Теорема про суму внутрішніх кутів. Сума кутів трикутника

Те, що «Сума кутів будь-якого трикутника в евклідовій геометрії дорівнює 180 градусів» можна просто запам'ятати. Якщо запам'ятати не просто, можна провести кілька експериментів для кращого запам'ятовування.

Експеримент перший

Накресліть на аркуші паперу кілька довільних трикутників, наприклад:

• з довільними сторонами;
• рівнобедрений трикутник;
• прямокутний трикутник.

Обов'язково користуйтеся лінійкою. Тепер потрібно вирізати отримані трикутники, роблячи це рівно за накресленими лініями. Зафарбуйте кути кожного трикутника кольоровим олівцем чи фломастером. Наприклад, у першому трикутники всі кути будуть червоними, у другому – синіми, третьому – зеленими. http://bit.ly/2gY4Yfz

Від першого трикутника відріжте всі 3 кути і з'єднайте вершинами їх в одну точку, так, щоб найближчі сторони кожного кута з'єднувалися. Як видно, три кути трикутника утворили розгорнутий кут, який дорівнює 180 градусів. Те саме проробіть з двома іншими трикутниками – результат буде той самий. http://bit.ly/2zurCrd

Експеримент другий

Чортимо довільний трикутник ABC. Вибираємо будь-яку вершину (наприклад, C) та через неї проводимо пряму DE, паралельну протилежному боці(АБ). http://bit.ly/2zbYNzq

Отримуємо таке:

1. Кути BAC і ACD рівні, як внутрішні нахресні відносно AC;
2. Кути ABC і BCE рівні, як внутрішні нахресні відносно BC;
3. Бачимо, що кути 1, 2 і 3 – кути трикутника, з'єднані в одній точці, утворили розгорнутий кут DCE, який дорівнює 180 градусів.

Теорема про суму кутів трикутника свідчить, що сума всіх внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °.

Нехай внутрішні кути трикутника дорівнюють a, b і c, тоді:

a + b + c = 180 °.

З цієї теорії можна дійти невтішного висновку, що сума всіх зовнішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 360°. Оскільки зовнішній кут є суміжним кутом із внутрішнім, їх сума дорівнює 180°. Нехай внутрішні кути трикутника рівні a, b і c, тоді зовнішні кути при цих кутах дорівнює 180 ° - a, 180 ° - b і 180 ° - c.

Знайдемо суму зовнішніх кутів трикутника:

180 ° - a + 180 ° - b + 180 ° - c = 540 ° - (a + b + c) = 540 ° - 180 ° = 360 °.

Відповідь: сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °; сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360 °.

1) Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Доведення

Нехай ABC" - довільний трикутник. Проведемо через вершину B пряму, паралельну до прямої AC (така пряма називається прямою Евкліда) . Зазначимо на ній точку D так, щоб точки A і D лежали по різні сторонипрямий BC.Кути DBC і ACB рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною BC з паралельними прямими AC і BD. Тому сума кутів трикутника при вершинах B і С дорівнює куту ABD. Сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів ABD та BAC. Так як ці кути внутрішні односторонні для паралельних AC і BD при січній AB, їх сума дорівнює 180°. Теорему доведено.
2) Зовнішнім кутом трикутника при цій вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині.

Теорема: Зовнішній кут трикутника дорівнює сумідвох кутів трикутника, не суміжних з ним

Доведення. Нехай ABC – це трикутник. За теоремою про суму кутів у трикутнику
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
звідси випливає
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорему доведено.

З теореми випливає:
Зовнішній кут трикутника більший за будь-який кут трикутника, не суміжного з ним.
3) Сума кутів трикутника = 180 градусів. Якщо один із кутів прямий (90 градусів) на два інших припадає теж 90. значить, кожен з них - менше 90 тобто вони - гострі. якщо один із кутів - тупий, то на два інших припадає менше 90 тобто вони явно гострі.
4) тупокутний – більше 90 градусів
гострокутний - менше 90 градусів
5) а. Трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90 градусів.
б. Катети та гіпотенуза
6) 6 °. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і назад: проти більшого куталежить велика сторона. Будь-який відрізок має одну і лише одну середину.
7) По теоремі Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отже гіпотенуза більша за кожного з катетів
8) --- те саме, що і 7
9) сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. а якби кожна сторона трикутника була б більшою за суму двох інших сторонон, то сума кутів була б більшою за 180, що неможливо. отже - кожна сторона трикутника менше сумидвох інших сторін.
10) Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів.
Оскільки цей трикутник прямокутний, то один з кутів у нього прямий, тобто дорівнює 90 градусів.
Отже, сума двох інших гострих кутівдорівнює 180-90 = 90 градусів.
11) 1. розглянемо прямокутний трикутник ABCв якому кут А - прямий, кут В = 30 градусам а кут С = 60. Прикладемо до трикутнику АВСрівний йому трикутник АВD. Отримаємо трикутні BCD у якому кут B = куту D = 60 градусів, отже DC = BC. Але з побудови АС 1/2 ВС, що й потрібно довести.2. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета дорівнює 30 градусів. Доведемо це. Розглянемо прямокутний трикутник АВС, у якого катет АС дорівнює половині гіпотенузи АС. Прикладемо до трикутника АВС рівниййому трикутник ABD. Отримає рівносторонній трикутник BCD. Кути рівностороннього трикутникарівні один одному (бо проти рівних строн лежать рівні кути), тому кожен із них = 60 градусів. Але кут DBC = 2 кута ABC, отже кут АВС = 30 градусів, що потрібно було довести.

Попередні відомості

Спочатку розглянемо безпосередньо поняття трикутника.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, Яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Теорема про суму кутів у трикутнику

Введемо та доведемо одну з основних теорем, пов'язану з трикутників, а саме теорему про суму кутів у трикутнику.

Теорема 1

Сума кутів у будь-якому довільному трикутнику дорівнює $180^\circ$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $EGF$. Доведемо, що сума кутів у цьому трикутнику дорівнює $180^\circ$. Зробимо додаткову побудову: проведемо пряму $XY||EG$ (рис. 2)

Так як прямі $XY$ і $EG$ паралельні, то $∠E=∠XFE$ як навхрест, що лежать при січній $FE$, а $∠G=∠YFG$ як навхрест, що лежать при січній $FG$

Кут $XFY$ буде розгорнутим, отже, дорівнює $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Отже

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорему доведено.

Теорема про зовнішній кут трикутника

Ще однією теоремою про суму кутів для трикутника можна вважати теорему про зовнішній кут. Спочатку введемо це поняття.

Визначення 4

Зовнішнім кутом трикутника називатимемо такий кут, який буде суміжним з будь-яким кутом трикутника (рис. 3).

Розглянемо тепер безпосередньо теорему.

Теорема 2

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, які є суміжним йому.

Доведення.

Розглянемо довільний трикутник $EFG$. Нехай має зовнішній кут трикутника $FGQ$ (рис. 3).

По теоремі 1 матимемо, що $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, отже,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Оскільки кут $FGQ$ зовнішній, він зміжний з кутом $∠G$, тоді

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорему доведено.

Приклад завдань

Приклад 1

Знайти усі кути трикутника, якщо він є рівностороннім.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, то матимемо, що всі кути в ньому також рівні між собою. Позначимо їх градусні заходичерез $?$.

Тоді, за теоремою 1 будемо отримувати

$α+α+α=180^\circ$

Відповідь: всі кути дорівнюють $60^\circ$.

Приклад 2

Знайти всі кути рівнобедреного трикутникаякщо один його кут дорівнює $100^\circ$.

Введемо такі позначення кутів у рівнобедреному трикутнику:

Оскільки нам не дано за умови, який саме кут дорівнює $100^\circ$, то можливі два випадки:

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут при основі трикутника.

По теоремі про кути при основі рівнобедреного трикутника отримаємо

$∠2=∠3=100^\circ$

Але тоді їх сума буде більше, ніж $180^\circ$, що суперечить умові теореми 1. Отже, цей випадок немає місця.

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут між рівними сторонами, тобто

Матеріали на цій сторінці є авторськими. Копіювання для розміщення на інших сайтах допускається лише за явної згоди автора та адміністрації сайту.

Сума кутів трикутника.

Смирнова І. Н., учитель математики.
Інформаційний проспект відкритого уроку.

Ціль методичного заняття: познайомити вчителів з сучасними методамита прийомами використання коштів ІКТ у різних видахнавчальної діяльності.
Тема урока:Сума кутів трикутника.
Ім'я уроку:"Знання тільки тоді знання, коли воно набуте зусиллями своєї думки, а не пам'яттю". Л. Н. Толстой.
Методичні новації, які будуть покладені в основу уроку.
На уроці будуть показані методи наукового дослідженняз використанням ІКТ (використання математичних експериментів як однієї з форм отримання нових знань; експериментальна перевірка гіпотез).
Оглядовий опис моделі уроку.
1. Мотивація вивчення теореми.
2. Розкриття змісту теореми в ході математичного експериментуіз використанням навчально-методичного комплекту «Жива математика».
3. Мотивація необхідності підтвердження теореми.
4. Робота над структурою теореми.
5. Пошук підтвердження теореми.
6. Доказ теореми.
7. Закріплення формулювання теореми та її докази.
8. Застосування теореми.

Урок з геометрії у 7 класі
за підручником «Геометрія 7-9»
на тему: "Сума кутів трикутника".

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу
Цілі уроку:
Освітні: довести теорему про суму кутів трикутника; отримати навички роботи із програмою «Жива математика», розвиток міжпредметних зв'язків.
Розвиваючі: вдосконалення умінь усвідомлено проводити такі прийоми мислення як порівняння, узагальнення та систематизація.
Виховні: виховання самостійності та вміння працювати відповідно до наміченого плану.
Обладнання: мультимедійний кабінет, Інтерактивна дошка, картки з планом практичної роботи, програма "Жива математика".


Структура уроку.

1. Актуалізація знань.
   1. Мобілізуючий початок уроку.
   2. Постановка проблемного завдання з метою мотивації вивчення нового матеріалу.
   3. Постановка навчальної задачі.
2. 1. Практична робота «Сума кутів трикутника».
   2. Доказ теореми про суму кутів трикутника.
3. 1. Розв'язання проблемної задачі.
   2. Розв'язання задач за готовими кресленнями.
   3. Підбиття підсумків уроку.
   4. Постановка домашнього завдання.

Хід уроку.

1. Актуалізація знань.

   План уроку:

   1. Експериментальним шляхом встановити та висунути гіпотезу про суму кутів будь-якого трикутника.
   2. Довести це припущення.
   3. Закріпити встановлений факт.
2. Формування нових знань та способів дій.
   1. Практична робота «Сума кутів трикутника».

      Учні сідають за комп'ютери і їм лунають картки із планом практичної роботи.

      Практична робота на тему «Сума кутів трикутника» (Зразок картки)

      Роздрукувати картку
      

      Учні здають результати практичної роботи та сідають за парти.
      Після обговорення результатів практичної роботи висувається гіпотеза у тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180°.
      Вчитель:Чому ми поки що не можемо стверджувати, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°.
      Учень:Не можна виконати ні абсолютно точних побудов, ні зробити абсолютно точного вимірунавіть на комп'ютері.
      Твердження, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, стосується лише розглянутих нами трикутників. Ми нічого не можемо сказати про інші трикутники, тому що їх кути ми не вимірювали.
      Вчитель:Правильніше було б сказати: розглянуті нами трикутники мають суму кутів приблизно 180°. Щоб переконатися в тому, що сума кутів трикутника точно дорівнює 180° і при тому для будь-яких трикутників, нам ще потрібно провести відповідні міркування, тобто довести справедливість твердження, підказаного нам досвідом.
      

   2. Доказ теореми про суму кутів трикутника.

      Учні відкривають зошити та записують тему уроку «Сума кутів трикутника».

      Робота над структурою теореми.

      Щоб сформулювати теорему, дайте відповідь на наступні питання:
      • Які трикутники використовувалися у процесі проведення вимірів?
      • Що входить до умови теореми (що дано)?
      • Що ми виявили під час вимірювання?
      • У чому полягає висновок теореми (що треба довести)?
      • Спробуйте сформулювати теорему про суму кутів трикутника.

      Побудова креслення та короткий запис теореми

      На цьому етапі учням пропонується зробити креслення та записати, що дано і що потрібно довести.

      Побудова креслення та короткий запис теореми.

      Дано: Трикутник ABC.
      Довести:
      + A + B + + C = 180 °.

      Пошук доказів теореми

      При пошуку докази слід спробувати розгорнути умову чи висновок теореми. У теоремі про суму кутів трикутника спроби розгорнути умову безнадійні, тому розумно зайнятися з учнями розгортанням укладання.
      Вчитель:У яких твердженнях йдеться про кути, сума величин яких дорівнює 180 °.
      Учень:Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
      Сума суміжних кутівдорівнює 180 °.
      Вчитель:Спробуємо докази використовувати перше твердження. У зв'язку з цим необхідно побудувати дві паралельні прямі та січну, але необхідно це зробити так, щоб найбільша кількістькутів трикутника стали внутрішніми чи входили до них. Як можна цього досягти?
      

      Пошук підтвердження теореми.

      

      Учень:Провести через одну з вершин трикутника пряму паралельну іншій стороні, тоді бічна сторонабуде січною. Наприклад, через вершину Ст.
      Вчитель:Назвіть внутрішні односторонні кути, що утворилися при цих прямих і січній.
      Учень:Кути DBA та ВАС.
      Вчитель:Сума яких кутів дорівнюватиме 180°?
      Учень: DBA і BAC.
      Вчитель:Що можна сказати про величину кута ABD?
      Учень:Його величина дорівнює сумі величин кутів ABCта СВК.
      Вчитель:Якого твердження нам не вистачає, щоби довести теорему?
      Учень:?DBC = ?ACB.
      Вчитель:Які це кути?
      Учень:Внутрішні навхрест лежать.
      Вчитель:На підставі чого ми можемо стверджувати, що вони є рівними?
      Учень:За властивістю внутрішніх навхрест лежачих кутів при паралельних прямих і січній.

      В результаті пошуку доказу складається план доказу теореми:
      

      План доказу теореми.

      1. Через одну з вершин трикутника провести пряму, паралельну протилежній стороні.
      2. Довести рівність внутрішніх навхрест лежачих кутів.
      3. Записати суму внутрішніх односторонніх кутів та виразити їх через кути трикутника.

      Доказ та його запис.

      
      1. Проведемо BD | АС (аксіома паралельних прямих).
      2. ?3 = ?4 (оскільки це навхрест кути, що лежать при BD || АС і січній ВС).
      3. ?А + ?АВD = 180° (оскільки це односторонні кути при BD || АС і січній АВ).
      4. ?А + ?АВD = ?1 + (? 2 + ?4) = ?1 + ?2 + ?

      Закріплення формулювання теореми та її докази.

      Для засвоєння формулювання теореми учням пропонується виконати наступні завдання:

      1. Сформулюйте теорему, яку ми щойно довели.
      2. Виділіть умову та висновок теореми.
      3. До яких фігур застосовна теорема?
      4. Сформулюйте теорему зі словами «якщо … то…».
3. Застосування знань, формування умінь та навичок.