Чому дорівнює ступінь багаточлену. Вивчення та застосування

Після вивчення одночленів переходимо до багаточленів. Ця стаття розповість про всі необхідні відомості, необхідні виконання дій над ними. Ми визначимо багаточлен із супутніми визначеннями члена багаточлена, тобто вільний і подібний, розглянемо багаточлен стандартного виду, введемо ступінь та навчимося його знаходити, попрацюємо з його коефіцієнтами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

Визначення многочлена треба було ще в 7 клас після вивчення одночленів. Розглянемо повне визначення.

Визначення 1

Багаточленомвважається сума одночленів, причому сам одночлен – це окремий випадокбагаточлена.

З визначення випливає, що приклади багаточленів можуть бути різними: 5 , 0 , − 1 , x, 5 · a · b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z і так далі. З визначення маємо, що 1+x, a 2 + b 2 і вираз x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x є многочленами.

Розглянемо ще визначення.

Визначення 2

Членами багаточленуназиваються його складові одночлени.

Розглянемо такий приклад, де маємо багаточлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , що складається з 4 членів: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 та − y 3. Такий одночлен вважатимуться многочленом, що з одного члена.

Визначення 3

Багаточлени, які мають у своєму складі 2 , 3 тричлени мають відповідну назву – двочлені тричлен.

Звідси випливає, що вираз виду x + y– є двочленом, а вираз 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – тричленом.

за шкільній програміпрацювали з лінійним двочленом виду a · x + b , де а та b є деякими числами, а х – змінною. Розглянемо приклади лінійних двочленів виду: x + 1, x · 7, 2 - 4 з прикладами квадратних тричленів x 2 + 3 · x − 5 та 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для перетворення та рішення необхідно знаходити та наводити подібні доданки. Наприклад, багаточлен виду 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x має подібні доданки 1 і - 3, 5 х та 2 х. Їх поділяють у особливу групупід назвою таких членів багаточлена.

Визначення 4

Подібні члени багаточлену– це подібні доданки, що перебувають у багаточлені.

У наведеному вище прикладі маємо, що 1 і - 3 , 5 х і 2 х є подібними членами многочлена або подібними доданками. Для того, щоб спростити вираз, застосовують знаходження та приведення подібних доданків.

Багаточлен стандартного вигляду

У всіх одночленів і багаточленів є певні назви.

Визначення 5

Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, у якого кожен член, що входить до нього, має одночлен стандартного вигляду і не містить подібних членів.

З визначення видно, що можливе приведення багаточленів стандартного виду, наприклад, 3 · x 2 - x · y + 1 та __formula__, причому запис у стандартному вигляді. Вирази 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z та 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z багаточленами стандартного виду не є, тому що перший з них має подібні доданки у вигляді 3 · x 2 та − x 2, а другий містить одночлен виду x · y 3 · x · z 2 відрізняється від стандартного многочлена.

Якщо цього вимагають обставини, іноді многочлен наводиться до стандартного виду. Багаточлен стандартного виду вважається і поняття вільного члена многочлена.

Визначення 6

Вільним членом багаточленає багаточлен стандартного вигляду, що не має буквеної частини.

Інакше висловлюючись, коли запис многочлена у стандартному вигляді має число, його називають вільним членом. Тоді число 5 є вільним членом многочлена x 2 · z + 5 а багаточлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 вільного члена не має.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Визначення самого ступеня багаточлена базується на визначенні багаточлена стандартного виду та на ступенях одночленів, які є його складовими.

Визначення 7

Ступенем багаточлена стандартного виглядуназивають найбільший зі ступенів, що входять до його запису.

Розглянемо з прикладу. Ступінь многочлена 5 · x 3 - 4 дорівнює 3 тому, як одночлени, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0, а більше з них 3 відповідно. Визначення ступеня із многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x дорівнює найбільшому з чисел, тобто 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 і 1, отже 5 .

Слід з'ясувати, як знаходиться сама ступінь.

Визначення 8

Ступінь багаточлена довільного числа - це ступінь відповідного багаточлена в стандартному вигляді.

Коли многочлен записаний над стандартному вигляді, але потрібно знайти його ступінь, необхідно приведення до стандартного, після чого шукати ступінь.

Приклад 1

Знайти ступінь багаточлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 - 2 · a 12 − a 12.

Рішення

Для початку представимо багаточлен у стандартному вигляді. Отримаємо вираз виду:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При отриманні многочлена стандартного виду отримуємо, що чітко виділяються два з них - 2 · a 2 · b 2 · c 2 та y 2 · z 2 . Для знаходження ступенів порахуємо та отримаємо, що 2 + 2 + 2 = 6 та 2 + 2 = 4 . Видно, що найбільша їх дорівнює 6 . З визначення випливає, що саме 6 є ступенем многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , отже вихідного значення.

Відповідь: 6 .

Коефіцієнти членів багаточлену

Коли всі члени багаточлена є одночленами стандартного виду, то у такому випадку вони мають назву коефіцієнтів членів багаточлену.Інакше висловлюючись, їх можна називати коефіцієнтами многочлена.

При розгляді прикладу видно, що багаточлен виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 має у своєму складі 4 багаточлени: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x та 7 з відповідними коефіцієнтами 2 , − 0 , 5 , 3 і 7 . Значить, 2 , − 0 , 5 , 3 та 7 вважаються коефіцієнтами членів заданого багаточлена виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При перетворенні важливо звертати увагу на коефіцієнти, що стоять перед змінними.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

- багаточленами. У цій статті ми викладемо всі початкові та необхідні відомостіпро багаточлени. До них, по-перше, відноситься визначення багаточлена з супутніми визначеннями членів багаточлена, зокрема вільного члена та подібних членів. По-друге, зупинимося на багаточленах стандартного виду, дамо відповідне визначення та наведемо їх приклади. Нарешті, введемо визначення ступеня многочлена, розберемося, як його визначити, і скажемо про коефіцієнти членів многочлена.

Навігація на сторінці.

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

У 7 класі багаточлени вивчаються відразу після одночленів, це і зрозуміло, оскільки визначення багаточленадається через одночлени. Дамо це визначення, що пояснює, що таке багаточлен.

Визначення.

Багаточлен- Це сума одночленів; одночлен вважається окремим випадком многочлена.

Записане визначення дозволяє навести скільки завгодно прикладів багаточленів. Будь-який з одночленів 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , і т.п. є багаточлен. Також за визначенням 1+x , a 2 +b 2 і це багаточлени.

Для зручності опису многочленів запроваджується визначення члена многочлена.

Визначення.

Члени багаточлена– це складові багаточленів одночлени.

Наприклад, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 складається з чотирьох членів: 3·x 4 , −2·x·y , 3 та −y 3 . Одночлен вважається багаточленом, що складається з одного члена.

Визначення.

Багаточлени, які складаються з двох та трьох членів, мають спеціальні назви – двочлені тричленвідповідно.

Так x + y - це двочлен, а 2 · x 3 · q-q · x · x +7 · b - тричлен.

У школі найчастіше доводиться працювати з лінійним двочленом a x + b , де a і b – деякі числа, а x – змінна, а також з квадратним тричленом a x 2 + b x x c , де a , b і c - деякі числа, а x - змінна. Ось приклади лінійних двочленів: x+1 , x·7,2−4 , а приклади квадратних тричленів: x 2 +3·x−5 і .

Багаточлени у своєму записі можуть мати подібні доданки. Наприклад, в многочлені 1+5·x−3+y+2·x подібними доданками є 1 та −3 , а також 5x і 2x. Вони мають свою особливу назву – такі члени багаточлена.

Визначення.

Подібними членами багаточленуназиваються подібні доданки в многочлен.

У попередньому прикладі 1 і -3, як і пара 5 x і 2 x, є подібними членами многочлена. У багаточленах, які мають подібні члени, можна спрощення їх виду виконувати приведення подібних членів .

Багаточлен стандартного вигляду

Для багаточленів, як і для одночленів, існує так званий стандартний вигляд. Озвучимо відповідне визначення.

Виходячи з даного визначення, можна навести приклади багаточленів стандартного вигляду. Так багаточлени 3·x 2 −x·y+1 та записані у стандартному вигляді. А вирази 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z та x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не є багаточленами стандартного виду, так як у першому з них містяться подібні члени 3· x 2 і −x 2 , а у другому – одночлен x y 3 x z 2 , вид якого відмінний від стандартного.

Зауважимо, що за потреби завжди можна привести багаточлен до стандартного вигляду.

До многочленів стандартного виду належить ще одне поняття – поняття вільного члена многочлена.

Визначення.

Вільним членом багаточленаназивають членом багаточлена стандартного вигляду без буквеної частини.

Інакше кажучи, якщо запису многочлена стандартного виду є число, його називають вільним членом. Наприклад, 5 – це вільний член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 немає вільного члена.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Ще одним важливим супутнім визначеннямє визначення ступеня багаточлена. Спочатку визначимо ступінь багаточлена стандартного виду, це визначення базується на ступенях одночленів, що у його складі.

Визначення.

Ступінь багаточлена стандартного вигляду– це найбільший із ступенів одночленів, що входять до його запису.

Наведемо приклади. Ступінь многочлена 5·x 3 −4 дорівнює 3 , оскільки одночлени 5·x 3 і −4, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0 відповідно, найбільше з цих чисел є 3 , воно і є ступенем многочлена за визначенням. А ступінь багаточлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·xдорівнює найбільшому з чисел 2+3=5 , 4+1=5 та 1 , тобто 5 .

Тепер з'ясуємо, як знайти рівень багаточлена довільного вигляду.

Визначення.

Ступенем багаточлена довільного виглядуназивають ступінь відповідного йому багаточлен стандартного виду.

Отже, якщо багаточлен записаний над стандартному вигляді, і потрібно знайти його ступінь, потрібно привести вихідний многочлен до стандартного вигляду, і знайти ступінь отриманого многочлена – вона й буде шуканою. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть ступінь багаточлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12.

Рішення.

Спочатку потрібно подати багаточлен у стандартному вигляді:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2.

В отриманий многочлен стандартного виду входять два одночлени −2·a 2 ·b 2 ·c 2 та y 2 ·z 2 . Знайдемо їх ступеня: 2+2+2=6 та 2+2=4 . Очевидно, найбільша з цих ступенів дорівнює 6 вона за визначенням є ступенем багаточлена стандартного виду −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2, Отже, і ступенем вихідного многочлена., 3 x і 7 многочлена 2 x -0,5 x x y +3 x +7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Або, суворо, – кінцева формальна сума виду

Зокрема, багаточлен від однієї змінної є кінцевою формальною сумою виду

За допомогою багаточлена виводяться поняття "алгебраїчне рівняння" та "алгебраїчна функція".

Вивчення та застосування[ | ]

Вивчення поліноміальних рівнянь та його рішень становило чи не головний об'єкт «класичної алгебри».

З вивчення багаточленів пов'язаний цілий рядперетворень у математиці: введення на розгляд нуля , негативних , та був і комплексних чисел , і навіть поява теорії груп як розділу математики і виділення класів спеціальних функцій у аналізі.

Технічна простота обчислень, пов'язаних з багаточленами, порівняно з більш складними класамифункцій, а також той факт, що безліч багаточленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних підмножинах евклідового простору (див. апроксимаційна теорема Вейєрштрасса), сприяли розвитку методів розкладання в ряди та поліноміальної інтерполяції в математичному аналізі.

Багаточлени також відіграють ключову роль в геометрії алгебри , об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем многочленів.

Особливі властивості перетворення коефіцієнтів при множенні багаточленів використовуються в геометрії алгебри, алгебри, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування або вираження багаточленами властивостей різних об'єктів.

Пов'язані визначення[ | ]

• Багаточлен виду c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))називається одночленомабо мономоммультиіндексу I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Одночлен, що відповідає мультиіндексу I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))називається вільним членом.
• Повним ступенем(ненульового) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n)))називається ціле число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• Безліч мультиіндексів I, для яких коефіцієнти c I (\displaystyle c_(I))ненульові, називається носієм багаточлена, а його опукла оболонка - багатогранником Ньютона.
• Ступенем багаточленаназивається максимальна зі ступенів його одночленів. Ступінь тотожного нуля визначається значенням − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• Багаточлен, який є сумою двох мономів, називається двочленомабо біномом,
• Багаточлен, який є сумою трьох мономів, називається тричленом.
• Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативного кільця R (\displaystyle R)(найчастіше поля, наприклад, поля речових або комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій складання та множення багаточлени утворюють кільце (більше асоціативно-комутативну алгебру над кільцем R (\displaystyle R)без дільників нуля) яке позначається R [x1, x2, …, xn]. (\displaystyle R.)
• Для багаточлена p(x) (\displaystyle p(x))однією змінною, рішення рівняння p(x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)називається його коренем.

Поліноміальні функції[ | ]

Нехай A (\displaystyle A)є алгебра над кільцем R (\displaystyle R). Довільний багаточлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)визначає поліноміальну функцію

Найчастіше розглядають випадок A = R (\displaystyle A = R).

У разі якщо R (\displaystyle R)є поле речових або комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числомелементів), функція f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R)повністю визначає многочлен p. Однак у загальному випадкуце неправильно, наприклад: багаточлени p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)і p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))з Z 2 [x] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x])визначають тотожно рівні функції Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

Поліноміальна функція одного дійсного змінного називається цілою раціональною функцією.

Види багаточленів[ | ]

Властивості [ | ]

Подільність [ | ]

Роль неприведених багаточленів у кільці багаточленів схожа з участю простих чисел у кільці цілих чисел. Наприклад, вірна теорема: якщо добуток багаточленів p q (\displaystyle pq)ділиться на неприведений багаточлен, то pабо qділиться на λ (\displaystyle \lambda). Кожен багаточлен, ступеня більший за нуль, Розкладається в даному полі до твір ненаведених множників єдиним чином (з точністю до множників нульового ступеня).

Наприклад, багаточлен x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), неприведений у полі раціональних чисел, розкладається на три множники у полі дійсних чиселі на чотири множники в полі комплексних чисел.

Взагалі, кожен багаточлен від одного змінного x (\displaystyle x)розкладається в полі дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, у полі комплексних чисел - на множники першого ступеня (основна теорема алгебри).

Для двох та більшого числазмінних цього не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-кого n > 2 (\displaystyle n>2)існують багаточлени від n (\displaystyle n)змінних, що не наводяться в будь-якому розширенні цього поля. Такі багаточлени називаються абсолютно непривідними.

Поняття багаточлена

Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:

тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.

Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.

Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадок багаточлена, він складається з одного члена.

Число нуль - це нульовий багаточлен.

Стандартний вид багаточлену

Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.

Приклад багаточлена у стандартному вигляді:

тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.

Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:

тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Потрібно їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:

Ще приклад:

Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:

Ступінь багаточлена

Що таке ступінь багаточлену?

Ступінь багаточлена визначення:

Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, яку мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного вигляду.

приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.

Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступінь має перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а його ступінь дорівнює 9-ти.

Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.

Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.

Згідно з визначенням, багаточлен це алгебраїчний виразявляє собою суму одночленів.

Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона перестав бути сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.

Комплексне поняття багаточлена

Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять усі на свої місця.

І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.

Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якому всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.

Стандартний вид багаточлену

Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного вигляду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання подібних членів багаточлена називають приведенням подібних.
Наприклад, наведемо подібні доданки в багаточлені 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.

З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, випливає також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.

Коли багаточлен приведено до стандартного вигляду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем многочлена називається найбільша ступінь одночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, оскільки максимальний ступіньодночлена що входить у многочлен (5*x^3*y^2) п'ята.