Введемо прямокутну систему координат. Конспект уроку "прямокутна система координат у просторі"

Якщо через точку Про в просторі ми проведемо три перпендикулярні пря-мі, назвемо їх, виберемо направлі ня, по-зна-чим поодинокі від-різ-ки, то ми по-лучимо пря-мо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат у просторі. Осі ко-ор-ді-нат на-зи-ва-ють-ся так: Ох - вісь абс-цис, Оy - вісь ор-ді-нат і Оz - вісь ап-плі-кат. Вся си-сте-ма ко-ор-ді-нат про-зна-ча-є-ся - Oxyz. Таким чином, по-яв-ля-ють-ся три ко-ор-ді-нат-ні плос-ко-сті: Оxy, Оxz, Оyz.

При-ведемо приклад побудови точки В (4; 3; 5) в прямокутній системі коор-динат (див. Рис. 1 ).

Мал. 1. Побудова точки B в просторі

Перша ко-ор-ді-на-та точки B - 4, по-це-му від-кла-ди-ва-єм на Ox 4, про-во-дим пря-му па-рал-лель-но осі Oy до пе-ре-се-че-ня з пря-мою, про-хо-дя-щої через у=3. Таким об-разом, ми по-лу-ча-ємо точку K. Ця точка лежить в плос-ко-сті Oxy і має ко-ор-ді-на-ти K(4; 3; 0). Тепер потрібно провести пряму паралельно осі Oz. І пряму, ко-то-рая про-хо-дить через точку з ап-плі-ка-тою 5 і парал-лель-на діа-го-на-лі парал-ле-ло-грам -ма в плоскості Oxy. На їх пе-ре-се-че-ні ми по-лучимо іс-ко-му точку B.

Рас-смот-рим роз-по-ло-же-ня точок, у ко-то-рих одна або дві ко-ор-ді-на-ти рівні 0 (див. мал. 2).

Наприклад, точка A(3;-1;0). Потрібно про-дов-жити вісь Oy вліво до зна-чення-1, знайти точку 3 на осі Ox, і на пе-ре-се-че-ні ліній, що проходять через ці зна-че -ня, по-лу-ча-єму точку А. Ця точка має ап-плі-ка-ту 0, а значить, вона лежить в плоскості Oxy.

Точка C(0;2;0) має абс-цис-су і ап-плі-ка-ту 0 - не від-ме-ча-ю. Ор-ді-на-та дорівнює 2, зна-чит точка C лежить тільки на осі Oy, ко-то-рая яв-ля-ет-ся пе-ре-се-че-ні-єм плос-ко- стей Oxy та Oyz.

Щоб от-ло-жити точку D(-4;0;3) про-дов-жа-ем вісь Ox тому за на-ча-ло ко-ор-ди-нат до точки -4. Тепер вос-ста-нав-ли-ва-ємо з цієї точки пер-пен-ді-ку-ляр - пряму, паралельну осі Oz до пе-ре-се-че-ня з прямий, паралельної осі Ox і проходить через зна-чення 3 на осі Oz. По-лу-ча-ю струму D(-4;0;3). Так як ор-ді-на-та точки дорівнює 0, зна-чит точка D лежить у плос-ко-сті Oxz.

Слі-ду-ю-ю точка E (0; 5; -3). Ор-ді-на-та точки 5, ап-плі-ка-та-3, про-во-дим пря-мі про-хо-дя-щі через ці зна-чення на со-від-віт-ству -ю-щих осях, і з їхньої пе-ре-се-че-нии по-лу-ча-ему точку E(0;5;-3). Ця точка має першу ко-ор-ді-на-ту 0, зна-чит вона лежить у плос-ко-сті Oyz.

2. Координати вектора

На-чер-тим прямо-вуголь-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат в просторі Oxyz. За-да-дим у просторі-прямо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат Oxyz. На кожній з по-ло-жи-тель-них по-лу-осей від-ло-жим від на-ча-ла ко-ор-ди-нат одиничний вік-тор, тобто. вік-тор, довжина ко-то-ро-го дорівнює одиниці. Озна-чим одиничний вік-тор осі абс-цис, одиничний вік-тор осі ор-ди-нат, і одиничний вік-тор осі ап-плі-кат (см .рис.1). Ці вік-то-ри со-на-прав-ле-ни з на-прав-ле-ні-я-ми осей, мають оди-ну довжину і ор-то-го-наль-ни - по-пар -але пер-пен-ді-ку-ляр-ни. Такі вік-то-ра на-зи-ва-ють ко-ор-ді-нат-ни-ми вік-то-ра-миабо ба-зі-сом.

Мал. 1. Раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік-то-рам

Візь-мемо век-тор, по-мі-стимо його на почат-ко-ор-ди-нат, і роз-кладемо цей век-тор по трьом неком-пла-нар-ним - ле-жа -Щим у різних площинах - вік-то-рам. Для цього опустимо про-ек-цію точки M на плоскість Oxy, і знайдемо ко-ор-ді-на-ти вік-то-рів, і . По-лу-ча-єм: . Розглянь-рим по від-дель-но-сті кожен з цих вік-то-рів. Век-тор лежить на осі Ox, значить, згід-но влас-ності розумно-же-ня вік-то-ра на число, його можна пред-ставити як якесь число x розумно- жен-ное на ко-ор-ді-нат-ний вік-тор . , А довжина вік-то-ра рівно в x разів більше довжини. Так само по-сту-пим і з вік-то-ра-ми і , і по-про-лу-ча-ем раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік -то-рам:

Ко-еф-фі-ці-ен-ти цього раз-ло-же-ня x, y і z на-зи-ва-ють-ся ко-ор-ді-на-та-ми вік-то-ра в просторі.

Роз-смот-рим прав-ві-ла, ко-то-рие поз-во-ля-ють по ко-ор-ді-на-там даних вік-то-рів знайти ко-ор-ді-на- ти їх суми і різн-ності, а також ко-ор-ді-на-ти про-з-ве-де-ня дан-ного вік-то-ра на дане число.

1) Сло-же-ня:

2) Ви-чи-та-ня:

3) Розумно-же-ня на число: ,

Век-тор, на-ча-ло ко-то-ро-го сов-па-да-є з початком ко-ор-ди-нат, на-зи-ва-є-ся ра-ді-ус-вік-то-ром.(Мал. 2). Век-тор - ра-ді-ус-век-тор, де x, y і z - це ко-еф-фі-ці-ен-ти раз-ло-же-ня цього вік-то-ра по ко-ор -ді-нат-ним вік-то-рам , , . У даному випадку x - це перша ко-ор-ді-на-та точки A на осі Ox, y - ко-ор-ді-на-та точки B на осі Oy, z - ко-ор -ді-на-та точки C на осі Oz. По ри-сун-ку видно, що ко-ор-ді-на-ти ра-ді-ус-вік-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ють-ся ко-ор-ді -на-та-ми точки М.

Візьмемо точку A(x1; y1; z1) і точку B (x2; y2; z2) (див. рис. 3). Пред-став-вим вік-тор як раз-ність вік-то-рів і по-своєму вік-то-рів. Причому, і - ра-ді-ус-вік-то-ри, і їх ко-ор-ді-на-ти сов-па-да-ють з ко-ор-ді-на-та-ми кон- ців цих вік-то-рів. Тоді ми можемо пред-ставити ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра як раз-ність со-від-віт-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат вік-то-рів і : . Таким чином, ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра ми можемо ви-ра-зити через ко-ор-ді-на-ти кінця і на-ча-ла вік-то-ра .

Роз-смот-рим при-ме-ри, іл-лю-стри-ру-ю-щі свої властивості вік-то-рів та їх ви-ра-же-ня через ко-ор-ді-на-ти. Візьмемо вік-то-ри , , . Нас спра-ши-ва-ють век-тор. У даному випадку знайти це означає знайти ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра, ко-то-ри повністю його визна-де-ля-ють. Під-став-ля-ємо у ви-ра-же-ня вме-сто вік-то-рів со-від-вет-ствен-но їх ко-ор-ді-на-ти. По-лу-ча-єм:

Тепер розумно-жа-ємо число 3 на кожну ко-ор-ді-на-ту в скоб-ках, і те ж саме ді-ла-єм з 2:

У нас по-лу-чи-лась сума трьох вік-то-рів, скла-ди-ва-єм їх по вивче-но-му вище за своє-ство:

Відповідь:

Приклад №2.

Дано: Трикутна пі-ра-мі-да AOBC (див. рис. 4). Площини AOB, AOC і OCB - по-пар-но пер-пен-ді-ку-ляр-ни. OA = 3, OB = 7, OC = 4; M – сер.AC; N – сер.OC; P – сірий. CB.

Знайти: ,,,,,,,.

Рішення: Введемо прямокутну си-сте-му ко-ор-ді-нат Oxyz з початком від-рахунку в точці O. За умовою обо- зна-ча-єм точки A, B і C на осях і се-ре-ді-ни ребер пі-ра-мі-ди - M, P і N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор -ді-на-ти вершин пі-ра-мі-ди: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

При введенні системи координат на площині або тривимірному просторі з'являється унікальна можливістьописи геометричних фігурта їх властивостей за допомогою рівнянь та нерівностей. Це має іншу назву – методи алгебри.

Ця стаття допоможе розібратися із завданням прямокутною декартовою системою координат та з визначенням координат точок. Більше наочне і докладне зображення є на графічних ілюстраціях.

Щоб ввести систему координат на площині, необхідно провести дві перпендикулярні прямі. Вибираємо позитивний напрямок, позначаючи стрілкою. Необхідно вибрати масштаб.Точку перетину прямих назвемо літерою O . Вона вважається початком відліку. Це і називається прямокутною системою координатна площині.

Прямі з початком O мають напрям і масштаб, називають координатної прямоїабо координатною віссю.

Прямокутна система координат позначається O x y. Координатними осями називають Ох і Оу, які називаються відповідно вісь абсцисі вісь ординат.

Зображення прямокутної системи координат на площині.

Осі абсцис та ординат мають однакову одиницюзміни та масштаб, що показано у вигляді штриху на початку координатних осей. Стандартний напрямок О х ліворуч, а O y – знизу вгору. Іноді використовують альтернативний поворот під необхідним кутом.

Прямокутна система координат дістала назву декартової на честь її першовідкривача Рене Декарта. Часто можна зустріти назву як прямокутна декартова система координат.

Тривимірне евклідове простір має аналогічну систему, тільки воно складається не з двох, а з трьох О х, О у, О z осей. Це три взаємно перпендикулярні прямі, де Про z має назву вісь аплікат.

У напрямку координатних осей ділять на праву та ліву прямокутні системи координат тривимірного простору.

Осі координат перетинаються в точці O, званої початком. Кожна вісь має позитивний напрямок, який вказується за допомогою стрілок на осях. Якщо при повороті О х проти годинникової стрілки на 90 ° її позитивний напрямок збігається з позитивним О у тоді це застосовно для позитивного напрямку О z . Таку систему вважають правою.Інакше кажучи, якщо порівняти напрямок Х з великим пальцемруки, то вказівний відповідає за Y, а середній за Z.

Аналогічно утворюється ліва система координат. Обидві системи поєднати неможливо, оскільки відповідні осі не співпадуть.

Для початку відкладемо точку М на координатній осі Ох. Будь-яке дійсне число x M дорівнює єдиній точці М, розташованої на цій прямій. Якщо точка розташована на координатній прямій на відстані 2 від початку відліку за позитивним напрямом, то вона дорівнює 2 якщо - 3 то відповідна відстань 3 . Нуль - це початок відліку координатних прямих.

Інакше кажучи, кожна точка М, розташована на O x дорівнює дійсному числу x M . Цим дійсним числом є нуль, якщо точка M розташована на початку координат, тобто на перетині O x і О у. Число довжини відрізка завжди позитивне, якщо точка видалена у позитивному напрямку та навпаки.

Існуюче число x M називають координатоюточки М на заданій координатній прямій.

Візьмемо точку як проекцію точки M x на Ох, а як проекцію точки M y на О у. Отже, через точку М можна провести перпендикулярні до осейО x і О у прямі, де отримаємо відповідні точки перетину M x і M y .

Тоді точка M x на осі Ох має відповідне число x M, а M y на О у - y M. На координатних осях це виглядає так:

Кожна точка M на заданої площиниу прямокутній декартовій системі координат має одну відповідну пару чисел (x M , y M) координатами. Абсциса M- Це x M, ордината M- Це y M.

Зворотне твердження також вважається вірним: кожна впорядкована пара (x M , y M) має відповідну задану в площині точку.

Визначення точки М у тривимірному просторі. Нехай є M x , M y , M z , що є проекціями точки М на відповідні осі О х, О у, О z . Тоді значення цих точок на осях Про х, Про у, Про z приймуть значення x M , y M , z M . Зобразимо це координатних прямих.

Щоб отримати проекції точки M необхідно додати перпендикулярні прямі О х, О у, О z продовжити і зобразить у вигляді площин, які проходять через M . Таким чином, площини перетнуться в M x , M y , M z

Кожна точка тривимірного простору має свої дані (x M, y M, z M), які мають назву координати точки M, x M, y M, z M -це числа, звані абсцисою, ординатоюі аплікатизаданої точки M. Для цього судження правильно і зворотне затвердження: кожна впорядкована трійка дійсних чисел(x M , y M , z M) у заданій прямокутній системі координат має одну відповідну точку M тривимірного простору.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Метод координат - це, звісно, ​​дуже добре, але у справжніх завданнях C2 жодних координат та векторів немає. Тому їх доведеться запроваджувати. Так-так, ось так взяти і ввести: вказати початок відліку, одиничний відрізокта напрямок осей x, y та z.

Саме чудова властивістьцього методу полягає в тому, що не має жодного значення, як саме вводити систему координат. Якщо всі обчислення будуть правильними, то й відповідь буде правильною.

Координати куба

Якщо завдання C2 буде куб - вважайте, що вам пощастило. Це найпростіший багатогранник, все двогранні кутиякого дорівнюють 90°.

Система координат також вводиться дуже просто:

1. Початок координат – у точці A;
2. Найчастіше ребро куба не зазначено, тому приймаємо його за одиничний відрізок;
3. Ось x направляємо по ребру AB, y – по ребру AD, а вісь z – по ребру AA 1 .

Зверніть увагу: вісь z прямує вгору! Після двовимірної системи координат це дещо незвично, але насправді дуже логічно.

Отже, тепер кожна вершина куба має координати. Зберемо їх у таблицю - окремо для нижньої площини куба:

Неважко помітити, що точки верхньої площини відрізняються відповідних точокнижньою лише координатою z. Наприклад, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Головне – не заплутатися!

Призма – це вже набагато веселіше. При правильному підході достатньо знати координати лише нижньої основи – верхнє буде вважатися автоматично.

У задачах C2 зустрічаються виключно правильні тригранні призми (прямі призми, в основі яких лежить правильний трикутник). Їх система координат вводиться майже як і, як й у куба. До речі, якщо хтось не в курсі, куб - це теж призма, лише чотиригранна.

Тож поїхали! Вводимо систему координат:

1. Початок координат – у точці A;
2. Сторону призми приймаємо за одиничний відрізок, якщо інше не зазначено за умови завдання;
3. Вісь направляємо по ребру AB, z - по ребру AA 1 , а вісь y розташуємо так, щоб площина OXY збігалася з площиною основи ABC.

Тут потрібні деякі пояснення. Справа в тому, що вісь y не збігається з ребром AC, як багато хто вважає. А чому не збігається? Подумайте самі: трикутник ABC – рівносторонній, у ньому всі кути по 60 °. А кути між осями координат повинні бути по 90 °, тому зверху картинка виглядатиме так:

Сподіваюся, тепер зрозуміло, чому вісь y не піде вздовж AC. Проведемо у цьому трикутнику висоту CH. Трикутник ACH - прямокутний, причому AC = 1, тому AH = 1 · cos A = cos 60 °; CH = 1 · sin A = sin 60 °. Ці факти необхідні обчислення координат точки C.

Тепер поглянемо на всю призму разом із побудованою системою координат:

Отримуємо наступні координати точок:

Як бачимо, точки верхньої основи призми знову відрізняються від відповідних точок нижньої лише координатою z. Основна проблема - це точки C і C1. Вони мають ірраціональні координати, які треба просто запам'ятати. Ну чи зрозуміти, звідки вони виникають.

Координати шестигранної призми

Шестигранна призма – це «клонована» тригранна. Можна зрозуміти, як це відбувається, якщо поглянути на нижню основу – позначимо його ABCDEF. Проведемо додаткові побудови: відрізки AD, BE та CF. Вийшло шість трикутників, кожен з яких (наприклад, трикутник ABO) є основою тригранної призми.

Тепер введемо власне систему координат. Початок координат - точку O - помістимо до центру симетрії шестикутника ABCDEF. Ось x піде вздовж FC, а вісь y – через середини відрізків AB та DE. Отримаємо таку картинку:

Зверніть увагу: початок координат НЕ збігається з вершиною багатогранника! Насправді, під час вирішення справжніх завдань ви виявите, що це дуже зручно, оскільки дозволяє значно зменшити обсяг обчислень.

Залишилось додати вісь z. За традицією, проводимо її перпендикулярно до площини OXY і направляємо вертикально вгору. Отримаємо підсумкову картинку:

Запишемо тепер координати точок. Припустимо, що всі ребра нашої правильної шестигранної призми дорівнюють 1. Отже, координати нижньої основи:

Координати верхньої основи зсунуті на одиницю по осі z:

Піраміда – це взагалі дуже суворо. Ми розберемо лише найпростіший випадок – правильну чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні одиниці. Однак у цих задачах C2 довжини ребер можуть відрізнятися, тому нижче наведено і загальна схемаобчислення координат.

Отже, правильна чотирикутна піраміда. Це така сама, як у Хеопса, лише трохи менше. Позначимо її SABCD, де S – вершина. Введемо систему координат: початок у точці A, одиничний відрізок AB = 1, вісь x направимо вздовж AB, вісь y – вздовж AD, а вісь z – вгору, перпендикулярно площині OXY. Для подальших обчислень нам знадобиться висота SH - і побудуємо її. Отримаємо таку картинку:

Тепер знайдемо координати точок. Спочатку розглянемо площину OXY. Тут усе просто: в основі лежить квадрат, його координати відомі. Проблеми виникають з точкою S. Оскільки SH – висота до площини OXY, точки S та H відрізняються лише координатою z. Власне, довжина відрізка SH - це координата z для точки S, оскільки H = (0,5; 0,5; 0).

Зауважимо, що трикутники ABCі ASC рівні за трьома сторонами (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - загальна). Отже, SH = BH. Але BH – половина діагоналі квадрата ABCD, тобто. BH = AB · sin 45 °. Отримуємо координати всіх точок:

Ось і все із координатами піраміди. Але не з координатами взагалі. Ми розглянули лише найпоширеніші багатогранники, проте цих прикладів достатньо, щоб самостійно обчислити координати будь-яких інших фігур. Тому можна приступати, власне, до методів вирішення конкретних завдань C2.

Прямокутна (інші назви — плоска, двомірна) система координат, названа на ім'я французького вченого Декарта (1596—1650) «декартовою системою координат на площині», утворюється перетином на площині під прямим кутом (перпендикулярно) двох числових осей так, що позитивна піввісь однієї спрямована вправо (вісь x, або вісь абсцис), а другий - вгору (вісь y, або вісь ординат).

Точка перетину осей збігається з точкою 0 кожної їх і називається початком координат.

Для кожної осі вибирається довільний масштаб (поодинокий відрізок довжини). Кожній точці площини відповідає одна пара чисел, названа координатами цієї точки на площині. І навпаки, будь-якій упорядкованій парі чисел відповідає одна точка площини, для якої ці числа є координатами.

Перша координата точки називається абсцисою цієї точки, а друга координата – ординатою.

Вся площина координат ділиться на 4 квадранти (чверті). Квадранти розташовані від першої до четвертої проти годинникової стрілки (рис.).

Щоб визначити координати точки, потрібно знайти її відстань до осі абсцис та осі ординат. Так як відстань (найкоротша) визначається по перпендикуляру, то з точки опускаються два перпендикуляри (допоміжні лінії на площині координат) на осі так, що точка їх перетину - це і є місце заданої точки в площині координат. Точки перетину перпендикулярів з осями називають проекціями точки на осі координат.

Перший квадрант обмежений позитивними півосями абсцис та ординат. Отже, координати точок у цій чверті площині будуть позитивними.
(знаки «+» та

Наприклад, точка M (2; 4) малюнку вгорі.

Другий квадрант обмежений негативною піввіссю абсцис та позитивною піввіссю ординат. Отже, координати точок по осі абсцис будуть негативними (знак "-"), а по осі ординат - позитивними (знак "+").

Наприклад, точка C (-4; 1) на малюнку вище.

Третій квадрант обмежений негативною піввіссю абсцис та негативною піввіссю ординат. Отже, координати точок по осі абсцис та осі ординат будуть негативними (знаки «-» та «-»).

Наприклад, точка D (-6; -2) малюнку вище.

Четвертий квадрант обмежений позитивною піввіссю абсцис та негативною піввіссю ординат. Отже, координати точок по осі абсцис будуть позитивними (знак "+"). а по осі ординат – негативними (знак «-»).

Наприклад, точка R (3; -3) малюнку вище.

Побудова точки за її заданими координатами

першу координату точки знайдемо на осі абсцис і проведемо через неї допоміжну лінію перпендикуляр;

другу координату точки знайдемо на осі ординат та проведемо через неї допоміжну лінію – перпендикуляр;

точка перетину двох перпендикулярів (допоміжних ліній) і відповідатиме точці із заданими координатами.