Що називається функцією розподілу випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини

Функція розподілу ймовірностей випадкової величинита її властивості.

Розглянемо функцію F(х), визначену на всій числовій осі наступним чином: для кожного хзначення F(х)дорівнює ймовірності того, що дискретна випадкова величина набуде значення, меншого х, тобто.

(18)

Ця функція називається функцією розподілу ймовірностей, або коротко, функцією розподілу.

приклад 1.Знайти функцію розподілу випадкової величини наведеної в прикладі 1, п. 1.

Рішення:Зрозуміло, що якщо , то F(x)=0, тому що не набуває значень, менших одиниці. Якщо то ; якщо то . Але подія<3 в данном случае является суммой двух несумісних подій: =1 і =2. Отже,

Отже для маємо F(x)=1/3. Аналогічно обчислюються значення функції в проміжках і . Зрештою, якщо x>6то F(x)=1, тому що в цьому випадку будь-яке можливе значення (1, 2, 3, 4, 5, 6) менше ніж x. Графік функції F(x)зображено на рис. 4.

приклад 2.Знайти функцію розподілу випадкової величини, наведеної у прикладі 2, п. 1.

Рішення:Очевидно, що

Графік F(x)зображено на рис. 5.

Знаючи функцію розподілу F(x)легко знайти ймовірність того, що випадкова величина задовольняє нерівностям .
Розглянемо подію, що полягає в тому, що випадкова величина набуде значення, менше . Ця обставина розпадається у сумі двох несумісних событий: 1) випадкова величина набуває значення, менші , тобто. ; 2) випадкова величина приймає значення, що задовольняють нерівності. Використовуючи аксіому додавання, отримуємо

Але щодо визначення функції розподілу F(x)[див. формулу (18)], маємо , ; отже,

(19)

Таким чином, ймовірність попадання дискретної випадкової величини в інтервал дорівнює збільшення функції розподілу на цьому інтервалі.

Розглянемо основні властивостіфункції розподілу.
1°. Функція розподілу є незабутньою.
Справді, нехай< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Тому з формули (19) випливає, що , тобто. .

2 °. Значення функції розподілу задовольняють нерівності .
Ця властивість випливає з того, що F(x)визначається як ймовірність [див. формулу (18)]. Зрозуміло, що і .

3 °. Імовірність того, що дискретна випадкова величина набуде одного з можливих значень xi, дорівнює стрибку функції розподілу в точці xi.
Справді, нехай xi- Значення, що приймається дискретною випадковою величиною, і . Вважаючи у формулі (19) , , отримаємо

Тобто. значення p(xi)і стрибка функції ** xi. Ця властивість наочно ілюструється на рис. 4 та рис. 5.

* Тут і надалі введені позначення: , .
** Можна показати, що F(xi)=F(xi-0), тобто. що функція F(x)безперервна зліва в точці xi.

3. Безперервні випадкові величини.

Крім дискретних випадкових величин, можливі значення яких утворюють кінцеву або нескінченну послідовність чисел, що не заповнюють жодного інтервалу, часто зустрічаються випадкові величини, можливі значення яких утворюють деякий інтервал. Прикладом такої випадкової величини може бути відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі. Такі випадкові величини не можуть бути задані за допомогою закону розподілу ймовірностей р(х). Однак їх можна встановити за допомогою функції розподілу ймовірностей F(х). Ця функція визначається так само, як і у випадку дискретної випадкової величини:

Таким чином, і тут функція F(х)визначена на всій числовій осі, та її значення у точці хдорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуде значення, менше ніж х.
Формула (19) та властивості 1° та 2° справедливі для функції розподілу будь-якої випадкової величини. Доказ проводиться аналогічно випадку дискретної величини.
Випадкова величина називається безперервнийякщо для неї існує невід'ємна шматково-безперервна функція* , що задовольняє для будь-яких значень xрівності

Виходячи з геометричного сенсуінтеграла як площі, можна сказати, що ймовірність виконання нерівностей дорівнює площі криволінійної трапеціїз основою обмеженою зверху кривою (рис. 6).

Так як , а на підставі формули (22)

Зауважимо, що для безперервної випадкової величини функція розподілу F(х)безперервна в будь-якій точці хде функція безперервна. Це випливає з того, що F(х)у цих точках диференційована.
На підставі формули (23), вважаючи x 1 = x, , маємо

Через безперервність функції F(х)отримаємо, що

Отже

Таким чином, ймовірність того, що безперервна випадкова величина може прийняти будь-яке окреме значеннях, дорівнює нулю.
Звідси випливає, що події, що полягають у виконанні кожної з нерівностей

Мають однакову можливість, тобто.

Справді, наприклад,

Так як

Зауваження.Як ми знаємо, якщо подія неможлива, то ймовірність її наступу дорівнює нулю. При класичному визначенніймовірності, коли число результатів випробування звичайно, має місце та зворотна пропозиція: якщо ймовірність події дорівнює нулю, то подія неможлива, тому що в цьому випадку йому не сприяє жоден з результатів випробування. У разі безперервної випадкової величини кількість можливих її значень нескінченна. Імовірність того, що ця величина прийме якесь конкретне значення x 1як ми бачили, дорівнює нулю. Однак звідси не випливає, що ця подія неможлива, тому що в результаті випробування випадкова величина може, зокрема, прийняти значення x 1. Тому у разі безперервної випадкової величини має сенс говорити про ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал, а не про ймовірність того, що вона набуде якогось конкретного значення.
Так, наприклад, при виготовленні валика нас не цікавить ймовірність того, що його діаметр дорівнюватиме номіналу. Для нас важлива ймовірність того, що діаметр валика не виходить із поля допуску.

У попередньому n° ми ввели до розгляду ряд розподілу як вичерпну характеристику (закон розподілу) випадкової перервної величини. Однак ця характеристика не є універсальною; вона існує лише для перервних випадкових величин. Неважко переконатися, що з безперервної випадкової величини такий характеристики побудувати не можна. Справді, безперервна випадкова величина має безліч можливих значень, що цілковито заповнюють деякий проміжок (так зване «лічильна множина»). Скласти таблицю, у якій перераховані всі можливі значення такий випадкової величини, неможливо. Крім того, як ми побачимо надалі, кожне окреме значення безперервної випадкової величини зазвичай не має жодної відмінної від нуля ймовірності. Отже, для безперервної випадкової величини немає ряду розподілу тому, у якому він існує для перервної величини. Однак різні областіможливих значень випадкової величини все ж таки не є однаково ймовірними, і для безперервної величини існує «розподіл ймовірностей», хоча і не в тому сенсі, як для перервної.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події, а ймовірністю події, де – певна поточна змінна. Імовірність цієї події, очевидно, залежить від , є певна функція від . Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається:

. (5.2.1)

Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцієюрозподілу чи інтегральним законом розподілу.

Функція розподілу – найуніверсальніша характеристика випадкової величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і безперервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної погляду, тобто. є однією із форм закону розподілу.

Сформулюємо деякі загальні властивостіфункції розподілу.

1. Функція розподілу є незменшуюча функція свого аргументу, тобто. при .

2. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю:.

3. На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці: .

Не даючи суворого підтвердження цих властивостей, проілюструємо їх з допомогою наочної геометричної інтерпретації. Для цього розглядатимемо випадкову величину як випадкову точку на осі Ох (рис. 5.2.1), яка в результаті досвіду може зайняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу є ймовірність того, що випадкова точка в результаті досвіду потрапить лівіше від точки .

Збільшуватимемо , тобто переміщуватимемо крапку вправо по осі абсцис. Очевидно, при цьому ймовірність того, що випадкова точка потрапить ліворуч, не може зменшитися; отже, функція розподілу із зростанням зменшуватися неспроможна.

Щоб переконатися в тому, що будемо необмежено переміщати точку вліво по осі абсцис. При цьому попадання випадкової точки ліворуч у межі стає неможливою подією; Звичайно вважати, що ймовірність цієї події прагне нуля, тобто. .

Аналогічним чином, необмежено переміщуючи точку вправо, переконуємося, що , оскільки подія стає межі достовірною.

Графік функції розподілу в загальному випадку є графіком незменшувальної функції (рис. 5.2.2), значення якої починаються від 0 і доходять до 1, причому в окремих точкахфункція може мати стрибки (розриви).

Знаючи ряд розподілу випадкової перервної величини, можна легко побудувати функцію розподілу цієї величини. Справді,

де нерівність під знаком суми показує, що підсумовування поширюється попри ті значення , які менше .

Коли поточна змінна проходить через якесь із можливих значень перервної величини , функція розподілу змінюється стрибкоподібно, причому величина стрибка дорівнює ймовірності цього значення.

Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Випадкова величина – кількість появи події досвіді (характеристична випадкова величина події ). Побудувати її функцію розподілу.

Рішення. Ряд розподілу величини має вигляд:

Побудуємо функцію розподілу величини:

Графік функції розподілу подано на рис. 5.2.3. У точках розриву функція набуває значень, зазначених на кресленні точками (функція безперервна зліва).

Приклад 2. У разі попереднього прикладу виробляється 4 незалежних досвіду. Побудувати функцію розподілу числа події .

Рішення. Позначимо – кількість появи події у чотирьох дослідах. Ця величина має ряд розподілу

Побудуємо функцію розподілу випадкової величини:

3) при;

Насправді зазвичай функція розподілу безперервної випадкової величини є функцію, безперервну переважають у всіх точках, як і показано на рис. 5.2.6. Однак можна побудувати приклади випадкових величин, можливі значення яких безперервно заповнюють певний проміжок, але для яких функція розподілу не скрізь є безперервною, а в окремих точках зазнає розриву (рис. 5.2.7).

Такі випадкові величини називаються змішаними. Як приклад змішаної величини можна навести площу руйнувань, що наносяться цілі бомбою, радіус руйнівної дії якої дорівнює R (рис. 5.2.8).

Значення цієї випадкової величини безперервно заповнюють проміжок від 0 до , що здійснюються при положеннях бомби типу I і II, мають певну кінцеву ймовірність, і цим значенням відповідають стрибки функції розподілу, тоді як у проміжних значеннях (положення типу III) функція розподілу безперервна. Інший приклад змішаної випадкової величини - час T безвідмовної роботи приладу, що випробовується протягом часу t. Функція розподілу цієї випадкової величини безперервна усюди, крім точки t.

Тема №11

Насправді для завдання випадкових величин загального виглядузазвичай використовується функція розподілу.

Імовірність того, що випадкова величина хприйме певне значеннях 0 виражається через функцію розподілу за формулою

р (х = x 0) = F(x 0 +0) – F(x 0).(3)

Зокрема, якщо у точці х = х 0 функція F(x) безперервна, то

р (х = х 0) = 0.

Випадкова величина хз розподілом р(А)називається дискретною, якщо на числовій прямій існує кінцева або лічильна множина W, така, що р(W,) = 1.

Нехай W = ( x 1 , x 2 ,...)і p i= p({x i}) = p(x = x i), i= 1,2,….Тоді для будь-якої борелівської множини Аймовірність р(А)визначається однозначно формулою

Поклавши у цій формулі А = (x i / x i< x}, x Î R отримаємо формулу для функції розподілу F(x)дискретної випадкової величини х:

F(x) = p(x < x) =. (5)

Графік функції F(x)є ступінчастою лінією. Стрибки функції F(x)у точках х = х 1, х 2 … (x 1 рівні відповідним ймовірностям р 1, p 2, ….

Приклад 1. Знайдіть функцію розподілу

дискретної випадкової величини з прикладу 1§ 13.

Використовуючи функцію розподілу, обчисліть

ймовірності подій: х< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)

0 х 1 х 2 х 3 х 4 х

Рішення. Використовуючи дані з таблиці,
отриманої в § 13, та формулу (5), отримаємо

функцію розподілу:

За формулою (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Приклад 2. Дана функція

Чи функція F(x) є функцією розподілу деякої випадкової величини? У разі позитивної відповіді знайдіть . Побудувати графік функції F(x).

Рішення. Для того щоб заздалегідь задана функція F(x) була функцією розподілу деякої випадкової величини х, необхідно і достатньо виконання наступних умов (характеристичних властивостей функції розподілу):

1. F(x) – незменшувальна функція.

3. За будь-якого х Î R F( x- 0) = F ( x).

Для заданої функції F(x) виконання

цих умов очевидно. Значить,

F(x) – функція розподілу.

Ймовірність обчислюємо по

формулою (2):

Графік функції F( x) представлений малюнку 13.

Приклад 3. Нехай F 1 ( x) та F 2 ( x) – функції розподілу випадкових величин х 1 та х 2 відповідно, а 1 та а 2 – невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Довести, що F( x) = a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) є функцією розподілу деякої випадкової величини х.

Рішення. 1) Оскільки F 1 ( x) та F 2 ( x) – незменшувальні функції та а 1 ³ 0, а 2 ³ 0, то a 1 F 1 ( x) та a 2 F 2 ( x) - незнижені, отже, їх сума F( x) теж незабутня.

3) За будь-якого х Î R F( x - 0) = a 1 F 1 ( x - 0) + a 2 F 2 ( x - 0)= a 1 F 1 ( x) + a 2 F 2 ( x) = F( x).

Приклад 4. Дана функція

Чи є F(x) функцією розподілу випадкової величини?

Рішення. Легко помітити, що F(1) = 0,2> 0,11 = F(1,1). Отже, F( x) не є незнищувальною, а значить, не є функцією розподілу випадкової величини. Зауважимо, що дві властивості для цієї функції справедливі.

Контрольне завдання №11

1. Дискретна випадкова величина х

x) і, використовуючи її, знайдіть ймовірність подій: а) –2 £ х < 1; б) ½х½£ 2. Побудуйте графік функції розподілу.

3. Дискретна випадкова величина хзадана таблицею розподілу:

x i
p i 0,05 0,2 0,3 0,35 0,1
Знайдіть функцію розподілу F( x) і знайдіть ймовірність наступних подій: а) x < 2; б) 1 £ х < 4; в) 1 £ х£ 4; г) 1< x£ 4; д) х = 2,5.

4. Знайдіть функцію розподілу дискретної випадкової величини х, що дорівнює числу очок, що випали при одному киданні гральної кістки. Використовуючи функцію розподілу, знайдіть ймовірність того, що випаде щонайменше 5 очок.

5. Виробляються послідовні випробування 5 приладів на надійність. Кожен наступний прилад випробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу випадкової кількості випробувань приладів, якщо ймовірність витримати випробування для кожного приладу 0,9.

6. Задано функцію розподілу дискретної випадкової величини х:

а) Знайдіть ймовірність події 1 £ х£3.

б) Знайдіть таблицю розподілу випадкової величини х.

7. Задано функцію розподілу дискретної випадкової величини х:

Складіть таблицю розподілу цієї випадкової величини.

8. Монету кидають nразів. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу числа появи герба. Побудуйте графік функції розподілу при n = 5.

9. Монету кидають, доки не випаде герб. Складіть таблицю розподілу та знайдіть функцію розподілу числа появи цифри.

10. Снайпер стріляє по меті до першого влучення. Імовірність промаху при окремому пострілі дорівнює р. Знайдіть функцію розподілу числа промахів.

Щоб визначити функції розподілу випадкових величин та його змінних, необхідно вивчити всі особливості даної галузі знань. Існує кілька різних методів для знаходження розглянутих значень, включаючи зміну змінної та генерування моменту. Розподіл - таке поняття, основою якого лягли такі елементи, як дисперсія, варіації. Однак вони характеризують лише ступінь розмаху розсіювання.
Більш важливими функціями випадкових величин є ті, які пов'язані та незалежні, і однаково розподілені. Наприклад, якщо X1 - вага випадково обраного індивідуума з популяції самців, X2 - вага іншого, ..., а Xn - вага ще однієї людини з чоловічого населення, тоді необхідно дізнатися, як випадкова функція X розподіляється. І тут застосовна класична теорема, звана центральної граничної. Вона дозволяє показати, що при великих n функція слідує стандартним розподілам.
Функції однієї випадкової змінної
Центральна гранична теорема призначена для апроксимації дискретних значень, що розглядаються, таких як біномне і Пуассона. Функції розподілу випадкових величин розглядаються насамперед на простих значеннях однієї змінної. Наприклад, якщо X є безперервною випадковою величиною, що має власний розподіл ймовірності. В даному випадку досліджується, як знайти функцію щільності Y, використовуючи два різні підходи, а саме метод функції розподілу та зміни змінної. Спочатку розглядаються лише взаємно однозначні значення. Потім необхідно модифікувати техніку зміни змінної, щоб знайти її можливість. Нарешті, потрібно дізнатися, як кумулятивного розподілу може допомогти моделювати випадкові числа, які йдуть за певними послідовними схемами.
Методика розподілу значень, що розглядаються
Метод функції розподілу ймовірностей випадкової величини застосовується для того, щоб знайти її щільність. З використанням цього способу обчислюється кумулятивне значення. Потім, диференціюючи його, можна отримати густину ймовірності. Тепер за наявності методу функції розподілу можна розглянути ще кілька прикладів. Нехай X - безперервна випадкова величина з певною густиною ймовірності.
Якою є функція щільності ймовірності від x2? Якщо подивитися або побудувати графік функції (згори та праворуч) у = х2, можна відзначити, що вона є зростаючою X та 0
В останньому прикладі велику обережність використовували для індексування кумулятивних функцій і щільності ймовірності або за допомогою X або Y, щоб вказати, до якої випадкової змінної вони належали. Наприклад, при знаходженні кумулятивної функції розподілу Y отримали X. Якщо необхідно знайти випадкову величину X та її щільність, її просто потрібно диференціювати.
Техніка зміни змінних
Нехай X - безперервна випадкова величина, задана функцією розподілу із загальним знаменником f(x). У цьому випадку, якщо помістити значення y до X = v (Y), то вийде значення x, наприклад v (y). Тепер потрібно отримати функцію розподілу безперервної випадкової величини Y. Де перша і друга рівність має місце з визначення кумулятивної Y. Третя рівність виконується тому, що частини функції, для якої u (X) ≤ y, також вірно, що X ≤ v (Y ). І останнє виконується визначення ймовірності в безперервної випадкової величині X. Тепер потрібно взяти похідну від FY (y), кумулятивної функції розподілу Y, щоб отримати щільність ймовірності Y.
Узагальнення функції зменшення
Нехай X - безперервна випадкова величина із загальним f(x), визначена над c1
Для вирішення цього питання можна збирати кількісні дані та використовувати емпіричну кумулятивну функцію розподілу. Маючи цю інформацію та апелюючи нею, потрібно комбінувати зразки коштів, стандартні відхилення, медіадані тощо.
Аналогічно навіть досить проста імовірнісна модель може мати величезну кількість результатів. Наприклад, якщо перевернути монету 332 рази. Тоді число одержуваних результатів від переворотів більше, ніж у google (10100) - число, але не менше 100 квінтильйонів разів вище за елементарні частинки у відомому всесвіті. Не цікавим є аналіз, який дає відповідь на кожен можливий результат. Потрібна простіша концепція, така як кількість головок або найдовший хід хвостів. Щоб зосередити увагу на питаннях, що становлять інтерес, приймається певний результат. Визначення у разі наступне: випадкова величина є речової функцією з імовірнісним простором.
Діапазон S випадкової величини іноді називають простором станів. Таким чином, якщо X - значення, що розглядається, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc і так далі. Остання їх, округляючи X до найближчого цілого числа, називають функцією статі.
Функції розподілу
Як тільки визначена функція розподілу випадкової величини х, що цікавить, питання зазвичай стає наступним: «Які шанси, що X потрапляє в якесь підмножина значень B?». Наприклад, B = (непарні числа), B = (більше 1) або B = (між 2 і 7), щоб вказати ці результати, які мають X, значення випадкової величини, у підмножині А. Таким чином, у наведеному вище прикладі можна описати події в такий спосіб.
(X - непарне число), (X більше 1) = (X> 1), (X знаходиться між 2 і 7) = (2
Випадкові змінні та функції розподілу
Таким чином, можна обчислити ймовірність того, що функція розподілу випадкової величини x набуде значення в інтервалі шляхом віднімання. Необхідно подумати про включення чи виключення кінцевих точок.
Будемо називати випадкову змінну дискретною, якщо вона має кінцевий чи лічильний нескінченний простір станів. Таким чином, X - число голівок на трьох незалежних фліпсах зміщеної монети, яка піднімається з ймовірністю p. Потрібно знайти кумулятивну функцію розподілу дискретної випадкової величини FX для X. Нехай X - кількість піків у колекції трьох карт. То Y = X3 через FX. FX починається з 0, закінчується на 1 і не зменшується із збільшенням значень x. Кумулятивна FX функція розподілу дискретної випадкової величини X є постійною, крім стрибків. При стрибку FX є безперервною. Довести твердження про правильну безперервність функції розподілу з якості ймовірності можна за допомогою визначення. Звучить воно так: стала випадкова величина має кумулятивну FX, яка диференційована.
Щоб показати, як це може статися, можна навести приклад: мета з поодиноким радіусом. Імовірно. дротик рівномірно розподіляється на вказану область. Для деякого > 0. Таким чином, функції розподілу безперервних випадкових величин плавно збільшуються. FX має властивості функції розподілу.
Людина чекає на автобус на зупинці, поки той не прибуде. Вирішивши собі, що відмовиться, коли очікування досягне 20 хвилин. Тут необхідно знайти кумулятивну функцію розподілу для T. Час, коли людина ще перебуватиме на автовокзалі або не піде. Попри те що, що кумулятивна функція розподілу визначено кожної випадкової величини. Все одно досить часто будуть використовуватися інші характеристики: маса дискретної змінної і функція щільності розподілу випадкової величини. Зазвичай виводиться значення через одне із цих двох значень.
Масові функції
Ці значення розглядаються такими властивостями, які мають загальний (масовий характер). Перше полягає в тому, що ймовірності не негативні. Друге випливає зі спостереження, що набір всім x=2S, простір станів для X, утворює розбиття ймовірнісної свободи X. Приклад: кидки необ'єктивної монети, результати якої незалежні. Можна продовжувати виконувати певні дії, доки не вийде кидок голів. Нехай X означає випадкову величину, яка дає кількість хвостів перед першою головою. А p означає ймовірність у будь-якій заданій дії.
Отже, масова функція ймовірності має такі характерні ознаки. Оскільки члени утворюють чисельну послідовність, X називається геометричною випадковою величиною. Геометрична схема c, cr, cr2,. crn має суму. І, отже, sn має межу за n 1. У цьому випадку нескінченна сума є межею.
Функція маси вище утворює геометричну послідовність із ставленням. Отже, натуральних чисел a та b. Різниця значень функції розподілу дорівнює значенню масової функції.
Розглянуті значення густини мають визначення: X - випадкова величина, розподіл FX якої має похідну. FX, що задовольняє Z xFX(x) = fX(t) dt-1, називається функцією щільності ймовірності. А X називається безперервною випадковою величиною. В основній теоремі обчислення функція густини є похідною розподілу. Можна обчислити ймовірність шляхом обчислення певних інтегралів.
Оскільки збираються дані щодо кількох спостережень, то слід розглядати більше однієї випадкової величини за раз, щоб моделювати експериментальні процедури. Отже, безліч цих значень та їх спільний розподіл для двох змінних X1 та X2 означає перегляд подій. Для дискретних випадкових величин визначаються спільні ймовірні масові функції. Для безперервних розглядаються fX1, X2 де спільна щільність ймовірності задовольняється.
Незалежні випадкові змінні
Дві випадкові величини X1 і X2 незалежні, якщо будь-які дві пов'язані з ними події такі самі. У словах ймовірність того, що дві події (X1 2 B1) і (X2 2 B2) відбуваються одночасно, y дорівнює добутку змінних зазначених вище, кожна з них відбувається індивідуально. Для незалежних дискретних випадкових величин є спільна ймовірна масова функція, яка є добутком граничного обсягу іонів. Для безперервних випадкових величин, що є незалежними, спільна функція щільності ймовірності - добуток значень граничної щільності. На закінчення розглядаються n незалежні спостереження x1, x2,. , xn, що виникають з невідомої густини або масової функції f. Наприклад, невідомий параметр у функціях експоненційної випадкової величини, що описує час очікування автобуса.
Імітація випадкових змінних
Основна мета цієї теоретичної галузі – надати інструменти, необхідні для розробки аналітичних процедур, заснованих на обґрунтованих засадах статистичної науки. Таким чином, одним із дуже важливих варіантів застосування програмного забезпечення є здатність генерувати псевдодані для імітації фактичної інформації. Це дає можливість тестувати та вдосконалювати методи аналізу перед необхідністю використання їх у реальних базах. Це потрібно для того, щоб досліджувати властивості даних за допомогою моделювання. Для багатьох сімейств, що часто використовуються, випадкових величин R надає команди для їх створення. Для інших обставин знадобляться методи моделювання послідовності випадкових незалежних величин, які мають загальний розподіл.
Дискретні випадкові змінні та зразок Command. Команда sample використовується для створення простих та стратифікованих випадкових вибірок. В результаті, якщо вводиться послідовність x, sample (x, 40) вибирає 40 записів x таким чином, що всі варіанти розміру 40 мають однакову ймовірність. Це використовує команду R за промовчанням для вибірки без заміни. Можна також використовувати для моделювання дискретних випадкових величин. Для цього потрібно надати простір станів у векторі x та масової функції f. Виклик для replace = TRUE вказує, що семплювання відбувається із заміною. Потім, щоб дати зразок з n незалежних випадкових величин, що мають загальну масову функцію f, використовується зразок (x, n, replace = TRUE, prob = f).
Визначено, що є найменшим представленим значенням, а 4 є найбільшим з усіх. Якщо команда prob = f опущена, зразок вибиратиме рівномірно зі значень у векторі x. Перевірити симуляцію проти масової функції, що генерувала дані, можна звернути увагу на знак подвійної рівності ==. І перерахувавши спостереження, які приймають кожне можливе значення x. Можна зробити таблицю. Повторити це для 1000 та порівняти моделювання з відповідною функцією маси.
Ілюстрування трансформації ймовірності
Спочатку змоделювати однорідні функції розподілу випадкових величин u1, u2,. , un на інтервалі. Близько 10% чисел має бути в межах. Це відповідає 10% симуляцій на інтервалі для випадкової величини з наведеною функцією розподілу FX. Так само близько 10% випадкових чисел має перебувати в інтервалі. Це відповідає 10% симуляції на інтервалі випадкової величини з функцією розподілу FX. Ці значення на вісь x може бути отримана з взяття зворотної від FX. Якщо X - безперервна випадкова величина із щільністю fX, позитивною усюди у своїй області, то функція розподілу строго зростає. У цьому випадку FX має зворотну функцію FX-1, відому як функція квантилю. FX(x) u тільки тоді, коли x FX-1(u). Перетворення ймовірності випливає з аналізу випадкової змінної U = FX(X).
FX має діапазон від 0 до 1. Він не може набувати значення нижче 0 або вище 1. Для значень u між 0 і 1. Якщо можна моделювати U, то необхідно імітувати випадкову величину з розподілом FX через функцію квантилю. Взяти похідну, щоб побачити, що густина u варіюється в межах 1. Оскільки випадкова величина U має постійну густину за інтервалом своїх можливих значень, вона називається рівномірною на відрізку . Він моделюється в R за допомогою команди runif. Ідентичність називається імовірнісним перетворенням. Видно, як воно працює у прикладі з дротильною дошкою. X між 0 та 1, функція розподілу u = FX (x) = x2, і, отже, функція квантилю x = FX-1 (u). Можна моделювати незалежні спостереження відстані від центру панелі дротика, і створюючи у своїй рівномірні випадкові величини U1, U2,. , Un. Функція розподілу та емпірична базуються на 100 симуляціях розподілу дартс-дошки. Для експоненційної випадкової величини, ймовірно, u = FX (x) = 1 - exp (- x), і, отже, x = - 1 ln (1 - u). Іноді логіка складається з еквівалентних тверджень. І тут потрібно об'єднати дві частини аргументу. Тотожність з перетином аналогічна всім 2 (S i i) S, замість деякого значення. Об'єднання Ci дорівнює простору станів S і кожна пара взаємно виключена. Оскільки Bi - розбита на три аксіоми. Кожна перевірка ґрунтується на відповідній ймовірності P. Для будь-якого підмножини. Використовуючи тотожність, переконайтеся, що відповідь не залежить від того, чи включені кінцеві точки інтервалу.
Експоненційна функція та її змінні
Для кожного результату у всіх подіях зрештою використовується друга властивість безперервності ймовірностей, яка вважається аксіоматичною. Закон розподілу функції випадкової величини тут показує, що кожен має своє рішення і відповідь.

3. Функція розподілу є невпадаючою: якщо то
4. Функція розподілу безперервна зліва: для будь - якого .
Примітка. Остання властивість означає, які значення набуває функція розподілу в точках розриву. Іноді визначення функції розподілу формулюють з допомогою суворої нерівності: . І тут безперервність зліва замінюється на безперервність справа: при . Ніякі змістовні властивості функції розподілу у своїй не змінюються, тому це питання є лише термінологічним.
Властивості 1-4 є характерними, тобто. Будь-яка функція, що задовольняє цим властивостям, є функцією розподілу деякої випадкової величини.
Функція розподілу визначає розподіл ймовірностей випадкової величини однозначно. Фактично, вона є універсальним та найбільш наочним способом опису цього розподілу.
Чим сильніша функція розподілу зростає на заданому інтервалі числової осі, тим вище ймовірність попадання випадкової величини в цей інтервал. Якщо ймовірність потрапляння до інтервалу дорівнює нулю, то функція розподілу у ньому постійна.
Зокрема, ймовірність того, що випадкова величина набуде заданого значення, дорівнює стрибку функції розподілу в даній точці:
.
Якщо функція розподілу безперервна в точці , то можливість прийняти це значення для випадкової величини дорівнює нулю. Зокрема, якщо функція розподілу безперервна по всій числовій осі (при цьому і відповідний розподіл називається безперервним), то ймовірність прийняти будь-яке задане значення дорівнює нулю.
З визначення функції розподілу випливає, що можливість попадання випадкової величини в інтервал, замкнутий зліва і відкритий праворуч, дорівнює:

За допомогою даної формули та вказаного вище способу знаходження ймовірності попадання в будь-яку задану точку легко визначаються ймовірності попадання випадкової величини в інтервали інших типів: , і . Далі, за теоремою про продовження заходу, можна однозначно продовжити міру на всі борелівські множини числової прямої. Для того, щоб застосувати цю теорему, потрібно показати, що таким чином визначений на інтервалах міра є на них сигма-адитивною; при доказі цього точно використовуються властивості 1-4 (зокрема, властивість безперервності зліва 4, тому відкинути його не можна).

Генерація випадкової величини, що має заданий розподіл

Розглянемо випадкову величину, що має функцію розподілу. Припустимо, що безперервна. Розглянемо випадкову величину
.
Легко показати, що тоді матиме рівномірний розподіл на відрізку .