Математична стала величина. Математика постійних величин

Число Архімеда

Чому одно: 3,1415926535… На сьогодні прораховано до 1,24 трлн знаків після коми

Коли святкувати день- єдина константа, яка має своє свято, і навіть два. 14 березня, або 3.14, відповідає першим знакам запису числа. А 22 липня, або 22/7 – не що інше, як грубе наближення π дробом. В університетах (наприклад, на мехматі МДУ) вважають за краще відзначати першу дату: вона, на відміну від 22 липня, не потрапляє на канікули

Що таке? 3,14, число зі шкільних завдань для кола. І в той же час - одне з головних чисел у сучасній науці. Фізикам π зазвичай потрібно там, де про кола ні слова, - скажімо, щоб змоделювати сонячний вітерчи вибух. Число π зустрічається у кожному другому рівнянні - можна відкрити підручник теоретичної фізикинавмання і вибрати будь-яке. Якщо підручника немає, зійде мапа світу. Звичайна річказ усіма її зламами і згинами в π разів довше, ніж шлях прямо від її гирла до початку.

У цьому винен сам простір: він однорідний і симетричний. Саме тому фронт вибухової хвилі – це куля, а від каміння на воді залишаються кола. Так що π тут виявляється цілком доречним.

Але все це стосується лише звичного евклідового простору, в якому ми всі живемо. Якби воно неевклідове, симетрія була б іншою. А в сильно викривленому Всесвіті π вже не відіграє такої важливої ​​ролі. Скажімо, у геометрії Лобачевського коло буває вчетверо довшим за свій діаметр. Відповідно річки чи вибухи «кривого космосу» зажадали інших формул.

Число π стільки ж років, скільки всій математиці: близько 4 тисяч. Найстаріші шумерські таблички наводять йому цифру 25/8, чи 3,125. Помилка – менше відсотка. Вавилонці абстрактної математикою особливо не захоплювалися, так що π вивели досвідченим шляхом, просто вимірюючи довжину кіл. До речі, це перший експеримент із чисельного моделювання світу.

Найкрасивішою з арифметичних формулдля π більше 600 років: π/4=1–1/3+1/5–1/7+… Проста арифметика допомагає обчислити π, а саме π – розібратися з глибинними властивостями арифметики. Звідси його зв'язок із ймовірностями, простими числами та багатьом іншим: π, наприклад, входить у відому «функцію помилок», яка однаково безвідмовно працює і в казино, і в соціологів.

Є навіть «імовірнісний» спосіб порахувати саму константу. По-перше, потрібно запастися мішком голок. По-друге, кидати їх, не цілячись, на підлогу, розкреслену крейдою на смуги шириною в голку. Потім, коли мішок спорожніє, поділити кількість кинутих на кількість тих, що перетнули крейдяні лінії, і отримати π/2.

Хаос

Константа Фейгенбаума

Чому одно: 4,66920016…

Де застосовується:Теоретично хаосу і катастроф, з допомогою яких можна описувати будь-які явища - від розмноження кишкової паличкидо розвитку російської економіки

Хто і коли відкрив: Американський фізикМітчелл Фейгенбаум у 1975 році. На відміну від більшості інших відкривачів констант (Архімеда, наприклад), він живий і викладає у престижному Рокфеллерівському університеті

Коли і як святкувати день?Перед генеральним прибиранням

Що спільного у капусти броколі, сніжинок та ялинки? Те, що їхні деталі у мініатюрі повторюють ціле. Такі об'єкти, влаштовані як матрьошка, називають фракталами.

Фрактали виникають із безладдя, як картинка в калейдоскопі. Математика Мітчелла Фейгенбаума 1975 року зацікавили не самі візерунки, а хаотичні процеси, які змушують їх з'являтися.

Фейгенбаум займався демографією. Він довів, що народження та смерть людей також можна моделювати за фрактальними законами. Отут у нього і з'явилася ця δ. Константа виявилася універсальною: вона зустрічається в описі сотень інших хаотичних процесів, від аеродинаміки до біології.

З фракталу Мандельброта почалося повсюдне захоплення цими об'єктами. Теоретично хаосу він грає приблизно таку ж роль, як і коло у звичайній геометрії, а число δ фактично задає його форму. Виходить, що ця константа - те саме, тільки для хаосу.

Час

Число Непера

Чому одно: 2,718281828…

Хто і коли відкрив:Джон Непер, шотландський математик, у 1618 році. Самого числа він не згадував, зате збудував на його основі свої таблиці логарифмів. Одночасно кандидатами в автори константи вважаються Якоб Бернуллі, Лейбніц, Гюйгенс та Ейлер. Достовірно відомо лише те, що символ eвзявся з прізвища останнього

Коли та як святкувати день e:Після повернення банківського кредиту

Число е – теж свого роду двійник π. Якщо π відповідає за простір, то е – за час, і теж виявляє себе майже всюди. Скажімо, радіоактивність полонію-210 зменшується в раз за середній термінжиття одного атома, а раковина молюска Nautilus - це графік ступенів е, обернений навколо осі.

Число е зустрічається і там, де природа свідомо ні до чого. Банк, який обіцяє 1% на рік, за 100 років збільшить вклад приблизно в раз. Для 0,1% і 1000 років результат буде ще ближчим до константи. Якоб Бернуллі, знавець і теоретик азартних ігор, вивів її саме так - розмірковуючи про те, скільки заробляють лихварі.

Як і π, е- трансцендентне число. Говорячи простіше, його не можна виразити через дроби та коріння. Є гіпотеза, що такі цифри в нескінченному «хвості» після коми зустрічаються всі комбінації цифр, які тільки можливі. Наприклад, там можна знайти і текст цієї статті, записаний двійковим кодом.

Світло

Постійна тонкої структури

Чому одно: 1/137,0369990…

Хто і коли відкрив:Німецький фізик Арнольд Зоммерфельд, аспірантами якого були одразу два нобелівського лауреата- Гейзенберг та Паулі. У 1916 році, ще до появи справжньої квантової механіки, Зоммерфельд ввів константу в рядовій статті про «тонку структуру» діапазону атома водню. Роль константи незабаром переосмислили, а ось назва залишилася колишньою

Коли святкуватиме день α:У День електрика

Швидкість світла – величина виняткова. Швидше, показав Ейнштейн, не можуть рухатися ні тіло, ні сигнал - чи то частка, гравітаційна хвиляабо звук усередині зірок.

Начебто ясно, що це закон вселенської важливості. І все-таки швидкість світла – не фундаментальна константа. Проблема в тому, що її нема чим виміряти. Кілометри на годину не годяться: кілометр визначений як відстань, яка світло проходить за 1/299792,458 секунд, тобто сама виражається через швидкість світла. Платиновий стандарт метра - теж вихід, оскільки швидкість світла входить й у рівняння, які описують платину на мікрорівні. Словом, якщо швидкість світла без зайвого шуму зміниться у всьому Всесвіті, людство про це не дізнається.

Ось тут на допомогу фізикам і приходить величина, що зв'язує швидкість світла з атомними властивостями. Константа - це ділена на швидкість світла "швидкість" електрона в атомі водню. Вона безрозмірна, тобто не прив'язана ні до метрів, ні до секунд, ні до якихось одиниць.

Крім швидкості світла до формули для α входять також заряд електрона і константа Планка, міра «квантовості» світу. З обома постійними пов'язана та сама проблема - їх нема з чим звірити. А разом, у вигляді α, вони являють собою щось на кшталт запоруки сталості Всесвіту.

Можна поставити запитання, чи не змінювалася α з початку часів. Фізики всерйоз допускають «дефект», який колись досягав мільйонних часток від нинішньої величини. Досягни б він 4%, людства не було б, тому що всередині зірок припинився б термоядерний синтезвуглецю, головний елемент живої матерії.

Добавка до реальності

Уявна одиниця

Чому одно: √-1

Хто і коли відкрив:Італійський математик Джероламо Кардано, друг Леонардо да Вінчі, у 1545 році. Карданний вал названий саме на його честь. За однією з версій, своє відкриття Кардано вкрав у Нікколо Тартальї, картографа та придворного бібліотекаря

Коли святкуватиме день i:Березня 86 числа

Число i ні константою, ні навіть справжнім числом не можна назвати. Підручники описують його як величину, яка, будучи зведеною квадрат, дає мінус один. Іншими словами, це сторона квадрата із негативною площею. Насправді такого не буває. Але іноді з нереального теж можна отримати користь.

Історія відкриття цієї постійної така. Математик Джероламо Кардано, вирішуючи рівняння з кубами, запровадив уявну одиницю. Це був просто допоміжний трюк – у підсумкових відповідях i не було: результати, що його містили, вибраковувалися. Але пізніше, придивившись до свого сміття, математики спробували пустити його в справу: множити і ділити звичайні числана уявну одиницю, складати результати один з одним і підставляти нові формули. Так народилася теорія комплексних чисел.

Мінус у тому, що "реальне" з "нереальним" не можна порівнювати: сказати, що більше - уявна одиницяабо 1 – не вийде. З іншого боку, нерозв'язних рівнянь, якщо скористатися комплексними числами, мало залишається. Тому при складних розрахунках зручніше працювати з ними і лише наприкінці «чищати» відповіді. Наприклад, щоб розшифрувати томограму мозку, без i не обійтися.

Фізики саме так поводяться з полями та хвилями. Можна навіть вважати, що всі вони існують у комплексному просторі, а те, що ми бачимо, – лише тінь «справжніх» процесів. Квантова механіка, де і атом, і людина - хвилі, робить таке трактування ще більш переконливим.

Число i дозволяє звести в одній формулі головні математичні константи та події. Формула виглядає так: e πi +1 = 0, і деякі кажуть, що таке стисле зведення правил математики можна відправляти інопланетянам, щоб переконати їх у нашій розумності.

Мікросвіт

Маса протону

Чому одно: 1836,152…

Хто і коли відкрив:Ернест Резерфорд, фізик родом із Нової Зеландії, в 1918 році. За 10 років до цього отримав Нобелівську преміюз хімії за вивчення радіоактивності: Резерфорду належать поняття «період напіврозпаду» та самі рівняння, що описують розпад ізотопів

Коли і як святкувати день?У День боротьби із зайвою вагою, якщо таку введуть - це співвідношення мас двох базових елементарних частинок, протону та електрона. Протон - не що інше, як ядро ​​атома водню, найпоширенішого елемента у Всесвіті.

Як і у разі швидкості світла, важлива не сама величина, а її безрозмірний еквівалент, не прив'язаний до якихось одиниць, тобто у скільки разів маса протону більше масиелектрону. Виходить приблизно 1836 року. Без такої різниці у «вагових категоріях» заряджених частинок не було б ні молекул, ні твердих тіл. Втім, атоми залишилися б, але поводилися б зовсім по-іншому.

Як і α, μ підозрюють у повільній еволюції. Фізики вивчали світло квазарів, що дійшло до нас через 12 млрд років, і виявили, що протони згодом важчають: різниця між доісторичним і сучасним значеннямиμ склала 0,012%.

Темна матерія

Космологічна константа

Чому одно: 110-²³ г/м3

Хто і коли відкрив:Альберт Ейнштейн у 1915 році. Сам Ейнштейн називав її відкриття своїм «головним промахом»

Коли та як святкувати день Λ:Щомиті: Λ, згідно з визначенням, є завжди і скрізь

Космологічна константа - найтуманніша з усіх величин, якими оперують астрономи. З одного боку, вчені не до кінця впевнені в її існуванні, з іншого - готові пояснювати з її допомогою, звідки взялася більша частинамаси-енергії у Всесвіті.

Можна сміливо сказати, що Λ доповнює константу Хаббла. Вони співвідносяться як швидкість та прискорення. Якщо Н визначає рівномірне розширення Всесвіту, то Λ - зростання, що безперервно прискорюється. Першим її ввів у рівняння загальної теорії відносності Ейнштейн, коли запідозрив помилку. Його формули вказували, що космос або розширюється, або стискається, а це було складно повірити. Новий члензнадобився, щоб усунути висновки, які здавались неправдоподібними. Після відкриття Хаббла Ейнштейн відмовився від своєї константи.

Другим народженням, у 90-х роках минулого століття, постійна зобов'язана ідеї темної енергії, «схованої» у кожному кубічному сантиметріпростору. Як випливало зі спостережень, енергія неясної природи повинна розштовхувати простір зсередини. Грубо кажучи, це мікроскопічний Великий вибух, що відбувається кожну секунду та повсюдно. Щільність темної енергії - і є Λ.

Гіпотезу підтвердили спостереження за реліктовим випромінюванням. Це доісторичні хвилі, що народилися перші секунди існування космосу. Астрономи вважають їх чимось подібним до рентгена, що просвічує Всесвіт наскрізь. «Рентгенограма» і показала, що темної енергії у світі 74% - більше, ніж решта. Однак, оскільки вона «розмазана» по всьому космосу, виходить всього 110-2? грама на кубічний метр.

Великий вибух

Постійна Хаббла

Чому одно: 77 км/с /МПС

Хто і коли відкрив:Едвін Хаббл, батько-засновник усієї сучасної космології, у 1929 році. Трохи раніше, 1925-го, він першим довів існування інших галактик за межами Чумацького шляху. Співавтор першої статті, де згадується константа Хаббла, - хтось Мілтон Хьюмасон, людина без вищої освітипрацював в обсерваторії на правах лаборанта. Х'юмасонові належить перший знімок Плутона, тоді ще не відкритої планети, через дефект фотопластинки залишений поза увагою

Коли та як святкувати день H: 0 січня. З цього неіснуючого числа астрономічні календарірозпочинають відлік Нового року. Як і про сам момент Великого вибуху, про події 0 січня відомо мало, що робить свято подвійно доречним

Головна константа космології - міра швидкості, з якою розширюється Всесвіт у результаті Великого вибуху. І сама ідея, і постійна H сягають висновків Едвіна Хаббла. Галактики в будь-якому місці Всесвіту розбігаються одна від одної і роблять це швидше, ніж більша відстаньміж ними. Знаменита константа – просто коефіцієнт, на який множать дистанцію, щоб отримати швидкість. Згодом вона змінюється, але досить повільно.

Одиниця, поділена на H, дає 13800000000 років - час, що минув з моменту Великого вибуху. Цю цифру першим одержав сам Хаббл. Як довели пізніше, метод Хаббла був не зовсім вірний, але все одно він помилився менше ніж на відсоток, якщо порівнювати із сучасними даними. Помилка батька-засновника космології полягала в тому, що він вважав число Н незмінним з початку часів.

Сферу навколо Землі радіусом 13,8 млрд світлових років - швидкість світла, поділена на константу Хаббла, називають хаббловской сферою. Галактики за її кордоном повинні «втікати» від нас зі надсвітловою швидкістю. Суперечності з теорією відносності тут немає: варто підібрати правильну систему координат у викривленому просторі-часі, і проблема перевищення швидкості одразу зникає. Тому за хаблівською сферою видимий Всесвітне закінчується, її радіус приблизно втричі більший.

Гравітація

Планківська маса

Чому одно: 21,76 ... мкг

Де працює:Фізика мікросвіту

Хто і коли відкрив:Макс Планк, творець квантової механіки, у 1899 році. Планківська маса - це всього лише одна з набору величин, запропонованих Планком як «система мір і ваг» для мікросвіту. Визначення, що згадує чорні дірки - і сама теорія гравітації - з'явилися декількома десятиліттями пізніше

Звичайна річка з усіма її зламами і згинами в π разів довша, ніж шлях прямо від її гирла до витоку

Коли та як святкувати деньmp:У день відкриття Великого адронного колайдера: мікроскопічні чорні дірки збираються отримувати саме там

Якоб Бернуллі, знавець і теоретик азартних ігор, вивів e, розмірковуючи про те, скільки заробляють лихварі.

Підбирати явищам теорію за розміром – популярний у XX столітті підхід. Якщо елементарна часткавимагає квантової механіки, то нейтронна зірка – вже теорії відносності. Неповноцінність такого ставлення до світу була зрозуміла з самого початку, але єдиної теоріївсього так і не створили. Поки що вдалося примирити лише три з чотирьох фундаментальних видіввзаємодії - електромагнітні, сильні та слабкі. Гравітація все ще залишається осторонь.

Поправка Ейнштейна і є щільністю темної матеріїяка розштовхує космос зсередини

Планківська маса - умовна межа між «великим» і «малим», тобто якраз між теорією гравітації та квантовою механікою. Стільки має важити чорна діра, розміри якої збігаються з довжиною хвилі, що відповідає їй як мікрооб'єкту. Парадокс полягає в тому, що астрофізика трактує межу чорної діри як суворий бар'єр, за який не можуть проникнути ні інформація, ні світло, ні речовина. А з квантової точкизору хвильовий об'єкт буде рівномірно «розмазаний» по простору – і бар'єр разом із ним.

Планкова маса – це маса личинки комара. Але поки гравітаційний колапс комару не загрожує, квантові парадоксийого не торкнуться

mp – одна з небагатьох одиниць у квантовій механіці, якими варто вимірювати об'єкти у нашому світі. Стільки може важити комара личинка. Інша справа, що поки гравітаційний колапскомару не загрожує, квантові парадокси його не торкнуться.

Нескінченність

Число Грехема

Чому одно:

Хто і коли відкрив:Рональд Грехем та Брюс Ротшильд
1971 року. Стаття була опублікована під двома прізвищами, але популяризатори вирішили заощадити папір і залишили лише перший

Коли та як святкувати день G:Дуже нескоро, зате дуже довго

Ключова для цієї конструкції операція – стрілки Батіга. 33 - це три третього ступеня. 33 - це три, зведене в три, яке у свою чергу зведено в третій ступінь, тобто 3 27, або 7625597484987. Три стрілки - це вже число 37625597484987, де трійка у сходах статечних показниківповторюється саме стільки – 7625597484987 – раз. Це вже більше числаатомів у Всесвіті: тих всього 3168 . А у формулі для числа Грехема з такою самою швидкістю зростає навіть не сам результат, а кількість стрілок на кожній стадії його підрахунку.

Константа з'явилася в абстрактній комбінаторній задачі та залишила позаду всі величини, пов'язані з нинішніми чи майбутніми розмірами Всесвіту, планетами, атомами та зірками. Чим, схоже, зайвий разпідтвердила несерйозність космосу і натомість математики, засобами якої може бути осмислений.

Ілюстрації: Варвара Аляй-Акатьєва

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин(або елементарної математики). Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

На жаль, до нашого часу не дійшли тексти, якими можна було б судити про виникнення цього дедуктивного методу». Традиція називає першим із філософів, що застосував у математиці докази, грецького вченого Фалеса з Мілета (міста в Малій Азії), що жив у VII-VI ст. до н.е. За відомостями, що дійшли до нас, Фалес довів деякі найпростіші геометричні твердження: рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т.д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теоремою Піфагора (формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Піфагорійці зробили першу спробу звести геометрію та алгебру того часу до арифметики. Вони вважали, що «все число», розуміючи під словом «число» лише натуральні числа. Зокрема, вони були довгий часпереконані, що довжини будь-яких відрізків можна порівняти один з одним, а тому для вимірювання будь-яких величин достатньо раціональних чисел.

Поворотним пунктомбуло відкриття піфагорійцями того, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною. Це відкриття, зроблене на основі теореми Піфагора, показало неспроможність спроби звести всю геометрію до натуральним числам. Аналіз отриманого доказу призвів до дослідження початкових питаньтеорії чисел (парності та непарності) простих чисел, розкладання чисел на прості множники, властивостей взаємно простих чисел і т. д.).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу – обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони почали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника з заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися у сучасних термінах квадрат числа, куб числа, геометричне середнє, геометрична прогресіяі т.д.

Давньогрецька математикапросунулися дуже далеко. Вони провели, наприклад, класифікацію квадратичних ірраціональностей, відкрили всі види правильних багатогранників, вивели формули для обсягів багатьох тіл, досліджували різноманітні криві лінії (еліпс, гіперболу, параболу, спіралі). Визначну рольу формуванні математики як теоретичної науки зіграла знаменита книга Евкліда «Початку», що представляла синтез та систематизацію основних результатів давньогрецької математичної думки та тривалий часслужила джерелом знань та взірцем суворого математичного викладу.

Книга Евкліда є першою з спроб аксіоматичного викладу, що дійшли до нашого часу. математичної дисципліни. Хоча в часи Евкліда не вставало ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для вилучення змістових наслідків з аксіом, в системі Евкліда була вже чітко проведена основна ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії суто дедуктивним шляхом з невеликої кількості тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.

У ХІХ ст. було показано, що список аксіом Евкліда неповний і багато теорем він доводив, залучаючи твердження, що не увійшли до цього списку. Не було у Евкліда і аксіом порядку. Ознаки рівності трикутників доводилися з урахуванням поняття накладання постатей, т. е., насправді, з урахуванням ідеї руху, що належить швидше до механіці, ніж до математики.

Протягом двох тисячоліть основна увага критиків та коментаторів Евкліда була спрямована на аксіому про паралельних, оскільки передбачалося, що її можна довести на основі решти аксіом. Лише відкриття у початку XIXв. Неевклідова геометрія показала безнадійність спроб такого доказу.

На формулювання аксіом Евкліда сильний впливвиявили суперечки між прихильниками і противниками атомізму, що тривали довгий час. Атомісти (Демокріт, Левкіпп) стверджували, що матерія складається з неподільних атомів, причому існує межа ділимості простору (тобто що і простір складається з неподільних частинок далі). Їх противники вважали, що простір безмежно ділимо і тому неприпустимо вважати, що лінії складаються з точок, оскільки точки не мають ні частин, ні розмірів, а лінії мають певну довжину.

Хоча атомісти досягли великих успіхіву геометрії (наприклад, Демокріт вивів формулу обсягу піраміди), їх спроби дати логічне обґрунтування геометрії не мали успіху. Справа в тому, що з атомістичних поглядів випливала сумірність будь-яких двох відрізків, а це суперечило відомої вже на той час теоремі про несумірність сторони та діагоналі квадрата. У той же час Евкліду вдалося побудувати логічно замкнуту систему геометрії, в якій вважалося, що будь-який відрізок ділимо безмежно, а тому не існує неподільних елементів простору.

Книга Евкліда підбила також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченному рядінатуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричні фігури (відрізки, круги і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея про актуальну (закінчену) нескінченність виганялася з робіт Евкліда та його послідовників (Архімеда, Аполлонія та ін.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для об'єму кулі та конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання на нескінченно малі частини, хоча знаходження цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що він перешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формі вирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четверту і вищі ступенядовжини, а, крім того, не можна було складати вирази різних ступенів: ця сума геометричного сенсу не мала

З тієї ж причини в грецькій математиці був негативних чисел і нуля, ірраціональних чиселта літерного обчислення. Лише у ІІІ ст. н. е. у роботах олександрійського математика Діофанта з'являються зачатки літерного числення. Але цим роботам не судилося мати продовження у грецькій математиці, оскільки після прийняття християнства V ст. н. е. язичницька культура, складовоюякою була математика, виявилася зруйнованою, а 529 р. імператор Юстиніан під страхом смертної каризаборонив заняття математикою.

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль і негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, ГіяседдінДжемшид, IX-XIII ст. н. е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової областіматематики – алгебри.

Алгебра, яку тепер розглядають як загальне вченняпро формальні дії та їх властивості, з'явилася в арабів як наука про рішення рівнянь. Саме слово «алгебра» арабського походження і означало «відновлення», тобто перенесення негативних доданків в іншу частину рівнянь.

З початку XIIIв. знову відроджуються математичні дослідженняв Європі. Але лише у XVI ст. були отримані перші наукові результати, що перевершили досягнення греків і арабів, - італійські математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі та ін. вивели формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступенів. Водночас формується система алгебраїчних позначень, словесна алгебра поступово замінюється буквеною. У початку XVIIв. у працях французьких та англійських математиків (Вієта, Декарта, Герріота) завершується розвиток алгебраїчної символіки, створюються правила літерного числення. Одночасно з розвитком символіки відбувається розширення поняття про число: ще в середині XVI століття в математиці остаточно затверджуються негативні числа, а незабаром з'являються і комплексні числа(хоча вони довгий час не знаходили визнання, оскільки не допускали витлумачення відомими на той час засобами). При цьому виявилося, що правила буквеної алгебри в рівною міроюзастосовні до числа будь-якого виду.

Найважливішу рользіграли роботи італійського вченого Бомбеллі (XVI ст.) та французького математика Р. Декарта (XVII ст.), які фактично запровадили ідею дійсного числа, звільнивши цим алгебру від невластивої їй геометричної одягу. Користуючись цим, Декарт, на відміну від грецьких математиків, які зводили проблеми алгебри до геометрії, почав алгебраїчно вирішувати геометричні завдання. Цим було започатковано аналітичну геометрію.

Другий період розвитку математики відомий у літературі як період математики постійних величин(або елементарної математики).Він розпочався у VII ст. до зв. е. та закінчився у XVII ст. н. е. Основним досягненням математичної думки, що характеризує початок цього періоду, було виникнення та розвиток поняття про доказ. Грецькі математики свідомо прагнули розташувати математичні докази в такі ланцюжки, щоб перехід від однієї ланки до наступної не залишав жодного місця сумнівів і змушував усіх погодитися з ним.

На жаль, до нашого часу не дійшли тексти, якими можна було б судити про виникнення цього «дедуктивного методу». Традиція називає першим із філософів, що застосував у математиці докази, грецького вченого Фалеса з Мілета (міста в Малій Азії), що жив у VII-VI ст. до зв. е. За даними, що дійшли до нас, Фалес довів деякі найпростіші геометричні твердження:

рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів, одна з ознак рівності трикутників, рівність частин, на які діаметр розбиває коло, і т.д.

Створений Фалесом метод логічного доказу математичних тверджень було розвинено і вдосконалено вченими піфагорійської школи період між кінцем VI в. та серединою V ст. до зв. е., які довели, зокрема, твердження, зване тепер теорема Піфагора(формулювання цього твердження було відоме ще вавилонянам).

Піфагорійці зробили першу спробу звести геометрію та алгебру того часу до арифметики. Вони вважали, що «все число», розуміючи під словом «число» лише натуральні числа. Зокрема, вони були довгий час переконані, що довжини будь-яких відрізків можна порівняти один з одним, а тому для вимірювання будь-яких величин достатньо раціональних чисел.

Поворотним пунктом було відкриття піфагорійцями того, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною. Це відкриття, зроблене з урахуванням теореми Піфагора, показало неспроможність спроби звести геометрію до натуральним числам. Аналіз отриманого доказу привів до дослідження початкових питань теорії чисел (парності та непарності простих чисел, розкладання чисел на прості множники, властивостей взаємно простих чисел тощо).

Після робіт Піфагора стало ясно, що не всі величини виражаються раціональними числами. Оскільки поняття ірраціонального числа не могло бути створене в ту епоху, грецькі математики зробили іншу спробу обґрунтувати всю математику на основі геометричних понять. Вони стали розвивати геометричну алгебру, тлумачачи, наприклад, додавання величин, як додавання відрізків, а множення - як побудова прямокутника із заданими сторонами. У цьому говорили про рівність відрізків, а чи не про рівність їх довжин, оскільки довжина відрізка виражається числом, а числа було вигнано з давньогрецької математики. Сліди такого підходу до алгебри збереглися у сучасних термінах квадрат числа, куб числа, геометричне середнє, геометрична прогресіяі т.д.

Давньогрецькі математики просунулися дуже далеко. Вони провели, наприклад, класифікацію квадратичних ірраціональностей, відкрили всі види правильних багатогранників, вивели формули для обсягів багатьох тіл, досліджували різноманітні криві лінії (еліпс, гіперболу, параболу, спіралі). Визначну роль формуванні математики як теоретичної науки зіграла знаменита книга Евкліда «Початку», що представляла синтез і систематизацію основних результатів давньогрецької математичної думки і тривалий час служила джерелом знань і взірцем суворого математичного викладу.

Книга Евкліда є першою з спроб аксіоматичного викладу математичної дисципліни, що дійшли до нашого часу. Хоча в часи Евкліда не вставало ще питання про опис логічних засобів, що застосовуються для вилучення змістових наслідків з аксіом, в системі Евкліда була вже чітко проведена основна ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії суто дедуктивним шляхом з невеликої кількості тверджень - аксіом, істинність яких представлялася наочно очевидною.

У ХІХ ст. було показано, що список аксіом Евкліда неповний і багато теорем він доводив, залучаючи твердження, що не увійшли до цього списку. Не було у Евкліда і аксіом порядку. Ознаки рівності трикутників доводилися з урахуванням поняття накладання постатей, т. е., насправді, з урахуванням ідеї руху, що належить швидше до механіці, ніж до математики.

Протягом двох тисячоліть основна увага критиків та коментаторів Евкліда була спрямована на аксіому про паралельних, оскільки передбачалося, що її можна довести на основі решти аксіом. Лише відкриття на початку ХІХ ст. Неевклідова геометрія показала безнадійність спроб такого доказу.

На формулювання аксіом Евкліда сильний вплив справили суперечки між прихильниками і противниками атомізму. Атомісти (Демокріт, Левкіпп) стверджували, що матерія складається з неподільних атомів, причому існує межа ділимості простору (тобто що і простір складається з неподільних частинок далі). Їх противники вважали, що простір безмежно ділимо і тому неприпустимо вважати, що лінії складаються з точок, оскільки точки не мають ні частин, ні розмірів, а лінії мають певну довжину.

Хоча атомісти досягли великих успіхів у геометрії (наприклад, Демокріт вивів формулу обсягу піраміди), їхні спроби дати логічне обґрунтування геометрії не мали успіху. Справа в тому, що з атомістичних поглядів випливала сумірність будь-яких двох відрізків, а це суперечило відомої вже на той час теоремі про несумірність сторони та діагоналі квадрата. У той же час Евкліду вдалося побудувати логічно замкнуту систему геометрії, в якій вважалося, що будь-який відрізок ділимо безмежно, а тому не існує неподільних елементів простору.

Книга Евкліда підвела також підсумок тривалого розвитку ідеї нескінченності, що призвело до формування, з одного боку, поняття про нескінченний ряд натуральних чисел, а з іншого - поняття про безмежно поділені геометричні фігури (відрізки, круги і т. д.). Однак нескінченність розумілася лише як потенційна можливість продовжувати певний процес (додавання одиниці до натурального числа, поділу навпіл відрізка тощо). Ідея проактуальної (закінченої) нескінченності виганялася з робіт Евкліда та її послідовників (Архімеда, Аполлонія та інших.). Ця ідея була дискредитована в результаті відкриття грецьким філософом Зеноном труднощів, до яких вело її використання. Наприклад, Зенон «доводив», що стріла не може пролетіти свій шлях, оскільки вона повинна спочатку пролетіти половину шляху, а до цього – половину половини і т. д. – отже, він ніколи не зрушить з місця.

Тому формули для обсягу кулі та конуса, площі кола тощо викладалися без застосування граничного переходу, без розкладання нанескінченно малі частини, хоча знаходження цих формул математики застосовували «заборонені прийоми». Архімед вирішив такі складні для тодішньої математики завдання, як відшукання об'єму сегмента параболоїда обертання та площі сектора архімедової спіралі.

Недоліком геометричного підходу до математики було те, що вінперешкоджав розвитку алгебри (хоча греки і вміли, наприклад, у геометричній формі вирішувати квадратні рівняння) - неможливо було уявити геометрично четвертий і вищий ступінь довжини, а, крім того, не можна було складати вирази різних ступенів: ця сума геометричного сенсу не мала.

З тієї ж причини в грецькій математиці не було негативних чисел і нуля, ірраціональних чисел та літерного обчислення. Лише у ІІІ ст. н. е. у роботах олександрійського математика Діофанта з'являються зачатки літерного числення. Але цим роботам не судилося мати продовження у грецькій математиці, оскільки після прийняття християнства V ст. н. е. язичницька культура, складовою якої була математика, виявилася зруйнованою, а 529 р. імператор Юстиніан під страхом смертної кари заборонив заняття математикою.

Центр математичних досліджень перемістився на Схід – до Індії, Китаю та арабського світу. Індійські математики ввели нуль та негативні числа, проводили дослідження з комбінаторики (Аріабхатта, V ст. н. е.). Основною заслугою арабських математиків (аль-Беруні, Омар Хайям, Гіяседдін Джемшид, IX-XIII ст. н.е.) слід вважати розвиток тригонометрії (у зв'язку з астрономічними дослідженнями) і, особливо, створення нової галузі математики – алгебри.

Алгебра, яку тепер розглядають як загальне вчення про формальні дії та їх властивості, з'явилася в арабів як наука про розв'язання рівнянь. Саме слово «алгебра» арабського походження і означало «відновлення», тобто перенесення негативних доданків в іншу частину рівнянь.

З початку XIII ст. знову відроджуються математичні дослідження у Європі. Але лише у XVI ст. були отримані перші наукові результати, що перевершили досягнення греків і арабів, - італійські математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі та ін. вивели формули для вирішення рівнянь третього та четвертого ступенів. Водночас формується система алгебраїчних позначень, словесна алгебра поступово замінюється буквеною. На початку XVII ст. у працях французьких та англійських математиків (Вієта, Декарта, Герріота) завершується розвиток алгебраїчної символіки, створюються правила літерного числення. Одночасно з розвитком символіки відбувається розширення поняття про число: ще в середині XVI століття в математиці остаточно затверджуються негативні числа, а незабаром з'являються і комплексні числа (хоча вони довгий час не знаходили визнання, оскільки не допускали тлумачення відомими на той час засобами). При цьому виявилося, що правила буквеної алгебри однаковою мірою застосовуються до чисел будь-якого виду.

Найважливішу роль відіграли роботи італійського вченого Бомбеллі (XVI ст.) та французького математика Р. Декарта (XVII ст.), які фактично ввели ідею дійсного числа, звільнивши тим самим алгебру від невластивого їй геометричного одягу. Користуючись цим, Декарт, на відміну грецьких математиків, які зводили проблеми алгебри до геометрії, почав алгебраїчно вирішувати геометричні завдання. Цим було започатковано аналітичної геометрії

E математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера (не плутати з так званими числами Ейлера I роду) або числом Непера. Позначається малою латинською літерою«e».… … Вікіпедія

Для покращення цієї статті бажано?: Додати ілюстрації. Доповнити статтю (стаття надто коротка або містить лише словникове визначення). У 1919 році … Вікіпедія

Постійна Ейлера Маскероні або постійна Ейлера математична константа, що визначається як межа різниці між частковою сумою гармонійного рядута натуральним логарифмом числа: Константа введена Леонардом Ейлером у 1735, який запропонував… … Вікіпедія

Константа: Постійна Математична Фізична Константа (у програмуванні) Константа дисоціації кислоти Константа рівноваги Константа швидкості реакції Константа (Залишитися в живих) Див.

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теоріявідносності … Вікіпедія

У статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності. Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї … Вікіпедія

Теорія деформованого пластичного твердого тіла, в якій досліджуються завдання, що перебувають у визначенні полів вектора переміщень і(х, t).або вектора швидкостей v(x,t), тензора деформації eij(х, t).або швидкостей деформації vij(x, t).і тензора… … Математична енциклопедія

Магічний, або чарівний квадрат це квадратна таблиця, заповнена n2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках та стовпцях, то він … Вікіпедія