стряхнем с нее песок пустыни. Рассматривая ее основание с некоторого расстояния, мы видим, что оно разделяется на четыре равных равносторонних треугольника. Однако на месте среднего треугольника находится отверстие, ведущее в «камеру первого порядка», которая имеет форму правильного тетраэдра, четвертая вершина которого совпадает с верхушкой пирамиды. Подойдя ближе и получив возможность разглядеть более мелкие детали, мы обнаруживаем, что и находящиеся в углах основания правильные треугольники, и верхние грани камеры первого порядка также не являются гладкими поверхностями. Их гладкость нарушается тетраэдральными камерами второго порядка. Аналогичным образом, при исследовании камер второго порядка, мы видим, что в середине каждой треугольной стены имеется треугольное же отверстие, ведущее в камеру третьего порядка. Чем глубже мы погружаемся в пирамиду, тем меньшие камеры открываются нашему взору, и конца им не видно.

Сумма объемов всех камер в точности равна объему всей пирамиды Коха. С другой стороны, если считать, что основания камер являются частью этих камер, а остальные три грани - нет, то окажется, что камеры не пересекаются ни в одной точке. Если бы строителям нашей пирамиды пришлось выдалбливать камеры в толще скалы, то им пришлось бы удалить всю породу, оставив лишь тонкую оболочку. Кривая, которой пирамида Коха опирается на плоскость, и «стены» камер представляют собой салфетки Серпинского.

СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ И РЕШЕТКИ

Авторы работы невольно сделали значительный вклад во фрактальную геометрию, попытавшись заполнить шарами, радиус каждого из которых имеет вид , где ; число шаров радиуса на единицу объема имеет вид) и так далее. Такая конструкция подразумевает следующие верхние границы величины

АНОНС: ЛАКУНАРНОСТЬ

Даже после того, как мы добавим к размерностям и степень ветвления , фрактал остается во многих отношениях недостаточно определен. Особое значение имеет еще одно дополнительное свойство, которое я назвал лакунарностью. Пустоты в очень лакунарном фрактале имеют очень большой размер, и наоборот. Основные определения можно было бы привести и здесь, однако мне представляется более целесообразным отложить это до главы 34.

Рис. 205. СТРЕЛА СЕРПИНСКОГО (РАЗМЕРНОСТЬ ГРАНИЦЫ D ~1,5849)

В Серпинский строит кривую, инициатором которой является интервал , а генератор и второй терагон выглядят следующим образом:

Последующие этапы построения имеют вид:

О том, как будет выглядеть эта кривая на одном из поздних этапов построения, можно получить представление, взглянув на очертания «береговой линии» в верхней части рис. 205 (над самым большим черным тр еугольником).

Самокасания. Конечные приближения кривой не имеют точек самокасания (как в главе 6), однако предельная кривая содержит бесконечно много таких точек.

Стрелы, заполняющие плоскость. Стрела на рис. 205 (если положить ее набок, она будет больше похожа на тропическую рыбу) определяется как участок кривой Серпинского между двумя последовательными возвращениями в точку самокасания - в данном случае, в середину интервала . Такими стрелами можно заполнить плоскость; при этом соседние стрелы соединяются друг с другом в этакой безумной экстраполяции застежки Велькро. (Или, возвращаясь к предыдущей метафоре, плавники одной рыбы в точности помещаются между плавниками двух других рыб.) Кроме того, сплавив вместе четыре должным образом выбранных соседних стрелы, мы получим точно такую же стрелу, увеличенную вдвое.

Тремы салфетки Серпинского. Я называю кривую Серпинского салфеткой по альтернативному способу ее построения, который основан на вырезании «трем» - метод, широко используемый в главах 8 и 31- 35. Мы получаем салфетку Серпинского, имея в качестве инициатора, генератора, а также двух последующих этапов построения следующие замкнутые множества:

Этот трема-генератор содержит в себе вышеприведенный линейный генератор в качестве собственного подмножества.

Водораздел. Впервые я столкнулся со стрелой Серпинского - правда, тогда я еще не знал о Серпинском - при изучении формы одного водораздела .

Рис. 207. АСИММЕТРИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ПАУТИНА (РАЗМЕРНОСТЬ )

Эта паутина получается рекурсивным построением из замкнутого тетраэдра (инициатора) и совокупности четырех меньших тетраэдров (служащих генератором).

Ее размерность . Попробуем спроецировать ее вдоль линии, соединяющей середины любой из пар противоположных ребер. Проекцией тетраэдра-инициатора будет квадрат, который мы назовем исходным. Каждый тетраэдр второго поколения проецируется на подквадрат, длина стороны которого составляет 1/4 от длины стороны исходного квадрата, и т. д. Таким образом на исходный квадрат проецируется вся паутина целиком. Границы подквадратов перекрываются.

Рис. 208. КОВЕР СЕРПИНСКОГО (РАЗМЕРНОСТЬ ) И ГУБКА МЕНГЕРА (РАЗМЕРНОСТЬ )

Ковер Серпинского. В Серпинский строит кривую, инициатором которой является сплошной квадрат, а генератор и два следующих терагона представлены ниже:

Площадь такого ковра обращается в нуль, а общий периметр его пустот стремится к бесконечности.

Рис. 208. Губка Менгера. Принцип построения очевиден. Продолжая построение до бесконечности, мы получим некий остаток, называемый губкой Менгера. Я сожалею о том, что в своих предыдущих эссе ошибочно приписал ее авторство Серпинскому. (Рисунок воспроизводится по книге Леонарда М. Блюменталя и Карла Менгера «Геометрические этюды» с любезного разрешения ее издателей, компании W. Н. Freeman & Со. © 1970.) Пересечения губки с медианами или диагоналями исходного куба являются троичными канторовыми множествами.

Сливающиеся острова. Как ковер, так и салфетку Серпинского можно получить и другим способом - еще одним обобщением рекурсии Коха, допускающим самоперекрытия, которые, однако, учитываются только единожды.

Для получения салфетки инициатором следует взять правильный треугольник, а генератором - фигуру, изображенную слева на приведенном ниже рисунке. Для получения ковра в качестве инициатора возьмем квадрат, а генератором послужит фигура, изображенная справа.

Здесь мы снова встречаемся с двумя феноменами, знакомыми нам по главе 13: береговая линия каждого острова спрямляема, следовательно, размерность ее равна 1, размерность же салфетки или ковра выражает скорее степень фрагментации суши (т. е. степень ее разделенности на острова), нежели степень неправильности береговых линий островов.

В остальном результат совершенно нов: в главе 13 море представляет собой связное множество, что выглядит как должная топологическая интерпретация открытых морских пространств. Оно открыто и в смысле топологии множеств, т. е. его граница ему не принадлежит. Новизна, привнесенная настоящим построением, заключается в том, что коховы острова могут теперь асимптотически «сливаться» в некий сплошной сверхостров, однако континента из него не получается, а береговые линии образуют в сочетании решетку.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. , с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности.

Рис. 210. РАСКОЛ В СНЕЖНЫХ ПАЛАТАХ (РАЗМЕРНОСТЬ D ~1,8687)

Давным-давно в далекой стране в прекрасных Снежных Палатах восседал Великий Правитель со своею свитой. Однако между его подданными произошел раскол, за ним последовала война, в которой ни одна из сторон не одержала верх. И тогда Мудрые Старейшины провели границу, разделившую Палаты надвое, дабы туда могли войти без опасения ступить на враждебную территорию и представители Севера, и представители Юга.

Загадки лабиринта. Кто контролирует Великую Палату и как можно войти в нее снаружи? Почему некоторые малые палаты оказываются несориентированы ни по какой стороне света? Подсказку можно найти на обезьяньем дереве на рис. 55.