Пряма з початком, але без кінця. Пряма на площині – необхідні відомості

У цій статті ми докладно зупинимося на одному з первинних понять геометрії – на понятті прямої лінії на площині. Спочатку визначимося з основними термінами та позначеннями. Далі обговоримо взаємне розташування прямої точки, а також двох прямих на площині, наведемо необхідні аксіоми. На закінчення розглянемо способи завдання прямої на площині і наведемо графічні ілюстрації.

Навігація на сторінці.

Прямі на площині - концепції.

Перш ніж дати поняття прямий на площині, слід чітко уявляти собі, що ж являє собою площину. Уявлення про площинудозволяє отримати, наприклад, рівна поверхняфони або стіни будинку. Слід, однак, мати на увазі, що розміри столу обмежені, а площина простягається і за межі цих кордонів у нескінченність (наче у нас скільки завгодно великий стіл).

Якщо взяти добре заточений олівець і торкнутися його стрижнем до поверхні столу, ми отримаємо зображення точки. Так ми отримуємо уявлення про точку на площині.

Тепер можна переходити і до поняття прямої лінії на площині.

Покладемо на поверхню стола (на площину) аркуш чистого паперу. Для того щоб зобразити пряму лінію, нам необхідно взяти лінійку та провести олівцем лінію на скільки це дозволяють зробити розміри лінійки та аркуша паперу, що використовується. Слід зазначити, що у такий спосіб ми отримаємо лише частину прямої. Пряму лінію цілком, що тягнеться в нескінченність, ми можемо тільки уявити.

Взаємне розташування прямої та точки.

Почати слід з аксіоми: на кожній прямій та у кожній площині є точки.

Точки прийнято позначати більшими латинськими літерами, наприклад, точки А та F . У свою чергу прямі лінії позначають малими латинськими літерами, наприклад, прямі і d .

Можливі два варіанти взаємного розташуванняпрямий і точки на площині: або точка лежить на прямій (у цьому випадку також кажуть, що пряма проходить через точку), або точка не лежить на прямій (також кажуть, що точка не належить пряма або пряма не проходить через точку).

Для позначення приналежності точки деякої прямої використовують символ "". Наприклад, якщо точка А лежить на прямій а , можна записати . Якщо точка А не належить прямої а, то записують.

Справедливе таке твердження: через будь-які дві точки проходить єдина пряма.

Це твердження є аксіомою і його слід сприйняти як факт. До того ж це досить очевидно: відзначаємо дві точки на папері, прикладаємо до них лінійку і проводимо пряму лінію. Пряму, що проходить через дві задані точки (наприклад, через точки А і В), можна позначати цими двома літерами (у нашому випадку пряма АВ або ВА).

Слід розуміти, що на прямій, заданій на площині, нескінченно лежить багато різних точок, причому всі ці точки лежать в одній площині. Це твердження встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині.

Безліч всіх точок, розташованих між двома заданими на прямій точками, разом з цими точками називають відрізком прямийабо просто відрізком. Крапки, що обмежують відрізок, називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають двома літерами, що відповідають точкам кінців відрізка. Наприклад, нехай точки А і є кінцями відрізка, тоді цей відрізок можна позначити АВ або ВА . Зверніть увагу, що таке позначення відрізка збігається із позначенням прямої. Щоб уникнути плутанини, рекомендуємо до позначення додавати слово відрізок або пряма.

Для короткого запису приналежності та не приналежності деякої точки деякому відрізку використовують ті самі символи і . Щоб показати, що деякий відрізок лежить або не лежить на прямій, користуються символами і відповідно. Наприклад, якщо відрізок АВ належить прямий а можна коротко записати .

Слід також зупинитися у випадку, коли три різні точки належать одній прямій. У цьому випадку одна, і тільки одна точка лежить між двома іншими. Це є черговою аксіомою. Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій, причому точка лежить між точками А і С. Тоді можна говорити, що точки А і С знаходяться по різні сторонивід точки У . Також можна сказати, що точки В і З лежать по одну сторону то точки А, а точки А і В лежать по одну сторону від точки З.

Для повноти картини зауважимо, що будь-яка точка пряма поділяє цю пряму на дві частини – два променя. Для цього випадку дається аксіома: довільна точка О , що належить прямий, ділить цю пряму на два промені, причому дві будь-які точки одного променя лежать по одну сторону від точки О , а будь-які дві точки різних променів - по різні сторони від точки О .

Взаємне розташування прямих на площині.

Тепер відповімо питанням: «Як можуть розташовуватися дві прямі на площині щодо одне одного»?

По-перше, дві прямі на площині можуть збігатися.

Це можливо в тому випадку, коли прямі мають принаймні дві точки. Дійсно, через аксіому, озвучену в попередньому пункті, через дві точки проходить єдина пряма. Іншими словами, якщо через дві задані точки проходять дві прямі, вони збігаються.

По-друге, дві прямі на площині можуть перетинатися.

У цьому випадку прямі мають одну загальну точку, Яку називають точкою перетину прямих. Перетин прямих позначають символом «», наприклад, запис означає, що прямі і b перетинаються у точці М . Пересічні прямі приводять нас до поняття кута між прямими , що перетинаються . Окремо варто розглянути розташування прямих на площині, коли кут між ними дорівнює дев'яноста градусам. У цьому випадку прямі називаються перпендикулярними(Рекомендуємо статтю перпендикулярні прямі, перпендикулярність прямих). Якщо пряма a перпендикулярна до прямої b , то можна використовувати короткий запис.

По-третє, дві прямі на площині можуть бути паралельними.

Пряму лінію на площині з практичного погляду зручно розглядати разом із векторами. Особливе значеннямають ненульові вектори, що лежать на даній прямій або на будь-якій з паралельних прямих, їх називають напрямними векторами прямий. У статті напрямний вектор прямий на площині наведено приклади напрямних векторів і показані варіанти їх використання при вирішенні завдань.

Також слід звернути увагу на ненульові вектори, що лежать на будь-якій із прямих, перпендикулярних даній. Такі вектори називають нормальними векторами прямий. Про застосування нормальних векторів прямої розказано у статті нормальний вектор прямої на площині.

Коли на площині дано три і більш прямі лінії, то виникає безліч різних варіантівїх взаємного розташування. Всі прямі можуть бути паралельними, інакше деякі або всі з них перетинаються. При цьому всі прямі можуть перетинатися в єдиній точці (дивіться статтю прямих пучок), а можуть мати різні точкиперетину.

Не будемо докладно зупинятися на цьому, а наведемо без доказу кілька примітних фактів, що дуже часто використовуються:

• якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони паралельні між собою;
• якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою;
• якщо на площині деяка пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і другу пряму.

Способи завдання прямої на площині.

Тепер ми перерахуємо основні методи, якими можна задати конкретну пряму на площині. Це знання дуже корисно з практичної точки зору, так як на ньому ґрунтується вирішення багатьох прикладів і завдань.

По-перше, пряму можна задати, вказавши дві точки на площині.

Справді, з аксіоми, розглянутої в першому пункті цієї статті, ми знаємо, що через дві точки проходить пряма, і лише одна.

Якщо в прямокутної системикоординат на площині вказані координати двох несхожих точок, тобто можливість записати рівняння прямої, що проходить через дві задані точки .

По-друге, пряму можна задати, вказавши точку, якою вона проходить, і пряму, якою вона паралельна. Цей спосіб справедливий, оскільки через дану точкуплощині проходить єдина пряма, паралельна заданій прямій. Доказ цього факту проводилося під час уроків геометрії у неповній середній школі.

Якщо пряму на площині поставити таким способом щодо введеної прямокутної декартової системикоординат, тобто можливість скласти її рівняння. Про це написано у статті рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданій прямій.

По-третє, пряму можна задати, якщо вказати точку, через яку вона проходить, та її напрямний вектор.

Якщо пряма лінія задана у прямокутній системі координат у такий спосіб, то легко скласти її канонічне рівняння прямої на площині та параметричні рівняння прямої на площині .

Четвертий спосіб завдання прямої у тому, що слід зазначити точку, якою вона проходить, і пряму, якою вона перпендикулярна. Справді, через задану точкуплощині проходить єдина пряма, перпендикулярна до цієї прямої. Залишимо цей факт без доказу.

Зрештою, пряму на площині можна задати, вказавши точку, якою вона проходить, і нормальний вектор прямий.

Якщо відомі координати точки, що лежить на заданій прямій, і координати нормального вектора прямої, то є можливість записати загальне рівняння прямої .

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Перший том: елементи лінійної алгебрита аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Як відомо з геометрії, «пряме» означає щось, що не має вигинів та поворотів. Точне спрямування, рівне шосе, відверту розмову теж називають цим же словом. Це поняття, звичайно, використовується і в інших сферах життєдіяльності, у тому числі в літературі та в звичайному спілкуванні людей між собою.

Що можна назвати прямим

Щоб розібратися зі значенням слова «пряма», пригадаємо, як ми використовуємо його у звичайній мові. Потім пройдемося по кожному пункту окремо. Отже, простим перерахуванням можна назвати такі фрази з цим словом:

• пряма дорога;
• пряма розмова;
• прямий кут;
• пряма залежність;
• пряма лінія;
• пряме значення;
• пряма мова;
• прямий рейс;
• прямий напрямок;
• і так далі.

У кожному разі пояснення значення буде зовсім різним, незважаючи на використання у всіх словосполученнях одного й того самого слова. Наприклад, прямий напрямок – це просто вказівка ​​на те, в який бік треба рухатись. А прямий рейс – це повідомлення про те, що рух відбудеться з одного пункту до іншого без зупинок та змін маршруту.

Як відрізнити пряме, рівне від кривого

Що таке пряме? У підручниках геометрії є пояснення цього поняття. Прямою називають найпростішу - рівну лінію, яка не має ні початку, ні кінця. Обмежена двома точками частина прямої називається відрізком. Що таке пряма та відрізок, ми розібралися.

Будь-яка риса може бути вигнутою чи хвилястою, тобто кривою. Якщо послідовно з'єднати кілька самостійних «натягнутих» відрізків без дотримання одного напрямку (в різні боки), то вийде крива або ламана лінія. Коли риса складається з дуг, вигинів та плавних поворотів, її називають вигнутою, хвилястою. Що таке пряма у геометрії? Якщо йти від зворотного, то це кожна лінія, яка не є кривою, хвилястою, ламаною чи вигнутою.

Що спільного між прямою розмовою та прямою мовою

Судячи з пояснення авторитетних словників, прямою розмовою називається серйозна розмова, яка вимагає відвертості та правдивості від усіх учасників цього процесу. Для цього не обов'язково знати, що таке пряме мовлення, достатньо без таємниці розповідати про те, що запитують, чи робити конкретні пропозиції. Під час прямих розмов іноді з'ясовуються різні таємниці чи приховані подробиці подій. Найчастіше такі розмови відбуваються між близькими людьми, друзями чи родичами.

А ось щоб точно передати або записати цю бесіду на папір, вже необхідно згадати, що таке пряме мовлення, слова автора та інші терміни літераторів.

Правопис вимагає, щоб слова промовця відокремлювалися від слів автора (оповідача) двокрапкою, лапками, комами і тире. На виділення мови впливає розташування слів «героя» у тексті, абзаці, рядку тощо. Тобто прямою мовою називають відтворені буквально чиїсь слова, включені в основний сюжет оповідання.

Крилатий птах і крилаті слова

Ми з'ясували, що таке пряма в геометрії та в літературі, настав час рухатися далі. До речі, в попередній пропозиції одне зі слів було використане в переносному значенні(Рухатися). Тобто було утворено друге, не пряме значення, пов'язане з основною лише назвою. Відбулося перенесення найменування за дією. Виявляється, деякі слова, якими ми користуємося, мають різні значення:

• пряме, чи основне;
• переносне, або вторинне.

Що таке пряме значення? Відповідь закладено у самому питанні. Це назва ознаки, дії, предмета чи явища, яке відразу ж викликає уявлення, незалежно від контексту. Багатозначність поняття формується перенесенням назви щось інше, що ніяк не пов'язане з основним, прямим значенням слова. Наприклад:

• рухатися на возі – рухатися за текстом;
• золотий самородок – золоті руки;
• шоколадна цукерка – шоколадна шкіра.

Який кут є прямим

Насамперед будь-який кут - це самостійна геометрична фігура. Якщо з'єднати між собою три точки, що лежать не на одній прямій, то вістря (або вершина) цієї конструкції і буде кутом. Якщо всередині будь-якого кола провести кілька ліній, що перетинаються між собою, то в точці їх перетину утворюється кілька кутів з парними значеннями. Кількість їх дорівнюватиме кількості проведених ліній, помноженому на два.

Всі кути вимірюються в градусах, і повне значеннясуми всіх кутів у колі дорівнює 360 градусів. Кути бувають гострі та тупі, прямі та розгорнуті, суміжні, вертикальні та додаткові.

Що таке прямий кут? Як його одержати, де знайти? Усередині кола, розділеного проведеними через його центр двома перпендикулярними між собою лініями, утворюється чотири однакові кути. Вони називаються прямими і значення кожного з них – 90 градусів.

Як побудувати потрібний кут без транспорту

Іноді в звичайного життянеобхідно застосувати або обчислити точне значеннякута. Існує декілька простих способівдля цього.

• Якщо взяти лист від будь-якого зошита чи книжки, всі його кути дорівнюють 90 градусам.
• При складанні такого листа з акуратним поєднанням двох сусідніх сторінутворюється кут 45 градусів.
• Якщо з одного боку зошитового чи будь-якого іншого аркуша паперу відміряти 10 див, а з іншого - 17,3 див, та був з'єднати ці точки лінією, можна отримати шаблон, кути якого дорівнюють 90, 60 і 30 градусам.

Що таке пряма залежність від дій? На конкретну відповідь можуть вплинути різні фактори. Одне незмінно: якщо виконувати дії у потрібному напрямку, робити послідовні кроки та застосовувати отримані знання на практиці, то результат буде обов'язково позитивним.

Про паралельні прямі та фантастичні світи

Що таке пряме? Крапка - це основне поняття у щось, що не має частин. Рівна, витягнута лінія без початку і кінця, яка має безліч точок, є прямою.

Щоб пояснити, що таке математики застосовують різні визначеннята порівняння. Ось одна з аксіом: лінії прямі, які ніде і ніколи не можуть перетинатися, є паралельними. Можна використати ще один спосіб, щоб визначити паралельність ліній. Якщо з кожної точки на одній з прямих побудувати перпендикулярно (тобто під прямим кутом) до другої рівні відрізки, то ці прямі не зможуть перетинатися і будуть паралельними.

Що таке паралельні прямі, зрозуміло. А як це пов'язано з фантастичними світами? Відповідь досить проста, тому що і в цьому випадку має місце перенесення понять, про які йшлося вище. Можлива реальність, що не перетинається, а що знаходиться поряд з нашою, в одному і тому ж просторі та часі, і є паралельним світом. Вважається вірним твердження, Що процеси, які відбуваються там, ніяк не впливають на наш світ.

Декілька загальновідомих аксіом

У математичному світіаксіома - це твердження, котрій не потрібні докази. Нижче наведено деякі з таких істин.

Будь-яку з геометричних чи інших фігур можна збільшити з дотриманням пропорцій.

Дві прямі, що розходяться в одному напрямку, обов'язково сходитимуться в іншому.

Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні один одному.

Якщо дві прямі лінії зближуються, вони колись перетнуться.

Якщо прямі зближуються, вони зможуть розійтися у тому напрямі без перетину.

Через дві будь-які точки можна провести коло або пряме.

Сума трьох кутів є однаковою у всіх трикутників, і вона дорівнює сумі двох прямих кутів.

Прямокутник - це постать із чотирма прямими кутами.

Уявимо світ без геометрії

Знання про те, що таке пряма, відрізок, точка, кут, потрібні не лише школярам та студентам для отримання хороших оцінок. Їх застосовують архітектори та дизайнери, кравці та будівельники, геодезисти та геологи, меблярі та автомобілебудівники, а також велика кількістьінших спеціалістів. Хіба хтось хоче носити потворну сукню або жити в будинку з кривими стінами, що падають?

Що таке прямий кут? Лінії, відрізки, площини, точки та кути – це, можна сказати, основа архітектури. Наука про будівництво так само неможлива без математичних обчисленьі геометричних понять, як і література без слів, крапок, ком, знаків оклику і прямої мови.

Що таке пряма дорога? Це шлях, що веде з одного пункту до іншого (або від одного поняття до іншого, від неосвіченості до ерудиції, наприклад), з можливими зупинками в часі, але без відхилень від обраного маршруту.

Ми розглянемо кожну тему, а в кінці будуть дані тести з тем.

Крапка в математиці

Що таке точка математики? Математична точка немає розмірів і позначається великими латинськими літерами: A, B, C, D, F тощо.

На малюнку можна побачити зображення точок A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Відрізок у математиці

Що таке відрізок у математиці? На уроках математики можна почути таке пояснення: математичний відрізок має довжину та кінці. Відрізок у математиці - це сукупність всіх точок, що лежать на прямій між кінцями відрізка. Кінці відрізка – дві граничні точки.

На малюнку бачимо наступне: відрізки ,,,, і , і навіть дві точки B і S.

Пряма у математиці

Що таке пряма у математиці? Визначення прямої в математиці: пряма немає кінців і може продовжуватися в обидві сторони до нескінченності. Пряма в математиці позначається двома будь-якими точками прямою. Для пояснення поняття прямий учневі можна сказати, що пряма – це відрізок, який не має двох кінців.

На малюнку зображено дві прямі: CD та EF.

Промінь у математиці

Що таке промінь? Визначення променя в математиці: промінь - частина пряма, яка має початок і не має кінця. У назві променя є дві літери, наприклад, DC. Причому перша буква завжди означає точку початку променя, тому міняти місцями букви не можна.

На малюнку зображено промені: DC, KC, EF, MT, MS. Промені KC та KD - один промінь, т.к. у них загальний початок.

Числова пряма в математиці

Визначення числової прямої в математиці: пряма, точки якої відзначають числа, називають числовою прямою.

На малюнку зображено числову пряму, а також промінь OD та ED

Точка та пряма є основними геометричними фігурами на площині.

Давньогрецький учений Евклід говорив: «крапка» – те, що немає частин». Слово «крапка» у перекладі з латинської мовиозначає результат миттєвого дотику, укол. Крапка є основою для побудови будь-якої геометричної фігури.

Пряма лінія або просто пряма - це лінія, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшим. Пряма лінія нескінченна і зобразити всю пряму і виміряти її неможливо.

Крапки позначають великими латинськими літерами А, В, С, D, Е та ін., а прямі тими ж літерами, але малими а, b, c, d, e та ін. ній. Наприклад, пряму a можна позначити АВ.

Можна сміливо сказати, що точки АВ лежать на прямий а чи належать прямий а. А можна сказати, що пряма проходить через точки А і В.

Найпростіші геометричні фігури на площині – це відрізок, промінь, ламана лінія.

Відрізок – це частина прямої, яка складається з усіх точок прямої, обмежених двома обраними точками. Ці точки – кінці відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців.

Промінь або напівпряма – це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по одну сторону від цієї точки. Ця точка називається початковою точкою напівпрямої або початком променя. Промінь має точку початку, але не має кінця.

Напівпрямі або промені позначаються двома малими латинськими літерами: початковою та будь-якою іншою літерою, відповідної точки, Що належить напівпрямий. При цьому початкова точкаставиться першому місці.

Виходить, що пряма нескінченна: вона не має ні початку, ні кінця; у променя є лише початок, але немає кінця, а відрізок має початок і кінець. Тому лише відрізок ми можемо виміряти.

Декілька відрізків, які послідовно з'єднані між собою так, що мають одну загальну точку відрізки (сусідні) розташовуються не на одній прямій, являють собою ламану лінію.

Ламана лінія може бути замкненою та незамкненою. Якщо кінець останнього відрізка збігається з початком першого, перед нами замкнута ламана лінія, якщо ні – незамкнута.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Незважаючи на те, що геометрія належить до точних наук, вчені що неспроможні однозначно дати визначення терміну «пряма». В самому загальному виглядіможна дати таке визначення: «Пряма — це лінія, шлях уздовж якої дорівнює відстаніміж двома точками».

Що таке пряма у математиці? Визначення прямої в математиці: пряма немає кінців і може продовжуватися в обидві сторони до нескінченності.

До основних понять геометрії відносяться точка, пряма та площина, вони даються без визначення, але визначення інших геометричних фігурдаються через ці поняття. Площина, як і пряма, - це первинне поняття, яке не має визначення. Це твердження встановлюється наступною аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин.

Завдання: де пряме, промінь, відрізок, крива? Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана. Завдання: яке ламане довше, а яке більше вершин? Сумежні сторонибагатокутника – це суміжні ланки ламаної. Вершини багатокутника – це вершини ламаної. Сусідні вершини- Це точки кінців однієї сторони багатокутника.

На уроках математики можна почути таке пояснення: математичний відрізок має довжину та кінці. Відрізок у математиці - це сукупність усіх точок, що лежать на прямій між кінцями відрізка.

Надалі будуть визначення для різних фігуркрім двох - точка та пряма. Значить іноді позначити пряму можемо і двома великими латинськими літерами, наприклад, пряма (AB), так як ніяка інша пряма через ці дві точки не може бути проведена. Символічно записуємо відрізок (AB).

Що таке точка математики?

Теорема: Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині цієї сторони. С. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібні прямокутний трикутник, кожен з яких подібний до цього трикутника. С. Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий. Тут зібрано основні визначення, теореми, властивості фігур на площині.

Вектор з координатами точки називається нормальним вектором, він перпендикулярний до прямої.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії

4.Дві прямі, що не збігаються, на площині або перетинаються в єдиній точці, або вони паралельні. Променем називають частину прямої лінії, обмежену з одного боку. Відрізок, як і пряма лінія, позначається або однією літерою або двома. У останньому випадкуці літери вказують кінці відрізка.