Теорема про власні вектори лінійного оператора. Власні числа та власні вектори лінійного оператора

Найпростіший лінійний оператор - множення вектора на число (lambda). Цей оператор просто розтягує всі вектори в \(\lambda\) разів. Його матрична форма в будь-якому базисі - (diag (lambda, lambda, ..., lambda)). Фіксуємо для визначеності базис \(\(e\)\) у векторному просторі \(\mathit(L)\) і розглянемо лінійний оператор з діагональною матричною формою в цьому базисі, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2, ..., \ lambda _n) \). Цей оператор, згідно з визначенням матричної форми, розтягує \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, тобто. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) всім \(k=1,2,...,n\). З діагональними матрицями зручно працювати, для них просто будується функціональне обчислення: для будь-якої функції \(f(x)\) можна покласти \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)))= diag(f(\lambda _1), f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким чином виникає природне питання: нехай є лінійний оператор (A), чи можна вибрати такий базис у векторному просторі, щоб матрична форма оператора (A) була діагональною в цьому базисі? Це питання призводить до визначення власних чиселта власних векторів.

Визначення. Нехай для лінійного оператора (A) існує ненульовий вектор (u) і число (lambda) такі, що Au = lambda cdot u. \quad \quad(59) \] Тоді вектор \(u\) називають власним вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - відповідним власним числом оператора (A). Сукупність всіх власних чисел називають спектром лінійного оператора (A).

Виникає природне завдання: знайти для заданого лінійного оператора його власні числа та відповідні власні вектори. Це завдання називають завданням про спектр лінійного оператора.

Рівняння для власних значень

Фіксуємо для визначеності базис у векторному просторі, тобто. вважатимемо, що він раз і назавжди заданий. Тоді, як було обговорено вище, розгляд лінійних операторів можна звести до розгляду матриць - матричних форм лінійних операторів. Рівняння (59) перепишемо у вигляді [( \ alpha - lambda E) u = 0. \] Тут \(E\) - одинична матриця, а \(\alpha\) - матрична форма нашого лінійного оператора (A\). Це співвідношення можна трактувати як систему \(n\) лінійних рівняньдля \(n\) невідомих - координат вектора \(u\). Причому це однорідна система рівнянь і нам слід знайти її нетривіальнеРішення. Раніше була наведена умова існування такого рішення – для цього необхідно і достатньо, щоб ранг системи був менше числаневідомих. Звідси випливає рівняння для власних чисел: det(\alpha - lambda E) = 0. \quad \quad(60) \]

Визначення. Рівняння (60) називається характеристичним рівнянням для лінійного оператора (A).

Опишемо властивості цього рівняння та його рішень. Якщо його виписувати в явному вигляді, отримаємо рівняння виду [(-1) ^ n lambda ^ n + ... + det (A) = 0. \quad \quad(61) \] У лівій частині стоїть поліном по змінній \(\lambda\). Такі рівняння називаються алгебраїчним ступенем\(n\). Наведемо необхідні відомостіпро ці рівняння.

Довідка про рівняння алгебри.

Теорема. Нехай всі власні числа лінійного оператора (A) - прості. Тоді набір власних векторів, відповідних цим власним числам, утворює базис векторного простору.

З умов теореми випливає, що всі власні числа оператора (A) різні. Припустимо, що набір власних векторів лінійно залежний, отже є константи \(c_1,c_2,...,c_n\), в повному обсязі нулі, задовольняють умові: \[ \sum_(k=1)^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Розглянемо серед таких формул таку, що включає мінімальну кількість доданків, і подіємо на неї оператором (A). З огляду на його лінійності отримуємо: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Нехай для визначеності \(c_1 \neq 0\). Помножуючи (62) на (lambda _1) і віднімаючи з (63), отримаємо співвідношення виду (62), але що містить на одне доданок менше. Суперечність доводить теорему.

Отже, за умов теореми утворюється базис, що з даним лінійним оператором - базис його власних векторів. Розглянемо матричну форму оператора у такому базисі. Як згадувалося вище, \(k\)-ий стовпець цієї матриці - це розкладання вектора \(Au_k\) по базису. Однак за визначенням \(Au_k = \ lambda _ku_k \), так що це розкладання (те, що виписано в правій частині) містить тільки одне доданок і побудована матриця виявляється діагональною. У результаті отримуємо, що за умов теореми матрична форма оператора в базисі його векторів дорівнює \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Тому, якщо необхідно розвивати функціональне обчислення для лінійного оператора, розумно працювати в базисі його власних векторів.

Якщо серед власних чисел лінійного оператора є кратні, опис ситуації стає складнішим і може включати звані жорданові клітини. Ми надішлемо читача до більш просунутих посібників для вивчення відповідних ситуацій.

Вектор Х ≠ 0 називають власним векторомлінійного оператора із матрицею А, якщо знайдеться таке число, що АХ =Х.

При цьому число  називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору х.

Інакше кажучи, власний вектор – це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, не власні векториперетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формінаступним чином:

(А - Е)Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, та її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення- Нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - Е| = = 0

Це рівняння з невідомим  називають характеристичним рівнянням(характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточленлінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

Для цього складемо характеристичне рівняння|А - Е| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; власні значення  1 = (2 - 12)/2 = -5;  2 = (2 + 12)/2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є всі вектори виду (-(2/3)з; с) з власним значенням (-5) і всі вектори виду ((2/3)з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з власних векторів, є діагональною і має вигляд:

де  i – власні значення цієї матриці.

Правильно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

З матрицею А якщо знайдеться таке число l, що АХ = lХ.

У цьому число l називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору Х.

Інакше кажучи, власний вектор - це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - lЕ) Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення – нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - lЕ| = = 0

Це рівняння з невідомим l називають характеристичним рівнянням (характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

де l i - Власні значення цієї матриці.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1 але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто. утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Переконаємося у лінійної незалежностіцих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А набуде вигляду А * = .

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А* = С-1АС. Спочатку знайдемо С-1.

З -1 = ;

Квадратичні форми

Квадратичною формою f(х 1 , х 2 , х n) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї зі змінних, або добутком двох різних змінних, взятим з деяким коефіцієнтом: f(х 1 , х 2 , х n) = (a ij = a ji).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицеюквадратичної форми. Це завжди симетричнаматриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, a ij = a ji).

У матричному записі квадратична форма має вигляд f(Х) = Х Т AX, де

Справді

Наприклад, запишемо в матричному виглядіквадратичну форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невиродженим лінійним перетворенням матриці-стовпця Y, тобто. X = CY, де - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичну форму f(y 1 , y 2), отриману з квадратичної форми f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної(має канонічний вигляд), якщо її коефіцієнти a ij = 0 при i ≠ j, тобто.
f(х 1, х 2, х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Її матриця є діагональною.

Теорема(Доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічному виглядуза допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Наприклад, наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для цього спочатку виділимо повний квадратпри змінній х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х2 2-х 2х3.

Тепер виділяємо повний квадрат при змінній х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100) х 3 2 =
= 2 (x 1 + х 2) 2 - 5 (х 2 - (1/10) х 3) 2 + (1/20) х 3 2 .

Тоді невироджене лінійне перетворення y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10) х 3 і y 3 = x 3 наводить цю квадратичну форму до канонічного вигляду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Зазначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна й та сама квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами). Проте отримані у різний спосібканонічні форми мають поруч загальних властивостей. Зокрема, кількість доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, у розглянутому прикладі завжди буде два негативні та один позитивний коефіцієнт). Цю властивість називають законом інерціїквадратичних форм.

Впевнимося в цьому, по-іншому привівши ту ж квадратичну форму до канонічного вигляду. Почнемо перетворення зі змінною х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = - 3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 де y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 та y 3 = x 1 . Тут негативний коефіцієнт -3 при y 1 і два позитивні коефіцієнти 3 і 2 при y 2 і y 3 (а при використанні іншого способу ми отримали негативний коефіцієнт (-5) при y 2 і два позитивних: 2 при y 1 і 1/20 за y 3).

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює числувідмінних від нуля коефіцієнтів канонічної формиі змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f(X) називають позитивно (негативно) певною, якщо за всіх значеннях змінних, не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто. f(X) > 0 (негативна, тобто.
f(X)< 0).

Наприклад, квадратична форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 – позитивно визначена, т.к. є сумою квадратів, а квадратична форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - негативно визначена, т.к. представляє її можна подати у вигляді f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

У більшості практичні ситуаціївстановити знаковизначеність квадратичної форми дещо складніше, тому цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і лише тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (негативні).

Теорема(критерій Сильвестра). Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли головні мінори матриці цієї форми позитивні.

Головним (кутовим) мінором k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначником матриці, що складається з перших k рядків і стовпців матриці А().

Зазначимо, що для негативно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, причому мінор першого порядку має бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1, х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – позитивно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – позитивно визначена.

Досліджуємо на знаковизначеність іншу квадратичну форму, f(х 1, х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (-2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – негативно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – негативно визначена (знаки головних мінорів чергуються, починаючи з мінусу).

І як ще один приклад досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одне із цих чисел негативно, а інше - позитивно. Знаки своїх значень різні. Отже, квадратична форма може бути ні негативно, ні позитивно певної, тобто. ця квадратична форма не є знаковизначеною (може набувати значень будь-якого знака).

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Визначення: Нехай L - задане n- мірне лінійний простір. Ненульовий векторLназивається власним векторомлінійного перетворення А, якщо існує таке число, що виконується рівність:

A
(7.1)

При цьому число називається власним значенням (характеристичним числом)лінійного перетворення А, відповідного вектору .

Перенісши праву частину(7.1) у ліву та беручи до уваги співвідношення
, перепишемо (7.1) у вигляді

(7.2)

Рівняння (7.2) еквівалентне системі лінійних однорідних рівнянь:

(7.3)

Для існування ненульового рішення системи лінійних однорідних рівнянь (7.3) необхідно достатньо, щоб визначник коефіцієнтів цієї системи дорівнював нулю, тобто.

|A-λE|=
(7.4)

Цей визначник є багаточленом n-ого ступеня щодо λ і називається характеристичним багаточленомлінійного перетворення А, а рівняння (7.4) - характеристичним рівняннямматриці А.

Визначення: Якщо лінійне перетворення А на деякому базисі ,,…,має матрицю А =
, то власні значення лінійного перетворення А можна знайти як коріння 1 , 2 , … , n характеристичного рівняння:

Розглянемо окремий випадок . Нехай А - деяке лінійне перетворення площини, матриця якого дорівнює
. Тоді перетворення А може бути задано формулами:

;

у деякому базисі
.

Якщо перетворення А має власний вектор із власним значенням , то А
.

або

Т.к. власний вектор ненульовий, то х 1 і х 2 не дорівнюють нулю одночасно. Т.к. дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальне рішення, визначник системи повинен дорівнювати нулю. В іншому випадку за правилом Крамера система має єдине рішення - нульове, що неможливо.

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням лінійного перетворення А.

Таким чином, можна знайти власний вектор (х 1 , х 2) лінійного перетворення А з власним значенням , де  - корінь характеристичного рівняння, а х 1 і х 2 - коріння системи рівнянь при підстановці в неї значення .

Зрозуміло, що якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренівто лінійне перетворення А не має власних векторів.

Слід зазначити, що якщо - Власний вектор перетворення А, то і будь-який вектор йому колінеарний - теж власний з тим же самим власним значенням.

Справді. Якщо врахувати, що вектори мають один початок, ці вектори утворюють так зване власний напрямабо власну пряму.

Т.к. характеристичне рівняння може мати два різних дійсних кореня 1 і 2, то в цьому випадку при підстановці їх в систему рівнянь отримаємо нескінченну кількість рішень. (Т. К. Рівняння лінійно залежні). Це безліч рішень визначає дві власні прямі.

Якщо характеристичне рівняння має два рівних кореня 1 = 2 =, або є лише одна власна пряма, або, якщо при підстановці в систему вона перетворюється на систему виду:
. Ця система відповідає будь-яким значенням х 1 і х 2 . Тоді всі вектори будуть власними, і таке перетворення називається перетворенням подоби.

приклад.
.

приклад.Знайти характеристичні числа та власні вектори лінійного перетворення з матрицею А =
.

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

 2 - 4+ 4 = 0;

Коріння характеристичного рівняння:  1 =  2 = 2;

Отримуємо:

Із системи виходить залежність: x 1 – x 2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: ( t ; t ) де t- Параметр.

Власний вектор можна записати:
.

Розглянемо інший окремий випадок. Якщо - Власний вектор лінійного перетворення А, заданого в тривимірному лінійному просторі, а х 1, х 2, х 3 - компоненти цього вектора в деякому базисі
, то