Ортогональна система векторів. Повна система функцій

Рівно нулю:

Ортогональна система у разі її повноти може бути використана як базис простору. У цьому розкладання будь-якого елемента може бути обчислено за формулами: , де .

Випадок, коли норма всіх елементів називається ортонормованої системою .

Ортогоналізація

Будь-яка повна лінійно незалежна системау кінцевому просторі є базисом. Від простого базису, отже, можна перейти до ортонормованого базису.

Ортогональне розкладання

При розкладанні векторів простору за ортонормованим базисом спрощується обчислення скалярного твору: , де і .

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Ортогональна система" в інших словниках:

1) Про … Математична енциклопедія

- (отгреч. orthogonios прямокутний) кінцева або лічильна система фцій, що належать (сепарабельному) гільбертовому простору L2(a,b)(квадратично інтегрованих фцій) і задовольняють умовам Фція g(x)наз. вагою О. с. ф., * означає ... ... Фізична енциклопедія

Система функцій??n(х)?, n=1, 2,..., заданих на відрізку ОРТОГОНАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ лінійне перетворенняевклідова векторного простору, Що зберігає незмінними довжини або (що еквівалентно цьому) скалярні творивекторів … Великий Енциклопедичний словник

Система функцій (φn(х)), n = 1, 2, ..., заданих на відрізку [а, b] і задовольняють наступній умові ортогональності: при k≠l де ρ(х) деяка функція, звана вагою. Наприклад, тригонометрична система 1, sin х, cos х, sin 2х, … Енциклопедичний словник

Система фцій ((фn(х)), п=1, 2, ..., заданих на відрізку [а, b] і задовольняють слід, умові ортогональності при k не дорівнює l, де р(х) нек рая фція , назвою вагою Напр., тригонометрична система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф з вагою… Природознавство. Енциклопедичний словник

Система функцій ((φn (x)), n = 1, 2,..., ортогональних з вагою ρ (х) на відрізку [а, b], тобто таких, що Приклади. Тригонометрична система 1 cos nx, sin nx; n = 1, 2, ..., О. с. ф. з вагою 1 на відрізку [π, π]. Бесселя … Велика Радянська Енциклопедія

Ортогональними називаються координати, в яких метричний тензор має. діагональний вигляд. де d У ортогональних системах координат q = (q1, q², …, qd) координатні поверхні ортогональні одна одній. Зокрема, у декартовій системікоординат… … Вікіпедія

ортогональна багатоканальна система- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїзагалом EN ortogonal multiplex …

система координат (фотограмметричного) знімка- Права ортогональна просторова системакоординат, що фіксується на фотограмметричному знімкузображеннями координатних позначок. [ДЕРЖСТАНДАРТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрія … Довідник технічного перекладача

система- 4.48 система (system): Комбінація взаємодіючих елементів, організованих задля досягнення однієї чи кількох поставлених цілей. Примітка 1 Система може розглядатися як продукт або послуги, які він надає. Примітка 2 На практиці… … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

x = 0 e + z , де z L . Для обчислення 0 помножимо скалярно обидві частини рівності на . Так як (z, e) = 0, отримаємо (x, e) = λ0 (e, e) = λ0.

Ортогональні та ортонормовані системи

Визначення 5.5. Якщо L – підпростір гільбертового простору H , то сукупність M всіх елементів з H , ортогональних к L , називається

ортогональним доповненням до L .

Доведемо, що M – теж підпростір.

1) З якості 3) для ортогональних елементів випливає, що M - лінійне підмножина простору H .

2) Нехай z n M і z n → z . За визначенням M z n y для будь-якого y L , а за властивістю 4) для ортогональних елементів маємо z y . Отже, z M і M замкнуто.

Для будь-якого x H за теоремою 5.3 існує єдине розкладання

виду x = y + z, де y L, Z M, тобто. підпростору L і M утворюють

ортогональне розкладання простору H .

Лемма 5.1. Нехай задано кінцеве або лічильне безліч попарно ортогональних підпространств L n і нехай елемент x H представимо у вигляді

x = ∑ y n, де y L. Тоді таке уявлення єдине і y n = Pr L n x.

Визначення 5.6. Система ортогональних підпросторів Ln називається повною, якщо в просторі H не існує ненульового елемента, ортогонального всім Ln.

Визначення 5.7. Кінцева або лічильна система елементів h n гільбертового простору H називається ортогональною, якщо h n h m приn ≠ m. Визначення 5.8. Ортогональна система h n називається ортонормованоюякщо ||h n || = 1.

Визначення 5.9. Ортогональна система h n називається повною, якщо не існує такого ненульового елемента x H, що x h n при всіх n.

Можна перевірити, щоненульові елементи ортогональної системи лінійно незалежні.

Прикладом повної ортонормованої системи l 2 є система всіх координатних ортів.

Теорема 5.4. Якщо елемент x H може бути представлений у вигляді

x = ∑ λ n h n , то це уявлення єдине і коефіцієнти λ n рівні

Це уявлення xназивається розкладанням Фур'є (ортогональним розкладанням) елемента xпо елементам hn .

Теорема 5.5. Для того, щоб будь-який елемент H міг бути представлений своїм розкладанням Фур'є по елементах h n ортонормованої системи, необхідно і достатньо, щоб ця система була повною.

З цієї теореми випливає, що в n-мірному гільбертовому просторі повна ортонормована система повинна складатися з елементів. З іншого боку, якщо в n-вимірному гільбертовому просторі заданий довільний базис, що складається з ортогональних попарно елементів, то з теореми 5.5 випливає, що ця система повна.

Визначення 5.10. Повна ортогональна система елементів називається

ортонормованим базисом гільбертовий простір.

Визначення 5.11. Співвідношення

Теорема 5.6.

Для довільної ортонормованої системи (h n ) наступні твердження щодо елемента x H рівносильні:

1) для елемента x H справедливе розкладання Фур'є (5.7);

2) елемент x H входить у підпростір, породжений безліччю елементів (h n );

3) для елемента x H виконано рівняння замкнутості (5.8). З теорем 5.5 і 5.6 випливає, що для того, щоб ортонормована система була повною, необхідно і достатньо, щоб

для будь-якого x H виконувалося рівняння замкнутості.

Теорема 5.7. Якщо елемент x H може бути представлений своїм розкладанням Фур'є (5.7) за елементами ортонормованої системи (h n ), то для будь-якого H справедливо

(x, y) = ∑ α n β n ,

де α n – коефіцієнти Фур'є елемента x ,β n – коефіцієнти Фур'є елемента y щодо системи (h n ).

Теорема 5.8. Звичайномірний нормований простір сепарабельний. Теорема 5.9. Будь-який простір з рахунковим базисом сепарабельний.

З теорем 5.8 і 5.9 випливає, що кінцевий чи лічильний ортонормований базис може існувати лише у сепарабельних просторах.

Ортогоналізація системи лінійно незалежних елементів

Нехай у гільбертовому просторі H задана кінцева або лічильна система лінійно незалежних елементів g 1 , g 2 ... Побудуємо ортонормовану систему елементів h 1 h 2 ... так, що кожен h n має вигляд

Спочатку збудуємо ортогональну системуелементів f 1 ,f 2 , ... , вважаючи послідовно

k = 1

Коефіцієнти λ ik потрібно підібрати таким чином, щоб елементи f 1 f 2 ... були попарно ортогональні. Нехай вже знайдено коефіцієнти λ ik для елементів f 1, f 2, ..., f n-1. Тоді приi

одиниці, то f n ≠ 0. Щоб виконувалася умова (f n ,f i ) = 0, коефіцієнт ni повинен визначатися формулою

Ортогональну систему f1, f2, ... ми побудували. Тепер покладемо

Елементи h 1 , h 2 ... попарно ортогональні, | | h n | | = 1 і кожен елемент h n є лінійною комбінацією елементів g 1 , g 2 … g n , отже, має необхідний вигляд (5.9). З іншого боку, з формули (5.11) видно, кожен g n є лінійна комбінація елементівf 1 ,f 2 , ...,f n , отже, і елементівh 1 ,h 2 , ...,h n , тобто. має вигляд (5.10). Таким чином, ми отримали необхідну ортонормовану систему.

При цьому якщо вихідна система (g n ) була нескінченною, то і процес ортогоналізації складається з нескінченної безлічі кроків, а система (h n ) також буде нескінченною. Якщо ж вихідна система складається з елементів, то і в отриманій системі буде стільки ж.

Зауважимо, що з умов (5.9) та (5.10) випливає збіг лінійних оболонок систем елементів (g n ) та (h n ).

Якщо L – кінцевомірне підпростір простору H , аg 1 ,g 2 , ...,g n – його довільний базис, то, застосовуючи до системи (g n ) процес ортогоналізації, ми побудуємо ортонормований базис підпростору

Ізоморфізм довільного сепарабельного гільбертового простору з простором l ²

Теорема 5.10. У сепарабельному гільбертовому просторі Н, що містить елементи, відмінні від нуля, існує кінцевий або лічильний ортонормований базис.

Доведення.

За визначенням сепарабельності в Н існує лічильне всюди щільна безліч А . Перенумеруємо всі елементи множини. Виділимо з кінцеву або лічильну систему лінійно незалежних елементів, лінійна оболонка якої збігається з лінійною оболонкою множини. При цьому всі викинуті елементи – це лінійні комбінації елементів системи. Систему піддамо процесу ортогоналізації і побудуємо кінцеву або лічильну ортонормовану систему елементів h n . Доведемо,

що вона сповнена.

Нехай x H їх ортогональний всім h n . Оскільки елементи системи – це лінійні комбінації елементів h n , то x ортогональний всім елементам

системи В. Множина відрізняється від тим, що воно містить ще деякі елементи, що представляють у вигляді лінійних комбінацій елементів системи. Тому їх ортогональний всім елементам множини А . Але оскільки всюди щільно вН, тох = 0 за властивістю 5) для ортогональних елементів. Тим самим було повнота системи елементівh n доведено.

Перенесемо визначення алгебраїчного ізоморфізму та ізометрії для евклідових просторів, у будь-які нормовані простори.

Визначення 5.12. Два нормовані просториЕ і E 1 називаються

алгебраїчно ізоморфними та ізометричними , якщо між їх елементами можна встановити взаємнооднозначну відповідність так, що:

а) алгебраїчним операціям над елементами з Е відповідають ті ж операції над їх образами E 1 ;

б) норми відповідних один одному елементів з Е та E 1 рівні.

Теорема 5.11. Будь-який нескінченномірний сепарабельний гільбертовий простірH алгебраїчно ізоморфно і ізометрично просторуl 2 .

Доведення.

По теоремі 5.10 в Н існує лічильний ортонормований базис:h 1 ,h 2 , ...,h n , .... По теоремі 5.5 для будь-якогоx H справедливе розкладання

Визначення 1. ) називається ортогональною, якщо всі її елементи попарно ортогональні:

Теорема 1.Ортогональна система нерівних нулю векторів є лінійно незалежною.

(Припустимо, система лінійно залежна: і, для певності, Помножимо скалярну рівність на . Враховуючи ортогональність системи, отримаємо: }

Визначення 2.Система векторів евклідового простору ( ) називається ортонормованою, якщо вона ортогональна і норма кожного елемента дорівнює одиниці.

З теореми 1 відразу слід, що ортонормована система елементів завжди лінійно незалежна. Звідси, у свою чергу, випливає, що в n– мірному евклідовому просторі ортонормована система з nвекторів утворює базис (наприклад, ( i, j, k ) у 3 х- мірному просторі). Така система називається ортонормованим базисом,а її вектори – базисними ортами.

Координати вектора в ортонормованому базисі можна легко обчислити за допомогою скалярного твору: якщо Дійсно, помножуючи рівність на отримуємо зазначену формулу.

Взагалі всі основні величини: скалярний добуток векторів, довжина вектора, косинус кута між векторами і т.д. мають найпростіший вигляд в ортонормованому базисі. Розглянемо скалярне твір: , оскільки

А всі інші доданки дорівнюють нулю. Звідси одразу отримуємо: ,

* Розглянемо довільний базис. Скалярний твір у цьому базисі дорівнюватиме:

(Тут α iі β j – координати векторів у базисі ( f), а - скалярні твори базових векторів).

Величини γ ijутворюють матрицю Gзвану матрицею Граму.Скалярний твір у матричній формі матиме вигляд: *

Теорема 2.В будь-якому n– мірному евклідовому просторі існує ортонормований базис. Доказ теореми має конструктивний характер і має назву

9. Процес ортогоналізації Грама – Шмідта.

Нехай ( a 1 ,...,a n ) − довільний базис n– мірного евклідового простору (існування такого базису обумовлено n- Мірністю простору). Алгоритм побудови даного базису ортонормованого полягає в наступному:

1.b 1 =a 1 , e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , т.к. (e 1 , a 2)- проекція a 2 на e 1 , b 2 = a 2 -(e 1 , a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1 , b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1 , a 3)e 1 -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1 k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Продовжуючи процес, отримуємо ортонормований базис ( e 1 ,...,e n }.

Зауваження 1. За допомогою розглянутого алгоритму можна побудувати ортонормований базис будь-якої лінійної оболонки, наприклад, ортонормований базис лінійної оболонки системи, що має ранг, що дорівнює трьом і складається з п'ятивимірних векторів.

приклад.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Примітка 2.Особливі випадки

Процес Грама – Шмідта може застосовуватися також до нескінченної послідовності лінійно незалежних векторів.

Крім того, процес Грама – Шмідта може застосовуватися до лінійно залежних векторів. У цьому випадку він видає 0 (нульовий вектор) на кроці j , якщо a j є лінійною комбінацією векторів a 1 ,...,a j -1 . Якщо це може статися, то для збереження ортогональності вихідних векторів і для запобігання розподілу на нуль при ортонормуванні алгоритм повинен перевірити на нульові вектори і відкидати їх. Кількість векторів, що видаються алгоритмом, дорівнює розмірності підпростору, породженого векторами (тобто кількості лінійно незалежних векторів, які можна виділити серед вихідних векторів).

10. Геометричні векторні простори R1, R2, R3.

Наголосимо, що безпосередній геометричний сенс мають лише простори

R 1, R 2, R 3 . Простір R n при n > 3 – абстрактний суто математичний об'єкт.

1) Нехай дана система із двох векторів a і b . Якщо система лінійно залежна, то один із векторів, допустимо a , лінійно виражається через інший:

a= k b.

Два вектори, пов'язані такою залежністю, як сказано, називаються колінеарними. Отже, система з двох векторів лінійно залежна тоді і лише

тоді, коли ці вектори колінеарні. Зауважимо, що такий висновок відноситься не тільки до R 3 , але і до будь-якого лінійного простору.

2) Нехай система R3 складається з трьох векторів a, b, c . Лінійна залежністьозначає, що один із векторів, скажімо a , Лінійно виражається через інші:

а= k b+ l c . (*)

Визначення. Три вектори a, b, с R 3 , що лежать в одній площині або паралельні одній площині, називаються компланарними

(на рис. зліва вказані вектори a, b, с з однієї площини, а праворуч ті ж вектори відкладені від різних початківі лише паралельні одній площині).

Отже, якщо три вектори R3 лінійно залежні, то вони компланарні. Справедливе та протилежне: якщо вектори a, b, с з R3 компланарні, вони лінійно залежні.

Векторним твором вектора a, на вектор b у просторі називається вектор c , що задовольняє наступним вимогам:

Позначення:

Розглянемо впорядковану трійку некомпланарних векторів a, b, c в тривимірному просторі. Сумісний початок цих векторів у точці А(тобто виберемо довільно у просторі точку Аі паралельно перенесемо кожен вектор так, щоб його початок збігся з точкою А). Кінці векторів, поєднаних початками у точці А, Не лежать на одній прямій, так як вектори некомпланарні.

Впорядкована трійка некомпланарних векторів a, b, c у тривимірному просторі називається правою, якщо з кінця вектора c найкоротший поворот від вектора a до вектору b видно спостерігачеві проти годинникової стрілки. І навпаки, якщо найкоротший поворот видно за годинниковою стрілкою, то трійка називається лівий.

Інше визначення пов'язане з правою рукою людини, звідки і береться назва.

Усі праві між собою (і ліві між собою) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.