Ірраціональні висловлювання та їх перетворення. Тема: Перетворення статечних та ірраціональних виразів - Документ

Вирази, що містять знак радикала (корінь), називаються ірраціональними.

Арифметичне коріння натурального ступеня$n$ з неотрицательного числа а називається деяке неотрицательное число, при зведенні якого ступінь $n$ виходить число $а$.

$(√^n(a))^n=a$

У записі $√^n(a)$, «а» називається підкореним числом, $n$ - показник кореня або радикала.

Властивості коренів $n$-ого ступеня при $а≥0$ і $b≥0$:

1. Корінь твору дорівнює творукоріння

$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$

Обчислити $√^5(5)∙√^5(625)$

Корінь добутку дорівнює добутку коріння і навпаки: добуток коріння з однаковим показникомкореня дорівнює кореню з твору підкорених виразів

$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. Корінь із дробу – це окремо корінь із чисельника, окремо із знаменника

$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, при $b≠0$

3. При зведенні кореня у ступінь, у цей ступінь зводиться підкорене вираз

$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$

4. Якщо $а≥0$ і $n,k$ - натуральні числа, більші за $1$, то справедлива рівність.

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

5. Якщо показники кореня та підкореного виразупомножити або розділити на те саме натуральне числото значення кореня не зміниться.

$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$

6. Корінь не парного ступеняможна витягувати з позитивних і негативних чисел, а корінь парного ступеня – лише з позитивних.

7. Будь-який корінь можна подати у вигляді ступеня з дробовим (раціональним) показником.

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Знайдіть значення виразу $(√(9∙√^11(с)))/(√^11(2048∙√с))$ при $с>0$

Корінь твору дорівнює добутку коріння

$(√(9∙√^11(с)))/(√^11(2048∙√с))=(√9∙√(√^11(с)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$

Коріння з чисел ми можемо отримати відразу

$(√9∙√(√^11(с)))/(√^11(2048)∙√^11(√с))=(3∙√(√^11(с)))//2∙ √^11(√с))$

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

$(3∙√(√^11(с)))/(2∙√^11(√с))=(3∙√^22(с))/(2∙√^22(с))$

Коріння $22$ ступеня з $с$ ми скорочуємо і отримуємо $(3)/(2)=1,5$

Відповідь: $1,5$

Якщо у радикала з парним показником ступеня ми знаємо знак підкореного висловлювання, то, при вилученні кореня виходить модуль підкореного виразу.

Знайдіть значення виразу $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ за $7< c < 9$

Якщо над корінням не стоїть показник, то це означає, що ми працюємо з квадратним коренем. Його показник дорівнює двом, тобто. парний. Якщо у радикала з парним показником ступеня ми знаємо знак підкореного висловлювання, то, при вилученні кореня виходить модуль підкореного виразу.

$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$

Визначимо знак виразу, що стоїть під знаком модуля, виходячи з умови $7< c < 9$

Для перевірки візьмемо будь-яке число із заданого проміжку, наприклад, $8$

Перевіримо знак кожного модуля

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

Властивості ступенів з раціональним показником:

1. При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається незмінною, а показники складаються.

$a^n∙a^m=a^(n+m)$

2. При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

3. При зведенні у ступінь твору у цей ступінь зводиться кожен множник

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. При зведенні в ступінь дробу в цей ступінь зводиться чисельник та знаменник

Властивості коренів лежать в основі двох наступних перетворень, які називаються внесенням під знак кореня та винесенням з-під знака кореня, до розгляду яких ми переходимо.

Внесення множника під знак кореня

Внесення множника під знак має на увазі заміну виразу , де B і C - деякі числа або вирази, а n - натуральне число, більше одиниці, тотожно рівним виразом, що має вигляд або .

Наприклад, ірраціональний вираз після внесення множника 2 під знак кореня набуває вигляду .

Теоретичні основи цього перетворення, правила його проведення, а також рішення різноманітних характерних прикладів дано у статті внесення множника під знак кореня.

Винесення множника з-під знака кореня

Перетворенням, у сенсі зворотним внесення множника під знак кореня, є винесення множника з-під знака кореня. Воно полягає у поданні кореня у вигляді твору при непарних n або у вигляді твору при парних n де B і C - деякі числа або вирази.

За прикладом повернемося до попереднього пункту: ірраціональний вираз після винесення множника з-під знака кореня набуває вигляду. Інший приклад: винесення множника з-під знака кореня у виразі дає твір, який можна переписати як .

На чому базується це перетворення і за якими правилами воно проводиться, розберемо в окремій статті винесення множника з-під знака кореня. Там же наведемо рішення прикладів та перерахуємо способи приведення підкореного виразу до виду, зручного для винесення множника.

Перетворення дробів, що містять коріння

Ірраціональні вирази можуть містити дроби, в чисельнику і знаменнику яких є коріння. З такими дробами можна проводити будь-які основні тотожних перетворень дробів.

По-перше, ніщо не заважає працювати з виразами в чисельнику та знаменнику. Як приклад розглянемо дріб. Ірраціональний вираз у чисельнику, очевидно, тотожно дорівнює, а, звернувшись до властивостей коренів, вираз у знаменнику можна замінити коренем. В результаті вихідний дріб перетворюється на вигляд.

По-друге, можна змінити знак перед дробом, змінивши знак чисельника чи знаменника. Наприклад, мають місце такі перетворення ірраціонального виразу: .

По-третє, іноді можна і доцільно провести скорочення дробу. Наприклад, як відмовити собі в задоволенні скоротити дріб на ірраціональний вираз, в результаті отримуємо .

Зрозуміло, що в багатьох випадках, перш ніж виконати скорочення дробу, вирази в її чисельнику і знаменнику доводиться розкладати на множники, чого в простих випадках дозволяють досягти формули скороченого множення. А іноді скоротити дріб допомагає заміна змінної, що дозволяє від вихідного дробу з ірраціональністю перейти до раціонального дробу, працювати з яким комфортніше та звичніше.

Наприклад візьмемо вираз. Введемо нові змінні і, у цих змінних вихідний вираз має вигляд. Виконавши у чисельнику

При перетворенні арифметичних коренів використовуються їх властивості (див. п. 35).

Розглянемо кілька прикладів застосування властивостей арифметичних коренів для найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні вважатимемо такими, що приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вийняти корінь із твору Рішення. Застосувавши властивість 1°, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник із-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знаку кореня. Мета перетворення - спростити підкорене вираз.

Приклад 3. Спростити

Рішення. За якістю 3° маємо Зазвичай намагаються підкорене вираз спростити, навіщо виносять множники за знак кореня. Маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: За властивістю 4° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. За властивістю 5° ми маємо право показник кореня та показник ступеня підкореного виразу розділити на те саме натуральне число. Якщо в цьому прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо

Приклад 6. Спростити вирази: а)

Рішення, а) За властивістю 1° отримуємо, що для перемноження коренів однієї й тієї ж ступеня достатньо перемножити підкорені вирази та з отриманого результату витягти корінь того ж ступеня. Значить,

б) Насамперед ми маємо привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5° ми можемо показник кореня і показник ступеня підкореного виразу помножити на те саме натуральне число. Тому Далі маємо А тепер в отриманому результаті розділивши показники кореня та ступеня підкореного виразу на 3, отримаємо

Тренажер №1

Тема: Перетворення статечних та ірраціональних виразів

1. Програма елективного курсу з математики для учнів 10 класу

   Програма

   Застосування. Застосування основних тригонометричних формул до перетворенню виразів. Тема 4. Тригонометричні функції та їх графіки. Узагальнити... . 16.01-20.01 18 Перетворення статечнихі ірраціональних виразів. 23.01-27.01 19 ...

2. Календарно-тематичне планування навчального матеріалу алгебра та початку аналізу, 11клас

   Календарно-тематичне планування

   І раціональним показником. Перетворення статечнихі ірраціональних виразів. 2 2 2 вересень Властивості логарифмів. Перетвореннялогарифмічних виразів. 1 1 1 ... у повному обсязі розглядаються з тимиучнями, які претендують на високі...

3. Тема уроку Тип уроку (4)

   Урок

   ... перетвореннячислових та літерних виразів, що містять ступеня ... ступенівЗнати: поняття ступіньз ірраційним показником; основні властивості ступенів. Вміти: знаходити значення ступеняз ірраціональним... 3 за темі « Ступіньпозитивного числа» ...

4. Тема Культурно-історичні основи розвитку психологічного знання у праці Тема Праця як соціально-психологічна реальність

   Документ

   Та ін.) темапраці тісно пов'язана із соціально-економічними перетвореннями. Наприклад, ... перебудова свідомості, інстинкти, ірраціональнітенденції, тобто. внутрішні конфлікти... з'ясування наявності та ступеня виразностіу людини певних...

5. Перетворення виразів, що містять квадратне коріння (1)

   Урок

   редакцією С.А. Теляковського. Темауроку: Перетворення виразів, що містять квадратні...) перетвореннякоріння з твору, дробу та ступеня, множення... (формування навички тотожних перетворень ірраціональних виразів). №421. (біля дошки...