Що ділить трикутник на два рівновеликі трикутники. Теорема

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Урок 3

Медіана ділить площу трикутника навпіл

Два трикутники називаються рівновеликими. Якщо вони мають однакову площу.

Теорема 1.Медіана ділить трикутник на два рівновеликих трикутника.

Доведення:

Нехай ВМ – медіана трикутника АВС. Доведемо, що

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">

Проведемо висоту BH трикутника АВС. Тоді

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.

Що і потрібно було довести.

Теорема 2. Медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників.

З теореми, зокрема слід, що й точку перетину медіан трикутника з'єднати з його вершинами, то трикутник розіб'ється на трирівновеликі частини.

Завдання 1 Дві медіани трикутника взаємно перпендикулярні та рівні відповідно 3 і 4. Знайти площу трикутника.

Рішення.

Нехай у трикутнику АВС медіани АМ і ВЕ дорівнюють 3 і 4 відповідно, , К – точка перетину медіан.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.

Оскільки трикутник АВК прямокутний із прямим кутом ВКА, то .

Оскільки медіан ділять трикутник на 6 рівновеликих частин, то .

Відповідь: 8

Завдання 2 Медіани трикутника дорівнюють 6, 8 і 10, знайти площу трикутника.

Рішення.

Нехай медіани АM, BEі CDданого трикутника відповідно дорівнюють 6, 8 і 10, К - точка їх перетину. Відкладемо на продовженні променя ВЕ за точку Е відрізок EF= KE. З'єднаємо точки С, F та A.

Розглянемо трикутник KAF.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, тому що CKAE - паралелограм (за ознакою паралелограма: ялинки діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, до цього чотирикутник паралелограм), отримуємо .

Так як https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src="> зворотній теореміПіфагора (якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний) трикутник KAF – прямокутний і .

Обчислимо площу трикутника AKF:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 від площі самого трикутника.

Доказ можна подивитися, наприклад, у методичному посібнику«Опорні завдання щодо планіметрії».

Запитання для самоперевірки:

1. Які трикутники називаються рівновеликими?

2. Площа трикутника дорівнює S. Чому дорівнює площа кожного із трикутників, на які його розбиває медіана, проведена до якоїсь сторони цього трикутника?

3. На скільки рівновеликих частин розбивають трикутник проведені у ньому три медіани?

4. Площа трикутника дорівнює S. Цент тяжкості цього трикутника з'єднали з вершинами. Чому дорівнює площа кожного з трикутників, що вийшли?

5. Площа трикутника дорівнює 48, чому дорівнює площа трикутника, що складається з медіан цього трикутника?

6. Площа трикутника, складеного з медіан деякого трикутника, дорівнює 24, чому дорівнює площа трикутника?

Подивитись відповіді.

Завдання для самостійного вирішення:

1. Дві медіани трикутника взаємно перпендикулярні та рівні відповідно 6 і 8. Знайти площу трикутника.

Подивитися рішення.

2. Медіани трикутника дорівнюють 3, 4 і 5 знайти площу трикутника.

Подивитися рішення.

3. Трикутник АВС, Сторони якого 13 см, 14 см і 15 см, розбитий на три трикутники відрізками, що з'єднують точку Мперетину медіан трикутника з вершин трикутника. Знайти площу трикутника ВМС.

Подивитися рішення.

4. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 і 12, а медіана, проведена до третьої, дорівнює 5. Знайдіть площу трикутника.

Подивитися рішення.

Теорема. Медіана трикутника ділить його на два рівновеликі трикутники. Зворотне твердження: «Якщо відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежного боку, ділить цей трикутник на два рівновеликі трикутники, то цей відрізок є його медіаною ». Доведемо, наприклад, зворотне твердження.

ІІ метод. 1. Нехай ВМ – даний відрізок та S ABM = S BMC. Відрізки AP та СQ – висоти трикутників АВМ та ВМС, проведені до однієї і тієї ж сторони. 2. Оскільки S ABM = S BMC, то AP BM = CQ BM, звідки AP = CQ. 3. AMP = CMQ (за катетом та гострим кутом). AM = CM. Отже, відрізок ВМ – медіана цього трикутника. A B C Q P M

Значить, S AOC = S BOC, тобто відрізок CP – медіана трикутника ABC, отже, медіани трикутника перетинаються в одній точці. Трикутники BOC та CON мають загальну висоту, проведену до сторін BO та ON відповідно та S BOC: S CON = 2: 1.

Отже, BO: ON = 2: 1. Тим самим доведено, що медіани точкою перетину діляться щодо 2: 1, рахуючи від вершин, з яких вони проведені. OP – медіана трикутника АОВ, тому S AOP = S BOP = S 1. Отже всі шість трикутників рівновеликі. A B C M N O P S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1

Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

• Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає проста формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

• Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

• Усі медіани мають одну загальну точкуперетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
• Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
• Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігурякі також будуть трикутниками.
• Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
• У рівнобедреному трикутникумедіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, яка не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідним і достатньою умовоюрівнобедреності.
• Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується на точку перетину всіх медіан.

• У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшій стороні, дорівнює половині її довжини.
• Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.

• Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена ​​нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіану

• Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінієютрикутника та складати одну другу від сторони трикутника, з якою вона не має спільних точок.
• Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.

На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.