Знайти суму коефіцієнтів многочлена при парних ступенях. Основні поняття теорії багаточленів

Цей многочлен має цілі коефіцієнти. Якщо ціле число є коренем цього многочлена, воно є дільником числа 16. Отже, якщо цей многочлена є цілі коріння, це можуть бути лише числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Безпосередньою перевіркою переконуємося, що число 2 є коренем цього багаточлена, тобто x 3 - 5x 2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), де Q (x) - багаточлен другого ступеня. Отже, многочлен розкладається на множники, один із яких (х – 2). Для пошуку виду многочлена Q(x) скористаємося так званою схемою Горнера. Основною перевагою цього методу є компактність запису та можливість швидкого поділубагаточлена на двочлен. По суті схема Горнера є іншою формою запису методу угруповання, хоча, на відміну від останнього, є абсолютно ненаглядною. Відповідь (розкладання на множники) тут виходить сама собою, і ми не бачимо самого процесу її отримання. Ми не займатимемося суворим обґрунтуванням схеми Горнера, а лише покажемо, як вона працює.

У другу клітину нижнього рядка «зноситься» число із клітини над нею, тобто 1. Потім надходять так. Корінь рівняння (число 2) множать на останнє написане число (1) і складають результат із числом, яке стоїть у верхньому ряду над наступною вільною клітиною, у нашому прикладі маємо:

І т.д. носить загальноосвітній характер та має велике значеннядля вивчення ВСЬОГО курсу вищої математики. Сьогодні ми повторимо «шкільні» рівняння, але не просто «шкільні» – а ті з них, які повсюдно зустрічаються у різних завданняхвышмата. Як завжди, розповідь піде у прикладному ключі, тобто. я не загострюватиму увагу на визначеннях, класифікаціях, а поділюся з вами саме особистим досвідомрішення. Інформація призначена насамперед для початківців, але й більш підготовлені читачі теж знайдуть для себе чимало цікавих моментів. І, звичайно ж, буде новий матеріал, що виходить за рамки середньої школи.

Отже, рівняння…. Багато хто зі здриганням згадує це слово. Чого тільки стоять «наворочені» рівняння з корінням... …забудьте про нього! Тому що далі вам зустрічатимуться найнешкідливіші «представники» цього виду. Або занудні тригонометричні рівнянняіз десятками методів рішення. Якщо чесно, я і сам їх не дуже любив. Без паніки! - Далі на вас чекають переважно «кульбаби» з очевидним рішенням в 1-2 кроки. Хоча і «реп'ях», безумовно, чіпляється – тут треба бути об'єктивним.

Як не дивно, у вищій математиці набагато частіше доводиться мати справу з примітивними рівняннями на кшталт лінійногорівняння.

Що означає розв'язати це рівняння? Це означає знайти ТАКЕ значення «ікс» (корінь), яке звертає його в правильну рівність. Перекинемо «трійку» направо зі зміною знака:

і скинемо «двійку» в праву частину (або, те саме – помножимо обидві частини на) :

Для перевірки підставимо завойований трофей у вихідне рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, знайдене значення дійсно є коренем даного рівняння. Або, як ще кажуть, задовольняє це рівняння.

Зверніть увагу, що корінь можна записати і у вигляді десяткового дробу:
І постарайтеся не дотримуватись цього поганого стилю! Причину я повторював неодноразово, зокрема, на першому ж уроці з вищій алгебрі.

До речі, рівняння можна вирішити і «арабською»:

І що найцікавіше – цей запис повністю легальний! Але якщо Ви не викладач, то так краще не робити, бо оригінальність тут карається =)

А тепер трохи про

графічний метод вирішення

Рівняння має вигляд та його корінь – є «іксова» координата точки перетину графіка лінійної функціїз графіком лінійної функції (віссю абсцис):

Здавалося б, приклад настільки елементарний, що розбирати тут більше нічого, проте з нього можна «вичавити» ще один несподіваний нюанс: представимо те саме рівняння у вигляді і побудуємо графіки функцій :

При цьому, будь ласка, не плутайте два поняття: рівняння - це рівняння, а функція– це функція! Функції лише допомагаютьзнайти коріння рівняння. Яких може бути два, три, чотири і навіть дуже багато. Найближчим прикладом у цьому сенсі є всім відомо квадратне рівняння, алгоритм вирішення якого удостоївся окремого пункту «гарячих» шкільних формул. І це невипадково! Якщо ви вмієте вирішувати квадратне рівняння та знаєте теорему Піфагора, то, можна сказати, «підлога вищої математики вже в кишені» =) Перебільшено, звичайно, але й не так далеко від істини!

А тому не полінимо і вирішуємо якесь квадратне рівняння по стандартного алгоритму:

, отже, рівняння має два різні дійснихкореня:

Легко переконатися, що обидва знайдені значення справді задовольняють даному рівнянню:

Що робити, якщо ви раптом забули алгоритм рішення, і під рукою немає коштів/рук допомоги? Така ситуація може виникнути, наприклад, на заліку чи іспиті. Використовуємо графічний метод! І тут є два шляхи: можна поточково побудуватипараболу , з'ясувавши тим, де вона перетинає вісь (якщо перетинає взагалі). Але краще вчинити хитріше: представимо рівняння у вигляді, накреслимо графіки. простих функцій- І «іксові» координатиїх точок перетину, як на долоні!


Якщо виявиться, що пряма стосується параболи, то рівняння має два збіглися (кратні) корені. Якщо виявиться, що пряма не перетинає параболу, значить, дійсних коренівні.

Для цього, звичайно, треба вміти будувати графіки елементарних функцій, але з іншого боку ці вміння під силу навіть школяру.

І знову – рівняння – це рівняння, а функції – це функції, які лише допомогливирішити рівняння!

І тут, до речі, доречно згадатиме ще одну річ: якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на ненульове число, його коріння не зміняться.

Так, наприклад, рівняння має те ж саме коріння. Як найпростіший «доказ» винесу константу за дужки:
і безболісно її приберу (Поділю обидві частини на «мінус два»):

АЛЕ!Якщо ми розглядаємо функцію , то тут вже позбавлятися константи не можна! Допустимо хіба що винесення множника за дужки: .

Багато хто недооцінює графічний метод рішення, вважаючи його чимось «несолідним», а деякі взагалі забувають про таку можливість. І це дуже помилково, оскільки побудова графіків іноді просто рятує ситуацію!

Ще один приклад: припустимо, ви не пам'ятаєте коріння найпростішого тригонометричного рівняння: . Загальна формулає в шкільних підручниках, у всіх довідниках по елементарної математикиале вони вам недоступні. Однак вирішити рівняння критично важливо (інакше «двійка»). Вихід є! - Будуємо графіки функцій:


потім спокійно записуємо «іксові» координати їх точок перетину:

Коренів нескінченно багато і в алгебрі прийнято їх згорнутий запис:
, де ( – безліч цілих чисел) .

І, не «відходячи від каси», кілька слів про графічний спосіб вирішення нерівностей з однією змінною. Принцип такий самий. Приміром, рішенням нерівності є будь-яке «ікс», т.к. синусоїда майже повністю лежить під прямою. Рішенням нерівності є безліч проміжків, на яких шматки синусоїди лежать строго вище прямої (осі абсцис):

або, якщо коротше:

А ось безліч розв'язків нерівності – порожньооскільки жодна точка синусоїди не лежить вище прямої.

Щось не зрозуміло? Терміново вивчати уроки про множинахі графіки функцій!

Розминаємось:

Завдання 1

Розв'язати графічно такі тригонометричні рівняння:

Відповіді наприкінці уроку

Як бачите, для вивчення точних наукзовсім не обов'язково зубрить формули та довідники! Більше того, це принципово порочний підхід.

Як я вже обнадіяв вас на початку уроку, складні тригонометричні рівняння в стандартному курсі вищої математики доводиться вирішувати вкрай рідко. Вся складність, як правило, закінчується рівняннями на кшталт , рішенням якого є дві групи коренів, що походять від найпростіших рівнянь і . З рішенням останнього сильно не парьтеся - подивіться в книжці або знайдіть в Інтернеті =)

Графічний спосіб рішення може допомогти і в менш очевидних випадках. Розглянемо, наприклад, наступне «різношерсте» рівняння:

Перспективи його вирішення виглядають ... взагалі ніяк не виглядають, проте варто тільки уявити рівняння у вигляді , побудувати графіки функційі все виявиться неймовірно просто. Креслення є в середині статті про нескінченно малих функціях (відкриється на сусідній вкладці).

Тим ж графічним методомможна з'ясувати, що рівняння має вже два корені, причому один із них дорівнює нулю, а інший, судячи з усього, ірраціональнийі належить відрізку. Цей корінь можна обчислити приблизно, наприклад, методом дотичних. До речі, в деяких завданнях, буває, потрібно не знайти коріння, а з'ясувати, чи є вони взагалі. І тут теж може допомогти креслення – якщо графіки не перетинаються, то коріння немає.

Раціональне коріння багаточленів із цілими коефіцієнтами.
Схема Горнера

А тепер я пропоную вам обернути свій погляд у середні віки та відчути неповторну атмосферу класичної алгебри. Для кращого розумінняматеріалу рекомендую хоч трохи ознайомитися з комплексними числами.

Вони самі. Багаточлени.

Об'єктом нашого інтересу будуть найбільш поширені багаточлени виду з цілимикоефіцієнтами. Натуральне числоназивають ступенем багаточлена, число - коефіцієнтом при старшому ступені (або просто старшим коефіцієнтом), А коефіцієнт - вільним членом.

Цей многочлен я буду згорнуто позначати через .

Корінням багаточленаназивають коріння рівняння

Люблю залізну логіку =)

За прикладами сходимо на початок статті:

Зі знаходженням коренів багаточленів 1-го та 2-го ступенів немає жодних проблем, але в міру збільшення це завдання стає все важчим і важчим. Хоча з іншого боку – все цікавіше! І саме цьому буде присвячена друга частина уроку.

Спочатку буквально стать екрану теорії:

1) Відповідно до слідства основний теореми алгебрибагаточлен ступеня має рівно комплекснихкоріння. Деякі коріння (або навіть усі) можуть бути зокрема дійсними. При цьому серед дійсних коренів можуть зустрітися однакові (кратні) корені (мінімум два, максимум штук).

Якщо деяке комплексне число є коренем багаточлена, то й пов'язанейому число - теж обов'язково корінь цього багаточлена (сполучені комплексне коріннямають вигляд ).

Найпростіший приклад– квадратне рівняння, яке вперше зустрілося у 8 (начебто)класі, і яке ми остаточно «добили» у темі комплексних чисел. Нагадую: квадратне рівняння має або два різних дійсних кореня, або кратне коріння, або сполучене комплексне коріння.

2) З теореми Безуслід, якщо число є коренем рівняння , то відповідний многочлен можна розкласти на множники:
, де - багаточлен ступеня.

І знову ж таки, наш старий приклад: оскільки - корінь рівняння, то. Після чого неважко отримати добре знайоме «шкільне» розкладання.

Наслідок теореми Безу має велику практичну цінність: якщо ми знаємо корінь рівняння 3-го ступеня, то можемо уявити його у вигляді і із квадратного рівняннялегко дізнатися решту коріння. Якщо нам відомий корінь рівняння 4-го ступеня, то є можливість розкласти ліву частинуу твір тощо.

І питання тут два:

Питання перше. Як знайти цей самий корінь? Насамперед, давайте визначимося з його природою: у багатьох завданнях вищої математики потрібно знайти раціональні, зокрема цілікоріння багаточленів, і в цьому зв'язку далі нас цікавитимуть переважно вони…. …вони такі гарні, такі пухнасті, що їх так і хочеться знайти! =)

Перше, що напрошується – метод підбору. Розглянемо, наприклад, рівняння . Загвоздка тут у вільному члені – ось якби він дорівнював нулю, то все було б в ажурі – виносимо «ікс» за дужки і коріння самі «вивалюються» на поверхню:

Але у нас вільний член дорівнює "трійці", і тому ми починаємо підставляти в рівняння різні числа, що претендують на звання "корінь". Насамперед, напрошується підстановка одиничних значень. Підставимо:

Отримано неправильнерівність, в такий спосіб, одиниця «не підійшла». Ну та гаразд, підставляємо:

Отримано вірнерівність! Тобто значення є коренем цього рівняння.

Для пошуку коренів многочлена 3-го ступеня існують аналітичний метод (Так звані формули Кардано)Але зараз нас цікавить дещо інше завдання.

Оскільки є корінь нашого багаточлена, то багаточлен можна уявити у вигляді і виникає Друге питання: Як знайти «молодшого побратима»?

Найпростіші міркування алгебри підказують, що для цього потрібно розділити на . Як поділити багаточлен на багаточлен? Тим ж шкільним методом, яким ділять звичайні числа– «стовпчиком»! Цей спосібя докладно розібрав у перших прикладах уроку Складні межі, і зараз ми розглянемо інший спосіб, який отримав назву схема Горнера.

Спочатку запишемо «старший» багаточлен з усіма , у тому числі нульовими коефіцієнтами:
, Після чого занесемо ці коефіцієнти (строго по порядку) у верхній рядок таблиці:

Зліва записуємо корінь:

Відразу зазначу, що схема Горнера працює і в тому випадку, якщо «червоне» число неє коренем багаточлена. Однак не поспішатимемо події.

Зносимо зверху старший коефіцієнт:

Процес заповнення нижніх осередків чимось нагадує вишивання, де мінус одиниця – це своєрідна голка, яка пронизує наступні кроки. «Знесене» число множимо на (–1) і додаємо до твору число з верхнього осередку:

Знайдене значення множимо на «червону голку» і до твору додаємо наступний коефіцієнт рівняння:

І, нарешті, отримане значення знову «обробляємо» «голкою» та верхнім коефіцієнтом:

Нуль в останньому осередку говорить нам про те, що багаточлен розділився на без залишку (як і має бути), при цьому коефіцієнти розкладання «знімаються» прямо з нижнього рядка таблиці:

Таким чином, від рівняння ми перейшли до рівносильному рівняннюі з двома корінням, що залишилися, все ясно (у даному випадкувиходять сполучені комплексні корені).

Рівняння, до речі, можна вирішити і графічно: збудувати «блискавку» і побачити, що графік перетинає вісь абсцис () у точці. Або той же «хитрий» прийом – переписуємо рівняння у вигляді, креслимо елементарні графікиі детектуємо «іксову» координату їхньої точки перетину.

До речі, графік будь-якої функції-багаточлена 3-го ступеня перетинає вісь хоча б один раз, а отже, відповідне рівняння має щонайменшеодин дійснийкорінь. Цей фактсправедливий для будь-якої функції-багаточлена непарного ступеня.

І тут ще хочеться зупинитися на важливому моменті , Що стосується термінології: багаточлені функція-багаточлен – Це не одне і те ж! Але на практиці часто говорять, наприклад, про «графіку багаточлена», що, звичайно, недбалість.

Однак повернемося до схеми Горнера. Як я нещодавно згадав, ця схема працює і для інших чисел, але якщо число неє коренем рівняння , то нашій формулі з'являється ненульова добавка (залишок):

«Проженемо» за схемою Горнера «невдале» значення. При цьому зручно використовувати ту саму таблицю – записуємо зліва нову «голку», зносимо зверху старший коефіцієнт (ліва зелена стрілка), І понеслося:

Для перевірки розкриємо дужки та наведемо подібні доданки:
, ОК.

Легко помітити, що залишок («шістка») – це точно значення многочлена при . І справді – що так:
, А ще приємніше - ось так:

З наведених викладок неважко зрозуміти, що схема Горнера дозволяє не тільки розкласти багаточлени на множники, але й здійснити «цивілізований» підбір кореня. Пропоную вам самостійно закріпити алгоритм обчислень невеликим завданням:

Завдання 2

Використовуючи схему Горнера, знайти ціле коріннярівняння та розкласти відповідний багаточлен на множники

Іншими словами, тут потрібно послідовно перевіряти числа 1, -1, 2, -2, ... - До тих пір, поки в останньому стовпці не «намалюється» нульовий залишок. Це означатиме, що «голка» даного рядка – корінь багаточлена

Обчислення зручно оформити у єдиній таблиці. Докладне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Спосіб підбору коріння хороший для відносно простих випадківале якщо коефіцієнти та/або ступінь багаточлена великі, то процес може затягнутися. А може бути якісь значення з того ж списку 1, -1, 2, -2 і розглядати сенсу немає? І, крім того, коріння може виявитися і дробовим, що призведе до зовсім не наукового тику.

На щастя, існують дві потужні теореми, які дозволяють значно скоротити перебір значень-«кандидатів» у раціональне коріння:

Теорема 1Розглянемо нескоротнудріб, де. Якщо число є коренем рівняння , то вільний член поділяється на , а старший коефіцієнт - на .

Зокрема, якщо старший коефіцієнт , цей раціональний корінь – цілий:

І ми починаємо експлуатувати теорему якраз із цієї смачної зокрема:

Повернімося до рівняння. Так як його старший коефіцієнт , то гіпотетичні раціональні коріння можуть бути виключно цілими, причому вільний член повинен обов'язково ділитися на це коріння без залишку. А «трійку» можна розділити лише на 1, –1, 3 та –3. Тобто у нас лише 4 «кандидати в корені». І, згідно Теоремі 1, інші раціональні числане можуть бути корінням цього рівняння в принципі.

У рівнянні «претендентів» трохи більше: вільний член ділиться на 1, –1, 2, – 2, 4 та –4.

Зауважте, що числа 1, –1 є «завсідниками» списку можливих коренів. (Очевидне наслідок теореми)і самим найкращим виборомдля першочергової перевірки.

Переходимо до більш змістовних прикладів:

Завдання 3

Рішення: оскільки старший коефіцієнт , то гіпотетичне раціональне коріння може бути тільки цілим, при цьому вони обов'язково повинні бути дільниками вільного члена. «Мінус сорок» ділиться на такі пари чисел:
- Разом 16 «кандидатів».

І тут відразу з'являється приваблива думка: а чи не можна відсіяти все негативне чи все позитивне коріння? У ряді випадків можна! Сформулюю дві ознаки:

1) Якщо Усекоефіцієнти многочлена неотрицательны, він може мати позитивного коріння. На жаль, це не наш випадок (От якби нам було дано рівняння - тоді так, при підстановці будь-якого значення багаточлена строго позитивно, а значить, все позитивні числа (Причому, і ірраціональні теж)не можуть бути корінням рівняння.

2) Якщо коефіцієнти при непарних ступенях невід'ємні, а за всіх парних ступенях (включаючи вільний член)- негативні, то багаточлен не може мати негативних коренів. Це наш випадок! Трохи придивившись, можна помітити, що при підстановці рівняння будь-якого негативного «ікс» ліва частина буде суворо негативна, а значить, негативне коріннявідпадають

Таким чином, для дослідження залишилося 8 чисел:

Послідовно заряджаємо їх за схемою Горнера. Сподіваюся, ви вже освоїли усні обчислення:

Успіх чекав нас при тестуванні «двійки». Таким чином – є корінь розглянутого рівняння, та

Залишилось досліджувати рівняння . Це легко зробити через дискримінант, але я проведу показову перевірку за тією самою схемою. По-перше, звернемо увагу, що вільний член дорівнює 20-ти, а отже, Теоремі 1зі списку можливих коренів випадають числа 8 і 40 і для дослідження залишаються значення (одиниця відсіялася за схемою Горнера).

Записуємо коефіцієнти тричлена у верхній рядок нової таблиціі починаємо перевірку з тієї ж «двійки». Чому? А тому що коріння може бути кратним, будь ласка: – це рівняння має 10 однакових коренів. Але не відволікаємось:

І тут, звичайно, я трохи злукавив, свідомо знаючи, що коріння раціональне. Адже якби вони були ірраціональними або комплексними, то мені світила б безуспішна перевірка всіх чисел, що залишилися. Тому на практиці керуйтесь дискримінантом.

Відповідь: раціональне коріння: 2, 4, 5

У розібраному завданні нам супроводжував успіх, тому що: а) відразу відвалилися від'ємні значенняі б) ми дуже швидко знайшли корінь (а теоретично могли перевірити і весь список).

Але насправді ситуація буває набагато гіршою. Запрошую вас до перегляду захоплюючої гри під назвою « Останній герой»:

Завдання 4

Знайти раціональне коріння рівняння

Рішення: по Теоремі 1чисельники гіпотетичних раціонального корінняповинні задовольняти умову (читаємо «дванадцять ділиться на ель»), А знаменники - умові. Виходячи з цього, отримуємо два списки:

"список ель":
та «список ем»: (Благо, тут числа натуральні).

Тепер складемо перелік усіх можливих коренів. Спочатку "список ель" ділимо на . Цілком зрозуміло, що вийдуть ті самі числа. Для зручності занесемо їх у таблицю:

Багато дробів скоротилися, внаслідок чого вийди значення, які вже є в «списку героїв». Додаємо тільки «новачків»:

Аналогічно - ділимо той же «список ель» на:

і, нарешті, на

Таким чином, команда учасників нашої гри укомплектована:


На жаль, багаточлен даної задачі не задовольняє «позитивну» або «негативну» ознаку, і тому ми не можемо відкинути верхній чи нижній рядок. Прийде працювати з усіма числами.

Як ваш настрій? Та гаразд, вище ніс – є ще одна теорема, яку можна образно назвати «теоремою-вбивцею». …«кандидатів», звичайно ж =)

Але спочатку потрібно прокрутити схему Горнера хоча б для одного цілогочисла. Традиційно візьмемо одиницю. У верхній рядок запишемо коефіцієнти многочлена і все як завжди:

Оскільки четвірка - це явно не нуль, то значення не є коренем багаточлена, що розглядається. Але вона нам дуже поможе.

Теорема 2Якщо за деякого ціломузначенні значення многочлена відмінно від нуля: , то його раціональне коріння (якщо вони є)задовольняють умові

У нашому випадку і тому все можливе коріння має задовольняти умові (назвемо його Умовою № 1). Ця четвірка і буде "кілером" багатьох "кандидатів". Як демонстрацію я розгляну кілька перевірок:

Перевіримо «кандидата». Для цього штучно представимо його у вигляді дробу, звідки добре видно, що . Обчислимо перевірочну різницю: . Чотири ділиться на «мінус два»: а отже, можливий корінь пройшов випробування.

Перевіримо значення. Тут і перевірна різниця становить: . Зрозуміло, і тому другий «випробуваний» теж залишається в списку.

Основні поняття теорії багаточленів

Під багаточленомрозуміється вираз виду , де - ціле невід'ємне число,
- Будь-які числа; причому
. Цей вислів може складатися і з одного доданку – такий багаточлен називається одночленом.

Нехай – довільний багаточлен та . Число nназивається ступенем багаточленаf(x) і позначається deg( f(x)).

Зазначимо одну з властивостей операцій над багаточленами: Якщо f(x) та g(x) – два багаточлени, то

deg( f(x) g(x))=deg( f(x))+deg( g(x));

deg( f(x) ± g(x)) ≤ max(deg( f(x)), deg ( g(x))}

(max( a,b) означає найбільше з чисел aі b).

Завдання 1. Наведіть приклади багаточленів, таких що

a) deg( f(x) + g(x)) = max (deg( f(x)), deg( g(x))};

б) deg( f(x) + g(x)) < max {deg(f(x)), deg( g(x))}.

Завдання 2.Доведіть тотожність:

a) ( x – 1)(x n-1 + x n- 2 +…+ 1) = x n - 1;

b) ( x + 1)(x 2 n – x 2 n –1 + x 2 n –2 – …– x + 1) = x 2 n +1 + 1.

Рішення. a) ( x – 1)(x n -1 + x n – 2 +…+ 1) = x n – x n – 1 + x n –1 – x n – 2 + x n – 2 – x n – 3 +…+ х 2 –х + х – 1 = = x n - 1.

Усі складові, що виходять після розкриття дужок, крім першого та останнього взаємно знищуються.

Замість змінної xв багаточлен f(x) можна підставити будь-яке число c. В результаті вийде кілька. Це число називається значенням багаточленаf(x) при x = c(або в точці c) і позначається через f(c).

Зазначимо два простих рівності, пов'язаних зі значеннями багаточлена та корисних для вирішення завдань:

вільний член многочлена дорівнює його значенню в точці 0,

сума коефіцієнтів многочлена дорівнює його значенню в точці 1,

Завдання 3.Знайдіть вільний член та суму коефіцієнтів многочлена.

Рішення.Після розкриття дужок та приведення подібних членів у виразі вийде багаточлен із вільним членом
та сумою коефіцієнтів f(1) = 1.

Відповідь:
, 1.

Завдання 4.Знайдіть суми коефіцієнтів багаточлена
при парних та непарних ступенях x.

Число cназивається корінням багаточленаf(x), якщо значення багаточлена в точці cодно нулю. Число cє коренем багаточлена f(x), якщо f(c) = 0.

Поняття кореня є центральним теоретично многочленов. З цим поняттям тісно пов'язані теорія ділимості багаточленів, розкладання їх на множники, розв'язання різних рівнянь алгебри.

Обговоримо тепер поняття рівності багаточленів. Якщо ми дивимося на багаточлени, як на формальні висловлюваннязі змінною x, то природно вважати два багаточлени рівними, якщо вони мають однаковий ступінь і відповідні їх коефіцієнти рівні. Така рівність багаточленів називається рівністю в алгебраїчному сенсі , тобто якщо , і багаточлени f(x) та g(x) рівні, то m = nі a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , …, a n = b n .

Однак багаточлен можна дивитися як на функцію. Але тоді можна говорити про рівність двох багаточленів як про рівність двох функцій. Відомо, що дві функції називаються рівними, якщо вони мають ту саму область визначення і кожному числу з цієї області визначення обидві функції ставлять у відповідність одне і те ж число. Рівність багаточленів, яка розуміється в цьому сенсі, називатимемо рівністю у функціональному сенсі. Якщо багаточлени f(x) та g(x) рівні, то для будь-якого
маємо f(c) = g(c).

Отже, ми маємо два поняття про рівність на безлічі багаточленів. Ці визначення поняття рівності багаточленів є еквівалентними. Інакше висловлюючись, якщо два многочлена рівні в алгебраїчному сенсі, всі вони рівні й у функціональному сенсі, і назад.

Завдання 5.У багаточлені
один із коренів дорівнює 3. Знайдіть f(x).

Рішення.Так як x 0 = 3 є коренем багаточлена f(x), то f(x 0) = 0 $. Тобто
, звідки a = 4.

Відповідь: Шуканий багаточлен
.

Завдання 6.Знайдіть цілі числа aі b, при яких один з коренів багаточлена дорівнює
.

Рішення.Дано
-корінь многочлена f(x), значить f(x 0) = 0.

Зберемо всі доданки, що містять
, у правій частині . Так як aі b- Цілі числа, то рівність виконується тільки тоді, коли обидві його частини дорівнюють нулю. Отримуємо систему рівнянь
.

Вирішуючи цю систему, знаходимо, що a = –12$, b = 6.

Відповідь: Шуканий багаточлен.

Завдання 7.Знайдіть багаточлен f(x) другого ступеня, що задовольняє умовам f(1) = 6, f(–2) = 21, f(3) = 16.

Рішення.Багаточлен f(x) будемо шукати у вигляді
. Для визначення невідомих коефіцієнтів підрахуємо значення багаточлена в заданих точках:

Вирішення цієї системи a = 2, b = –3, c = 7.

Відповідь: Шуканий багаточлен
.

Завдання 8.При яких значеннях невідомих коефіцієнтів справедливі рівність

Ділімість багаточленів

Кажуть що багаточленf(x) ділиться на багаточленg(x) ≠ 0, якщо існує такий багаточлен q(x), що виконується рівність

f(x) = g(x) q(x) (1)

Якщо f(x) ділиться на g(x), то це прийнято записувати так
.

Наприклад, з рівності x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x+ 1 слід, що
і
.

Багаточлен q(x) у рівності (1) називається приватнимвід розподілу f(x) на g(x). Зауважимо, що багаточлен q(x) у рівності (1) визначається однозначно.

Теорема (про поділ із залишком).Для будь-якого багаточлена f(x) та будь-якого ненульового багаточлена g(x) існує єдина пара багаточленів q(x) та r(x), для якої виконується рівність

f(x) = g(x) q(x) + r(x), (2)

де багаточлен r(x) або нульовий, або має ступінь, менший ніж ступінь g(x). ■

На практиці для знаходження приватного та залишку зазвичай застосовують метод обчислення, названий "розподіл кутом".

Завдання 9.Знайдіть приватне та залишок при розподілі на
.

Рішення.

Отримали приватне
та залишок
.

Відповідь: Неповне приватне та залишок .

Завдання 10.При якому значенні aбагаточлен
ділиться на багаточлен x- 2? Відповідь: а = –1.

Завдання 11.При яких ненульових значеннях aі bбагаточлен
ділиться на багаточлен
? Відповідь: а = –1; b = –2.

Теорема Безу

Розглянемо багаточлен
.

Розділимо f(x) на x – 1, x – 2, x+ 3 із залишком ( r- Залишок):

f(x) = (x – 1)(x 2 + 4x – 3) – 9, r = –9$;

f(x) = (x – 2)(x 2 + 5x + 3), r = 0;

f(x) = (x + 3)(x 2 – 7) + 15, r = 15.

Підрахуємо значення багаточлена f(x) у точках x = 1, x = 2, x = –3.

f(1) = –9, f(2) = 0, f(–3) = 15.

Можна помітити, що в розглянутому прикладі в залишку щоразу виходить число, що дорівнює значенню многочлена в відповідної точки. Такий збіг навряд чи є випадковим. Справедлива наступна теорема, що грає важливу рольу теорії багаточленів та її додатках.

Теорема (Безу).Залишок від поділу багаточлена f(x) на двочлен x – a дорівнює значеннюбагаточлена f(x) у точці x = a.

Основним наслідком цієї теореми буде

Наслідок 1.Багаточлен f(x) ділиться на x – aтоді і лише тоді, коли число aє його коренем.

Завдання 12.Багаточлен f(x) при розподілі на x- 3 дає залишок 5, а при розподілі на x– 1 – залишок 7. Який залишок дає f(x) при розподілі на ( x – 3)(x – 1)?

Рішення.Дільник ( x – 3)( x– 1) має ступінь 2. Тому залишок є багаточлен ступеня не вищим за перший, тобто r(x) = ax + b, і нам потрібно знайти aі b. Позначимо приватне через q(x). Тоді f(x) = (x – 3)( x – 1)q(x) + (ax + b). Підставивши x= 3, отримаємо f(3) = 3a + b, але за умовою і через теорему Безу f(3) = 5, тому 3 a + b= 5. Аналогічно при x= 1 отримаємо a + b= 7. Вирішуючи систему двох лінійних рівняньз двома невідомими, отримаємо a = –1, b= 8. Отже, r(x) = – x + 8.

Відповідь: r(x) = – x + 8.

Завдання 13.Доведіть, що для будь-яких цілих чисел a, b, cчисло ділиться на b – a – c.

Рішення.Розглянемо цей вислів як многочлен f(b) щодо змінної b, вважаючи aі cфіксованими параметрами, і підрахуємо його значення при b = a + c: f(a + c) = 0. За наслідком до теореми Безу багаточлен f(b) ділиться на b – a – c. оскільки старший коефіцієнт двочлена b – a – cдорівнює 1, то коефіцієнти частки будуть цілими числами, що випливає з методу "розподіл кутом". Тому і це ціле число ділиться на b – a – c, що й потрібно було довести.

Розглянемо ще кілька наслідків із теореми Безу.

Наслідок 2.Якщо a 1 , a 2 , …, a k- Різне коріння многочлена f(x), то f(x) ділиться на твір (3)

Наслідок 3.Число різних коренівбагаточлена, відмінного від нуля, не більше, ніж його ступінь.

Вже згадувався той факт, що якщо два багаточлени рівні, тобто їх значення збігаються за будь-якого
то збігаються їх коефіцієнти при однакових ступенях x. Тепер ми можемо значно посилити це твердження.

Наслідок 3.Якщо значення двох багаточленів, ступеня яких не більше n, збігаються в ( n+ 1)-ої точки, то ці многочлени рівні.

Завдання 14.Доведіть, що за будь-яких попарно різних числах a, b, c справедливо тотожність .

Рішення.Позначимо ліву частину тотожності, що доводиться через $f(x)$. Ступінь багаточлена f(x) не більше двох (дійсно, розкривши дужки в кожному доданку, ми отримаємо при множенні лінійних двочленів, що містять x, Квадратні тричлени). У правій частині тотожності, що доводиться, стоїть число 1, на яке можна дивитися як на многочлен g(x) нульового ступеня, тобто. ступінь g(x) також не перевищує двох.

Маємо f(a) = 1 = g(a). (багаточлен g(x) дорівнює 1 за будь-якого значення x). Аналогічно, f(b) = g(b) та f(c) = g(c). Отже, два багаточлени f(x) та g(x), ступеня яких не більше двох, приймають однакові значенняу трьох точках: x = a, x = b, x = c. Отже, за слідством 3 f(x) = g(x) і тотожність доведено.

Завдання 15.Знайдіть залишок від розподілу на x + 1.

Відповідь: r = –6.

Завдання 16.Обчисліть f(4), якщо . Відповідь: f(4) = 136.

Завдання 17.Не виконуючи операцію поділу, знайдіть залишок від поділу на x+ 3. Відповідь: r = –1.

Завдання 18.При якому значенні kбагаточлен
ділиться на x + 4?

Відповідь: k = 11.

Завдання 19.Знайдіть усі значення a, при яких залишок від поділу багаточлена
на двочлен x- 2 дорівнює 9? Відповідь: a = 3.

Завдання 20.При яких aі bбагаточлен
ділиться на x- 1 і x+ 2 без залишку? Відповідь: a = –4; b = 5.

Завдання 21. nбагаточлен x n – a nділиться на x – a.

Завдання 22.Доведіть, що за будь-якого натурального nбагаточлен x 2 n +1 + a 2 n+1 ділиться на x + a.

Завдання 23.Доведіть, що багаточлен x 2 n – a 2 nділиться на x – aі на x + aпри будь-якому натуральному n.

Завдання 24.Доведіть, що багаточлен x 2 n + a 2 nне ділиться ні на x + aні на x – aні за якого значення n.

Завдання 25.Багаточлен f(x) при розподілі на x- 2 дає залишок 2, а при розподілі на x+ 3 дає залишок 7. Знайдіть залишок від розподілу f(x) на x 2 + x – 6.

Відповідь: r = –x + 4.

Завдання 26.Знайдіть залишок від поділу багаточлена на квадратний тричлен x 2 – x – 2.

Відповідь: r = x –6

Завдання 27.Доведіть, що залишок від поділу багаточлена p(x) на двочлен ax + bдорівнює значенню многочлена при x = –b/a.

Завдання 28.Знайдіть залишок від поділу багаточлена на двочлен 2 x – 3.

Відповідь: r = 71/8.

Схема Горнера

Теорема Безу дозволяє знайти залишок від поділу багаточлена f(x) на двочлен x – a. Але при вирішенні деяких завдань необхідно знати не лише залишок, а й часткове. Це ми вже вміємо робити (виробляючи, наприклад, розподіл кутом). При розподілі багаточлена на двочлен x – aдля відшукання приватного та залишку застосовують більш простий метод, званий "схема Горнера".

Нехай – багаточлен ступеня n. Тоді для визначення коефіцієнтів частки отримаємо систему
.

Зручно схему Горнера записувати як таблиці