Як знайти парність та непарність функції приклади. Парність функції

Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості та піде мовау цьому параграфі.

Визначення 1.

Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).

Визначення 2.

Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).

Довести, що у = х 4 - парна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.

Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.

Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.

Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною.

Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.

Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число, можна зробити висновок: якщо n - не парне число, то функція у = х "- непарна; якщо ж n - парне число, то функція у = хn - парна.

Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).

Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.

Вивчення питання про те, чи є задана функціяпарною чи непарною, зазвичай називають дослідженням функції на парність.

У визначеннях 1 та 2 мова йдепро значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, тоді як y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \ in [-1; 1].

Обмеженою прийнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число K > 0 для якого виконується нерівність \left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числової осі, оскільки \left | \sin x \right | \neq 1 .

Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючу функцію тоді, коли більшого значення x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцією тоді, коли більшому значенню x буде відповідати менше значенняфункції y(x). Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функції прийнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x ) > f(x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Кроки обчислень:

Як вставити математичні формулина сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, то я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначенняу веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який буде в потрібний моментавтоматично підвантажуватися з віддаленого сервера(Список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується по певному правилу, Яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.