Як пов'язані постійна больцмана та число овогодро. Універсальна газова постійна - універсальна, фундаментальна фізична константа R, рівна добутку постійного Больцмана k на постійну Авогадро

Постійна Больцмана ($k$або $k\_(\backslash rm\; B)$) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою та енергією. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала грає ключову роль. Її експериментальне значенняу Міжнародній системі одиниць (СІ) дорівнює:

$k=1(,)380\backslash ,648\backslash ,52(79)\backslash times\; 10^(-23)$Дж/.

Числа у круглих дужках вказують стандартну похибку в останніх цифрах значення величини. У природній системі одиниць природна одиницятемператури задається так, що постійна Больцмана дорівнює одиниці.

Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться при абсолютної температури $T$, енергія, що припадає на кожну поступальну ступінь свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла, $kT/2$. При кімнатній температурі(300 ) ця енергія складає $2(,)07\backslash times\; 10^(-21)$Дж, або 0,013 еВ. В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія в $\backslash frac\; 3\; 2\; kT$.

Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратного кореня атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону. У разі молекулярного газу ситуація ускладнюється, наприклад, двоатомний газ має п'ять ступенів свободи (при низьких температурахколи не збуджені коливання атомів у молекулі).

Визначення ентропії

Ентропія термодинамічної системи визначається як натуральний логарифмвід числа різних мікростанів $Z$, що відповідають даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергією).

$S=k\backslash ln\; Z.$

Коефіцієнт пропорційності $k$і є стала Больцмана. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними ( $Z$) та макроскопічними станами ( $S$), висловлює центральну ідею статистичної механіки.

Передбачувана фіксація значення

XXIV Генеральна конференція з мір і ваг , що відбулася 17-21 жовтня 2011 року, ухвалила резолюцію , в якій, зокрема, запропоновано майбутню ревізію Міжнародної системи одиниць зробити так, щоб зафіксувати значення постійної Больцмана, після чого вона вважатиметься певною точно. В результаті буде виконуватись точнерівність k=1,380 6X·10 −23 Дж/К. Така передбачувана фіксація пов'язана із прагненням перевизначити одиницю термодинамічної температури кельвін, зв'язавши його величину зі значенням постійної Больцмана.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Постійна Больцмана"

Примітки

Уривок, що характеризує Постійна Больцмана

На гауптвахті, куди був відведений П'єр, офіцер і солдати, що взяли його, поводилися з ним вороже, але водночас і шанобливо. Ще відчувалося в їхньому ставленні до нього і сумнів про те, хто він такий (чи не дуже важлива людина), і ворожість внаслідок ще свіжої їхньої особистої боротьби з ним.
Але коли, вранці іншого дня, прийшла зміна, то П'єр відчув, що для нової варти - для офіцерів і солдатів - він уже не мав сенсу, який мав для тих, які його взяли. І справді, у цій великій, товстій людині в мужицькому каптані вартові іншого дня вже не бачили тієї живої людини, яка так відчайдушно билася з мародером і з конвойними солдатами і сказала урочисту фразу про порятунок дитини, а бачили тільки сімнадцяту з тих, що утримуються навіщо те, наказом вищого начальства, взятих росіян. Якщо й було щось особливе в П'єрі, то тільки його несмачний, зосереджено задумливий вигляд і Французька мова, На якому він, дивно для французів, добре висловлювався. Незважаючи на те, того ж дня П'єра поєднали з іншими підозрілими, оскільки окрема кімната, яку він займав, знадобилася офіцерові.
Усі росіяни, які утримувалися з П'єром, були люди найнижчого звання. І всі вони, дізнавшись у П'єрі пана, цуралися його, тим більше що він говорив французькою. П'єр з сумом чув над собою глузування.
На другий день увечері П'єр дізнався, що всі ці утримувані (і, ймовірно, він у тому числі) повинні були бути засуджені за паління. На третій день П'єра водили з іншими в якийсь будинок, де сиділи французький генералз білими вусами, два полковники та інші французи з шарфами на руках. П'єру, нарівні з іншими, робили з тією, що уявно перевищує людські слабкості, точністю і означністю, з якою зазвичай звертаються з підсудними, питання, хто він? де він був? з якою метою? і т.п.
Питання ці, залишаючи осторонь сутність життєвої справи і виключаючи можливість розкриття цієї сутності, як і всі питання, що робилися на судах, мали на меті лише підставлення того жолобка, яким судячі бажали, щоб потекли відповіді підсудного і призвели його до бажаної мети, тобто до звинувачення. Як тільки він починав говорити щось таке, що не задовольняло цілі звинувачення, так приймали жолобок, і вода могла текти куди їй завгодно. Крім того, П'єр випробував те, що в усіх судах відчуває підсудний: здивування, для чого робили йому всі ці питання. Йому відчувалося, що тільки з поблажливості або ніби з чемності вживалася ця хитрість підставляемого жолобка. Він знав, що був у владі цих людей, що тільки влада привела його сюди, що тільки влада давала їм право вимагати відповіді на запитання, що єдина метацих зборів у тому, щоб звинуватити його. І тому, оскільки була влада і було бажання звинуватити, то не потрібно було й хитрощів питань і суду. Очевидно було, що всі відповіді мали призвести до винності. На питання, що він робив, коли його взяли, П'єр відповідав з деякою трагічністю, що він ніс до батьків дитини, яку він врятував з полум'я. – Для чого він бився з мародером? що він захищав жінку, що захист ображуваної жінки є обов'язок кожної людини, що... Його зупинили: це не йшло до справи. Москві... Його знову зупинили: у нього не питали, куди він ішов, а навіщо він знаходився біля пожежі?Хто він?повторили йому перше запитання, на яке він сказав, що не хоче відповідати.Знову він відповідав,що не може сказати цього .

Як точна кількісна наука, фізика не обходиться без набору дуже важливих постійних, що входять як універсальні коефіцієнти рівняння, що встановлюють зв'язок між тими чи іншими величинами. Це фундаментальні константи, завдяки яким подібні співвідношення набувають інваріантності та здатні пояснювати поведінку фізичних систем на різному масштабі.

До таких параметрів, що характеризують властиві матерії нашого Всесвіту властивості, належить і постійна Больцмана - величина, що входить до ряду найважливіших рівнянь. Однак перш ніж звертатися до розгляду її особливостей і значення, не можна не сказати кількох слів про вченого, ім'я якого вона носить.

Людвіг Больцман: наукові заслуги

Один із найбільших учених XIX століття, австрієць Людвіг Больцман (1844-1906) зробив істотний внесок у розвиток молекулярно- кінетичної теоріїстав одним із творців статистичної механіки. Був автором ергодичної гіпотези, статистичного методу в описі ідеального газу, основного рівняння фізичної кінетики. Багато працював над питаннями термодинаміки (H-теорема Больцмана, статистичний принципдля другого початку термодинаміки), теорії випромінювання (закон Стефана – Больцмана). Також порушував у своїх роботах деякі питання електродинаміки, оптики та інших розділів фізики. Ім'я його увічнено у двох фізичних константах, про які піде нижче.

Людвіг Больцман був переконаним та послідовним прихильником теорії атомно-молекулярної будови речовини. Протягом багатьох років він змушений був боротися з нерозумінням та неприйняттям цих ідей у науковому співтовариствітого часу, коли багато фізиків вважали атоми і молекули зайвою абстракцією, найкращому випадкуумовним прийомом, службовцям зручності розрахунків. Болісно і нападки консервативно налаштованих колег спровокували у Больцмана важку депресію, не винісши якої, видатний учений наклав на себе руки. На могильному пам'ятнику, над бюстом Больцмана, як знак визнання його заслуг, вибито рівняння S = k∙logW – один із результатів його плідної наукової діяльності. Константа k у цьому рівнянні – постійна Больцмана.

Енергія молекул та температура речовини

Поняття температури служить характеристики ступеня нагрітості тієї чи іншої тіла. У фізиці застосовується абсолютна шкалатемператур, в основу якої покладено висновок молекулярно-кінетичної теорії про температуру як міру, що відображає величину енергії теплового рухучастинок речовини (мається на увазі, звичайно, середня кінетична енергіямножини частинок).

Як прийнятий у системі СІ джоуль, так і ерг, що використовується в системі СГС, - занадто великі одиницідля вираження енергії молекул, та й практично було дуже важко вимірювати температуру подібним чином. Зручною одиницею температури є градус, а вимір проводиться опосередковано, через реєстрацію макроскопічних характеристик речовини, що змінюються - наприклад, обсягу.

Як співвідносяться енергія та температура

Для розрахунку станів реальної речовини при температурах і тисках, близьких до нормальних, з успіхом використовується модель ідеального газу, тобто такого, розмір молекули якого набагато менше обсягу, який займає деяка кількість газу, а відстань між частинками значно перевищує радіус їх взаємодії. Виходячи з рівнянь кінетичної теорії, середня енергія таких частинок визначається як E ср = 3/2∙kT, де E – кінетична енергія, T – температура, а 3/2∙k – коефіцієнт пропорційності, введений Больцманом. Число 3 тут характеризує кількість ступенів свободи поступального руху молекул у трьох просторових вимірах.

Величина k, яку згодом на честь австрійського фізика назвали константою Больцмана, показує, яку частину джоуля чи ерга містить один градус. Іншими словами, її значення визначає, наскільки статистично збільшується, в середньому, енергія теплового хаотичного руху однієї частинки одноатомного ідеального газу при підвищенні температури на 1 градус.

У скільки разів градус менше джоуля

Чисельне значення цієї константи можна отримати у різний спосіб, наприклад, через вимірювання абсолютної температури та тиску, використовуючи рівняння ідеального газу, або із застосуванням моделі броунівського руху. Теоретичне виведення цієї величини на сучасному рівнізнань неможливо.

Постійна Больцманадорівнює 1,38 × 10 -23 Дж/К (тут К - кельвін, градус абсолютної температурної шкали). Для колективу частинок в 1 молі ідеального газу (22,4 літра) коефіцієнт, що зв'язує енергію з температурою (універсальна газова постійна), виходить множенням константи Больцмана на число Авогадро (кількість молекул у молі): R = kN A і становить 8,31 Дж/(моль∙кельвін). Однак, на відміну від останньої, константа Больцмана має більш універсальний характер, оскільки входить і в інші важливі співвідношення, а також сама служить для визначення ще однієї фізичної постійної.

Статистичне розподілення енергій молекул

Оскільки стан речовини макроскопічного порядку є результатом поведінки великої сукупностічастинок вони описуються за допомогою статистичних методів. До останніх відноситься і з'ясування того, як розподіляються енергетичні параметри молекул газу:

• Максвелловське розподіл кінетичних енергій (і швидкостей). Воно показує, що в газі, що перебуває в стані рівноваги, більшість молекул володіє швидкостями, близькими до деякої найбільш ймовірної швидкості v = √(2kT/m 0), де m 0 маса молекули.
• Больцманівський розподіл потенційних енергій для газів, що у полі будь-яких сил, наприклад гравітації Землі. Воно залежить від співвідношення двох факторів: тяжіння до Землі та хаотичного теплового руху частинок газу. Через війну що нижча потенційна енергія молекул (ближче поверхні планети), то вище їх концентрація.

Обидва статистичного методуоб'єднуються в розподіл Максвелла - Больцмана, що містить експоненційний множник e - E/kT , де E - кінетична сума і потенційної енергії, А kT - вже відома нам середня енергія теплового руху, керована постійною Больцманом.

Константа k та ентропія

У загальному сенсіентропію можна охарактеризувати як міру незворотності термодинамічного процесу. Ця незворотність пов'язана з розсіюванням – дисипацією – енергії. За статистичного підходу, запропонованого Больцманом, ентропія є функцією кількості способів, якими може бути реалізована фізична система без зміни її стану: S = k∙lnW.

Тут постійна k визначає масштаб зростання ентропії зі збільшенням цієї кількості (W) варіантів реалізації системи, або мікростанів. Макс Планк, який навів цю формулудо сучасного вигляду, і запропонував дати константі ім'я Больцмана.

Закон випромінювання Стефана – Больцмана

Фізичний закон, що встановлює, як енергетична світність(Потужність випромінювання на одиницю поверхні) абсолютно чорного тіла залежить від його температури, має вигляд j = σT 4 , тобто тіло випромінює пропорційно четвертого ступеня своєї температури. Цей закон використовується, наприклад, в астрофізиці, так як випромінювання зірок близьке за характеристиками до чорного.

У зазначеному співвідношенні присутня ще одна константа, яка також управляє масштабом явища. Це стала Стефана - Больцмана σ, яка дорівнює приблизно 5,67 × 10 -8 Вт/(м 2 ∙К 4). Розмірність її включає кельвіни – отже, ясно, що й тут бере участь константа Больцмана k. Справді, величина σ визначається як (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), де c – швидкість світла та h – постійна Планка. Так що больцманівська константа, поєднуючись з іншими світовими постійними, утворює величину, яка знову ж таки пов'язує між собою енергію (потужність) і температуру - даному випадкустосовно випромінювання.

Фізична сутність константи Больцмана

Вище зазначалося, що стала Больцмана належить до так званих фундаментальних констант. Справа не тільки в тому, що вона дозволяє встановити зв'язок характеристик мікроскопічних явищ молекулярного рівняз параметрами процесів, що спостерігаються в макросвіті. І не тільки в тому, що ця константа входить до ряду важливих рівнянь.

В даний час невідомо, чи існує якийсь фізичний принцип, на основі якого вона могла б бути виведена теоретично. Іншими словами, ні з чого не випливає, що значення цієї константи має бути саме таким. Ми могли б як міру відповідності кінетичної енергії частинок використовувати інші величини та інші одиниці замість градусів, тоді чисельне значення константи було б іншим, але вона залишилася б постійною величиною. Поряд із іншими фундаментальними величинами такого роду - граничною швидкістю c, постійною Планкою h, елементарним зарядом e, гравітаційної постійної G, - наука приймає константу Больцмана як даність нашого світу і використовує для теоретичного описупротікають у ньому фізичних процесів.

Народився 1844 року у Відні. Больцман є першопрохідником і першовідкривачем у науці. Його роботи та дослідження часто були незрозумілі та відкинуті суспільством. Однак з подальшим розвиткомфізики його праці було визнано і згодом опубліковано.

Наукові інтереси вченого охоплювали такі фундаментальні галузі, як фізика та математика. З 1867 року він працював викладачем у низці вищих навчальних закладів. У своїх дослідженнях він встановив, що обумовлено хаотичними ударами молекул об стінки судини, в якій вони знаходяться, в той час як температура безпосередньо залежить від швидкості руху частинок (молекул), іншими словами, від них отже, ніж з більшою швидкістюрухаються ці частинки, тим вище температура. Постійну Больцмана названо на честь знаменитого австрійського вченого. Саме він зробив неоціненний внесок у розвиток статичної фізики.

Фізичний зміст цієї постійної величини

Постійна Больцмана визначає зв'язок між такими як температура та енергія. У статичної механікивона відіграє головну ключову роль. Постійна Больцмана дорівнює k = 1,3806505 (24) * 10 -23 Дж/К. Числа, що знаходяться у круглих дужках, вказують на допустиму похибку значення величини щодо останніх цифр. Постійна Больцмана також може бути отримана з інших фізичних постійних. Однак ці обчислення досить складні та важкоздійсненні. Вони вимагають глибоких знань у сфері фізики, а й

Для постійної, пов'язаної з енергією випромінювання чорного тіла, дивись Постійна Стефана-Больцмана

Постійна Больцмана (kабо k B) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою речовини та енергією теплового руху частинок цієї речовини. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала грає ключову роль. Її експериментальне значення в системі СІ дорівнює

У таблиці останні цифри у круглих дужках вказують стандартну похибку постійного значення. У принципі, постійна Больцмана може бути отримана з визначення абсолютної температури та інших постійних фізичних. Однак точне обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нездійсненне за сучасного рівня знань.

Експериментально постійну Больцмана можна визначити за допомогою закону теплового випромінюванняПланка, що описує розподіл енергії у спектрі рівноважного випромінювання за певної температури випромінюючого тіла, і навіть іншими методами.

Існує зв'язок між універсальною газовою постійною і числом Авогадро, з якої випливає значення постійної Больцмана:

Розмірність постійної Больцмана така сама, як і в ентропії.

Історія

У 1877 р. Больцман вперше пов'язав між собою ентропію та ймовірність, проте достатньо точне значенняпостійною kяк коефіцієнта зв'язку у формулі для ентропії виникло лише у працях М. Планка. При виведенні закону випромінювання чорного тіла Планк у 1900–1901 роках. для постійної Больцмана знайшов значення 1,346 10 −23 Дж/K, майже 2,5% менше прийнятого нині.

До 1900 р. співвідношення, які зараз записуються з постійної Больцмана, писалися за допомогою газової постійної R, а замість середньої енергіїоднією молекулу використовувалася загальна енергія речовини. Лаконічна формула виду S = k log Wна бюсті Больцмана стала такою завдяки Планку. У своїй нобелівській лекції 1920 р. Планк писав:

Ця константа часто називається постійною Больцманом, хоча, наскільки я знаю, сам Больцман ніколи не вводив її. дивний стансправ, при тому, що у висловлюваннях Больцмана не було мови про точному виміріцієї константи.

Така ситуація може бути пояснена проведенням на той час наукових дебатів щодо з'ясування сутності атомної будовиречовини. У другій половині 19 століття існували значні розбіжності щодо того, чи є атоми та молекули реальними, чи вони лише зручний спосібопис явищ. Не було єдності й у тому, чи є " хімічні молекули", що розрізняються за їх атомною масою, тими самими молекулами, що і в кінетичній теорії. Далі в нобелівській лекції Планка можна знайти наступне:

"Ніщо не може краще продемонструвати позитивну і прискорювану швидкість прогресу, ніж мистецтво експерименту за останні двадцять років, коли було відкрито відразу безліч методів вимірювання маси молекул практично з тією ж точністю, що і вимірювання маси якоїсь планети".

Рівняння стану ідеального газу

Для ідеального газу справедливо об'єднаний газовий закон, що зв'язує тиск P, Об `єм V, кількість речовини nв молях, газову постійну Rта абсолютну температуру T:

У цьому рівністі можна зробити заміну. Тоді газовий закон виражатиметься через постійну Больцмана та кількість молекул Nв обсязі газу V:

Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться за абсолютної температури T, енергія, що припадає на кожну поступальну міру свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла, kT/ 2 . За кімнатної температури (≈ 300 K) ця енергія становить Дж, або 0,013 еВ.

Співвідношення газової термодинаміки

В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія 3 kT/ 2 . Це добре узгоджується з експериментальними даними. Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню з атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону.

Кінетична теорія дає формулу для середнього тиску Pідеального газу:

Враховуючи, що середня кінетична енергія прямолінійного рухудорівнює:

знаходимо рівняння стану ідеального газу:

Це співвідношення непогано виконується і для молекулярних газів; однак залежність теплоємності змінюється, оскільки молекули можуть мати додаткові внутрішні ступеня свободи по відношенню до тих ступенів свободи, які пов'язані з рухом молекул у просторі. Наприклад, двоатомний газ має вже приблизно п'ять ступенів волі.

Множник Больцмана

У загальному випадкусистема у рівновазі з тепловим резервуаром при температурі Tмає ймовірність pзайняти стан з енергією E, що може бути записано за допомогою відповідного експоненційного множника Больцмана:

У цьому виразі фігурує величина kTіз розмірністю енергії.

Обчислення ймовірності використовується не тільки для розрахунків у кінетичній теорії ідеальних газів, але і в інших областях, наприклад, у хімічній кінетиці в рівнянні Арреніуса.

Роль у статистичному визначенні ентропії

Основна стаття: Термодинамічна ентропія

Ентропія Sізольованої термодинамічної системи у термодинамічній рівновазі визначається через натуральний логарифм від числа різних мікростанів W, відповідних даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергією E):

Коефіцієнт пропорційності kє постійним Больцманом. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними та макроскопічними станами (через Wта ентропію Sвідповідно), висловлює центральну ідею статистичної механіки та є головним відкриттям Больцмана.

У класичній термодинаміці використовується вираз Клаузіуса для ентропії:

Таким чином, поява постійної Больцмана kможна як наслідок зв'язку між термодинамическим і статистичним визначеннями ентропії.

Ентропію можна виразити в одиницях k, що дає таке:

У таких одиницях ентропія відповідає інформаційної ентропії.

Характерна енергія kTдорівнює кількості теплоти, необхідної для збільшення ентропії Sна один нат.

Роль у фізиці напівпровідників: теплова напруга

На відміну від інших речовин, у напівпровідниках існує сильна залежність електропровідності від температури:

де множник 0 досить слабко залежить від температури в порівнянні з експонентою, E A- Енергія активації провідності. Щільність електронів провідності також експонентно залежить від температури. Для струму через напівпровідниковий p-n-перехідзамість енергії активації розглядають характерну енергіюданого p-n переходупри температурі Tяк характерну енергію електрона в електричному полі:

де q– , а V Tє теплова напруга, що залежить від температури.

Дане співвідношення є основою для вираження постійної Больцмана в одиницях еВК −1 . При кімнатній температурі (300 K) значення теплової напруги близько 25,85 мілівольт 26 мВ.

У класичної теоріїчасто використовують формулу, згідно з якою ефективна швидкість носіїв заряду в речовині дорівнює добутку рухливості носіїв μ на напруженість електричного поля. В іншій формулі щільність потоку носіїв зв'язується з коефіцієнтом дифузії Dта з градієнтом концентрації носіїв n :

Відповідно до співвідношення Ейнштейна-Смолуховського, коефіцієнт дифузії пов'язаний із рухливістю:

Постійна Больцмана kвходить також до закону Відемана-Франца, за яким відношення коефіцієнта теплопровідності до коефіцієнта електропровідності в металах пропорційно температурі та квадрату відношення постійної Больцмана до електричного заряду.

Застосування в інших областях

Для розмежування температурних областей, в яких поведінка речовини описується квантовими або класичними методами, служить температура Дебая:

де - , є гранична частота пружних коливань кристалічних ґрат, u- Швидкість звуку в твердому тілі, n- Концентрація атомів.