Характеристичний багаточлен квадратної матриці. Характеристичне рівняння матриці

Визначення

Для даної матриці , , де Е- одинична матриця є багаточленом від , який називається характеристичним багаточленомматриці A(іноді також "віковим рівнянням" (secular equation)).

Цінність характеристичного багаточлена в тому, що власні значення матриці є його корінням. Дійсно, якщо рівняння має не нульове рішення, то значить матриця вироджена і її визначник дорівнює нулю.

Пов'язані визначення

Властивості

Посилання

• В. Ю. Кисельов, А. С. Пяртлі, Т. Ф. КалугінаВища математика. Лінійна алгебра . – Іванівський державний енергетичний університет.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Характеристична крива завдання
• Харальд III (король Норвегії)

Дивитись що таке "Характеристичний багаточлен матриці" в інших словниках:

Характеристичний багаточлен- В математиці характеристичний багаточлен може означати: характеристичний багаточлен матриці характеристичний багаточлен лінійної рекурентної послідовності характеристичний багаточлен звичайного диференціального рівняння.… … Вікіпедія

ХАРАКТЕРИСТИЧНИЙ МНОГОЧЛЕН- матриці над полем К багаточлен над полем К Ступінь X. м. дорівнює порядку квадратної матриціА, коефіцієнт b1 дорівнює сліду матриці.(b1 = tr A = a11+ а 22+.. . дорівнює сумівсіх головних мінорів т гопорядку, зокрема bn = detA ... Математична енциклопедія

Мінімальний багаточлен матриці- Цей термін має й інші значення, див. Мінімальний багаточлен. Мінімальний багаточлен матриці анулюючий унітарний багаточлен мінімального ступеня. Властивості Мінімальний багаточлен ділить характеристичний багаточлен матриці.

Лямбда-матриці- Основна стаття: Функції від матриць Лямбда матриця (λ матриця, матриця багаточленів) квадратна матриця, елементами якої є багаточлени над деяким числовим полем. Якщо є певний елемент матриці, який є багаточленом … Вікіпедія

СПЕКТР МАТРИЦІ- Сукупність її власних значень. також Характеристичний багаточлен матриці … Математична енциклопедія

Характеристичне число матриці- Червоний колір позначений власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напряму та довжину, тому є власним вектором, що відповідає власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору…

Подібні матриці- Квадратні матриці A і B однакового порядку називаються подібними, якщо існує невироджена матриця P того ж порядку, така що: Подібні матриці виходять при заданні одного і того ж лінійного перетворенняматрицею у різних… … Вікіпедія

Характеристична матриця

Характеристичне рівняння- Характеристичний многочлен це багаточлен, що визначає власні значення матриці. Інше значення: Характеристичний багаточлен лінійної рекуренти це багаточлен. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Теорема Гамільтона- Теорема Гамільтона Келі відома теорема з теорії матриць, названа на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі. Теорема Гамільтона Келі Будь-яка квадратна матриця задовольняє своє характерне рівняння. Якщо … Вікіпедія

Нехай дана квадратна матриця порядку n. Характеристичною матрицеюматриці Aназивають матрицю

=зі змінною λ, яка приймає будь-які числові значення.

Визначник матриці є багаточленом матриці є багаточленом. n-й ступеня від? Цей багаточлен називають характеристичним багаточленом матриці. А, Рівняння = 0 - її характеристичним рівнянням, а його коріння називається будь-який ненульовийвектор Х, Який задовольняє умові - число.

Число називається власним значенням перетворення width="201" height="75"> (*)

Якщо відомо власне значення λ , то все власні векториматриці А, Що належать цьому власному значенню, перебувають як ненульові рішення цієї системи. З іншого боку, ця однорідна система із квадратною матрицею А-λЕмає ненульові рішення Хтоді і тільки тоді, коли визначник матриці цієї системи дорівнює нулю λ належить розглянутому полю Р. Але це означає, що λ є коренем характеристичного багаточлена та належить полю Р. Таким чином, характеристичні числа матриці, що належать основному полю, і тільки вони є її власними значеннями. Для відшукання всіх своїх значень матриці АНеобхідно визначити всі її характеристичні числа і їх вибрати лише ті, які належать основному полю Р, а для відшукання всіх своїх векторів матриці Апотрібно знайти все ненульовірішення системи (*) при кожному власному значенні λ матриці А.

приклад 1.Знайти власні значення та власні вектори дійсної матриці .

Рішення.Характеристичний багаточлен матриці Амає вигляд:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(домножимо (2)-йстовпець на число (-2) і складемо з (1)-мстовпцем) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(домножимо (1)-йстовпець на число (-1) і складемо з (3)-мстовпцем) = =(домножимо (1)-юрядок на число (2) і складемо зі (2)-йрядком) = =(домножимо (2)-йстовпець на число (-2) і складемо з (3)-мстовпцем) =
.

Таким чином, характеристичний багаточлен має коріння λ1=6, λ2=λ3= – 3. Усі вони дійсні і тому є власними значеннями матриці А.

При λ=6 система ( А–λЕ)Х=0має вигляд https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src= ">.

Її загальним рішеннямє Х=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, воно дає загальний виглядвласних векторів матриці А, Що належать власному значенню = - 3.

Продовжимо вивчення лінійних операторів. Нам відомо, що з кожним оператором A пов'язана квадратна матриця , з якою, своєю чергою, пов'язаний її визначник . Значення визначника є скаляр (число). Отже, є функцією, що ставить у відповідність оператору A скаляр. Тому вивчення властивостей визначника може спростити дослідження властивостей оператора.

Визначення.Скаляр lназивається власним числом (власним значенням), а ненульовий вектор x- Власним вектором лінійного оператора A, що діє в n-мірному векторному просторі L, якщо

Розглядаючи як вектор , будь-який вектор , колінеарний x,буде власним вектором із власним числом l. Якщо власним значенням lвідповідає два вектори, xі y, то власним вектором буде будь - який ненульовий вектор виду . Оскільки 0-вектор не є власним, то безліч Mвсіх власних векторів оператора Aне є підпростором. Якщо ж Mдоповнити 0-вектором, то Mстане підпростором. Кратністю власного значення lназивається розмірність підпростору M; власне значення lназивається простим , Якщо його кратність дорівнює 1.

Вправа.Знайти всі власні числа та вектори операторів нульового - О та тотожного – E. Визначити їх кратність, якщо лінійний оператордіє в n-мірному лінійному просторі

Теорема VI.1.Сімейство власних векторів оператора A, що відповідають аналогічному сімейству власних значень , лінійно незалежно.

Доведення. Застосуємо метод математичної індукції. При теорема правильна визначення свого вектора, як від нульового.

Нехай за будь-якого , наприклад, при , теорема вірна, але невірна при . Тоді, якщо система векторів , , …, , буде лінійно залежною, тобто існують числа , , не всі рівні 0, наприклад, що виконується

Застосовуючи до неї лінійний оператор A, з урахуванням (VI.5), отримаємо,

Помножуючи (VI.6) на і віднімаючи з (VI.7), матимемо

Отримана лінійна комбінація в силу індуктивного припущення лінійно незалежна, тобто всі коефіцієнти при рівні 0, у тому числі і, але, за припущенням, тоді, але тоді, що неможливо, за умовою теореми. ▼

Слідство.Лінійний оператор, що діє в n-мірному лінійному просторі, не може мати більш ніж nпопарно різних власних значень.

З визначення власного вектора лінійного оператора випливає, що образ та прообраз x- Колінеарні. Це означає, що не кожен лінійний оператор, що діє у лінійному просторі над полем дійсних чиселмає хоча б один власний вектор. Наприклад, при будь-якому повороті осей на кут, не кратний pми не отримаємо колінеарних векторів.

Перейдемо висновку рівняння, якому задовольняють всі власні вектори.

Нехай лінійний оператор діє в n-мірному дійсному лінійному просторі Lі нехай , , деякий базис, нарешті - матриця оператора A в цьому базисі. Лінійний оператор є виродженим тоді і лише тоді, коли буде вироджено його матрицю , тобто . Звідси укладаємо, що кратність lзбігається з дефектом лінійного оператора.

Зауважимо, що, якщо B будь-який оборотний оператор, то можна показати, що

тобто тоді і лише тоді, коли де . Це означає, що всі спектральні поняття (спектр, власні значення, кратність, розмірність тощо) інваріантні щодо заміни A на подібний оператор. Враховуючи, що, за визначенням, визначник – це багаточлен своїх елементів, отримуємо

,

де коефіцієнти є функціями елементів визначника (або матриці) та не залежать від l. Максимальний ступінь lвходить лише до одного члена визначника, складеного з твору його елементів, що стоять на головній діагоналі, тому . Таким чином, отримуємо багаточлен

Розкриваючи визначник, маємо

який називається характеристичним багаточленом оператора Aу речовому лінійному просторі L.

Для того щоб число було власним значенням оператора Aнеобхідно і достатньо, щоб воно задовольняло рівняння, тобто було б коренем характеристичного багаточлена.

Приклад VI.6.Чи є збіг характеристичних багаточленів ознакою рівності операторів?

Не всякий лінійний оператор має, принаймні, один власний вектор.

Приклади:

1. Як лінійний простір X візьмемо безліч всіх многочленів ступеня меншого або рівного n. Оператор диференціювання - оператор, що діє з X в X. якщо це не константа, якщо, то. Цей оператор не має власних векторів, відмінних від багаточленів нульового ступеня.

2. Оператор А, що діє у просторі V 2 – радіус-векторів і здійснює поворот кожного з векторів на певний кут, відмінний від p, проти годинникової стрілки немає власних векторів.

Займемося дослідженням питання існування власних векторів оператора.

Насамперед виведемо рівняння, якому задовольняють усі власні значення l лінійного оператора, .

Нехай l – власне значення, яке відповідає власному вектору.

За визначенням, власний вектор відмінний від, тоді з рівності (1) випливає, що оператор – вироджений. Т.о. власні значення оператора А – це і ті елементи l поля Р, котрим оператор – вироджений.

Нехай - якийсь базис лінійного простору X. - матриця оператора в цьому базисі. Оператор – вироджений тоді, і лише тоді, коли виродженою є матриця, тобто. тоді, коли (2).

Насправді відомий наступний критерій невиродженості. Оператор А, який діє у певному лінійному просторі, буде невиродженим, якщо визначник матриці цього оператора відмінний від 0.

Теорема 10: Числа l , що задовольняють рівняння(2),не залежать від вибору базису у лінійному просторі X .

Доведення:Нехай у X обраний ще один базис - і нехай - матриця лінійного оператора в базисі f.

Нехай Q - матриця перетворення координат від базису e до базису f.

Тоді, як відомо, матриці того самого оператора пов'язані співвідношенням: , Q – невироджена матриця, тоді:

Т.о. числа l, що задовольняють рівняння (2), не залежить від вибору базису в лінійному просторі X.

Розглянемо оператор, і X заданий базис, у якому матриця оператора А виглядає так: .

є многочленом ступеня m щодо l, тобто. можна записати: .

Легко бачити, що найвищий ступінь l досягається тільки при множенні елементів головної діагоналі, звідки видно, що коефіцієнт дорівнює 1.

Визначення:Функція (3) називається характерним багаточленом оператора. Таким чином, з кожним лінійним оператором зв'язується характеристичний многочлен. Правильне і зворотне, що кожен многочлен виду (3) є характеристичним багаточленом деякого оператора.

Розглянемо – ця матриця визначає лінійний оператор. Порахуємо.

Для того, щоб елемент поля Р був власним значенням оператора А, необхідно і достатньо, щоб він був коренем характеристичного багаточлена, тобто. задовольняв рівняння: (4). Рівняння (4) називається характеристичним рівнянням. Не в будь-якому полі Р будь-який многочлен з коефіцієнтами Р має хоча б 1 корінь.

Приклад:у полі R коріння немає.

Визначення:Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо кожен многочлен з коефіцієнтами з поля Р має хоча б один корінь, що належить цьому полю. Т.ч., якщо лінійний оператор діє в X над алгебраїчною замкнутим полемР, він має хоча б один власний вектор.

Розглянемо квадратну матрицю

Як було показано (6.1.), всі матриці, подібні до матриці А, тобто. всі матриці виду А * = Т -1 АТ, де Т- будь-яка невироджена матриця (квадратна), мають один і той же визначник | A|=| A*|.

Подібні матриці мають ще одну загальну для них характеристику.

Поряд із матрицею Арозглянемо матрицю

,

яка утворена з Азаміною діагональних елементів a ijелементами
, де – довільне число. Визначник цієї матриці

є багаточлен ступеня nщодо (коефіцієнт при дорівнює (-1) n). Багаточлен
називається характеристичним багаточленом матриці А.

Покажемо, що це подібні матриці мають і той ж характеристичний многочлен, тобто. що де А * = Т -1 АТ.

Для цього скористаємось тотожністю Е*= Т -1 Є. Тоді, замінюючи у матриці
матриці А*і Евідповідно на Т -1 АТі Т -1 Є, отримуємо:

Таким чином, усі подібні матриці мають один і той же характеристичний багаточлен.
.

Алгебраїчне рівняння n-го ступеня
називається характеристичним рівнянням матриці А, яке коріння – характеристичними числами.

Характеристичне рівняннямає вигляд

де - слід k-го порядку матриці А.

Слідом k-го порядку називається сума можливих
головних мінорів k-ого порядку:

Характеристичне рівняння має nне обов'язково різних коренів
. Кожному характерному кореню відповідає власний вектор з точністю до постійного множника.

Сума характеристичного коріннядорівнює сліду матриці А:

а добуток характеристичного коріння дорівнює визначнику матриці А:

Число ненульових коренів збігається з рангом матриці лінійного оператора.

Одним із методів для знаходження коефіцієнтів
Характеристичного рівняння є методом Фаддєєва. Нехай лінійний оператор заданий матрицею А. Тоді коефіцієнти обчислюються за такою схемою:

приклад.Знайти власні значення лінійного оператора , заданого матрицею

.

Рішення.Характеристичне рівняння має вигляд

У результаті отримуємо наступне характеристичне рівняння:

або звідки – власні значення лінійного оператора .

Теорема Гамільтона-Келі.Кожна квадратна матриця є коренем свого характерного багаточлена.

Доведення.Розглянемо багаточлен

Елементами матриці Ує багаточлени від ступеня не вище ( n-1 ). Тому матрицю Уможна уявити в наступному вигляді:

Прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів в обох частинах рівності (6.2.4), отримаємо

Помножимо рівності (6.2.5) відповідно на
та складемо отримані результати:

звідки випливає, що
. Теорему доведено.

приклад.Лінійний оператор заданий матрицею

.

Знайти
і показати, що
.

Рішення.Складемо матрицю

Багаточлен
має вигляд

.

6.3. Власний вектор та власне число лінійного оператора

Нехай у просторі заданий лінійний оператор .

Визначення.Ненульовий вектор
, що задовольняє співвідношення
називається власним вектором, а відповідне число - Власним значенням оператора .

З даного визначенняслід, що образом власного вектора є колінеарний йому вектор
.

Відзначимо деякі властивості власних векторів оператора .

1. Кожному власному вектору відповідає єдине власне число. Припустимо зворотне: нехай власному вектору оператора відповідають два власні числа
. Це означає що

,

.

Але звідси випливає, що

Бо за умовою - Ненульовий вектор, то
.

2. Якщо і - Власні вектори оператора з тим самим власним числом , то їхня сума
також є власним вектором оператора з власним числом . Справді, оскільки
і
, то

3. Якщо - Власний вектор оператора з власним числом , то будь-який вектор
, колінеарний вектор , також є власним вектором оператора з тим самим власним числом .

Справді,

Таким чином, кожному власному числу відповідає безліч колінеарних власних векторів. З властивостей 2 і 3 випливає, що безліч власних векторів оператора , що відповідають одному і тому ж власному числу, утворює простір, який є підпростором простору .

Доведемо теорему існування власного вектора.

Теорема.У комплексному лінійному просторі кожен лінійний оператор має принаймні один власний вектор.

Доведення.Нехай - Лінійний оператор, заданий у просторі , а -Власний вектор цього оператора з власним числом , тобто.
. Виберемо довільний базис
та позначимо координати вектора у цьому базисі через
. Тоді, якщо
– матриця оператора у базисі
, то, записуючи співвідношення в матричній формі, отримаємо

У координатної формиматричне рівняння (6.3.1) має вигляд

Для відшукання власного вектора потрібно визначити ненульові рішення системи (6.3.2), які існують і тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто. коли
. Звідси слідує що власне числолінійного оператора є його характеристичною кількістю, яка завжди існує. Підставляючи це число в систему (6.3.2), знайде ненульове рішення цієї системи, яке визначає власний вектор, що шукається. Теорему доведено.

З цієї теореми випливає, що знаходження власного числа лінійного оператора та відповідного йому власного вектора зводиться до вирішення характеристичного рівняння
. Нехай
– різне корінняхарактеристичного рівняння. Підставивши якийсь корінь в систему (6.3.2), знайдемо всі її лінійно незалежні рішення, які визначають власні вектори, що відповідають власному числу . Якщо ранг матриці
дорівнює rі r< n, то існує k= n- rлінійно незалежних власних векторів, що відповідають кореню.

приклад.Знайти власні вектори лінійного оператора , заданого матрицею

.

Рішення.Складемо характеристичне рівняння

,

або
звідки
.

Підставляємо коріння
у систему (6.3.1). Знайдемо власні вектори оператора .

При
маємо

.

Отримаємо однорідну системутрьох лінійних рівнянь, у тому числі лише одне (будь-яке) є лінійно незалежним. Загальне рішення системи має вигляд
. Знайдемо два лінійно незалежні рішення:

Тоді власні вектори, що відповідають власним значенням
, мають вигляд

,

де з- Довільне дійсне число, відмінне від нуля.

При
маємо

.

Загальне рішення цієї системи має вигляд

Власний вектор, що відповідає власному значенню
, дорівнює

.

Теорема.Нехай власні значення
оператора попарно різні. Тоді відповідають їм власні вектори
лінійно незалежні.

Доведення.Використовуємо метод індукції за кількістю змінних. Так як - Ненульовий вектор, то при p=1 твердження теореми справедливе.

Нехай затвердження теореми справедливе для m< pвекторів
. Приєднаємо до цих векторів вектор
і припустимо, що має місце рівність

Так як
, -Власні вектори, то
і тому рівність (6.3.4) можна переписати так:

За умовою все
, різні, тому
. Система векторів
– лінійно незалежна. Тому з (6.3.6) випливає, що. Тоді з (6.3.3) та з умови, що
- Власний вектор (
), отримуємо
. Це означає, що
- Система лінійно незалежних векторів. Індукцію проведено. Теорему доведено.

Наслідок:якщо всі власні значення
попарно різні, то відповідають їм власні вектори
утворюють базис простору .

Теорема.Якщо як базис простору прийняти nлінійно незалежних власних векторів, то оператору у цьому базисі відповідає діагональна матриця

.

Доведення.Розглянемо довільний вектор
і базис, складений із власних векторів
цього простору. Тоді, де
– координати вектора у базисі
.

Застосовуючи до вектора оператор , отримаємо
або
.

Так як
, - Власний вектор, то
.

З (6.3.7) маємо

Рівності (6.3.8) означають, що матриця лінійного оператора у базисі
має вигляд

.

Теорему доведено.

Визначення.Лінійний оператор в просторі R nназивається оператором простої структури, якщо він має nлінійно незалежні власні вектори.

Очевидно, що оператори простої структури, і тільки вони мають діагональні матриці в деякому базисі. Цей базис може бути складений лише зі своїх векторів оператора . Дія будь-якого оператора простої структури завжди зводиться до розтягування координат вектора в даному базисі.