Властивість суміжних кутів 7. Вертикальні та суміжні кути

Геометрія – це дуже багатогранна наука. Вона розвиває логіку, уяву та інтелект. Звичайно, через свою складність і величезної кількостітеорем та аксіом, вона не завжди подобається школярам. Крім цього, є необхідність постійно доводити свої висновки, використовуючи загальноприйняті стандарти та правила.

Сумежні та вертикальні кути– це невід'ємна складова геометрії. Напевно, багато школярів просто люблять їх з тієї причини, що їхні властивості зрозумілі і прості в доказі.

Освіта кутів

Будь-який кут утворюється шляхом перетину двох прямих або проведення двох променів з однієї точки. Вони можуть називатися або однією літерою, або трьома, які послідовно позначають точки побудови кута.

Кути вимірюються в градусах і можуть (залежно від їхнього значення) по-різному називатися. Так, існує прямий кут, гострий, тупий та розгорнутий. Кожній назві відповідає певний градусний захід або його проміжок.

Гострим називається кут, міра якого не перевищує 90 градусів.

Тупим є кут, що перевищує 90 градусів.

Кут називається прямим у тому випадку, коли його градусний захід дорівнює 90.

У тому випадку, коли він утворений однією суцільною прямою, і його градусний захід дорівнює 180, його називають розгорнутим.

Кути, що мають спільну сторону, друга сторона яких продовжує одне одного, називаються суміжними. Вони можуть бути як гострими, і тупими. Перетин лінією утворює суміжні кути. Властивості їх такі:

1. Сума таких кутів дорівнюватиме 180 градусів (існує теорема, що доводить це). Тому можна легко обчислити один із них, якщо відомий інший.
2. З першого пункту випливає, що суміжні кути не можуть бути утворені двома тупими або двома гострими кутами.

Завдяки цим властивостям можна завжди обчислити градусну міру кута, маючи значення іншого кута або, принаймні, відношення між ними.

Вертикальні кути

Кути, сторони яких є продовженням один одного, називають вертикальними. Як така пара можуть виступати будь-які їх різновиди. Вертикальні кути завжди рівні між собою.

Вони утворюються при перетині прямих. Разом з ними завжди є і суміжні кути. Кут може бути одночасно суміжним для одного та вертикальним для іншого.

При перетині довільною лінією також розглядають кілька видів кутів. Така лінія називається січною, вона і утворює відповідні, односторонні і навхрест кути, що лежать. Вони рівні між собою. Їх можна розглядати у світлі властивостей, які мають вертикальні та суміжні кути.

Таким чином, тема кутів є досить простою і зрозумілою. Усі їхні властивості легко запам'ятати та довести. Розв'язання задач не є складним доти, доки кутам відповідає числове значення. Вже далі, коли почнеться вивчення sin і cos, доведеться запам'ятовувати безліч складних формул, їх висновків та наслідків. А до того часу можна легко насолоджуватися легкими завданнями, в яких потрібно знайти суміжні кути.

Початкові відомості про кути

Нехай нам дано два довільні промені. Накладемо їх початки один на одного. Тоді

Визначення 1

Кутом називатимемо два промені, які мають один і теж початок.

Визначення 2

Точка, яка є початком променів у межах визначення 3, називається вершиною цього кута.

Кут будемо позначати наступними трьома її точками: вершиною, точкою одному з променів і точкою іншому промені, причому вершина кута записується у його позначення (рис. 1).

Визначимо тепер, що таке величина кута.

Для цього необхідно вибрати якийсь «еталонний» кут, який ми прийматимемо за одиницю. Найчастіше таким кутом є кут, що дорівнює $\frac(1)(180)$ частини розгорнутого кута. Таку величину називають градусом. Після вибору такого кута ми з ним проводимо порівняння кутів, величину якого потрібно знайти.

Існують 4 види кутів:

Визначення 3

Кут називається гострим, якщо він менший за $90^0$.

Визначення 4

Кут називається тупим, якщо він більший за $90^0$.

Визначення 5

Кут називається розгорнутим, якщо він дорівнює $180^0$.

Визначення 6

Кут називається прямим, якщо він дорівнює $90^0$.

Крім таких видів кутів, які описані вище, можна виділяти види кутів по відношенню їх один до одного, а саме вертикальні та суміжні кути.

Суміжні кути

Розглянемо розгорнутий кут $COB$. З його вершини проведемо промінь $OA$. Цей промінь розділить первісний на два кути. Тоді

Визначення 7

Два кути називатимемо суміжними, якщо одна пара їх сторін є розгорнутим кутом, а інша пара збігається (рис. 2).

У даному випадкукути $COA$ і $BOA$ є суміжними.

Теорема 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^0$.

Доведення.

Розглянемо рисунок 2.

За визначенням 7, у ньому кут $COB$ дорівнюватиме $180^0$. Так як друга пара сторін суміжних кутів збігається, то промінь $OA$ розділятиме розгорнутий кут на 2, отже

$∠COA+∠BOA=180^0$

Теорему доведено.

Розглянемо розв'язання задачі за допомогою даного поняття.

Приклад 1

Знайти кут $C$ з малюнка нижче

За визначенням 7 отримуємо, що кути $BDA$ та $ADC$ є суміжними. Отже, за теоремою 1 отримаємо

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=1800-59^0=121^0$

За теоремою про суму кутів у трикутнику, матимемо

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Відповідь: $ 40 ^ 0 $.

Вертикальні кути

Розглянемо розгорнуті кути $AOB$ та $MOC$. Сумісимо їх вершини між собою (тобто накладемо точку $O"$ на точку $O$) так, щоб ніякі сторони цих кутів не співпали.

Визначення 8

Два кути називатимемо вертикальними, якщо пари їх сторін є розгорнутими кутами, а їх величини збігаються (рис. 3).

У цьому випадку кути $MOA$ і $BOC$ є вертикальними та кути $MOB$ і $AOC$ також вертикальні.

Теорема 2

Вертикальні кути дорівнюють між собою.

Доведення.

Розглянемо рисунок 3. Доведемо, наприклад, що кут $MOA$ дорівнює куту $BOC$.

Як знайти суміжний кут?

Математика – найдавніша точна наука, яку в обов'язковому порядкувивчають у школах, коледжах, інститутах та університетах. Однак, базові знаннязавжди закладаються ще у школі. Часом, дитині задають достатньо складні завдання, А батьки не в змозі допомогти, тому що просто забули деякі речі з математики. Наприклад, як знайти суміжний кут за величиною основного кута і т.п. Завдання просте, але може викликати труднощі при вирішенні через незнання того, які кути називаються суміжними і як їх знайти.

Розглянемо докладніше визначення та властивості суміжних кутів, а також як їх обчислити за даними задачі.

Визначення та властивості суміжних кутів

Два промені, що виходять з однієї точки, утворюють фігуру під назвою « плоский кут». У цьому ця точка називається вершиною кута, а промені є його сторонами. Якщо продовжити один із променів далі початкової точки по прямій, то утворюється ще один кут, який і називається суміжним. У кожного кута в цьому випадку є два суміжні кути, оскільки сторони кута рівнозначні. Тобто завжди є ще суміжний кут в 180 градусів.

До основних властивостей суміжних кутів відносять

• Сумежні кути мають загальну вершину та одну сторону;
• Сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам або числу Пі, якщо обчислення ведеться в радіанах;
• Синуси суміжних кутів завжди рівні;
• Косинуси та тангенси суміжних кутів рівні, але мають протилежні знаки.

Як знайти суміжні кути

Зазвичай даються три варіації завдань на знаходження величини суміжних кутів

• Дана величина основного кута;
• Дано співвідношення основного та суміжного кута;
• Дана величина вертикального кута.

Кожен варіант завдання має своє рішення. Розглянемо їх.

Дана величина основного кута

Якщо завдання зазначено величина основного кута, то знайти суміжний кут дуже просто. Для цього достатньо від 180 градусів відняти величину основного кута, і ви отримаєте величину суміжного кута. Це рішеннявиходить із властивості суміжного кута - сума суміжних кутів дорівнює завжди 180 градусів.

Якщо ж величина основного кута дана в радіанах і задачі потрібно знайти суміжний кут в радіанах, необхідно відняти з числа Пі величину основного кута, так як величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Дано співвідношення основного та суміжного кута

У задачі може бути дано співвідношення основного та суміжного кута замість градусів та радіан величини основного кута. У цьому випадку рішення буде виглядати як рівняння пропорції:

1. Позначаємо частку пропорції основного кута як змінну «Y».
2. Частку, що відноситься до суміжного кута, позначаємо як змінну «Х».
3. Кількість градусів, які припадають на кожну пропорцію, позначимо, наприклад, a.
4. Загальна формулабуде виглядати так - a * X + a * Y = 180 або a * (X + Y) = 180.
5. Знаходимо загальний множник рівняння a за формулою a = 180 / (X + Y).
6. Потім отримане значення спільного множника«а» множимо частку кута, який необхідно визначити.

Таким чином, ми можемо знайти величину суміжного кута в градусах. Однак, якщо необхідно знайти величину в радіанах, потрібно просто перевести градуси в радіани. Для цього множимо кут у градусах на число Пі і ділимо все на 180 градусів. Отримане значення буде у радіанах.

Дана величина вертикального кута

Якщо задачі не дана величина основного кута, але дана величина вертикального кута, то обчислити суміжний кут можна за такою ж формулою, що і в першому пункті, де дана величина основного кута.

Вертикальний кут - це кут, який виходить з тієї ж точки, що і основний, але при цьому він спрямований у протилежному напрямку. Тим самим виходить дзеркальне відображення. Це означає, що вертикальний кут за величиною дорівнює основному. У свою чергу суміжний кут вертикального кута дорівнює суміжному куту основного кута. Завдяки цьому можна визначити суміжний кут основного кута. Для цього просто віднімаємо зі 180 градусів величину вертикального і отримуємо значення суміжного кута основного кута в градусах.

Якщо ж величина дана в радіанах, необхідно відняти від числа Пі величину вертикального кута, оскільки величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Також ви можете прочитати наші корисні статті та .

Що таке суміжний кут

Кут– це геометрична фігура(рис.1), утворена двома променями OA та OB (сторони кута), що виходять з однієї точки O (вершина кута).

СМІЖНІ КУТИ- два кути, сума яких дорівнює 180 °. Кожен із цих кутів доповнює інший до розгорнутого кута.

Суміжні кути- (Agles adjacets) такі, що мають спільну вершину та спільну сторону. Переважно під цим ім'ям маються на увазі такі кути, яких інші дві сторони лежать по протилежним напрямкамоднієї прямої, проведеної через.

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.

Рис. 2

На малюнку 2 кути a1b та ​​a2b суміжні. У них спільна сторона b, а сторони a1, a2 – додаткові напівпрямі.

Рис. 3

На малюнку 3 зображено пряму AB, точку C розташовано між точками A і B. Точка D - точка не лежить на прямій AB. Виходить, що кути BCD та ACD суміжні. У них загальна сторона CD, а сторони CA та CB додаткові напівпрямі прямий AB, оскільки точки A, B розділені початковою точкою C.

Теорема про суміжні кути

Теорема:сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Доведення:
Кути a1b і a2b суміжні (див. рис. 2) Промінь b проходить між сторонами a1 і a2 розгорнутого кута. Отже, сума кутів a1b і a2b дорівнює розгорнутому куту, тобто 180 °. Теорему доведено.

Кут, що дорівнює 90° називається прямим. З теореми сумі суміжних кутів випливає, що кут, суміжний з прямим кутом також прямий кут. Кут, менший 90 ° називається гострим, а кут більше 90 ° - тупим. Так як сума суміжних кутів дорівнює 180 °, значить кут, суміжний з гострим кутом- тупий кут. А кут суміжний з тупим кутом- гострий кут.

Суміжні кути- два кути з загальною вершиною, одна зі сторін яких - загальна, а сторони, що залишилися, лежать на одній прямій (не збігаючись). Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Визначення 1.Кутом називається частина площини, обмежена двома променями із загальним початком.

Визначення 1.1.Кутом називають фігуру, що складається з точки - вершини кута - і двох різних напівпрямих, що виходять із цієї точки, - сторін кута.
Наприклад, кут ВОС на рис1 Розглянемо спочатку дві прямі, що перетинаються. При перетині прямі утворюють кути. Є окремі випадки:

Визначення 2.Якщо сторони кута є додатковими напівпрямими однієї прямої, то кут називається розгорнутим.

Визначення 3.Прямий кут - це кут завбільшки 90 градусів.

Визначення 4.Кут, менший за 90 градусів, називається гострим кутом.

Визначення 5.Кут, більший за 90 градусів і менший за 180 градусів, називається тупим кутом.
прямі, що перетинаються.

Визначення 6.Два кути, одна сторона яких загальна, а інші сторони лежать на одній прямій, називаються суміжними.

Визначення 7.Кути, сторони яких продовжують одне одного, називаються вертикальними кутами.
На малюнку 1:
суміжні: 1 та 2; 2 та 3; 3 та 4; 4 та 1
вертикальні: 1 та 3; 2 та 4
Теорема 1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
Для підтвердження розглянемо на рис. 4 суміжні кути АОВ та ВОС. Їхньою сумою є розгорнутий кут АОС. Тому сума даних суміжних кутів дорівнює 180 градусів.

Рис. 4

Зв'язок математики з музикою

"Роздумуючи про мистецтво і науку, про їхні взаємні зв'язки та протиріччя, я дійшов висновку, що математика і музика знаходяться на крайніх полюсах людського духу, що цими двома антиподами обмежується і визначається вся творча духовна діяльність людини і, що між ними розміщується все, що людство створило у галузі науки та мистецтва."
Г. Нейгауз
Здавалося б, мистецтво - дуже абстрактна від математики область. Однак зв'язок математики та музики обумовлений як історично, так і внутрішньо, незважаючи на те, що математика - найабстрактніша з наук, а музика - найбільш абстрактний вид мистецтва.
Консонанс визначає приємне для слуху звучання струни
В основі цієї музичної системи були два закони, які носять імена двох великих учених – Піфагора та Архіта. Ось ці закони:
1. Дві струни, що звучать, визначають консонанс, якщо їх довжини відносяться як цілі числа, що утворюють трикутне число 10=1+2+3+4, тобто. як 1:2, 2:3, 3:4. Причому чим менше число n щодо n:(n+1) (n=1,2,3), тим співзвучніше виходить інтервал.
2. Частота коливання w струни, що звучить, назад пропорційна її довжині l .
w = a: l ,
де а - коефіцієнт, що характеризує Фізичні властивостіструни.

Так само запропоную вашому слухаю кумедну пародію про суперечку двох математиків =)

Геометрія навколо нас

Геометрія в нашому житті має важливе значення. Зважаючи на те, що коли озирнутися навколо, то не важко буде помітити, що нас оточують різні геометричні фігури. Ми з ними стикаємося всюди: на вулиці, у класі, вдома, у парку, у спортивному залі, у шкільній їдальні, у принципі скрізь, де б ми з вами не знаходилися. Але темою сьогоднішнього уроку є суміжне вугілля. Тому давайте озирнемося довкола і спробуємо в цьому оточенні знайти кути. Якщо ви уважно подивіться у вікно, можете побачити, що деякі гілки дерева утворюють суміжні кути, а в перегородках на воротах можна помітити безліч вертикальних кутів. Наведіть приклади суміжних кутів, які ви спостерігаєте в навколишній обстановці.

Завдання 1.

1. Ось на столі на книжковій підставці стоїть книга. Який кут вона утворює?
2. А ось учень працює за ноутбуком. Який кут ви бачите тут?
3. Який кут утворює фоторамку на підставці?
4. Як ви вважаєте, чи можливо, щоб два суміжні кути були рівними?

Завдання 2.

Перед вами зображено геометричну фігуру. Що за фігура, назвіть її? А тепер назвіть усі суміжні кути, які ви можете побачити на цій геометричній фігурі.

Завдання 3.

Перед вами зображення малюнку та картини. Розгляньте їх уважно і скажіть, які види улову ви бачите на картині, а які кути на малюнку.

Розв'язання задач

Математичний диктант на повторення раніше вивченого матеріалу

Розв'яжіть завдання:

1. Чи може сума 3-х кутів, утворених під час перетину 2-х прямих, дорівнювати 100°? 370 °?
2. На малюнку знайдіть усі пари суміжних кутів. Нині ж вертикальних кутів. Назвіть ці кути.

3. Потрібно знайти кут, коли він утричі більше, ніж суміжний із ним.
4. Дві прямі перетнулися між собою. Внаслідок цього перетину утворилися чотири кути. Визначте величину будь-якого з них, за умови, що:

а) сума 2-х кутів із чотирьох 84°;
б) різниця 2-х кутів із них дорівнює 45°;
в) один кут у 4 рази менший за другий;
г) сума трьох із цих кутів дорівнює 290°.

Підсумок уроку

1. Назвіть кути, які утворюються під час перетину 2-х прямих?
2. Назвіть усі можливі пари кутів, що знаходяться на малюнку, та визначте їхній вигляд.

Домашнє завдання:

1. Знайдіть відношення градусних заходівсуміжних кутів, коли один з них на 54° більший за другий.
2. Знайдіть кути, які утворюються при перетині 2-х прямих, за умови, що один із кутів дорівнює сумі 2-х інших кутів, суміжних з ним.
3. Необхідно знайти суміжні кути, коли бісектриса одного з них утворює зі стороною другого кут, який більший за другий кут на 60°.
4. Різниця 2-х суміжних кутів дорівнює третині від суми цих двох кутів. Визначте величини 2-х суміжних кутів.
5. Різниця та сума 2-х суміжних кутів відносяться як 1: 5 відповідно. Знайдіть суміжні кути.
6. Різниця двох суміжних становить 25% від їхньої суми. Як ставляться величини двох суміжних кутів? Визначте величини 2-х суміжних кутів.

Запитання:

1. Що таке кут?
2. Які бувають типи кутів?
3. Яка особливість суміжних кутів?

Запитання 1.Які кути називаються суміжними?
Відповідь.Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.
На малюнку 31 кути (a 1 b) та (a 2 b) суміжні. Вони сторона b загальна, а сторони a 1 і a 2 є додатковими напівпрямими.

Запитання 2.Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Відповідь. Теорема 2.1.Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.
Доведення.Нехай кут (a 1 b) та кут (a 2 b) - дані суміжні кути (див. рис.31). Промінь b проходить між сторонами a 1 і 2 розгорнутого кута. Тому сума кутів (a 1 b) і (a 2 b) дорівнює розгорнутому куту, тобто 180 °. Що і потрібно було довести.

Запитання 3.Доведіть, що якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
Відповідь.

З теореми 2.1 слід, що й два кута рівні, то суміжні із нею кути рівні.
Допустимо, кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні. Нам потрібно довести, що кути (a 2 b) та (c 2 d) теж рівні.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. З цього випливає, що a 1 b + a 2 b = 180 ° і c 1 d + c 2 d = 180 °. Звідси, a 2 b = 180 ° - a 1 b і c 2 d = 180 ° - c 1 d. Оскільки кути (a 1 b) і (c 1 d) рівні, ми отримуємо, що a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. За якістю транзитивності знака рівності слідує, що a 2 b = c 2 d. Що і потрібно було довести.

Запитання 4.Який кут називається прямим (гострим, тупим)?
Відповідь.Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом.
Кут, менший за 90°, називається гострим кутом.
Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим.

Запитання 5.Доведіть, що кут, суміжний із прямим, є прямий кут.
Відповідь.З теореми сумі суміжних кутів випливає, що кут, суміжний з прямим кутом, є прямий кут: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Запитання 6.Які кути називаються вертикальними?
Відповідь.Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого.

Запитання 7.Доведіть, що вертикальні кути дорівнюють.
Відповідь. Теорема 2.2. Вертикальні кути рівні.
Доведення.Нехай (a 1 b 1) та (a 2 b 2)- дані вертикальні кути (рис. 34). Кут (a 1 b 2) є суміжним з кутом (a 1 b 1) та з кутом (a 2 b 2). Звідси по теоремі сумі суміжних кутів укладаємо, кожен із кутів (a 1 b 1) і (a 2 b 2) доповнює кут (a 1 b 2) до 180°, тобто. кути (a 1 b 1) та (a 2 b 2) рівні. Що і потрібно було довести.

Запитання 8.Доведіть, що якщо при перетині двох прямих один із кутів прямий, то інші три кути теж прямі.
Відповідь.Припустимо, що прямі AB та CD перетинають один одного в точці O. Припустимо, що кут AOD дорівнює 90°. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, отримуємо, що AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Кут COB вертикальний кут AOD, тому вони рівні. Тобто кут COB = 90 °. Кут COA вертикальний куті BOD, тому вони рівні. Тобто кут BOD = 90 °. Таким чином, усі кути дорівнюють 90°, тобто вони всі – прямі. Що і потрібно було довести.

Запитання 9.Які прямі називаються перпендикулярними? Який знак використовується для позначення перпендикулярності до прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Перпендикулярність прямих позначається знаком (perp). Запис (aperp b) читається: «Пряма a перпендикулярна прямий b».

Запитання 10.Доведіть, що через будь-яку точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і лише одну.
Відповідь. Теорема 2.3.Через кожну пряму можна провести перпендикулярну їй пряму і лише одну.
Доведення.Нехай a - дана пряма і A - дана точкана ній. Позначимо через a 1 одну із напівпрямих прямою a з початковою точкою A (рис. 38). Відкладемо від напівпрямої a 1 кут (a 1 b 1), що дорівнює 90 °. Тоді пряма, що містить промінь b 1 буде перпендикулярна прямий a.

Припустимо, що існує інша пряма, що теж проходить через точку A і перпендикулярна до прямої a. Позначимо через c 1 напівпряму цієї прямої, що лежить в одній напівплощині з променем b 1 .
Кути (a 1 b 1) і (a 1 c 1), рівні кожен 90°, відкладені в одну напівплощину від напівпрямої a 1 . Але від напівпрямої a 1 в дану напівплощину можна відкласти лише один кут, що дорівнює 90°. Тому не бути іншою прямою, що проходить через точку A і перпендикулярною до прямої a. Теорему доведено.

Запитання 11.Що таке перпендикуляр до прямої?
Відповідь.Перпендикуляром до цієї прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даної, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається основоюперпендикуляр.

Запитання 12.Поясніть, у чому полягає доказ протилежного.
Відповідь.Спосіб доказу, який ми застосували в теоремі 2.3, називається доказом протилежного. Цей спосіб доказу полягає в тому, що ми спочатку робимо припущення, протилежне тому, що затверджується теорема. Потім шляхом міркувань, спираючись на аксіоми та доведені теореми, приходимо до висновку, що суперечить умові теореми, або одній з аксіом, або доведеній раніше теоремі. На цій підставі укладаємо, що наше припущення було невірним, а отже, вірним є твердження теореми.

Запитання 13.Що називається бісектрисою кута?
Відповідь.Бісектриса кута називається промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл.