Знаходження сторін паралелограма. Дослідницький проект "паралелограм та його властивості"

У якого протилежні сторони є паралельними, тобто лежать на паралельних прямих. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб.

Властивості

Протилежні сторони паралелограма рівні.
Протилежні кути паралелограма рівні.
Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 ° (за властивістю паралельних прямих).
Діагоналі паралелограма перетинаються, і точка перетину ділить їх навпіл: $\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|$ .
Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
Паралелограм діагоналлю поділяється на два рівні трикутники.
Середні лінії паралелограма перетинаються у точці перетину його діагоналей. У цій точці дві його діагоналі і дві його середні лінії діляться навпіл.
Тотожність паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його двох суміжних сторін: нехай а - довжина сторони AB, b - довжина сторони BC, $d_1$ і $d_2$ - Довжини діагоналей; тоді $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Тотожність паралелограма є простим наслідком формули Ейлера для довільного чотирикутника : квадрат квадрат відстані між серединами діагоналей дорівнює суміквадратів сторін чотирикутника мінус сума квадратів його діагоналей. У паралелограма протилежні сторони рівні, а відстань між серединами діагоналей дорівнює нулю.

Афінне перетворення завжди переводить паралелограм у паралелограм. Для будь-якого паралелограма існує афінне перетворення, яке відображає їх у квадрат.

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов (у цьому випадку виконуються і всі інші):

У чотирикутника без самоперетинів дві протилежні сторони одночасно рівні та паралельні: $AB = CD, AB \parallel CD$ .
Усе протилежні кутипопарно рівні: $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$ .
У чотирикутника без самоперетинів усі протилежні сторони попарно рівні: $AB = CD, BC = DA$ .
Усі протилежні сторони попарно паралельні: $AB \parallel CD, BC \parallel DA$ .
Діагоналі діляться в точці їх перетину навпіл: $AO = OC, BO = OD$ .
Сума сусідніх кутів дорівнює 180 градусів: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\ circ$ .
Сума відстаней між серединами протилежних сторінопуклого чотирикутника дорівнює його напівпериметру.
Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів сторін опуклого чотирикутника: $AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ .

Площа паралелограма

Тут наведено формули, властиві саме паралелограму. також формули для площі довільних чотирикутників.

Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту:

$S = ah$ , де $a$ - сторона, $h$ - Висота, проведена до цієї сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними:

$S = ab\sin \alpha$ , де $a$ і $b$ - Боки, а $\alpha$ - Кут між сторонами a і b.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Паралелограм"

Примітки

За кількістю сторін

Правильні

Трикутники

Чотирикутники

Див. також

Уривок, що характеризує Паралелограм

- Лікар каже, що немає небезпеки, - сказала графиня, але в той час, як вона говорила це, вона зітхнувши підняла очі догори, і в цьому жесті був вираз, який суперечив її словам.
- Де він? Чи можна його бачити, можна? - Запитала княжна.
- Зараз, княжна, зараз, мій друже. Це його син? - Сказала вона, звертаючись до Миколушці, який входив з Десалем. - Ми всі помістимося, будинок великий. О, який чарівний хлопчик!
Графиня ввела князівну у вітальню. Соня розмовляла з m lle Bourienne. Графиня пестила хлопчика. Старий граф увійшов до кімнати, вітаючи князівну. Старий граф надзвичайно змінився з того часу, як його останній разбачила князівна. Тоді він був жвавий, веселий, самовпевнений дідок, тепер він здавався жалюгідною, загубленою людиною. Він, говорячи з княжною, безперестанку оглядався, ніби питаючи у всіх, чи він робить, що треба. Після руйнування Москви та його маєтку, вибитий зі звичної колії, він, мабуть, знепритомнів свого значення і відчував, що йому вже немає місця в житті.
Незважаючи на те хвилювання, в якому вона перебувала, незважаючи на одне бажання скоріше побачити брата і на досаду за те, що в цю хвилину, коли їй одного хочеться - побачити його, - її займають і вдавано хвалять її племінника, княжна помічала все, що робилося навколо неї, і відчувала необхідність на якийсь час підкоритися цьому новому порядку, в який вона вступала. Вона знала, що все це необхідно, і їй це було важко, але вона не досадувала на них.
- Це моя племінниця, - сказав граф, уявляючи Соню, - ви не знаєте її, князівна?
Княжна повернулася до неї і, намагаючись загасити вороже почуття до цієї дівчини, що піднялося в її душі, поцілувала її. Але їй ставало важко від того, що настрій усіх оточуючих був такий далекий від того, що був у її душі.
- Де він? - спитала вона ще раз, звертаючись до всіх.
- Він унизу, Наташа з ним, - відповіла Соня, червоніючи. - Пішли довідатися. Ви, я думаю, втомилися, княжна?
У княжни виступили на очі сльози досади. Вона відвернулась і хотіла знову спитати у графині, де пройти до нього, як у дверях почулися легкі, стрімкі, наче веселі кроки. Княжна озирнулася і побачила Наташу, що майже вбігала, ту Наташу, яка в те давнє побачення в Москві так не сподобалася їй.
Але не встигла княжна глянути на обличчя цієї Наталки, як вона зрозуміла, що це був її щирий товариш по горю, і тому її друг. Вона кинулася їй назустріч і, обійнявши її, заплакала на її плечі.
Як тільки Наташа, що сиділа біля князя Андрія, дізналася про приїзд княжни Мар'ї, вона тихо вийшла з його кімнати тими швидкими, як здалося княжне Мар'ї, ніби веселими кроками і побігла до неї.
На схвильованому обличчі її, коли вона вбігла в кімнату, був тільки один вираз - вираз любові, безмежної любові до нього, до неї, до всього того, що було близько коханій людині, вираження жалю, страждання за інших і пристрасного бажання віддати себе всю для того, щоб допомогти їм. Видно було, що цієї хвилини жодної думки про себе, про свої стосунки до нього не було в душі Наташі.
Чуйна княжна Мар'я з першого погляду на обличчя Наташі зрозуміла все це і з сумною насолодою плакала на її плечі.
- Ходімо, ходімо до нього, Марі, - промовила Наталка, відводячи її в іншу кімнату.
Княжна Мар'я підняла обличчя, витерла очі й звернулася до Наталки. Вона відчувала, що від неї все зрозуміє і дізнається.

При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмата відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:

Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
Бісектриси внутрішніх кутівпаралелограма, що прилягають до однієї зі сторін, взаємно перпендикулярні
Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.

Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.

Завдання 1.

Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.

Рішення.

1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.

2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.

3. АD = АМ + МD = 7 див.

4. Периметр АВСD = 20 див.

Відповідь. 20 див.

Завдання 2.

У опуклому чотирикутникуАВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнюють. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.

Рішення.

1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Точки В і С розташовані по одну сторону щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)

3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL = BK.

4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону щодо прямої CD. АL = BK. Отже, пряма АВ|| СD (**)

5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.

Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.

Завдання 3.

На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,

Рішення.

1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. У прямокутному трикутнику DНС
(
Тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).

Але CD = АВ. Тоді АВ: НD = 2:1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Відповідь: АВ: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Завдання 4.

Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 про. Знайти другу діагональ.

Рішення.

1. АТ = 2√6.

2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів.

АТ/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про.

ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Відповідь: 12.

Завдання 5.

У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей.

Рішення.

Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф.

1. Порахуємо двома різними
способами його площу.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Складемо систему:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140).

Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим.

Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24.

Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24.

Відповідь: 24.

Завдання 6.

Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма.

Рішення.

1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями.

АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогічно запишемо співвідношення трикутника АОD.

Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Маємо систему
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).

Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей.

Відповідь: 10.

Завдання 7.

Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі.

Рішення.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу.

Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5.

2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5.

3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Відповідь: 145.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор за найкориснішими ресурсами для

1. Паралелограм

Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.

Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:

Перетнули ще двома:

І ось всередині - паралелограм!

Які є властивості у паралелограма?

Властивості паралелограма.

Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?

На це запитання відповідає така теорема:

Давай намалюємо докладно.

Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно

Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:

Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:

Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання завдання, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.

А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?

На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Увага! Починаємо.

Паралелограм.

Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.

2. Прямокутник

Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що

Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?

Звісно, є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?

А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Але є у прямокутника і одна відмінна властивість.

Властивість прямокутника

Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.

Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.

3. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

як навхрест лежачі

як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

Протилежні сторони рівні: , .

Протилежні кути дорівнюють: , .

Кути з одного боку становлять у сумі: , .

Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

Діагоналі прямокутника дорівнюють: .

Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

Діагоналі ромба перпендикулярні: .

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .

Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Паралелограм- Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.
У цій фігурі протилежні сторони та кути рівні між собою. Діагоналі паралелограма перетинаються в одній точці та діляться їй навпіл. Формули площі паралелограма дозволяють знайти значення через сторони, висоту та діагоналі. Паралелограм також може бути представлений у окремих випадках. Ними вважаються прямокутник, квадрат та ромб.
Для початку розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма за висотою та стороною, до якої вона опущена.

Цей випадок вважається класичним і вимагає додаткового розгляду. Краще розглянемо формулу обчислення площі через дві сторони та кут між ними. Той самий спосіб застосовується у розрахунку . Якщо дано сторони та кут між ними, то площа розраховується так:

Припустимо, дано паралелограм зі сторонами a = 4 см, b = 6 см. Кут між ними α = 30 °. Знайдемо площу:

Площа паралелограма через діагоналі

Формула площі паралелограма через діагоналі дозволяє швидко знайти значення.
Для обчислень знадобиться величина кута, розташованого між діагоналями.

Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма через діагоналі. Нехай дано паралелограм із діагоналями D = 7 см, d = 5 см. Кут, що лежить між ними α =30°. Підставимо дані у формулу:

Приклад розрахунку площі паралелограма через діагональ дав чудовий результат – 8,75.

Знаючи формулу площі паралелограма через діагональ, можна вирішувати безліч цікавих завдань. Давайте розглянемо одну з них.

Завдання:Дано паралелограм із площею 92 кв. див. Точка F розташована на середині його боку ПС. Давайте знайдемо площу трапеції ADFB, яка лежатиме в нашому паралелограмі. Спочатку намалюємо все, що отримали за умовами.
Приступаємо до вирішення:

За нашими умовами ah = 92, а відповідно, площа нашої трапеції дорівнюватиме