Чому дорівнює значення дисперсії числа 5 рішення. Математичне очікування дискретної випадкової величини

Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкової величини X , заданої на дискретному імовірнісному просторі, називається число m = M [X] = ∑x i p i якщо ряд сходиться абсолютно.

Призначення сервісу. За допомогою сервісу в онлайн режимі обчислюються математичне очікування, дисперсія та середньо квадратичне відхилення (Див. приклад). Крім цього, будується графік функції розподілу F(X).

Властивості математичного очікування випадкової величини

Математичне очікування постійної величиниі їй самій: M[C]=C , C – стала;
M=C M[X]
Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: M=M[X]+M[Y]
Математичне очікування добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань: M = M [X] M [Y], якщо X і Y незалежні.

Властивості дисперсії

Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: D(c)=0.
Постійний множник можна винести з-під символу дисперсії, звівши його в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
Якщо випадкові величини X та Y незалежні, то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Якщо випадкові величини X та Y залежні: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Для дисперсії справедлива обчислювальна формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Приклад. Відомі математичні очікування та дисперсії двох незалежних випадкових величин X і Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкове величини Z=9X-8Y+7.
Рішення. Виходячи з властивостей математичного очікування: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 .
Виходячи з властивостей дисперсії: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Алгоритм обчислення математичного очікування

Властивості дискретних випадкових величин: усі їхні значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значенню зіставити відмінну від нуля можливість.

По черзі множимо пари: x i на p i.
Складаємо добуток кожної пари x i p i .
Наприклад, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких позитивні.

Приклад №1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математичне очікування знаходимо за формулою m = ∑x i p i.
Математичне очікування M[X].
M[x] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
Дисперсію знаходимо за формулою d = ∑x 2 i p i - M [x] 2 .
Дисперсія D[X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
Середнє квадратичне відхилення σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Приклад №2. Дискретна випадкова величина має наступний ряд розподілу:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Знайти величину a, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.

Рішення. Величину a знаходимо із співвідношення: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 або 0.24 = 3 a, звідки a = 0.08

Приклад №3. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини, якщо відома її дисперсія, причому х 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Рішення.
Тут треба скласти формулу знаходження дисперсії d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
де маточіння m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших даних
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
або -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Відповідно треба знайти коріння рівняння, причому їх буде два.
x 3 = 8, x 3 = 12
Вибираємо той, який задовольняє умову х 1 x 3 = 12

Закон розподілу дискретної випадкової величини
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою «сигмою». Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

Дисперсія у статистицізнаходиться як індивідуальних значень ознаки у квадраті від . Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:

1. (Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n - Частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max - максимальне значення групувального ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X'i - середина інтервалу. (наприклад, середина інтервалу 159 – 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу дисперсії можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 - квадрат моменту першого порядку;
m2 - момент другого порядку

(якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).

Середня з внутрішньо групових дисперсій відображає випадкову , тобто ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за такою формулою:

Характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:

Правило складання дисперсії у статистиці

Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої із внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

Сенс цього правилаполягає в тому, що загальна дисперсія, яка виникає під впливом всіх факторів, дорівнює сумі дисперсій, що виникають під впливом всіх інших факторів, та дисперсії, що виникає за рахунок угруповання.

Користуючись формулою складання дисперсій, можна визначити за двома відомими дисперсіями третю невідому, а також судити про силу впливу групувальної ознаки.

Властивості дисперсії

1. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) на ту саму постійну величину, то дисперсія від цього не зміниться.
2. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) в те саме число разів n, то дисперсія відповідно зменшиться (збільшити) в n^2 разів.

Нехай подія А = (1,2,3), а подія В = (1,2,3,4,5,6). Вкажіть правильний вислів.
Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)
Під час обстеження окремого регіону фірмою, що надає інтернет-послуг, виявлено, що (в середньому) з кожних 100 сімей, 80 мають комп'ютер, підключений до Інтернету. Оцінити ймовірність того, що з 400 сімей цього мікрорайону, від 300 до 360 сімей мають комп'ютер, підключений до інтернету.
Розглядаються дві випадкові величини X і Y. Їх математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють: М (X) = 3; D(X) = 2; M (Y) = 2; D(Y) =1. Вкажіть правильні співвідношення.

Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщення?

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть за якою формулою обчислюється дисперсія D(X).
Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n і P. За якою формулою обчислюється математичне очікування M (X)

Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа утворює повну групу подій?

Монета кидається 2 рази, яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?

На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їхнього математичного очікування.
На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їх дисперсії.
Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини Х, заданої наступним законом розподілу

Чи відрізняються поняття «перестановки із трьох елементів» та «розміщення із трьох елементів по три»?

Встановити послідовність відповідей
Математичне очікування та дисперсія випадкової величини X, відповідно, рівні М (Х) = 3; D(X) =2. Розташуйте такі вирази у порядку зростання їх значень.
Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (X-1)
Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, а якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3; M(Y) = 4?
Вкажіть назви ймовірностей, що входять до формули Байєса.
Нехай подія А = (1,2.3.4,5), а подія В = (5,4,3,2,1). Вкажіть правильний вислів.
Що означає записані нижче формули.
Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (3X+6)

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (Х-1)?

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (-2Х)?

У серії з n незалежних випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі, спостерігається настання події А. Що означають наведені нижче компоненти формули Бернуллі? Pm,n=Cmnpmqn-m, де q=1-p. Що означають у цій формулі: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
Нехай А -випадкова подія, ймовірність якого відмінна від нуля і 1; ? -Достовірне і O - неможлива подія. Події B, C та D визначені як: B=A+A; C = A +?; D=A* O

Чому дорівнює значення середнього квадратичного відхилення числа 4?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) =5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)?

Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (3Х+6)?

Концепція факторіалу. Який із наступних виразів неправильний?

Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь. Порівняйте два числа. Яка з них більша? Яке із чисел більше 10! чи 1010?

Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь.
Охарактеризуйте подію: 2х2 = 5

Чому дорівнює сума протилежних подій?

Чому дорівнює твір протилежних подій?

Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа очок утворює повну групу подій?

Події утворюють повну групу якщо вони:

Чому дорівнює сума випадкових подій, що утворюють повну групу?

Нехай подія А = 1, 2, 3, а подія B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вкажіть вірний вислів.
Нехай подія А = 1,2,3,4,5, а подія B = 5,4,3,2,1. Вкажіть правильний вислів.

Скільки елементів містить багато елементарних подій, що описують результат кидання грального кубика?

Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщень?

Розміщення та перестановки. Нехай P – число можливих перестановок із n елементів, і А- число розміщень із n елементів по m (n>m). Яким є співвідношення між величинами P і А? Вкажіть правильну відповідь:

Чи розрізняються поняття "перестановки з трьох елементів" та "розміщення з трьох елементів по три"?

Властивості поєднань. Нехай C – число поєднань з n елементів m

Монета кидається двічі. Яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?

Монета кидається тричі. Яка ймовірність випадання поспіль трьох гербів?

Нехай А та В – випадкові події. Порівняйте величини P(A+B) та Р(А)+Р(В) та вкажіть правильну відповідь.

Чому дорівнює ймовірність суми протилежних подій?

Чому дорівнює можливість твору протилежних подій?

Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність події Р(А+А)?

Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність добутку подій Р (А * А)?

Імовірність твору достовірного та випадкового подій. Нехай
Імовірність суми неможливого та випадкового подій. Нехай
Імовірність твору неможливого та випадкового подій. Нехай

Чому дорівнює ймовірність Р суми подій, що утворюють повну групу?

Імовірність суми достовірного та випадкового подій. Нехай
Формула Бернуллі. Формула Бернуллі має вигляд:

Які причини використання асимптотичних наближень формули Бернуллі?

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється дисперсія D(X):
Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється математичне очікування M(X):

Що означає у цій формулі P?

Законом рідкісних явищ називають:

Що означає у цій формулі P?

Вкажіть властивість функції Гауса. (див. нижче):
Укажіть критерій використання інтегральної теореми (формули) Муавра-Лапласа. Інтегральна формула Муавра-Лапласа має вигляд:
Властивості функції Лапласа (див. нижче):

Яка характеристика випадкової величини має сенс середнього значення?

Чому дорівнює математичне очікування M (X + Y) суми двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?
Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(X-1)?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(-2X)?

Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(3X+6)?

Яка характеристика випадкової величини визначає міру її розсіювання?

Чому дорівнює дисперсія суми D (X+Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(X-1)?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(-2X)?

Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(3X+6)?

Чому дорівнює значення дисперсії числа 5: D(5) = ?

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:
Охарактеризуйте безліч значень дискретної випадкової величини (вкажіть найповнішу відповідь):
Завдання: Випадкова величина X приймає три можливі значення x=2; x=5; x = 8. Відомі ймовірності перших двох можливих значень: p=0,4 та p=0,15. Знайти ймовірність значення x; p=?
Безліч значень безперервної випадкової величини є:

Яке значення безперервної випадкової величини Х визначає її медіана Ме (Х)?

Мода Mo (X) випадкової величини Х характеризує (вкажіть правильну відповідь):

Функція розподілу. Імовірність якої події визначає функція розподілу F(X) випадкової величини X?

Найменше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) при x->
Найбільше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) за x->-? (вкажіть правильну відповідь серед нижчеперелічених) ?

Якою з наведених нижче властивостей має функція розподілу випадкової величини?

Які значення може набувати біноміально розподілена випадкова величина Х? P (X = m) = Cpq, де: 0
Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P (X = m) = Cpq, де: 0
Чому дорівнює дисперсія D(X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P(X=m) = Cpq, де: 0

Які значення може набувати випадкова величина Х, яка описується законом розподілу Пуассона?

Математичне очікування випадкової величини X, що має Пуассонівський закон розподілу, дорівнює 4: M(X) = 4. Чому дорівнює дисперсія D(X) цієї випадкової величини?
Геометричне розподілення дискретної випадкової величини. Відповідно до розподілу: випадкова дискретна величина X, має геометричний розподіл з параметром p, приймає нескінченне (але лічильне) безліч значень 1,2, …, m, … з ймовірностями: P (X=m) = pq, де 0
Рівномірний розподіл. Охарактеризуйте щільність ймовірності випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку:
Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність - на те, що чекати пасажиру доведеться не більше півхвилини?
Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Визначити математичне очікування M (X) випадкової величини X – часу очікування поїзда.
Безперервна випадкова величина X має рівномірний закон розподілу на відрізку. Чому дорівнює її математичне очікування M(X)?
Значення значення параметра "a" нормального закону розподілу випадкової величини (див. нижче) це:
Значення значення параметра "сигма квадрат" нормального розподілу (закону Гауса).
Вплив математичного очікування (параметра "a") на графік густоти ймовірності нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) характеризується:
Порівняння математичних очікувань. M (X) та М (Х) нормально розподілених випадкових величин Х та Х (див. малюнок нижче).
Зменшення дисперсії (параметра "сигма квадрат") нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) призводить до наступної зміни графіка кривої розподілу:
Порівняння дисперсій D(X) та D(X) нормально розподілених випадкових величин X та X (див. малюнок нижче).
Стандартним (нормованим) законом розподілу N (0; 1) називається:
Правило трьох сигм.
Значення закону великих чисел.
Значення невласного інтеграла від густини ймовірності. Невласний інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності безперервної випадкової величини дорівнює:

Чого прагне частота події, що спостерігається, при необмеженому збільшенні числа випробувань у схемі Бернуллі?

З генеральної сукупності відібрано десять елементів за принципом: брався кожен восьмий по порядку елемент генеральної сукупності. Як називається такий спосіб відбору?

Як називається варіанта, що характеризує найбільшу частоту у вибірці?

Рівень значущості під час перевірки статистичної гіпотези заданий 10%. Яка можливість помилки першого роду?

Яка з таких числових характеристик вибірки є зміщеною оцінкою?

До яких сполук належить властивість симетрії?

Вкажіть, яке з наведених нижче властивостей числових характеристик випадкової величини записано неправильно (припускаючи, що X і Y - незалежні випадкові величини)?

Чому дорівнює значення математичного очікування числа 5: M(5) = ?

Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої наступним законом розподілу:
Чому дорівнює дисперсія різниці D(X-Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?
Розподіл Пуассон. Математичне очікування. Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини X
розподіленої згідно із законом Пуассона:
Розподіл Пуассон. Дисперсія. Чому дорівнює D(X) випадкової величини X розподіленої за законом Пуассона:
Вкажіть, яка сенсова інтерпретація такої випадкової величини Х:
Знайти моду для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:
Знайти генеральну середню генеральну сукупність, задану наступним варіаційним рядом:
Знайти медіану для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:
Визначити середню вибіркову для наступної вибірки:
Знайти вибіркову середню наступну вибірку з генеральної сукупності:

Урок передачі-засвоєння нових знань, умінь та навичок.

Тема: Дисперсія. Її властивості.

Цілі уроку:

Пізнавальна: 1) передача учням певної системи математичних знань, умінь, навичок; 2) вироблення в учнів уміння
вирішувати основні типи завдань теорії ймовірності та застосовувати теорію у конкретних різних ситуаціях; 3) формування уявлень про ідеї та методи вищої математики; 4) формування в учнів на матеріалі навчального предмета вищої математики методів навчально-пізнавальної діяльності.
Розвиваюча: 1) розвиток мислення; 2) розвиток пам'яті; 3) розвиток елементів творчої діяльності як якостей мислення; 4) розвиток мови, що полягає в оволодінні математичною термінологією, а також прийомами побудови визначень, понять та оперування ними.
Виховує: 1) виховати в учнів любов до обраної професії та даного предмета.

Завдання: полягає у визначенні властивостей дисперсії випадкової величини та у виведенні формули для її розрахунку.

Хід уроку.

Організаційний момент.
Повторення старого та вивчення нового матеріалу.
Закріплення нового матеріалу.
Домашнє завдання.

1. Перевірка присутніх учнів під час уроку.

2. Математика – королева всіх наук!
Без неї не летять кораблі,
Без неї не поділиш ні акра землі,
Навіть хліба не купиш, рубля не вважаєш,
Що по не впізнаєш, а дізнавшись не зрозумієш!

Вчитель: "Отже, математичне очікування не повністю характеризує випадкову величину"

Учень 1: "О як же так виходить я зовсім дрібниця".

Учень 2: "Так, ти право, правду говориш".

Учень 1: “Але хто раптом замінить мене, адже моя формула, то всім потрібна”.

Учень 2: "Так, ти спочатку про себе все згадай".

Учень 1: “Без проблем, ці формули, вони відомі всім. І якщо безліч значень нескінченне, то очікування знаходиться як ряд, точніше його сума:

А якщо величина раптом безперервна, то розглянути маємо право ми граничний випадок, і ось в результаті що отримаємо:

Учень 2: “Але це все смішно, адже очікування не існує. Немає його!".

Учень 1: "Ні, очікування існує, коли є абсолютно схожим і інтеграл і сума".

Учень 2: “І все ж я тверджу одне, нам очікування не потрібне”.

Учень 1: “А як же так? Та це просто”.

Вчитель: “Стоп, стоп, закінчимо суперечку. Візьміть ручку та зошит, і в дорогу ми будемо з вами суперечку вирішувати. Але перш ніж почати, давайте згадаємо лише одне, чому відхилення від математичного очікування одно”.

Учень 3: “О, я можу згадати”.

Вчитель: "Будь ласка, ось крейда, дошка".

Учень 4: “Різниця X – М(Х) називається відхиленням випадкової величини X від її математичного очікування М(Х). Відхилення є випадковою величиною. Так як математичне очікування випадкової величини -величина постійна і математичне очікування постійної дорівнює цій

постійної, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М(Х) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) ) = 0.”.

Вчитель: “Так, все правильно, але друзі за міру розсіювання відхилення випадкової величини від її математичного це не можна прийняти. І з цього піде, що розглядають модулі чи квадрати відхилень. А ось тепер послухайте визначення: X випадкової величини – дисперсія чи розсіювання – це математичне очікування квадрата її відхилення. Позначається як D(X), а формула має вигляд: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Тепер давайте, визначимо, який знак величині привласним ми?”.

Учень 5: “З властивостей та визначення математичного очікування можемо отримати, лише одне, що величина дисперсія неотрицательна D(X) > 0” (2).

Вчитель: “З огляду на рівність один отримаємо формулу для знаходження дисперсії: D(X) = М(Х 2) – (М(Х)) 2 . Яку може хто-небудь доведе”.

Учень 6: “Я спробую. D(X)=M((X – М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2) – (М(Х)) 2”. 3)

Вчитель: “Розглянемо властивості випадкової величини:

1. Дисперсія С – як постійної величини дорівнює нулю: D(C) – 0 (С – const). (4)

2. Постійний множник можна винести за знак дисперсії, звівши його до квадрата: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Доведемо ці властивості з огляду на властивості очікування:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Перше властивість доведено воно означає, що постійна величина не має розсіювання так як приймає одне й теж значення.

А тепер доведемо другу властивість: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

СМ(Х)) 2) = М(З 2 (Х - М(Х)) 2) = З 2 М((Х - М(Х)) 2) = C 2 D(X).

Для доказу третьої властивості використовуємо формулу три:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Третя властивість поширюється на будь-яке число попарно-незалежних випадкових величин.

Доказ четвертої властивості випливає з формул (5) та (6).

D(X – Y) = D(X+(-Y)) – D(X) +D(–Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Якщо випадкова величина X є дискретною і заданий її закон розподілу Р(Х=х k) = p k (k= 1,2,3,n).

Таким чином, випадкова величина (X - М(Х)) 2 має наступний закон розподілу: (к=1,2,3,n), =l.

Виходячи з визначення математичного очікування, отримуємо формулу

Дисперсія безперервної випадкової величини X, всі можливі значення корою належать відрізку [а,Ь], визначається формулою:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

де р(х) – густина розподілу цієї величини. Дисперсію можна обчислювати за такою формулою:

Для учнів, які мають оцінку “4” та “5”, необхідно вдома довести формулу (9).

3. Закріплення нового матеріалу як тестової роботи.

1) Тестова робота на тему “Дисперсія та її властивості”.

1. Продовжити визначення: дисперсія – це.

2. Виберіть правильну формулу для розрахунку дисперсії:

а) D (X) = D (X) 2 - (D (X)) 2;
б) D (X) = M (X - D (X 2));
в) D (X) = M ((X-M (X)) 2);
г) D (X) = M (X) 2 - (M (X)) 2;