Приведення квадратичної форми до головних осей онлайн. Приведення квадратичної форми до головних осей

Теорія приведення квадратичної форми до канонічного вигляду, викладена в попередньому параграфі, побудована за аналогією з геометричною теорією центральних кривих другого порядку, але не може вважатися узагальненням цієї останньої теорії. У нашій теорії допускається використання будь-яких невироджених лінійних перетворень, у той час як приведення кривої другого порядку до канонічного виду досягається застосуванням лінійних перетворень спеціального виду(2), що є обертаннями площини. Ця геометрична теорія може бути, однак, узагальнена на випадок квадратичних форм від невідомих з дійсними коефіцієнтами, якщо вимагати, щоб матриця перетворення була ортогональна. Таке перетворення називається ортогональним, а сама процедура приведенням квадратичних форм до головних осей.

ТЕОРЕМА. Кожна квадратична формадеяким ортогональним перетворенням може бути приведена до канонічного вигляду.

ДОВЕДЕННЯ. Дивитимемося на матрицю квадратичної форми як на матрицю деякого лінійного операторау евклідовому просторі. Якщо матриця квадратичної форми, вона симетрична порядку . Якщо деякий ортонормований базис мірного евклідового простору, то матриця задає в цьому базисі симетричний оператор. За основною теоремою про симетричні оператори в евклідовому просторі у відповідному ортонормованому базисі його матриця буде діагональною. Нехай матриця переходу від до, тоді.

Але матриця як матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого, за теоремою 2 §1.6 буде ортогональною, а значить, . Тому. Саме так перетворюється матриця квадратичної форми, підданої лінійному перетворенню невідомих із матрицею .

Отже, перетворення невідомих, що має матрицю ортогонально, а матриця, будучи діагональною, відповідає квадратичній формі канонічного вигляду. □

Факт, що матриця лінійного оператора в базисі, складеному з власних векторів, має діагональний вигляд(З власними значеннями по головній діагоналі), дає нам метод практичного відшукання канонічного виду квадратичної форми, а також самого цього ортогонального перетворення.

приклад 2.Знайти ортогональне перетворення, що наводить квадратичну форму

до канонічного вигляду та написати цей канонічний вигляд.

Рішення. Матриця цієї форми має вигляд

Знайдемо її характеристичний багаточлен:

Таким чином, матриця має дворазовий корінь і простий корінь. Отже, канонічний вигляд даної квадратичної форми буде

Знайдемо ортогональне перетворення, яке здійснює це приведення. Для цього знайдемо власні вектори, які відповідають знайденим власним значенням , тобто вирішимо системи лінійних однорідних рівнянь для кожного.

При маємо

Звідки , Т. е. є 2 незалежні змінні, і фундаментальний набіррішень буде:

Застосувавши до них процес ортогоналізації, отримаємо.

Розглянемо довільну речову квадратичну форму

Її матриця коефіцієнтів є речовинною симетричною. Тому (див. гл. IX, § 13) вона ортогонально-подібна до деякої речовинної діагональної матриці , тобто існує така речовинна ортогональна матриця , що

Тут - характеристичні числа матриці.

Оскільки для ортогональної матриці , то (41) випливає, що форма при ортогональному перетворенні змінних

або у більш докладному записі

(42")

переходить у форму

. (43)

Теорема 7. Речовинна квадратична форма завжди може бути наведена за допомогою ортогонального перетворення до канонічної форми(43); при цьому - характеристичні числа матриці.

Приведення квадратичної форми за допомогою ортогонального перетворення до канонічної форми (43) називається приведенням до головних осей. Ця назва пов'язана з тим, що рівняння центральної гіперповерхні другого порядку,

, (44)

при ортогональному перетворенні змінних (42) набуває канонічного вигляду

. (45)

Якщо ми розглядатимемо як координати в деякому ортонормованому базисі -мірного евклідового простору, то будуть координатами в новому ортонормованому базисі того ж простору, причому «поворот» осей здійснюється ортогональним перетворенням (42). Нові осі координат є осями симетрії центральної поверхні (44) і зазвичай називають головними осями цієї поверхні.

З формули (43) випливає, що ранг форми дорівнює числувідмінних від нуля характеристичних чисел матриці, а сигнатура дорівнює різниці між числом позитивних та числом негативних характеристичних чисел матриці.

Звідси, зокрема, випливає і така пропозиція:

Якщо за безперервному зміні коефіцієнтів квадратичної форми залишається незмінним її ранг, то цьому зміні коефіцієнтів залишається незмінною та її сигнатура.

При цьому ми виходимо з того, що безперервна змінакоефіцієнтів тягне за собою безперервну зміну характеристичних чисел. Сигнатура може змінитися лише тоді, коли якесь характеристичне число змінить знак. Але тоді в якийсь проміжний момент розглянуте характеристичне число звернеться в нуль, що тягне за собою зміну рангу форми.. (48)

- Лінійна алгебра

Приведення квадратичної форми до головних осей

Раніше було розглянуто завдання приведення речової

q(x)= \sum_(n=1)^(n) \sum_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n змінних до

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних x = Sy. Для вирішення цього завдання використовувався.

Розглянемо інший підхід до рішення. Лінійну невироджену заміну змінних x=Sy з ортогональною матрицею S~(S^(-1)=S^T) називатимемо ортогональною заміною змінних (або ортогональним перетворенням змінних).

Сформулюємо завдання приведення квадратичної форми до головних осей: потрібно знайти ортогональну заміну змінних x=Sy (S^(-1)=S^T) , що приводить квадратичну форму (9.23) до канонічного виду (9.24).

Для вирішення використовуємо наступний геометричний змістзавдання. Вважатимемо змінні x_1,x_2,\ldots,x_nкоординатами вектора \boldsymbol(x) n-мірного евклідового простору \mathbb(E) в ортонормованому базисі (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), а матрицю A квадратичної форми (9.23) - матрицею деякого лінійного перетворення \mathcal(A)\colon \mathbb(E)\to \mathbb(E)у тому ж базисі. Причому це самосполучене перетворення, оскільки його матриця симетрична: A^T=A . Квадратичну форму (9.23) можна подати у вигляді скалярного твору

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A) )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Ортогональній заміні змінних x = Sy відповідає перехід від одного ортонормованого базису до іншого. Справді, нехай S - матриця переходу від ортонормованого базису (\boldsymbol(e)) до ортонормованого базису (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), тобто. (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))Sта S^(-1)=S^T . Тоді координати x вектора \boldsymbol(x) у базисі (\boldsymbol(e)) та координати y того ж вектора в базисі (\boldsymbol(s)) пов'язані формулою (8.11): x=Sy .

Таким чином, завдання приведення квадратичної форми до головних осей може бути сформульована так: потрібно знайти в просторі \mathbb(E) такий базис, в якому матриця самосполученого перетворення \mathcal(A) має діагональний вигляд. По теоремі 9.10 необхідно вибрати ортонормований базис зі своїх векторів самосполученого перетворення. При цьому матриця переходу S до канонічному базисувиявляється ортогональною: S ^ T = S ^ (-1) .

Сформулюємо цей результат квадратичної форми.

Теорема (9.12) про приведення квадратичної форми до головних осей

Речовинна квадратична форма (9.23) за допомогою ортогонального перетворення змінних x=Sy може бути приведена до канонічного виду (9.24), де - власні значенняматриці A.

Слідство. Квадратична форма (9.23) є позитивно визначеною (ненегативно визначеною) тоді і лише тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (ненегативні).

Зауваження 9.10

1. При лінійній невиродженій заміні змінних матриця квадратичної форми змінюється за формулою (6.10): A"=S^TAS . Для ортогональної матриці S ця формула набуває вигляду A"=S^(-1)AS , який збігається з формулою (9.4) зміни матриці лінійного перетворення під час заміни базису.

2. Для знаходження канонічного виду (9.24) достатньо визначити все коріння \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(Серед яких можуть бути рівні) (Рівняння) \det(A-\lambda E) = 0де E - одинична матриця.

3. Наслідок теореми 9.12 можна використовуватиме аналізу знаковизначеності квадратичної форми:

- Якщо всі власні значення позитивні (негативні), то квадратична форма позитивно (негативно) певна;

– якщо всі власні значення неотрицательны (непозитивні), то квадратична форма неотрицательно (непозитивно);

– якщо є власні значення різних знаків, квадратична форма невизначена (знакозмінна).

4. Результати, сформульовані в пункті 3 зауважень, можуть бути використані для перевірки достатніх та необхідних умовдругого порядку в задачі пошуку безумовного екстремумуфункцій. Для цього слід знайти власні значення \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx)у кожній із стаціонарних точок x^(\ast) функції f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

Якщо всі власні значення позитивні: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, то точці x^(\ast) локальний мінімум;

- Якщо всі власні значення негативні: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , то точці x^(\ast) локальний максимум;

- Якщо всі власні значення невід'ємні: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, то точці x^(\ast) то, можливо локальний мінімум;

- Якщо всі власні значення непозитивні: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, то точці x^(\ast) то, можливо локальний максимум;

– якщо власні значення \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, різних знаків, то в точці x^(\ast) немає екстремуму;

- Якщо всі власні значення нульові: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, то потрібне додаткове дослідження.

5. Завдання приведення квадратичної форми головним осям вирішується з допомогою алгоритму приведення самосполученого перетворення на діагональному виду. При цьому знаходиться діагональний вид матриці квадратичної форми і ортогональна матриця S заміни змінних x = Sy, що приводить квадратичну форму до канонічного виду (до головних осей).

Приклад 9.7.З'ясувати знаковизначеність квадратичної форми трьох змінних

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

і визначити ортогональну заміну змінних x=Sy , що приводить квадратичну форму до канонічного виду (до основних осей).

Рішення.Складаємо матрицю квадратичної форми: A=\begin(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end(pmatrix). У прикладі 9.6 було знайдено власні значення цієї матриці: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3 . Усі власні значення є невід'ємними, тому квадратична форма є невід'ємно визначеною (див. пункт 4 зауважень 9.10).

В була знайдена ортогональна матриця

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\-\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

матриця A, що приводить до діагонального вигляду. \ Lambda = \ operatorname (diag) (0,0,3). Записуємо шукану ортогональну заміну змінних x=Sy:

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

та квадратичну форму в канонічному вигляді: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

Приклад 9.8.Знайти точки локального екстремуму функції двох змінних за допомогою матриць

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Рішення.У пункті 1 знайдено градієнт функції, та якщо з необхідної умови екстремуму першого порядку три стаціонарні точки:

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\end(pmatrix)^T.

Матриця Гессе має вигляд

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

Знайдемо власні значення матриці Гессе у кожній стаціонарній точці:

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ end(pmatrix)

та скористаємося пунктом 4 зауважень 9.10.

У точці x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)матриця Гессе має вигляд \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). З рівняння \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0знаходимо \lambda_1=0, \lambda_2=2. Оскільки всі власні значення неотрицательны, то точці x^0 то, можливо локальний мінімум й у остаточного висновку потрібно додаткове дослідження (див. приклад 6.13).

У точці x^1=\begin(pmatrix)1\\1 \end(pmatrix)матриця Гессе має вигляд \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). З рівняння \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\-4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, або \lambda^2-40 \lambda+60=0отримуємо \ lambda_ (1,2) = 20 \ pm2 \ sqrt (85). Оскільки всі власні значення є позитивними, то в точці x^1 локальний мінімум функції.

У точці x^2=\begin(pmatrix)-1\\1 \end(pmatrix)матриця Гессе має вигляд \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). З рівняння \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, або \lambda^2+40 \lambda-60=0отримуємо \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Оскільки власні значення мають різні знаки, то точці x^2 немає екстремуму.

Теорія приведення квадратичної форми до канонічного вигляду, викладена в попередньому параграфі, побудована за аналогією з геометричною теорією центральних кривих другого порядку, але не може вважатися узагальненням цієї останньої теорії. У нашій теорії допускається використання будь-яких невироджених лінійних перетворень, тоді як приведення кривої другого порядку до канонічного виду досягається застосуванням лінійних перетворень спеціального виду (2), що є обертаннями площини. Ця геометрична теорія може бути, однак, узагальнена на випадок квадратичних форм від невідомих з дійсними коефіцієнтами, якщо вимагати, щоб матриця перетворення була ортогональна. Таке перетворення називається ортогональним, а сама процедура приведенням квадратичних форм до головних осей.

ТЕОРЕМА. Кожна квадратична форма деяким ортогональним перетворенням може бути до канонічного виду.

ДОВЕДЕННЯ. Дивитимемося на матрицю квадратичної форми як на матрицю деякого лінійного оператора в евклідовому просторі. Якщо матриця квадратичної форми, вона симетрична порядку . Якщо деякий ортонормований базис мірного евклідового простору, то матриця задає в цьому базисі симетричний оператор. За основною теоремою про симетричні оператори в евклідовому просторі у відповідному ортонормованому базисі його матриця буде діагональною. Нехай матриця переходу від до, тоді.

Той факт, що матриця лінійного оператора в базисі, складеному зі своїх векторів, має діагональний вигляд (з власними значеннями по головній діагоналі) , дає нам спосіб практичного пошуку канонічного виду квадратичної форми, а також самого цього ортогонального перетворення.

приклад 2.Знайти ортогональне перетворення, що наводить квадратичну форму

до канонічного вигляду та написати цей канонічний вигляд.

Рішення. Матриця цієї форми має вигляд