Кінці діагоналей чотирикутника є його. Короткий виклад та основні формули

Сьогодні розглянемо геометричну фігуру- Чотирикутник. З назви цієї фігури вже стає зрозуміло, що ця фігура має чотири кути. А ось інші властивості та характеристики цієї фігури ми розглянемо нижче.

Що таке чотирикутник

Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Площа чотирикутника дорівнює напівтвору його діагоналей та кута між ними.

Чотирьохкутник - це багатокутник із чотирма вершинами, три з яких не лежать на одній прямій.

Види чотирикутників

• Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
• Чотирьохкутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні, називається трапецією.
• Чотирьохкутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником.
• Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом.
• Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні та всі кути прямі, називається квадратом.

Чотирьохкутник може бути:

Самоперетинається

Невипуклим

Випуклим

Чотирикутник, що самоперетинається- це чотирикутник, у якого будь-які його сторони мають точку перетину (на малюнку синім кольором).

Неопуклий чотирикутник- це чотирикутник, в якому один із внутрішніх кутівбільше 180 градусів (на малюнку позначений оранжевим кольором).

Сума кутівбудь-якого чотирикутника, який не є самопересічний завжди дорівнює 360 градусів.

Особливі види чотирикутників

Чотирикутники можуть мати додатковими властивостями, утворюючи особливі видигеометричних фігур:

• Паралелограм
• Прямокутник
• Квадрат
• Трапеція
• Дельтоїд
• Контрпаралелограм

Чотирикутник та коло

Чотирьохкутник, описаний навколо кола (коло, вписане в чотирикутник).

Головна властивість описаного чотирикутника:

Чотирикутник можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторінрівні.

Чотирьохкутник, вписаний у коло (коло, описане навколо чотирикутника)

Головна властивість вписаного чотирикутника:

Чотирикутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми протилежних кутівдорівнюють 180 градусів.

Властивості довжин сторін чотирикутника

Модуль різниці двох сторін чотирикутникане перевищує суми двох інших сторін.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d | ≤ a + b

| c - d | ≤ a + b

Важливо. Нерівність правильна для будь-якої комбінації сторін чотирикутника. Малюнок наведено виключно полегшення сприйняття.

У будь-якому чотирикутнику сума довжин трьох його сторін не менша за довжину четвертої сторони.

Важливо. При вирішенні завдань у межах шкільної програмиможно використовувати сувора нерівність (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Випуклий чотирикутник – це фігура, що складається з чотирьох сторін, з'єднаних між собою у вершинах, що утворюють разом із сторонами чотири кути, при цьому сам чотирикутник завжди знаходиться в одній площині щодо прямої, на якій лежить одна з сторін. Іншими словами, вся фігура знаходиться по одну сторону від будь-якої сторони.

Як видно, визначення досить легко запам'ятовується.

Основні властивості та види

До опуклих чотирикутників можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Можна виділити такі:

1. паралелограм;
2. квадрат;
3. прямокутник;
4. трапеція;
5. ромб.

Всі ці постаті поєднує не лише те, що вони чотирикутні, а й те, що вони ще й опуклі. Достатньо просто розглянути схему:

На малюнку зображена опукла трапеція. Тут видно, що трапеція знаходиться на одній площині або з одного боку від відрізка . Якщо провести аналогічні дії, можна з'ясувати, що і у випадку з усіма іншими сторонами трапеція опукла.

Чи є паралелограм опуклим чотирикутником?

Вище показано зображення паралелограма. Як видно з малюнка, паралелограм також є опуклим. Якщо подивитися на фігуру щодо прямих, на яких лежать відрізки AB, BC, CD і AD, стає зрозуміло, що вона завжди знаходиться на одній площині від цих прямих. Основними ознаками паралелограма і те, що його сторони попарно паралельні і рівні як і, як і протилежні кути рівні між собою.

Тепер, уявіть квадрат або прямокутник. За своїми основними властивостями є ще й паралелограмами, тобто всі їхні сторони розташовані попарно паралельно. Тільки у випадку прямокутника довжина сторін може бути різною, а кути прямі (рівні 90 градусам), квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні і кути також прямі, а у паралелограма довжини сторін і кути можуть бути різними.

У підсумку сума всіх чотирьох кутів чотирикутника має дорівнювати 360 градусам. Найлегше це визначити по прямокутнику: всі чотири кути прямокутника прямі, тобто дорівнюють 90 градусам. Сума цих 90-градусних кутів дає 360 градусів, тобто, якщо скласти 90 градусів 4 рази, вийде необхідний результат.

Властивість діагоналей опуклого чотирикутника

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, досить поглянути на малюнок:

На малюнку зліва зображено неопуклий чотирикутник або чотиристоронник. Як завгодно. Як видно, діагоналі не перетинаються, принаймні не всі. Праворуч зображено опуклий чотирикутник. Тут вже спостерігається якість діагоналей перетинатися. Це властивість вважатимуться ознакою опуклості чотирикутника.

Інші властивості та ознаки опуклості чотирикутника

Саме з цього терміну дуже складно назвати певні властивості і ознаки. Легше відокремити за різними видами чотирикутників такого типу. Почати можна з паралелограма. Ми вже знаємо, що це чотирикутна постать, сторони якої попарно паралельні та рівні. При цьому, сюди включається властивість діагоналей паралелограма перетинатися між собою, а також сама по собі ознака опуклості фігури: паралелограм знаходиться завжди в одній площині і по один бік щодо будь-якої зі своїх сторін.

Отже, відомі основні ознаки та властивості:

1. сума кутів чотирикутника дорівнює 360 градусів;
2. діагоналі фігур перетинаються в одній точці.

Прямокутник. Ця фігура має ті самі властивості й ознаки, як і паралелограм, та заодно всі кути його дорівнюють 90 градусам. Звідси і назва прямокутник.

Квадрат, той же паралелограмале кути його прямі як у прямокутника. Через це квадрат у поодиноких випадках називають прямокутником. Але головним відмітним ознакою квадрата крім перелічених вище, і те, що це чотири його боку рівні.

Трапеція – дуже цікава постать. Це також чотирикутник і теж опуклий. У цій статті трапеція розглядалася на прикладі малюнка. Зрозуміло, що вона також опукла. Головною відмінністю, а відповідно ознакою трапеції є те, що її сторони можуть бути абсолютно не рівними один одному за довжиною, а також її кути за значенням. При цьому фігура завжди залишається на одній площині відносно будь-якої з прямих, яка з'єднує будь-які дві її вершини по відрізкам, що утворюють фігуру.

Ромб – не менш цікава фігура. Частково ромбом можна вважати квадрат. Ознакою ромба є те що, що його діагоналі як перетинаються, а й ділять кути ромба навпіл, самі діагоналі перетинаються під прямим кутом, тобто, вони перпендикулярні. Якщо довжини сторін ромба рівні, то діагоналі теж діляться навпіл при перетині.

Дельтоїди або опуклі ромбоїди (ромби)можуть мати різну довжину сторін. Але при цьому все одно зберігаються як основні властивості та ознаки самого ромба, так і ознаки та властивості опуклості. Тобто ми можемо спостерігати, що діагоналі ділять кути навпіл і перетинаються під прямим кутом.

Сьогоднішнім завданням було розглянути і зрозуміти, що таке опуклі чотирикутники, які вони бувають та їх основні ознаки та властивості. Увага! Ще раз нагадає, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусам. Периметр фігур, наприклад, дорівнює сумі довжин всіх відрізків, що утворюють фігуру. Формули розрахунку периметра та площі чотирикутників будуть розглянуті у наступних статтях.

Інструкція

Визначимо довжину діагоналі прямокутника зі сторонами 3 та 4 см.

Знаходимо суму квадратів сторін прямокутника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Витягти з отриманого результату квадратний корінь – довжина діагоналі 5 см.

Відео на тему

Зверніть увагу

Діагоналі прямокутника рівні. Якщо знайдено довжину однієї, то довжина другої буде абсолютно такою самою.

Джерела:

• як знайти довжину діагоналі у прямокутнику

Квадрат – красива та проста плоска геометрична фігура. Це прямокутник із рівними сторонами. Як же знайти діагональ квадратаякщо відома довжина його сторони?

Інструкція

довжина діагоналі квадратадорівнює довжині його сторони помноженої на дві.

Відео на тему

Корисна порада

Якщо точність математичного результату не дуже важлива, замість кореня з двох можна використовувати його приблизне значення 1,41.

Порада 6: Як знайти діагональ паралелограма, якщо дані сторони

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні. Прямі, що з'єднують його протилежні кути, називаються діагоналями. Їхня довжина залежить не тільки від довжин сторін фігури, а й від величин кутів у вершинах цього багатокутника, тому без знання хоча б одного з кутів обчислити довжини діагоналей можна лише у виняткових випадках. Такими є окремі випадки паралелограма - квадрат і прямокутник.

Інструкція

Якщо довжини всіх сторін паралелограма однакові (a), то цю фігуру можна назвати ще квадратом. Величини всіх його кутів 90°, а довжини діагоналей (L) однакові можуть бути розраховані за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника. Помножте довжину сторони на корінь із двійки - результат і буде довжиною кожної його діагоналей: L=a*√2.

Якщо про паралелограм відомо, що він прямокутником із зазначеними в довжиною (a) і шириною (b), то і в цьому випадку довжини діагоналей (L) будуть рівні. І тут також задіяйте теорему Піфагора для трикутника, в якому гіпотенузою є діагональ, а катетами – дві суміжні сторони чотирикутника. Шукану величину розрахуйте вилученням кореня зі зведених квадрат і прямокутника: L=√(a²+b²).

Для решти випадків знання одних лише довжин сторін вистачить лише величини, що включає у собі довжини одночасно обох діагоналей - сума їх квадратів за визначенням дорівнює подвоєної сумі квадратів довжин сторін. Якщо ж до довжин двох суміжних сторін паралелограма (a і b) відомий ще й кут між ними (γ), то це дозволить розрахувати довжини кожного відрізка, що з'єднує протилежні кути . Довжину діагоналі (L₁), що лежить навпроти відомого кута, знайдіть за теоремою косінусів - складіть квадрати довжин суміжних сторін, від результату відніміть добуток цих же довжин на косинус кута між ними, а з отриманої величини витягніть квадратний корінь: L₁ = √(a²+b -2 * a * b * cos (γ)). Для знаходження довжини іншої діагоналі (L₂) можна скористатися властивістю паралелограма, наведеною на початку цього кроку - подвайте суму квадратів довжин двох сторін, від результату відніміть квадрат вже розрахованої діагоналі, а з отриманого значення вийміть корінь. Загалом цю формулу можна записати так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²- a²-b²+2*a*b*cos(γ) = √(2*a*b*cos(γ)).

Джерела:

• як знайти довжину діагоналі паралелограма

Можна назвати паралелограм, діагоналі якого ділять навпіл кути, що лежать у вершинах фігури. Крім цієї властивості діагоналі ромбапримітні тим, що є осями симетрії багатокутника, що перетинаються тільки під прямим кутом, а єдина загальна точка ділить кожну з них на два рівні відрізки. Ці властивості дозволяють легко розрахувати довжину однієї з діагоналей, якщо відома довжина іншої та ще якийсь параметр фігури - розмір сторони, кут в одній з вершин, площа тощо.

Інструкція

Якщо крім довжини однієї з (l) про чотирикутник, що розглядається, відомо, що він окремим випадком ромба- квадратом, жодних розрахунків робити не доведеться. І тут довжини обох діагоналей - просто прирівняйте шукану величину (L) до відомої: L=l.

Знання довжини сторони ромба(a) на додаток до довжини однієї з діагоналей (l) дозволить довжину іншої (L) за теоремою Піфагора. Це тому, що дві половини діагоналі, що перетинаються, утворюють зі стороною ромбапрямокутний трикутник. Половини діагоналей у ньому є катетами, а сторона - гіпотенузою, тому рівність, що з теореми Піфагора записати так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для використання в розрахунках перетворіть його на такий вид: L = √(4*a²-l²).

За відомої величини одного з кутів (α) ромбаі довжині однієї з діагоналей (l) для знаходження величини іншої (L) розгляньте той самий прямокутний трикутник. Тангенс половини відомого кута в ньому відношенню довжини протилежного катета - половини діагоналі l - до прилеглого - половині діагоналі L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Тому для необхідної величини використовуйте формулу L = l/tg(α/2).

Якщо за умов завдання наведена довжина периметра (P) ромбаі розмір діагоналі (l), формулу обчислення довжини другий (L) можна звести до рівності, використаному в другому кроці. Для цього розділіть периметр на четвірку і замініть цим виразом довжину сторони: L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

У вихідних умовах крім довжини однієї з діагоналей (l) може бути наведена площа (S) фігури. Тоді для обчислення довжини другої діагоналі ромба(L) використовуйте дуже простий алгоритм - подвійте площу та розділіть отримане значення на довжину відомої діагоналі: L = 2*S/l.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

У шкільній програмі під час уроків геометрії доводиться мати справу з різноманітними видами чотирикутників: ромбами, паралелограмами, прямокутниками, трапеціями, квадратами. Найпершими фігурами для вивчення стають прямокутник та квадрат.

Отже, що таке прямокутник? Визначення для 2 класу загальноосвітньої школи виглядатиме так: це чотирикутник, у якого всі чотири кути прямі. Нескладно уявити собі, як виглядає прямокутник: це постать з 4 прямими кутами та сторонами, попарно паралельними один одному.

Як зрозуміти, вирішуючи чергове геометричне завдання, з яким саме чотирикутником ми маємо справу? Існують три основні ознаки, За якими можна безпомилково визначити, що йдеться саме про прямокутник. Назвемо їх:

• фігура є чотирикутником, три кути якого дорівнюють 90°;
• представлений чотирикутник - це паралелограм із рівними діагоналями;
• паралелограм, який має принаймні один прямий кут.

Цікаво знати: що таке опуклий, його особливості та ознаки.

Оскільки прямокутник - це паралелограм (тобто чотирикутник з попарно паралельними протилежними сторонами), то для нього виконуватимуться всі його властивості та ознаки.

Формули для обчислення довжини сторін

У прямокутникупротилежні сторони рівні та взаємно паралельні. Довшу сторону прийнято називати довжиною (позначається a), більш коротку - шириною (позначається b). У прямокутнику на зображенні довжинами є сторони AB і CD, а завширшки - AC і B. D. Також вони перпендикулярні до основ (тобто є висотами).

Для знаходження сторін можна скористатися формулами, наведеними нижче. Вони прийняті умовні позначення: a - довжина прямокутника, b - його ширина, d - діагональ (відрізок, що з'єднує вершини двох кутів, що лежать один навпроти одного), S - площа фігури, P - периметр, α - кут між діагоналлю і довжиною, β – гострий кут, утворений обома діагоналями. Способи знаходження довжин сторін:

• З використанням діагоналі та відомої сторони: a = √(d ² – b ²), b = √(d ² – a ²).
• За площею фігури та однією з її сторін: a = S/b, b = S/a.
• За допомогою периметра та відомої сторони: a = (P – 2 b) / 2, b = (P – 2 a) / 2.
• Через діагональ і кут між нею та довжиною: a = d sinα, b = d cosα.
• Через діагональ та кут β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметр та площа

Периметром чотирикутника називаютьсуму довжин усіх його сторін. Щоб обчислити периметр, можна використовувати такі формулы:

• Через обидві сторони: P = 2 (a + b).
• Через площу і одну зі сторін: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Площа – це простір, обмежений периметром. Три основні способи для розрахунку площі:

• Через довжини обох сторін: S = a * b.
• За допомогою периметра та якоїсь однієї відомої сторони: S = (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2 b?) / 2.
• По діагоналі та куту β: S = 0,5 d ² sinβ.

У завданнях шкільного курсу математики часто потрібно добре володіти властивостями діагоналей прямокутника. Перерахуємо основні з них:

1. Діагоналі рівні один одному і діляться на два рівні відрізки в точці їх перетину.
2. Діагональ визначається як корінь суми обох сторін, зведених у квадрат (випливає з теореми Піфагора).
3. Діагональ розділяє прямокутник на два трикутники із прямим кутом.
4. Точка перетину збігається з центром описаного кола, а самі діагоналі - з її діаметром.

Застосовуються такі формули для розрахунку довжини діагоналі:

• З використанням довжини та ширини фігури: d = √(a ² + b ²).
• З використанням радіуса кола, описаного навколо чотирикутника: d = 2 R.

Визначення та властивості квадрата

Квадрат - це окремий випадок ромба, паралелограма або прямокутника. Його відмінність від цих фігур полягає в тому, що всі його кути прямі і всі чотири сторони рівні. Квадрат – це правильний чотирикутник.

Чотирикутник називають квадратом у таких випадках:

1. Якщо це прямокутник, у якого довжина і ширина b рівні.
2. Якщо це ромб із рівними довжинами діагоналей та з чотирма прямими кутами.

До властивостей квадрата відносяться всі раніше розглянуті властивості, що належать до прямокутника, а також:

1. Діагоналі перпендикулярні один до одного (властивість ромба).
2. Точка перетину збігається з центром вписаного кола.
3. Обидві діагоналі ділять чотирикутник на чотири однакові прямокутні і рівнобедрені трикутники.

Наведемо часто використовувані формули для обчислення периметра, площі та елементів квадрата:

• Діагональ d = a √2.
• Периметр P=4 a.
• Площа S = a?.
• Радіус описаного кола вдвічі менший від діагоналі: R = 0,5 a √2.
• Радіус вписаного кола визначається як половинна довжина сторони: r = a/2.

Приклади питань та завдань

Розберемо деякі питання, з якими можна зіткнутися щодо курсу математики у шкільництві, і вирішимо кілька простих завдань.

Завдання 1. Як зміниться площа прямокутника, якщо збільшити довжину його сторін утричі?

Рішення : Позначимо площу вихідної фігури S0, а площу чотирикутника з потрійною довжиною сторін - S1. За формулою, розглянутою раніше, одержуємо: S0 = ab. Тепер збільшимо довжину та ширину в 3 рази і запишемо: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Порівнюючи S0 і S1, стає очевидно, що друга площа більша за першу в 9 разів.

Питання 1. Чотирикутник із прямими кутами - це квадрат?

Рішення : З визначення випливає, що фігура з прямими кутами є квадратом лише тоді, коли довжини всіх сторін дорівнює. За інших випадках фігура є прямокутником.

Завдання 2. Діагоналі прямокутника утворюють кут 60 градусів. Ширина прямокутника - 8. Розрахувати, чому дорівнює діагональ.

Рішення:Згадаймо, що діагоналі точкою перетину поділяються навпіл. Таким чином, маємо справу з рівнобедреним трикутником з кутом при вершині, що дорівнює 60°. Так як трикутник рівнобедрений, то кути, що знаходяться при підставі, теж будуть однакові. Шляхом нескладних обчислень отримуємо, кожен із них дорівнює 60°. Звідси випливає, що трикутник є рівностороннім. Ширина, відома нам, є основою трикутника, отже, половина діагоналі теж дорівнює 8, а довжина цілої діагоналі вдвічі більша і дорівнює 16.

Запитання 2. У прямокутника всі сторони рівні чи ні?

Рішення : Достатньо згадати, що всі сторони повинні дорівнювати квадрату, який є окремим випадком прямокутника. У решті випадків достатня умова - це наявність мінімум 3 прямих кутів. Рівність сторін не є обов'язковою ознакою.

Завдання 3. Площа квадрата відома і дорівнює 289. Знайти радіуси вписаного та описаного кола.

Рішення : За формулами для квадрата проведемо такі розрахунки:

• Визначимо, до чого рівні основні елементи квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Підрахуємо, чому дорівнює радіус описаного навколо чотирикутника кола: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Знайдемо радіус вписаного кола: r = a/2 = 17/2 = 8,5.