Як дізнатися середню лінію трикутника. Середня лінія трикутника

Чотирьохкутник, у якого тільки дві сторони паралельні називаються трапецією.

Паралельні сторони трапеції називаються її підставами, а ті сторони, які не паралельні, називаються бічними сторонами. Якщо бічні сторони рівні, така трапеція є рівнобедренной. Відстань між основами називається висотою трапеції.

Середня Лінія Трапеції

Середня лінія – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Середня лінія трапеції паралельна до її підстав.

Теорема:

Якщо пряма, що перетинає середину одного боку, паралельна підставам трапеції, вона ділить навпіл другу бічну сторонутрапеції.

Теорема:

Довжина середньої лінії дорівнює середньому арифметичному довжин її основ

MN середня лінія, AB та CD - основи, AD та BC - бічні сторони

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Довжина середньої лінії трапеції дорівнює середньому арифметичному довжин її основ.

Основна задача: Довести, що середня лінія трапеції ділить навпіл відрізок, кінці якого лежать у середині основ трапеції

Середня лінія трикутника

Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника. Вона паралельна третій стороні та її довжина дорівнює половині довжини третьої сторони.
Теорема: Якщо пряма, що перетинає середину однієї сторони трикутника, паралельна іншій стороні трикутника, то вона ділить третю сторону навпіл.

AM = MC та BN = NC =>

Застосування властивостей середньої лінії трикутника та трапеції

Розподіл відрізка на певну кількість рівних частин.
Завдання: Розділити відрізок AB на 5 рівних частин.
Рішення:
Нехай p це випадковий промінь, у якого почало це точка А, який не лежить на прямій AB. Ми послідовно відкладаємо 5 рівних сегментів на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Ми з'єднуємо A 5 з B і проводимо такі прямі через A 4 , A 3 , A 2 і A 1 , які є паралельними A 5 B. Вони перетинають AB відповідно в точках B 4 , B 3 , B 2 і B 1 . Ці точки поділяють відрізок AB на 5 рівних частин. Справді, з трапеції BB 3 A 3 A 5 бачимо, що BB 4 = B 4 B 3 . Таким же чином, з трапеції B 4 B 2 A 2 A 4 отримуємо B 4 B 3 = B 3 B 2

У той час як з трапеції B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тоді з B 2 AA 2 випливає, що B 2 B 1 = B 1 A. Наприкінці отримуємо:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, що для поділу відрізка AB на іншу кількість рівних частин, нам потрібно проектувати ту саму кількість рівних сегментів на промінь p. І далі продовжувати вищеописаним способом.

Поняття середньої лінії трикутника

Введемо поняття середньої лінії трикутника.

Визначення 1

Це відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трикутника

Теорема про середню лінію трикутника

Теорема 1

Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює її половині.

Доведення.

Нехай нам дано трикутник $ ABC $. $MN$ - середня лінія (як малюнку 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Оскільки $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, то трикутники $ABC$ і $MBN$ подібні за другою ознакою подібності трикутників. Значить

Також, звідси випливає, що $angle A=angle BMN$, значить $MN||AC$.

Теорему доведено.

Наслідки з теореми про середню лінію трикутника

Наслідок 1:Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1 починаючи з вершини.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Бо медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 3).

Малюнок 3. Ілюстрація слідства 1

За теоремою 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже, трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді

Аналогічно доводиться, що

Теорему доведено.

Наслідок 2:Три середні лінії трикутника ділять його на 4 трикутники, подібні до вихідного трикутника з коефіцієнтом подібності $k=\frac(1)(2)$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$ із середніми лініями $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1, \ B_1C_1$ (рис. 4)

Малюнок 4. Ілюстрація слідства 2

Розглянемо трикутник $A_1B_1C$. Оскільки $A_1B_1$ - середня лінія, то

Кут $C$ - загальний кутцих трикутників. Отже, трикутники $A_1B_1C$ і $ABC$ подібні за другою ознакою подібності трикутників з коефіцієнтом подібності $k=\frac(1)(2)$.

Аналогічно доводиться, що трикутники $A_1C_1B$ і $ABC$, і трикутники $C_1B_1A$ і $ABC$ подібні до коефіцієнта подібності $k=\frac(1)(2)$.

Розглянемо трикутник $A_1B_1C_1$. Оскільки $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ -- середні лінії трикутника, то

Отже, за третьою ознакою подібності трикутників, трикутники $A_1B_1C_1$ і $ABC$ подібні до коефіцієнта подібності $k=\frac(1)(2)$.

Теорему доведено.

Приклади завдання поняття середньої лінії трикутника

Приклад 1

Даний трикутник зі сторонами $16$ см, $10$ см і $14$ см. Знайти периметр трикутника, вершини якого лежать у серединах сторін цього трикутника.

Рішення.

Оскільки вершини шуканого трикутника лежать у серединах сторін даного трикутника, його сторони - середні лінії вихідного трикутника. За наслідком 2, отримаємо, що сторони трикутника, що шукаються, дорівнюють $8$ см, $5$ см і $7$ см.

Відповідь:$20$ див.

Приклад 2

Дано трикутник $ABC$. Точки $N\ і M$ -- середини сторін $BC$ і $AB$ відповідно (Рис. 5).

Малюнок 5.

Периметр трикутника $BMN=14$ див. Знайти периметр трикутника $ABC$.

Рішення.

Оскільки $N\ і M$ -- середини сторін $BC$ і $AB$, то $MN$ -- середня лінія. Значить

По теоремі 1 $AC = 2MN $. Отримуємо:

Цілі уроку:

1) познайомити учнів із поняттям середньої лінії трапеції, розглянути її властивості та довести їх;

2) навчити будувати середню лінію трапеції;

3) розвивати вміння учнів використовувати визначення середньої лінії трапеції та властивості середньої лінії трапеції під час вирішення завдань;

4) продовжувати формувати в учнів вміння говорити грамотно, використовуючи необхідні математичні терміни; доводити свою думку;

5) розвивати логічне мислення, пам'ять, увага.

Хід уроку

1. Перевірка домашнього завдання відбувається протягом уроку. Домашнє завдання було усним, згадати:

а) визначення трапеції; види трапецій;

б) визначення середньої лінії трикутника;

в) властивість середньої лінії трикутника;

г) ознака середньої лінії трикутника.

2. Вивчення нового матеріалу.

а) На дошці зображено трапецію ABCD.

б) Вчитель пропонує згадати визначення трапеції. На кожній парті є схема-підказка, яка допомагає згадати основні поняття теми “Трапеція” (див. Додаток 1). Додаток 1 видається кожну парту.

Учні зображують трапецію ABCD у зошиті.

в) Вчитель пропонує згадати, як і темі зустрічалося поняття середньої лінії (“Середня лінія трикутника”). Учні згадують визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

д) Записують визначення середньої лінії трапеції, зображуючи їх у зошити.

Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.

Властивість середньої лінії трапеції цьому етапі залишається не доведеним, тому наступний етап уроку передбачає роботу над доказом якості середньої лінії трапеції.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано: ABCD - трапеція,

MN – середня лінія ABCD

Довести, що:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Можна виписати деякі наслідки, що випливають із умови теореми:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

На підставі перелічених властивостей довести необхідне неможливо. Система питань та вправ має підвести учнів до бажання пов'язати середню лінію трапеції із середньою лінією якогось трикутника, властивості якої вони знають. Якщо пропозицій не буде, то можна поставити запитання: як побудувати трикутник, для якого відрізок MN був би середньою лінією?

Запишемо додаткову побудову для одного з випадків.

Проведемо пряму BN, що перетинає продовження сторони AD у точці K.

З'являються додаткові елементи – трикутники: ABD, BNM, DNK, BCN. Якщо доведемо, що BN = NK, це означатиме, що MN – середня лінія ABD, а далі можна буде скористатися властивістю середньої лінії трикутника і довести необхідне.

Доведення:

1. Розглянемо BNC і DNK, у яких:

а) CNB = DNK (властивість вертикальних кутів);

б) BCN = NDK (властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів);

в) CN = ND (за наслідком з умови теореми).

Значить BNC = DNK (на стороні та двох прилеглих до неї кутах).

Що й потрібно було довести.

Доказ можна провести на уроці усно, а вдома відновити та записати у зошиті (на розсуд вчителя).

Необхідно сказати і про інші можливі способи доказу цієї теореми:

1. Провести одну з діагоналей трапеції та використовувати ознаку та властивість середньої лінії трикутника.

2. Провести CF || BA і розглянути паралелограм ABCF та DCF.

3. Провести EF || BA і розглянути рівність FND та ENC.

ж) На цьому етапі задається домашнє завдання: п. 84, підручник за ред. Атанасяна Л.С. (Доказ властивості середньої лінії трапеції векторним способом), записати в зошит.

з) Розв'язуємо задачі на використання визначення та властивості середньої лінії трапеції за готовими кресленнями (див. Додаток 2). Додаток 2 видається кожному учневі, і розв'язання завдань оформляється цьому ж аркуші в короткій формі.

Середня лінія трикутника. Привіт, друзі! Сьогодні теоретичний матеріал, Пов'язаний він з трикутником. У складі іспиту є група завдань, у яких використовується властивість середньої лінії. Причому у завданнях із трикутниками, а й з трапеціями. Була , в якій ці факти я пропонував просто запам'ятати, тепер докладніше.

Що таке середня лінія трикутника та які її властивості?

Визначення.Середня лінія трикутника – це відрізок, що сполучає середини сторін трикутника.

Зрозуміло, що середніх ліній у трикутнику три. Покажемо їх:

Без жодних доказів ви вже, напевно, помітили, що всі чотири утворені трикутникарівні. Це так, але докладніше про це поговоримо далі.

Теорема. Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Доведення:

1. Давайте розглянемо трикутники BMN та BAC. За умовою у нас є BM=MA, BN=NC. Можемо записати:

Отже, трикутники подібні по двох пропорційних сторонах і кутку між ними (друга ознака подібності). Що з цього випливає? А те що:

За ознакою паралельності прямих MN||AC.

2. Також з подоби трикутників випливає, що

Тобто MN вдвічі менше. Доведено!

Вирішимо типове завдання.

У трикутнику ABC точки M, N, K – середини сторін AB, BC, AC. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо MN=12, MK=10, KN=8.

Рішення. Звичайно, перш за все слід перевірити існування трикутника MNK (а отже, і існування трикутника АВС). Сума двох менших сторін має бути більшою за третю сторону, записуємо 10+8>12. Виконаються, отже трикутник існує.

Побудуємо ескіз:

Таким чином периметр трикутника АВС дорівнює 24+20+16=60.

*Тепер докладніше про трикутники отримані при побудові всіх трьох середніх ліній. Їхня рівність легко доводиться. Подивіться:

Рівні вони з трьох боків. Звичайно, й інші ознаки тут можна застосувати. Отримуємо, що

Як ця властивість використовується у завданнях, включених до складу іспиту? Особливо хочеться звернути увагу на завдання по стереометрії. Є такі типи, у яких мова йдепро трикутну призму.

Наприклад, сказано, що площина проходить через середини сторін основи і вона паралельна третьому ребру основи. Порушуються питання про зміну площі поверхні призми, її обсягу та інші.

Так ось. Знаючи та розуміючи інформацію, викладену вище, ви одразу ж визначите, що ця площина відсікає від заснування зазначеної призми одну четверту частину і завдання вирішите усно. Ось із такими завданнями.

На цьому все! Всього найкращого!

Завантажити матеріал статті

З повагою Олександр Крутицьких.